CC BY
24
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 517+519
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ МАТРИЧНЫХ ФУНКЦИЙ
© 2010 г. Ф.А. Богашов, Ю.О. Крючкова, А.А. Туманов, Л.О. Шарова
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
fam@nntu.nnov.ru
Поступила в редакцию 14.10.2009
Представлена модель решения трехмерной температурной задачи Дирихле для шара на основе разработанной теории комплексных С -потенциалов.
Ключевые слова: пространство Я 2, задача Дирихле, температура, моделирование, решение, матрич-
/'"'2
ные С -потенциалы.
Наиболее эффективными из всех известных методов решения двумерных задач математической физики, в частности температурных, являются методы, основанные на теории аналитических функций одной комплексной переменной С '-потенциалов.
Для решения трехмерных задач до последнего времени такого аналога не существовало, так как не было самой основы - адекватной теории комплексных С 2-потенциалов [1-5].
1. Базис пространств й3,4 и С.
Изоморфизм Гамильтона - Кели
Для размерностей п > 3 Гамильтон показал [3], что закон построения базисных элементов оказывается недостаточным (неполнота представления). Возникает вопрос о классификации
03,4
пространств Я с целью определения в них необходимого для представительства количества ортогональных базисных элементов.
Определим г е Z + как ранг стратификации
Г)П
пространств Я , тогда для каждого из пространств с размерностью
п = 2^ + 1, 2г-1+2, 2г-1 - 1, 2Г
необходимое количество ортогональных элементов будет всегда одним и тем же и равным 2Г.
Для пространств Я3 и Я4 г = 2, следовательно, структура представлений элементов в них является общей и более логичным и контроли-
руемым будет описание по вырождению
п 4 т}3 п 2 п 3
Я ^ Я , чем по индукции Я ^ Я .
Базис пространства ^ по Гамильтону может быть представлен элементами [3]
{е,], к, 1} (1)
изоморфными по Кели комплексным матрицам Паули - Дирака [4]
0
к =
1 01 ' г
1, ] =
0 1) V 0
01 /
, 1
-1 0 V
0 -г
0 г г 0
(2)
(3)
с общей для (1), (2) алгеброй
ее = - ]] = -кк = -II = е, е] = ]е = к1 = -1к = ], ек = ке = ] = - ]1 = к, е1 = 1е = ]к = -к] = I.
Отметим, что операции умножения (3) ассоциативны, но не обладают свойствами коммутативности.
Представлениями переменной Гамильтона в базисах (1), (2) будут
X = Х^е + Х2 ] + Хзк + Х4/,
х-1 + гх
2
Х3 + гх.
- Х3 + гХ
4
Х - гХ
(4)
соответственно, где хт , т = 1,4 , - текущие декартовы координаты точки пространств Я4 и С2.
. Структура элементов (4) при изоморфизме
R
3,4
С
определяется единой схемой
пространство R
.3,4
s~i2
пространство C
Ґ \ Ai + iA2 A3 + iA4
v- A3 + iA4 A1 - iA2 j
Рис. 1
Пояснение к схеме
Прямой ход. Формирование матричных комплексных C -элементов (комплектация, компак-тирование): ш0 - комплексной const, ш - комплексного четырехмерного радиус-вектора, переменной Гамильтона, ф(ш, ш) - комплексной
C-функции, 2 —— дх
комплексного оператора-
градиента.
Обратный ход. Выделение Re х = xie и Im х = x^j + x3k + x4l в C2-элементах.
3. Условие аналитичность комплексных матричных С-функций в Б € С
Применение схемы и обобщённой на пространство C теоремы Коши [6-14]
<]ф(х, х^х = 0 , г
определяющей критерий аналитичности функций Ф(х, X) в области D и Г, приводит к записи условий аналитичности
в пространстве R3,
/'-,2
в пространстве С
условие (5) в C является обобщением одного условия Коши - Римана (С-Я), известного в С [5-8], на комплексно-матричное пространство С [6-14]. Условия (5) представляют собой результаты прямого и обратного ходов по схеме.
Физический смысл условий (5) заключается в том, что матричная функция Ф = (ф1, ф2, Ф3, Ф4) описывает соленоидальное поле в D, являясь потенциальной функцией - С2-потенциалом или гармонической функцией, так как Дф = 0 .
Отметим высокую степень компактирования одного условия аналитичности в комплексном пространстве С 2 (5) по сравнению с его эквивалентом в виде системы четырех условий в действительном пространстве R4 (5).
Общее б2-решение дифференциального
уравнения (5) содержит различные классы аналитических функций и значительно экономнее R4-решения системы четырех дифференциальных уравнений в частных производных (5) для покомпонентного нахождения аналитической С 2-функции Ф = (ф1, Ф2, Фз, Ф4 ).
