CC BY
62
УДК 621.86.063
И. В. Михайлов Астраханский государственный технический университет
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ГРЕЙФЕРА
Для того чтобы рассчитать на прочность какой-нибудь элемент грейфера (например, челюсть или тягу), можно поступить следующим образом:
1. Проанализировать движение грейфера как механизма с абсолютно жёсткими звеньями. В результате этого будут определены все силы инерции и моменты сил инерции в любой момент процесса зачерпывания.
2. Выполнить силовой расчёт грейферного механизма, в результате чего будут определены реакции во всех кинематических парах.
3. Рассмотреть элемент грейфера отдельно от всех остальных звеньев под действием внешних сил, сил инерции и определённых на предыдущем шаге реакций, чтобы в дальнейшем определить напряжённое состояние рассматриваемого элемента. Здесь при использовании метода конечных элементов элемент грейфера (челюсть) придётся закрепить геометрически неизменяемым образом для того, чтобы его матрица жёсткости была неособенной [1].
Таким образом, анализ движения грейфера является важнейшим этапом его расчёта.
Рассмотрим движение штангового грейфера (рис. 1), когда он опущен на зачерпываемый материал и происходит смыкание челюстей за счёт работы замыкающей лебёдки. Считаем, что сопротивления на челюстях будут одинаковыми.
Рис. 1. Штанговый грейфер
Предположим, что:
1) верхняя и нижняя траверсы грейфера двигаются вертикально, вдоль неподвижной оси Оу0 (рис. 2);
2) точки 2 челюстей грейфера всё время находятся в контакте с наперёд заданной кривой зачерпывания PQ [2];
3) все звенья грейфера совершают плоское движение в вертикальной плоскости (в так называемой плоскости зачерпывания [2]).
фЛ
| У]
1/2
Рис. 2. Механизм, моделирующий движение грейфера
Рассмотрим механизм, состоящий из челюсти массой т1, верхней траверсы массой т3/2 и тяги массой 2-т2 (рис. 2). По движению этого механизма будем судить о движении элементов грейфера.
Будем рассматривать движение этого механизма как набора несвободных твёрдых тел [3], считая, что для каждого из звеньев известны ко-
ординаты центра тяжести, масса т, и центральный момент инерции Считаем, что для каждого тела задан также набор точек (будем называть их контактными), в которых это тело контактирует с любыми другими телами тем или иным способом.
Для каждого звена (рис. 2) введём связанную (с ним) систему отсчёта х, у,, начало которой совместим с центром тяжести. Тогда положение связанных осей относительно неподвижной системы отсчёта х0, у0 будет задаваться набором хю, ую, фю. В связанной системе отсчёта контактные точки удобно задавать полярными координатами г,у, фу, где индекс / соответствует номеру тела (/ = 1, 2, ..., п), у - номеру контактной точки (у = 1, 2, ..., т).
Каждое звено может быть рассмотрено как свободное тело, находящееся под действием внешних сил (и моментов) и реакций связей [4, 5].
Введём обозначения:
- ф10 - угол поворота подвижной системы отсчёта С1х1у1 (ПСО1), связанной с челюстью 1, относительно неподвижной Ох0у0;
- (г11, ф11) - полярные координаты точки 1 в ПСО1;
- (г12, ф12) - полярные координаты точки 2 в ПСО1;
- (г13, ф13) - полярные координаты точки 3 в ПСО1;
- (х10, у10) - координаты центра тяжести С1 челюсти 1 в неподвижной системе отсчёта Ох0у0;
- Е{0, ^0 - проекции главного вектора внешних сил, действующих на челюсть, на оси Ох0 и Оу0 соответственно; М10 - главный момент внешних сил, приложенных к челюсти;
- ф20 - угол поворота подвижной системы отсчёта С2ху (ПСО2), связанной с тягой 2, относительно неподвижной Ох0у0;
- (г23, ф23) - полярные координаты точки 3 в ПСО2;
- (г24, ф24) - полярные координаты точки 4 в ПСО2;
- (х20, у20) - координаты центра тяжести С2 тяги в неподвижной системе отсчёта Ох0у0;
- Р2о, ^20 - проекции главного вектора внешних сил, действующих
на тягу, на оси Ох0 и Оу0 соответственно; М20 - главный момент внешних сил, приложенных к тяге;
- ф30 - угол поворота подвижной системы отсчёта С3х3у3 (ПСО3), связанной с верхней траверсой, относительно неподвижной Ох0у0;
- (г34, ф34) - полярные координаты точки 4 в ПСО3;
- (х30, у30) - координаты центра тяжести С3 верхней траверсы в неподвижной системе отсчёта Ох0у0;
- ^30 - проекция главного вектора внешних сил, действующих на верхнюю траверсу, на ось Оу0.
