CC BY
15
УДК 539.3
01.00.00 Физико-математические науки
К МЕТОДАМ ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗЛОМОВ В УСЛОВИЯХ ВИБРАЦИОННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
Колесников Максим Николаевич
канд. физ.-мат. наук,
РИНЦ SPIN-code: 4685-8832
Старший специалист по интеграции с внешними
системами
ЦК Hyperion, Кавказский филиал ПАО «МегаФон», г. Краснодар, Россия
kolesnikov@kubsu.ru
Телятников Илья Сергеевич
канд. физ.-мат. наук,
РИНЦ SPIN-code: 5501-1491
Scopus Author ID: 56440235900
Младший научный сотрудник лаборатории
прикладной математики и механики
ФГБУН Южный научный центр Российской
академии наук, г. Ростов-на Дону, Россия
ilux t@list.ru
Предложен подход к моделированию напряженно-деформированного состояния литосферных структур вблизи разломов посредством моделирования их пластинами Кирхгофа на трехмерном упругом основании. Описан эффективный метод решения задач для пластин с прямолинейными разломами, основанный на преобразовании дифференциального оператора, позволяющий провести анализ полученных решений для различных условий контакта в области разлома. Метод представлен на примере задачи о вибрации двух протяженных пластин на поверхности упругого слоя под действием сосредоточенной поверхностной нагрузки. Результаты численной реализации разработанного алгоритма дают возможность выявить влияние свойств подложки, характеристик пластин и характера их взаимодействия на границе на картину волнового процесса в исследуемой структуре. При этом получаемые конфигурации прохождения гармонического сигнала через разлом могут служить индикатором его типа. Предложенный подход целесообразно использовать для диагностики наличия и определения типа разлома на основе данных измерений сигналов от виброисточников в тех случаях, когда геофизическая среда может быть смоделирована описанной структурой. Проблемы изучения рассмотренных в работе объектов возникают в различных областях техники, для их решения также применим предложенный метод
Ключевые слова: РАЗЛОМ, СОСТАВНОЕ
UDC 539.3
Physical and mathematical scienses
TO THE RESEARCH METHODS OF FAULTS UNDER THE VIBRATION IMPACTS
Kolesnikov Maksim Nikolaevich
Cand.Phys. -Math. Sci.
RSCI SPIN-code: 4685-8832
Senior specialist of integration with external systems
Hyperion CC of Caucasian branch of PJSC
MegaFon, Krasnodar, Russia
kolesnikov@kubsu.ru
Telyatnikov Ilya Sergeevich Cand.Phys.-Math.Sci. RSCI SPIN-code: 5501-1491 Scopus Author ID: 56440235900 Junior researcher, Laboratory of Applied Mathematics and Mechanics
Southern Scientific Centre of the Russian Academy of
Sciences, Rostov-on-Don, Russia
ilux_t@list.ru
We propose an approach to the modeling of stressstrain state of lithospheric structures near faults by modeling them as Kirchhoff plates on three-dimensional elastic foundation. We describe an efficient method of solving problems for plates with rectilinear fractures, based on the transformation of the differential operator, which allows us to analyze the solutions obtained for different contact conditions in the area of the fracture. The method is presented on the example of the vibration problem of two elongated plates on the surface of the elastic layer under the effect of concentrated surface load. The results of numerical implementation of the developed algorithm make it possible to identify the influence of the substrate properties, characteristics of the plates and the nature of their border interactions on the picture of wave process in the test structure. At the same time obtained configurations of the harmonic signal passage through the fracture can serve as an indicator of its type. The proposed approach should be used to determine the presence and type of fractures based on measurements of signals from vibration sources in cases when geophysical environment can be modeled by the previously described structure. The problems of studying objects we reviewed in this paper also occur in various areas of technology, and, therefore we can apply the proposed method for their solution
Keywords: FAULT, COMPOSITE COATING,
ПОКРЫТИЕ, УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ, ELASTIC FOUNDATION, VIBRATION,
ВИБРАЦИЯ, ФАКТОРИЗАЦИОННЫЕ FACTORIZATION METHODS
МЕТОДЫ
Doi: 10.21515/1990-4665-121-033
Создание теоретической базы и способов обработки данных мониторинга, обеспечивающих прогноз техногенных и сейсмических катастроф, является фундаментальной проблемой современной геофизики и сейсмологии. В ходе многочисленных исследований были предложены различные модели сейсмичности, созданы экспериментальные и теоретические методы, направленные на решение проблемы предсказания землетрясений. Однако и в настоящее время данная проблема остается нерешенной. И этот факт не только указывает на чрезвычайную сложность исследований сейсмических процессов, но свидетельствует о необходимости использования комплексных подходов, опирающихся на методы геофизики, геохимии, механики деформируемого твердого тела.
