Метод решения линейных граничных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

Метод решения линейных граничных задач Дорогин А. Д.

Дорогин Андрей Дмитриевич /Dorogin Andrey Dmitrievich - кандидат технических наук, доцент,

г. Тюмень

Аннотация: предлагается метод решения линейных дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами в ограниченной области пространства Rn, встречающихся в задачах механики твердого деформируемого тела. Решение представляется в виде разложения в ряд по системе функций. Коэффициенты этого ряда определяются из системы алгебраических уравнений, которая формируется операцией дифференцирования.

Abstract: we propose a methodfor solving linear differential equations with analytic coefficients in a bounded region of space Rn, occurring in problems of mechanics of deformable bodies. The solution is represented as an expansion in the number of system functions. The coefficients of this series are determinedfrom the system of algebraic equations, which is formed by differentiation.

Ключевые слова: линейные дифференциальные уравнения, разложение в ряд, коэффициенты ряда, система алгебраических уравнений, операция дифференцирования.

Keywords: linear differential equations, Taylor series, the coefficients of the system of algebraic equations, the operation of differentiation.

Для решения дифференциальных уравнений

Am[u(x)] = y(x), xE Rn, (1.1)

где Am- линейный дифференциальный оператор порядка m с однородными граничными условиями, обычно применяются метод конечных разностей и проекционные методы. В [1] показано, что при автоматизации вычислительного процесса проекционные методы имеют значительно большее количество вычислительных операций по сравнению с методом конечных разностей. Основные затраты времени в первых методах связаны с вычислением скалярных произведений в пространстве L2. Несмотря на это, возможность получить решение в аналитической форме привлекает в прикладных исследованиях к использованию проекционных методов. В связи с этим представляют интерес разработки алгоритмов приближенного аналитического решения дифференциальных уравнений, обладающих достаточной общностью и не имеющего упомянутого недостатка проекционных методов. Один из таких алгоритмов может быть предложен из следующих соображений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение типа (1.1) в предположении его единственного решения в ограниченной области Л = {x E Rn, Ы < 5}. Подстановкой

u(x) = Ui(x) + Uo (x)f(x) (2.1)

преобразуем уравнение (1.1) к виду

^mp)=oFp(x)d(fl= Ф(х ), (2.2)

в котором Fp(x), ф (х) - некоторые аналитические функции и ф(х) Ф 0 в области Л, p = (p1 „. pn), pk целые, pk > 0, (p) = p1 + ■■■ + pn, dxp = dxp1 ■■■ dxpn. Для получения коэффициентов разложения решения уравнения (2.2) по степенному ряду предлагается способ, который следует рассматривать как разновидность вариационного метода при функционалах Ф,, принимающих на разности левой и правой частей уравнения (2.2) нулевые значения:

Ф,[ У Fp^-^p--Ф(х)] = 0,

(pl=o

где i = (iv„ , in), Pk целые, ik > 0.

В качестве функционалов Ф, предлагается взять

Ф,(о)= 1 ^ , (2.3)

где (i) = i1 + ■■■ + in, i!= i1! ■■■ in! , а(х0) = a(i0,-,i°),dxi = Зх^ ■■■ ах^,

которые при существовании решения fx) в виде

f(x)= ^aj (х- x0)j (2.4)

(здесь j = (j^, jn),jK целые, jk >0, (j) = ji + ■■■ + jn, (х - x0)j = (Xi - x°°)jl ■■■ (Xn - xn)jn) и правой части в виде

, л i а(1)ф(х°Ь 0л1

Ф(х) = Z^)=o" "^Т" (х- х0)1

дают бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов aj вида

¿(j) = 0i, b1jaj = I, ах1 , (2 5)

где для i и j справедливы используемые выше обозначения.