Точка 1 двигается строго вдоль оси Оу0. Это накладывает следующее ограничение на движение этой точки:
х10 + г11 • С08(фю +Ф11 ) = 0. (1)
Пусть
у = л(х) = -є + A ■ (х + d )2
[2], где A =
^ = -є - L < x < 0. 2
є — Ь
- уравнение кривой зачерпывания PQ
Ь - первоначальное заглубление грейфера,
а (^, -е) - координаты точки с наибольшим заглублением H в системе координат х0Оу0 (рис. 2); L - величина раскрытия челюстей.
Точка 2 челюсти скользит вдоль кривой зачерпывания, поэтому
Ую + г12 • ^(Ф10 +Ф12 ) = л[х10 + г12 • С°5(Ф10 + Ф12 )] . (2)
В точке 3 - цилиндрический шарнир; эта точка - общая для челюсти и тяги. Это условие даёт два уравнения связи:
Гхю + /13 ■ С08(фю + Ф13 ) = х20 + г23 ■ СО8(ф20 + Ф23 ), 1У10 + Г13 ■ віп(фі0 + Ф13 ) = У20 + г23 ■ 8ІП(Ф20 + Ф23 )
Точка 4 - общая для тяги и верхней траверсы:
1 х20 + г24 ■ С°§(Ф20 + Ф24 )= х30 + г34 ■ С°Э(Ф30 + Ф34 ), 1У20 + г24 ■ ®Іп(Ф20 + Ф24 ) = У30 + г34 ■ + Ф34 )•
(3)
(4)
Предполагаем, что точка С3 движется вдоль оси Оу0. В этом случае х30 = 0. Будем считать также, что верхняя траверса движется поступательно: ф30 = 0, поэтому
[х20 + г24 ■ с°8(Ф20 + Ф24 ) = г34 ■ С°Э(Ф34 ),
1 У20 + г24 ■ ®Іп(Ф20 + Ф24 ) = У30 + г34 ■ ).
Введём обозначения:
(5)
Ф1 = х10 + Г11 ■ С°§(Ф10 +Ф11),
Ф2 = У10 + г12 ■ Эт(Ф10 +Ф12 ) — Л [х10 + г12 ■ С°§(Ф10 +Ф12 )1
Ф 3 = х10 + Г13 ■ С°§(Ф10 + Ф13 ) — х20 — г23 ■ С0§(Ф20 + Ф23 \
Ф 4 = У10 + Г13 ■ ^п(Ф10 + Ф13 ) — У20 — г23 ■ 8Іп(Ф20 + Ф23 \
Ф 5 = х20 + г24 ■ С°§(Ф20 + Ф24 ) — г34 ■ С°Э(Ф34 \
Ф6 = У20 + г24 ■ эт(Ф20 + Ф24) — У30 — г34 ■ вш(Ф34 ).