В Южном научном центре РАН и Кубанском госуниверситете для оценки напряженно-деформированного состояния литосферных структур активно развивается использование моделей механики деформируемого твердого тела [1-3]. Литосферные плиты с позиций механики деформируемого твердого тела можно моделировать протяженными трехмерными блочно-слоистыми структурами, подверженными воздействиям различной природы.
Основу механической концепции сейсмической оценки территории составляет определение областей концентрации напряжений в литосферных структурах. Последние указывают на местоположение возможных землетрясений. В качестве примера рассмотрим граничную задачу для разноразмерной блочной структуры - пластины на поверхности деформируемой трехмерной подожки. Предположим, что пластина состоит из отдельных фрагментов, контактирующих между собой и возможно содержащих дефекты типа трещин. Подобная структура, включающая горизонтально ориентированные блоки - пластины Кирхгофа с разломами
произвольной геометрии на упругом основании, может служить моделью литосферной плиты.
Рассмотрим составную пластину как двумерное многообразие с краем, обозначив занятую пластиной область через &. Зададим разбиение пластины на однородные с постоянными свойствами блоки так, что пересекающие их разломы, если таковые есть, также служат
в
блокообразующими границами. Получим систему областей & = ^ &у, где
у =1
В - число блоков разбиения. При этом для разных участков у границ
у = и ]к, у = 1, В, могут быть заданы различные стыковочные
(к)
условия: жесткое сцепление соседних блоков, свободное смещение, контакт с трением и т.п. Далее использованы обозначения, принятые в теории пластин [4, 5]. Обозначим через и1, и2 - перемещения точек срединной поверхности пластин в касательной плоскости, и3 - по нормали к ней, и = {и1, и2, и3}.
В скалярном случае вертикальных колебаний для установившегося с частотой с режима дифференциальные уравнения движения плоского покрытия имеют вид [4]
Яу (Эх1, Эх2 )изу (х1, Х2 ) - ^5 у &3у (х1, Х2 ) = -^5 /з у ^ Х2 ), У = 1 В . (1)
г Э4 Э4 Э4 Л
Здесь Яу = е3 у
Эх4 Эх2Эх22 Эх2 у
е4 у; g3 у (х1, х2) - вертикальная
компонента амплитуды контактного напряжения, действующего на нижнюю
к со2р1 (1 П) 1 -п2
границу пластины в области &,; е3 у = —, е4 у =-у-—, е5 у =--; к,
гу у 3у 4у Еу 5 у Еуку у
- толщина, р - плотность, уу - коэффициент Пуассона, Еу - модуль Юнга у-й пластины.
В качестве деформируемой подложки может рассматриваться однородный слой или пакет слоев, однородное или слоистое полупространство и т.д. Для указанных вариантов основания можно построить интегральные соотношения между амплитудами перемещений и3 и напряжений g3 на поверхности подложки вида
и3 (х1, х,) = —^т Г ГК33 (а1, а2 )03 (а, а2 )ехр(- ¡(а1х1 + а2х2 ))ёа1ёа2 (2) 4р ^
где К33 (а1,а2)° К33 (а1,а2.0) - функция комплексных переменных, примеры которой для различных типов среды представлены в [6, 7]; К33 (а, а2) = о(а-) при а ® 0, а2 = а12 + а22; G3 = У2g3; У2 - двумерный оператор преобразования Фурье. Положение контуров а1, а2 определяется принципом предельного поглощения [6].
После применения к (1) интегрального преобразования Фурье по переменным х1 , х2 уравнение для каждой части пластины принимает вид
Я(- а ,-а2 )и3 . ° ^ . (а )2 -^4У ^3 у = \Су +е5 у ^2 (gз у + ^3 у ).