Общее выражение для коэффициентов Ьц системы уравнений (2.5) может быть получено методом индукции. Для этого исходное дифференциальное уравнение (2.2) переписывается в более простом виде:

^"о^ДхЬ^х) = <р(х), (2.6)

( л 10 д(р) Кх) ЭР1+"+РхКх) ( л

где 1 = 0, 1 ■■■,Fp(х) = ^р,,...^) = ^(х),^р-= ахр1...ахРп = а1(х),

Ь - количество слагаемых в уравнении (2.2). Принимая х 6 Я1, L = 2 и дифференцируя левую и правую части (2.6) в соответствии со следованием производных в коэффициентах ряда Тейлора, получаем выражения для коэффициентов Ь^. Затем, положив L = 3, приходим к выражениям Ьц в этом случае, и т. д. В результате можно записать общее соотношение для коэффициентов Ьц в пространстве Я1. После этого, рассматриваются последовательно пространства Я2,Я3, ■■■, в которых также записываются общие выражения для коэффициентов Ь^. Наконец, сопоставляя такие выражения в различных пространствах, приходим к общему выражению для коэффициентов Ьц в системе уравнений (2.5):

Жх-^ш, то,- Г , о!1-И + т1-т2 ^-ш^ ^ ^-Шх

х1

, _ yKn-1 ••• ymn-! f {F Гх)]И-Л + т1-т2 Vn-jn+mn * .-т^ ^ ;-mn +

°ij _ ¿mi = 0^m2 = 0 ymn = 0 { lFMi(n)(XJi& } *Cii * * Cin +

Xn

in-jm+mn

УШ^ти- ушЫ- {{FM2(n)(x)fji+Kn-m2}i2-j2+m2-m3 •••} *cjrKn+m2 * с;гт2+ш *•••*

^ i X2 JXn

rjn-mn Cin '

где Kn _ ki +••• +kn,Mi(n) _ mn + 0.5yn-1 mn-k(mn-k + 1), M2(n) _ M1(n) - 0.5mn-1(mn-1 +1) + 0.5Kn (Kn + 1),

{ }p. - дифференцирование p раз по переменной xi,Cik - биноминальные коэффициенты, индексы k1, ••• ,kn определяются по порядку производной по переменным x.,/",xn в коэффициентах ряда Тейлора с порядковым номером L.

Перейдем к доказательству существования решения бесконечной алгебраической системы уравнений (2.5). Она, при известных преобразованиях, не образует регулярной, вполне регулярной и т. д. [2], нормальной [3] систем уравнений, для которых доказано существование решения. В связи с этим может быть предложен следующий способ решения систем типа (2.5).

Значение aj неизвестного, следуя [3], может быть определено как предел отношения определителя Д^ к

определителю Дм, N^ га, конечной системы из N уравнений с N неизвестными, получаемой из бесконечной системы уравнений (2.5), в виде:

г j

щ — lim — j

Раскроем оба определителя, Д^ и Дм, по j-му столбцу в форме:

yN i Э(')ф(х°)

а, — lim WN=° i!,, 3xiN AN, (2.7) j N^i 2[N)=° j bijAN i , ( )

где An - алгебраическое дополнение соответствующих элементов определителей. Разделим числитель и

знаменатель (2.7) на максимальное алгебраическое дополнение из дополнений AN, в результате получим:

„N _ ia(iMx°)

aj _ lim (ГV* dN, (2.8) j yN)=° i, bij dN

где числа -1< dN < 1. Конечный предел отношения (2.8) существует, если

1 d(i)ff(x°) _,N

lim yN) Ф га, (2.9)

N^i (i):0 i! 3xi i V 7

HmyN)4 bij dN Ф 0. (2.10)

Ранее было принято, что функция ф(х) аналитическая в точке x0 < 5, следовательно, для ряда (2.9) можно записать:

--Tj-di < --Tl- |di 1 < «1y(i) = ^ =

J(i) = oT_^ di < (i)

a(i)^(x°)

3xi

Здесь M1 >

M1 у(=о" • y(n=01 ••• Z_ M1 exp (n), (2.11)

a(i)^(x°)

11 1х

! , И-" 1 < 1, и таким образом, условие (2.9) соблюдается.