(6)
Тогда уравнения связи (1), (2), (3) и (5) можно записать так:
Ф1 = 0, Ф 2 = 0, Ф 3 = 0, Ф 4 = 0, Ф 5 = 0, Ф 6 = 0. (7)
2
Матричное уравнение кинетостатического равновесия грейфера будет выглядеть так:
[М ]7х7 [Т ]7х6
[0]бх6
[Т ]т
6х7
(8)
где
[М ]7х7 _
ш1 0 0
0
0
0
0
0
0
ш1
0
0
0
0
0
0
А
0
0
0
0
0
0
0
2 • ш2 0 0
0
0
0
0
0
2 • ш 0
0
2
0
0
0
0
0
2 • А 2 0
0
0
0
0
0
0
ш
(9)
}7х1 _ [х10 у10 Фю Х20 У 20 ф20 0 3 У& (10)
{1}бх1 = Л1 12 13 14 15 16 17 ]Т (11)
{3}7х1 = м Х 10 р20 М 20 ру Т г30] ’ (12)
и}6х1 = [^ и 2 из и4 и5 и6 ]Т , (13)
" ЭФ1 ЭФ 2 ЭФ 3 ЭФ 4 ЭФ 5 ЭФ 6"
Эхю ЭФ1 Эх10 ЭФ 2 Эх10 ЭФ 3 Эх10 ЭФ 4 Эх10 ЭФ 5 Эх10 ЭФ 6
ЭФ1 ЭУю ЭФ2 ЭУю ЭФ3 ЭУю ЭФ 4 ЭУю ЭФ 5 ЭУю ЭФ 6
[Т ]7хб = ф10 ЭФ1 Эх20 ЭФ1 ЭЭ ЭЭ е.Х е 1 0 ЭЭ ЭЭ 0 2х 01 0 ЭЭ ЭЭ 0 ЭЭ ЭЭ 0 ЭЭ ЭЭ в^Х в1 0 . (14)
Эу20 ЭФ1 Эу20 ЭФ 2 Эу20 ЭФ 3 Эу20 ЭФ 4 Эу20 ЭФ 5 Эу20 ЭФ 6
Эф20 ЭФ1 Эф20 ЭФ 2 Эф20 ЭФ 3 Эф20 ЭФ 4 Эф 20 ЭФ 5 Эф 20 ЭФ 6
Эу30 Эу30 Эу30 Эу30 Эу30 Эу30
2
Учитывая нулевые значения коэффициентов при неопределённых множителях, запишем:
[т]7хб =
ЭФ1 ЭФ 2 ЭФ з 0 0
Э*10 Э*10 Э*10
0 ЭФ 2 ЭУю 0 ЭФ 4 ЭУю 0
ЭФ1 ЭФ 2 ЭФ з ЭФ 4 0
0 ё? Э Э-10 Э-10 Э-10
0 0 ЭФ з Э*20 0 ЭФ 5 Э*20
0 0 0 ЭФ 4 Эу20 0
0 0 ЭФ 3 ЭФ 4 ЭФ 5
Э-20 Э-20 Э-20
0 0 0 0 0
0
0
ЭФ б
Эу20 ЭФ б
20
Эф ЭФ б
ЭУ:
30
(15)
0
0
Каждый столбец матрицы [7] коэффициентов при неопределённых множителях соответствует своей функции связи. Ненулевые элементы первых двух столбцов матрицы (15) равны:
ЭФ1 1 ЭФ1 п ЭФ1 . ( ) ЭФ2
^ = 0, -1 = -/11 • ЯП- +Ф114, —- =1
Эхю Эу10 Эф10 Эу10
ЭФ2 =-2 • А -[*10 + Г12 • С08(—10 +-12 ) + d ], (16)
10
-10 + -12У+-Э^(и) • г12 • вШ- + -12) = г12 • С0—10 + -12) '
Э*10
= Г12 • С08(-10 +-12 ) + -Э^(^ • Г 2 • 81П(ф,0 +-12 ) = /12 • СО—,0 +-12 ) + Э-10 Эи
+ 2 • А • [*10 +/12 • С08-10 + -12 ) + d] /12 • 81п(-ю + -12 } Ненулевые элементы 3-го и 4-го столбцов матрицы (15):
Эф з Эф з . / \ Эф 3
з— =1 3------= -/13 • ®1п(-10 +-13Л т— = -1,
Э*10 Э-10 Э*20
ЭФ3 -(гп , гп \ ЭФ4 _1 ЭФ4
= г23 • 81п(-20 +-23 I ^ = Г13 • С08-10 +-13 ), (17)
- 20 Эу10 Э-10
ЭФ 4 , ЭФ 4 / \
3-------= -1, 3-------= -/23 • С0§(-20 +-23 У
Эу20 Э-20
Ненулевые элементы 5-го и б-го столбцов матрицы (15):
= 1, 24 ,,20 124„
Э-20
ЭФ,
= -1.