эп у
Здесь у = 1, В, и3, (а1, а2) = У2 (а1, а2 )и3 (х1, х2), со - внешняя форма
следующего вида [7, 8]:
с = е, ехрЩа/х/ + а2ух2)) -
У
'3 у
э и
2 2
3 у3 - а
э2
и
3 у
э(х2 )3 2 э(х2 )
(а2 )2 Эи3'
эх2
+ ¡{а]2 )3 и3у + 2
Э 3и
3
2
Э и3,
2а2 ^^^
Э(х/ )2 Эх 2 Э(х/)
dx/ +
у
+
Э 3и
3 у Э 2и3 у
3у -ау —3у
Эи
+а)
и
3
dxJ2
,Э(х/)3 1 Э(х/)2 * Для прямолинейной части границы блока ЭПук внешняя форма примет вид в локальной системе координат
ст, а
1 "2
о,, = -е, ех
3 ]
1{а?х1к +а*х2])) (<МД - ОЬ -
-((а] )2 + к, (а/' )2 ^+¡а] ((а] )2 + (2-к, а)
где
О
Ь,
Эх]к
Г ЭИ]к +(2)_ ЭЧ]
3 ]к
&хх
V Э(х] )3
э(х/' )2 Эх2'
м
]к
-Ь,
( ^2 Э и
Э 2и
л
и мз]к +у
э(х/' )2 ] Э^к )2 ,
- изгибающий момент, Ь.
поперечная сила,
е М,
'5]
жесткость занимающей область пластины. Криволинейные участки
межблочных границ могут быть аппроксимированы ломаными.
Рассмотрим случай, когда покрытие представляет собой систему двух
протяженных пластин, граничащих вдоль прямой. Пусть система координат
выбрана так, что ось Ох3 представляет нормаль к поверхности покрытия, а ось
Ох2 направлена вдоль линии раздела пластин. Обозначим правую
полуплоскость плоскости х3 = 0 через & = {(х1, х2): - ¥ < х2 < +¥, х1 > 0 }, а
левую - &2 ={(х1,х2):-¥< х2 <+¥,х1 < 0 }. Пусть система находится под
воздействием сосредоточенной гармонической поверхностной нагрузки
Л^(х1 -х^,х2 -х0)ехр(-¡ой), Л=сопб1;, х^,х2 > 0. Общий
вид граничных
условий на стыке пластин может быть записан в следующей формулировке [10]:
Ь1 (Эх1, Эх2 )из (х1, х2 ^ х =0+0 + L 2 (Эх1, Эх2 )и3 (х1, х2 ^ х =0-0 = $ (х2 ),
(3)
¥ < х2 < ¥ ,
при этом характер взаимодействия пластин определяет вектор-функцию $(х2) и вид дифференциальных операторов Ь (Эх 1, Эх 2), 7=1,2.
Из системы уравнений, описывающих колебания пластин (1), соотношений для упругого основания (2) и условия идеального контакта пластин с подложкой вытекает следующая система интегро-дифференциальных уравнений:
Я1 (Эх1, Эх2)
ж
4Р
Г Г к33 (а1, а2 )03 (а1, а2) ехр(- г(а1 х1 + а2х2 ))dа1dа2 -
а1
е5 1^3 у (х1, х2 ) = Ьу (X1, х2 ), (X1, х2 ) 6 П у ,у=1,2,
(4)
где Ьу (х1, х2 ) = -е5 ^ . (х1, х2).
Нормализация операторов системы (4) производится путем выноса из нее дифференциального оператора вида N (Эх1, Эх2 )=(Д- /12 )(Д- /2), где
Д = -^—т + -^—т, постоянные /2 > /1 > 0. Для этого применим к соотношениям
Эх1 Эх1
(4) и оператору N(Эх1, Эх2) преобразование Фурье У12 по переменной х2, в результате придем к системе
I Л
-1 К33 (а1, а2 )03 (а1, а2)ехр(- г а1 х1 )da1 - е5 Д3у (х1, а2) =
Яу (Эх1,-га2)
2р
Ь (х1,а2); х1 > 0 дляу=1, х1 < 0 дляу=2,
где Яу (Эх1 ,-га2) ° У12 Яу (Эх1, Эх2) = е3 у
( "И
Э4 ~ 2 Э2 4 — - +
Эх1 Эх1
е4 у ;
У
gз у (х1,а2 )= У1,2 (х1,а2 )gз у (X1, х2 ) ; Ьу (х1,а2 )= У1,2 (х1,а2 )Ьу (xl, х2 ) .
При этом N (Эх1 ,-г а2) = У12 N (Эх1, Эх2)
2
Э2
а2 -/2
Эх2
Э2
а2 - /2
Эх1
2 2 "2
(5)
Применим оператор N_1 (Эх1,-га2) к соотношениям (5), отбрасывая составляющие, неограниченно возрастающие при х1 (для у=1) и
х1 ® -¥ (для у=2), получим
N 1 (Эх1,-га2):
Я1 (Эх1,-га2)
х 2р
Г К33 (а1, а2 )G3 (а1, а2 )ехр(- г а1х1 )da1
а
2
- е5 у N- (Эх1 ,-га2 ^3 у (х1, а2 ) = Ь0 (X1, а2 ) + X Сук (а2 К (х1, а2 ),
к=1
х1 > 0 для у=1, х1 < 0 для у=2.