В общем случае доказать, что соблюдается также условие (2.10), не удаётся. Тем не менее, если предположить, что определитель бесконечной системы уравнений (2.5) не равен нулю, то для j-го неизвестного в соотношении (2.8) можно показать, что предел знаменателя конечен при любом ] < га и только при ] = га будет равен га. В связи с этим решение системы уравнений (2.5) будет отлично от тривиального, т.е. когда все а^ = 0. Действительно, из условия аналитичности коэффициентов Fp (х) в уравнении (2.2) можно записать мажорантную величину для элемента Ьц и получить оценку

Ьц ^ < м2exp[Ym~-0 уШ^О" -"----Н^ + ^тт-к1

0 1! 11 1 2 т1=с т2 = 0 тп = с(]1-т1+т21 ! ()п-шп)! т2 = 0 тз=с

'2 т1=^ т2 = 0 тп = 0 (]1-т1 +т2) ! (]п-тп)! т2 = 0 ^тз=0

утп-1-11--I2- •••• -Ш:-] <га, (2.12)

тп (11-к1-----кп + т2)! (12-т2+т3)! (1п-тп)! '

где М2 > ^"^(х)^1"}^.

I 1 хп|

Таким образом, если определитель бесконечной системы уравнений (2.5) не равен нулю, то существует предел (2.8). Следовательно, значение каждого ^ -го неизвестного может быть найдено по методу редукции [2], который состоит в замене бесконечной системы уравнений (2.5) системой из N уравнений с N неизвестными.

Полученные выше соотношения (2.11) и (2.12) позволяют выполнить оценку погрешности для а^ -го неизвестного, вычисляемого из системы N уравнений с N неизвестными, т. е. для а^ из (2.8) имеем:

N Л(1)=° П Эх1 ^ + ^

а1 = -Л-,

^)=0|г Ьч d1N+Д2

где верхние пределы абсолютных погрешностей числителя

Д1= М1

ехр(п) - у -И_____Ш__УКп-к1Ут2

Д2= М2 {[ехр(п) ^Ш^- ^тп-=10^1Ьт-(--пт^+ехр(п) 2тп2:к1хтз=0-

11_ , 12! 1п! 1 ГуКп-1 ут1 утп-1 11!__Ъ!

утп -1 _Л__Ь! ••• )п! ] [уКп-1 ут1 • •• утп-1

тп = 0(]1-к1—-кп + т2)! (]2-т2+т3)! (]п-тп)^ |^т1 = 0^т2 = 0 ^тп = 0 (]1-т1 + т2)!(]2-т2+т3)!

)п! уы _1_ уы 1__, уКп-к1ут2 утп-1 _Ц_

(]п-тп)^11=0(11-]1 + т1-т2)! ^1п = 0 (1п-]п+тп)! ^т2 = ^тз = ^тп = 0(]1-к1--кп + т2)!

1п!

.уы_ _1__1____уы_ _1_]}

! 11:0 (11-11+к1+- + к,-т?)! (Ь-Ь+т-т)! 1п = 0 ОпЧп + тгОМУ

(1п-тп)! 11 0 (11-]1 + к1+-----+кп-т2)! (12-]2+т2-тз)! 1п 0 (1п-]п+тп)!-

где значение Кп смотри выше.

Рассмотрим вопрос о радиусе сходимости определения коэффициентов ряда (2.4). Выше была показана только ограниченность коэффициентов ^ < М ряда (2.4), а не зависимость коэффициентов ^ от j. Следовательно, с определенностью лишь можно сказать, что радиус сходимости этого ряда г < 1. Действительно,

Кх) , ........ , 1

= У а, (х - х0) = У - х?1 ••• (хп - хП>

1=0 )1+-+)п=0

го

1

(х _х0 ••• (х _ х0)1п = м-----

(х1 х1) (хп хп) М 1-(хп-хП),

¡л-1—[-¡„ = п 1 1 п п

)1+-+)п=0 если (х -х0) < 1 [4].

На этом завершим обобщенное изложение нового метода решения граничных задач [5[, в основу которого положена операция дифференцирования, а не интегрирования.

Литература

1. АлексидзеМ. А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М., 1978. 352с.

2. Канторович Л. В., Акимов Г. П. Функциональный анализ. М., 1984. 752с.

3. Каган В. Ф. Основания теории определителей. Одесса. 1922. 521с.

4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1966. 800с.

5. Дорогин А. Д., Александрова Н. В. Приближенный метод решения линейных граничных задач. -Обустройство нефтяных месторождений Западной Сибири. Тюмень, 1991. 262с.