Эу20
ЭФ 5 1 ЭФ 5 ■ (
3-----= 1 3------= -/24 • ®1п(-20 + -24 ),
Э*20 Э-20
=1
ЭФ б ЭФ б / ч ЭФ б
-1 = г24 • С°8(-20 +-24 ),
(18)
Э-10
Эу30
Элементы вектора {и}бх1 равны:
и1 = Г11 • С08-10 + -11) • -10 ■
и2 = 2 • А • [*10 - г12 • ЭШ-10 + -12 ) • -10 ]2 + г12 • ®1п(-10 + -12 ) • фl20 - 2 • А • [*10 +г12 • С0-10 + -12 ) + d] г12 • С0-10 + -12 ) • ^.
из =- 4
Э-
10
•-10--
ЭФ
Л
Э-
20
•- 20 =
= г13 • С0э(-10 + -13 )• -10 Г23 • С08-20 + -23 )• -20.
ЭФ 4 Э-
10
• -10
ЭФ 4 Э-:
20
• -20
= г13 • 81п-10 + -13 ) • -10 Г23 • ®1п-20 + -23 ) • -20 .
(19)
(20)
(21)
(22)
и 5 =- 4
ЭФ 5 V Э-20 У
•-20 = г24 • М-20 +-24 )•ф2o.
(23)
и б =- 4
ЭФ б V Э-20 у
• -20 = Г24 • ®1п(-20 + -24 ) • -20.
Заметим, что
{и }бх1 = [7 16x7 • {Х }7х1,
(24)
(25)
где [т]7х6 - матрица, полученная дифференцированием всех элементов
матрицы (15) по времени.
Система (8) представляет собой систему из 13-ти обыкновенных дифференциальных уравнений с 13-ю неизвестными функциями времени. Задав начальные условия, можно проинтегрировать эту систему любым из подходящих численных методов [6]: линейного ускорения, центральных разностей, Хаболта, Ньюмарка и т. п. на любом отрезке времени.
Анализируя результаты настоящего исследования, можно отметить, что представленная математическая модель позволяет определять параметры движения звеньев механизма (в частности, грейферного) на любом отрезке времени. Основу методики составляет учёт ограничений (уравнений связи) с помощью неопределённых множителей Лагранжа. Матричный вид уравнений (8) позволяет формализовать процесс составления уравнений движения для ЭВМ, например, - на основе метода конечных элементов. Недостатком такого подхода, бесспорно, является объёмность решения задачи: для механизма с одной степенью свободы пришлось записать 13 дифференциальных уравнений. Но сегодня для ЭВМ это уже не является существенным ограничением.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 428 с.
2. Таубер Б. А. Грейферные механизмы. - М.: Машиностроение, 1967. - 430 с.
3. Расчёт и проектирование строительных и дорожных машин на ЭВМ / Под ред. Е. Ю. Малиновского. - М.: Машиностроение, 1980. - 216 с.
4. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. - М.: Наука, 1967. - 519 с.
5. Аппель П. Теоретическая механика: Т. 2. Динамика системы, аналитическая механика / Пер. с франц. - М.: Гос. изд. физ.-мат. лит-ры, 1960. - 487 с.
6. Бате К. Ю., Вилсон Э. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982.
Получено 17.01.06
MATHEMATICAL MODEL OF GRAB BUCKET MOTION
I. V. Mikhailov
Plane motion of grab bucket when scooping bulk cargo has been demonstrated using hypotheses about hardened excavation and parabolic shape of scooping curve. Differential equations for grab bucket motion have been made regarding equations of connection and Lagrange’s indefinite multipliers, grab bucket being considered as a mechanism with absolutely rigid segments. The structure of defining system for differential equations is reduced to matrix form useful for computation. There has been shown formalized nature of the method which helps both to automate the solution of the system of differential equations of motion and to automate making the system itself.