В системе (6) правые части в соответствующих полуплоскостях убывают на бесконечности и представляют собой общие решения обыкновенных дифференциальных уравнений
N- (Эх)Ь; (х ,а2) = Ь] 0 (х, а) + ^ С ]к (а )Ь]к (х ,а2),
к=1
ьп (х1, а) = ехр (+ х1^/,2 + а22), Ь] 2 (х1, а2) = ехр (+ Хл//22 + а22). Здесь и далее значению ]=1 соответствует верхний знак в этажных символах « ± », ]=2- нижний.
Для нахождения интегральных характеристик напряжений на границе покрытия и подложки правые части (6) следует продолжить на всю плоскость неизвестными функциями 8] (х1,а2), после чего применить
к ним преобразование Фурье по переменной х1. В итоге придем к системе
функциональных уравнений следующего вида:
2
М] (а1,а2 )03 (а1,а2 )= В]0 (а1,а2 )+ ^ С]к (а2 )В]к (а1,а2 )+ 5 (а1,а2 ) , (7)
к=1
M j (a1, a2) = N 1 (- i a1 ,-i a2 (- i a1,-i a2 )K33 (a1 ,a2 )-e5j ]; N (- ia1 ,-ia2) ° V1,1 N (3x1 ,-ia2) = (a2 +112 )(a2 +l22);
Rj (- ia1 ,-ia2) ° V11Rj (3x1 ,-ia2) = -e3 a4 + e4j,
j 1' -3 j™ ' 4 j
I Xi , O^o
) = ± J b,.t i Xi, a^ exp i ax
0
+ ¥
s (x ,a ) = + J s,. (x ,a )exp(iax
0
Из (7) следуют соотношения для Фурье-образов напряжений
( 2 Л
±¥
Bjk («1,a2) ° Vb(Xa) = ± Jbjk (x,a2 )exp(iax )dx , j=1,2, k = 0,2;
0
+ ¥
Sj (a1, a2) ° V11sj (x1, a2) = + J sj (x1, a2) exp(i a1 x1 )dx1.
G3 = M -1
Bj 0 (x1, a2 ) + ^ Cjk (a2 )Bjk (x1, a2 ) + Sj
V k=1 J
J=1,2. (8)
При этом В}к (а1,а2), к = 0,2 - функции, регулярные в верхней комплексной полуплоскости а1 для J=1 как Фурье-образы функций с носителем на положительной полуоси и в нижней комплексной полуплоскости а1 для J=2 как Фурье-образы функций с носителем на отрицательной полуоси. А функция SJ (а1,а2) - наоборот, регулярна в
нижней (дляу=1) и верхней (для j=2 ) полуплоскости.
Исключив из (8) преобразования Фурье неизвестных напряжений G3 (а1,а2), получим систему функциональных уравнений относительно функций SJ■ (а1,а2), решаемую методом Винера-Хопфа [11],
2 Л
В10 + X С1к а )В1к + ^ = М В20 + X С2к (а2 )В2к + &
к=1
2
V к=1 У
(9)
М = М1 (а1,а2 )М21 (а1,а2), М(а1,а2) ~ £у + о(а 3), .
/ е32
Внеся найденные выражение (а1,а2) в соотношения (8), получим
выражения для Фурье-образов напряжений на поверхности упругого основания.
Интегральные соотношений (2), связывающие перемещения и напряжения на поверхности подложки, в образах Фурье примут вид
из (а1,а2 ) = К33 (а1,а2 )G3 (а1,а2), (10)
где и3 (а1,а2 ) = У2 (а1,а2 )и3 (х1, х2).
Соотношения (10) и (8) позволяют получить выражение интегральных характеристик перемещений на поверхности упругого
основания, в результате в представления
22
и3 (а1,а2 ) = и 0 (а1,а2 )+ XX CJk (а2 UJk (а1,а2 ) , (11)
J=1 к=1
где и0 и и к (/,к=1,2) зависят от данных задачи и параметров а1, а2 линейно входят четыре неизвестные функции С^ (а2), которые
необходимо определить из условий в области контакта пластин. Для этого применим к выражению (11) для интегральных характеристик перемещений обратное преобразование Фурье по a1, а к граничным условиям (3) - прямое
преобразование Фурье по переменной x2. Подставив
2 2
u3 (x1,a2 )= U0 (X1,a2 ) + XX Ck (a2 (X1,a2 ) ,
j=1 k=1
где u3 (x1 ,a2) = V-1 (x1, a2 )U3 (a1 ,a2); u0 (x1, a2) = V— (x1, a2 )U0 (a1 ,a2);
U]k (x1, a2 ) = V- (x1, «2 )U]k (a1, «2 ), j,k=1,2, в преобразованные условия (3)
L1 (^x1,~la2 )U3 (x1,a2 } x =0+0 + L 2 (3x1,-Z'a2 )U3 (x1,a2 } x =0_0 = F(a2 ) , где L (3x1,-ia2 ) = V12L (3x1,3x2); j=1,2; F(a2 ) = V(a2 )f (x2). Получим
следующую линейную алгебраическую систему относительно неизвестных C]k (a2), j,k=1,2:
22
X X C]k (a2 )L1 (3x1,-i a2 )u]k (x1, a2 Ix =0+0 + L2 (5x1 ,-ia2 )u]k (x1, a2 )\x =0+
j =1 k=1
= Fa) - L1 (3x1 ,-i «2 )u (x1, a2) x =0+0 - L2 (Э^ ,-l «2 К (x, «2)),
1х2=0+0 2 4 ^ 2) 0Ч ^ 2/\ х1=0-0
В результате ее решения подставим С]к (а2) в выражение для и3 (х2, а2).
Оригиналы амплитуд перемещений поверхности системы находятся с помощью применения к полученному выражению й3 (х2,а2) обратного преобразования Фурье по параметру а2
и3(х2,х2) = У2-22и3(х1,а2), х2 Ф 0, -¥< х2 <¥.
Предложенный подход позволяет изучить влияние свойств пластин и основания, а также типа граничных условий в области контакта элементов покрытия на деформационные свойства системы и характер прохождения сигнала. На рисунках 2,2 приведены графики комплексных амплитуд перемещений поверхности пластин на упругом основании в случае, когда
свойства системы в направлении оси Ох2 неизменны, для безразмерной
частоты а = 2. Задаваемая безразмерная частота определялась по формуле
-2 2 2 -1 ~
( = р( а т , где т - модуль сдвига, а р1 - плотность управой пластины,
а - характерный линейный размер. Сосредоточенная вертикальная нагрузка задана в точке х0 = 5, п1 = п2 = 0,125, п = 0,25, /и = 1,58, р1 = р2 =р = 1. На графиках по оси ординат отложена величина амплитуды вертикального смещения и3 (вещественной части комплексных амплитуд соответствует
сплошная линия, мнимой - пунктирная), по оси абсцисс - координата х1.
Рисунок 1 - Комплексные амплитуды колебаний при равенстве нулю изгибающих моментов и условии «вязкого контакта» на стыке пластин На рисунке 1 приведены графики амплитуд смещений поверхности слоя с составным покрытием при условии, называемом «вязким контактом»
Х1=0 '
а Э 3и32
2 3
Эх1
= 1ка{и31 (х1)- и32 (х1 Д Х1=0, к = 0,5,
Х1=0
(действующая на край пластины поперечная сила пропорциональна разности скоростей краев), и равенстве нулю изгибающих моментов
2и
а
Э 2~
'3 ]
] Эх2
= 0 (/=1,2) на стыке пластин покрытия. Расчеты проведены для
х1=0
трех соотношений жесткостей пластин; иу = 0,2 (а), иу = 1 (б), иу = 5
/ и2 / и2 / и2
(в).
Рисунок 2 - Комплексные амплитуды колебаний при условиях равенства нулю изгибающих моментов, непрерывности смещений и поперечных сил
в области контакта пластин Рисунок 2 иллюстрирует прохождение сигнала через разлом при
2и
условиях равенства нулю изгибающих моментов а
Э2
3 ]
] Эх2
0
х1 =0
непрерывности смещении u31 r = u32 x и поперечных сил
А
Э u
3
и
31
31 x1=0 321 x1=0
3
= D
Э~ u
32
23
x1=0
Эх3
на стыке пластин.
x1=0
Результаты позволяют выявить характер распространения гармонического сигнала в моделируемой структуре для однотипных и разнотипных пластин покрытия для разных условий контакта и свойств упругой подложки и определить конфигурации его прохождения непосредственно на разломе. Последние могут использоваться как своего рода индикатор типа разлома.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 26-31-00067 мол_а).
Литература
1. Бабешко, В.А. К теории блочного элемента / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // ДАН. - 2009. - Т. 427, № 2. - С. 183-187.
2. Бабешко, В.А. Об автоморфизме и псевдодифференциальных уравнениях в методе блочного элемента / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко // ДАН. -2011.- Т. 438, № 5. - С. 623-625.
3. Бабешко, В. А. Блочные элементы в теории плит сложной формы / В. А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // Изв. РАН. МТТ. - 2012. - №5. - С. 92-97.
4. Бабешко, В.А. К проблеме исследования материалов с покрытиями / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // ДАН. - 2006. - Т. 410, №1. - С. 49-52.
5. Вольмир, А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир. -М.: Наука, 1972. - 432 с.
6. Ворович, И. И. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей / И.И. Ворович, В. А. Бабешко - М.: Наука, 1979. - 320 с.
7. Ворович, И. И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. - М.: Наука, 1974. - 456 с.
8. О поведении и резонансах некоторых блочных структур сейсмологии и материаловедения / В.А. Бабешко [и др.] // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2013. - № 1. - С. 6-12.
9. Block element method for body, localizations and resonances / V.A. Babeshko [and etc.] // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2014. - № 2. - С. 13-19.
10. Гольденвейзер, А.Л. Теория упругих тонких оболочек / А. Л. Гольденвейзер. -М.: Наука, 1976. - 512 с.
11. Нобл, Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных / Б. Нобл. - М.: ИИЛ - 1962. - 280 с.
References
1. Babeshko, V.A. K teorii blochnogo jelementa [To block element theory] / V.A. Babeshko, O.M. Babeshko, O.V. Evdokimova // Reports of Academy of Sciences. - 2009.-V. 427, № 2. - pp. 183-187. (In Russian)
2. Babeshko, V.A. Ob avtomorfizme i psevdodifferencial'nyh uravnenijah v metode blochnogo jelementa [About the automorphisms and pseudo-differential equations in the method of a block element] / V.A. Babeshko, O.V. Evdokimova, O.M.Babeshko // Reports of Academy of Sciences. - 2011.- V. 438, № 5. - pp. 623-625. (In Russian)
3. Babeshko, V.A. Blochnye element v teorii plit slozhnoi formy [Block elements in the theory of plates of complicated shape] / V.A. Babeshko, O.M. Babeshko, O.V. Evdokimova // Mechanics of Solids. - 2012. - № 5. - Q 92-97. (In Russian)
4. Babeshko, V.A. K probleme issledovanija materialov s pokrytijami [On the problem of the study of materials with coverings] / V.A. Babeshko, O.M. Babeshko, O.V. Evdokimova // Reports of Academy of Sciences. - 2006. - V. 410, №1. - pp. 49-52. (In Russian)
5. Volmir, A.S. Nelineinaya dinamika plastinok i obolochek [Nonlinear dynamics of plates and shells] / A.S. Volmir. - M.: Science, 1972. - 432 p. (In Russian)
6. Vorovich, I.I. Neklassicheskie smeshannye zadachi teorii uprugosti [Non-classical mixed problem of elasticity theory] / I.I. Vorovich, V.M. Aleksandrov, V.A. Babeshko. - М.: Science, 1974. -455 p. (In Russian)
7. Vorovich, I.I. Dinamicheskie smeshannye zadachi teorii uprugosti dlya kh oblastei [Dynamic mixed problem of elasticity theory for nonclassical domains] / I.I. Vorovich, V.A. Babeshko. - M.: Science, 1979. - 319 p. (In Russian)
8. O povedenii i rezonansah nekotoryh blochnyh struktur sejsmologii i material ovedenija [Behavior and resonances of some block structures of seismology and material sciences] / V.A. Babeshko [and etc.] // Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation. - 2013. - № 1. - pp. 6-12. (In Russian)
9. Block element method for body, localizations and resonances / V.A. Babeshko [and etc.] // Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation. - 2014. - № 2. - pp. 13-19.
10. Goldenveizer, A.L. Teoriya uprugikh tonkikh obolochek [Theory of elastic thin shells] / A.L. Goldenveizer. - M.: Science, 1976. - 512 p. (In Russian)
11. Nobl, B. Primenenie metoda Vinera-Hopfa dlja reshenija differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh [Methods based on the Viener - Hopf technicue for the solution of partial differention equetions ] / B. Nobl. - M.: FLP - 1962. - 280 p. (In Russian)