4. Однородные аналитические полиномы в области Б € С
дф1 дф2 дФз дф4 _ = 0
дх1 дх2 дхз дх4
дФ2 + дФ1 дФ4 + дФз _ = 0
дх1 дх2 дх3 дх4
дФз + дФ4 + дФ1 дФ2 _ = 0
дх1 дх2 дх3 дх4
дф4 дФз + дФ2 + дФі = 0
дх1 дх2 дх3 дх4
«£ = О- (5)
дх
-j3,4 .
Простейшим классом аналитических функций в областях С1 пространства одной комплексной переменной 2 = х + 1у (см. вырождение условия (5) в условии Коши - Римана) является класс степенных функций
{ф(z, z)}={zp}, p
так как
дz = дz = о дZ дz
Система условий (5) в Я ’ известна как система Моисила - Теодореску [5] и обобщает условия Даламбера - Эйлера (Б-Б) для Я2. Одно
В комплексном пространстве С это не так, поскольку согласно схеме п. 2 и (5) дх / дх Ф 0, дх / дх Ф 0. Теперь роль простейших аналитических С2-функций играют однородные аналитические полиномы степени п
(
Pn (x, x) = ^apXn-pxp, ap = Reap , (6)
p=0
с конкретными коэффициентами ар.
Для наглядности рассмотрим построение одного из полиномов (6), а именно
P2(x, х) = a0x2 + ajXX + a2 х 2. (7)
Вычисляем поэлементно производные слагаемых полинома P)(x, X) (7) без учета const [8; 10-12]
д , 2Л 1 , 2 —(x ) = --(x + х)>^(xx) = -X дх 3 дх 3
д^(X 2) = 1(x + 5x) дх 3
из которых составляем условие (5) аналитичности однородного полинома (7)
дP
____2а
—2 = 0: —0(ж + ж) +--1 ж +—(ж + 5ж) = 0
дж
3
3
3
Р4 (•) = 63х4 + 28х3х + 18х2х2 +
__3 __з
+ 12хх + 7х и т.д.
Полиномы (8) используются для представления произвольной аналитической функции ф(х, х) в виде правильной части обобщенного разложения Лорана [7-13]
,2^2
Ф(ж ж) = £anPn(ж, ж),
n=0
an = Re an.
ж=
x1 + lx2
x3
t=
x3 x1 - ix2 у
Г t1 + lt2 t3 4
-13
2 У
соответственно. Обозначим Т(х, х) и Т(?,?) температуры в любой точке внутри шара и в любой точке его поверхности (контура Г) соответственно.
Требуется решить задачу Дирихле:
Г AT (ж, х) = 0, T| Г = T (t, t) = f (t, t) І!
(10)
| х |< 1, х е Д |1|= 1, t е Г,
где /(^)- заданная на поверхности (пространственном контуре) функция.
Общим решением трехмерного гармонического уравнения (10) (см. [10,11]) в комплекс/-3
ном пространстве С является
Отсюда получаем алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов ар, окончательно формирующих однородный аналитический полином (7)
Р2(х, х) = 5х 2 + 2хх + х 2.
В работах [8-12] приведено построение однородных аналитических полиномов произвольной степени п:
ЗД = х0, Р1(0 = 3х + Х
Р20 = 5х2 + 2хх + х2,
Р3(0 = 35х3 + 15х2 х + 9хх2 + 5х3, (8)
T (ж, ж) = ф(ж, ж) + ф(ж, ж) = = 2 Re ф(ж, х),
(11)
где ф(х,х) - произвольная аналитическая
функция (С -потенциал), что обобщает двумерный аналог формулы Гаусса для пространства С1.
Ограничим поиск решения (10) выбором Уф(х,х) в виде отрезка ряда (9) по однородным аналитическим полиномам (п. 4):
ф (ж, ж) = a 0 P0 (ж0, ж0) + a 1P1 (ж, ж) +
(12)
(13)
(9)
5. Приложение теории С-потенциалов к решению температурной задачи Дирихле для шара Б единичного радиуса
Воспользуемся изложенными в п.п. 1-4 результатами.
Пусть ш и ї - комплексные радиус-векторы (4) любой точки внутри шара и его поверхности (контура Г)
+ a 2 P>(x, ж), тогда const an будут искомыми, а общее решение (11) для ограничения (12) с учетом набора Pn (8) запишется
T (ж, ж) = a0(x0 + ж0) + 4a1(x + ж) +
+ 2a2(3x2 + 2жж + 3 ж2 ).
Зададим температурный режим на поверхности шара D T| г = f (t, t). Пусть
f (t, t) = 1 +11 + 2t2, Г : tj2 +12 = 1, t3 = 0,(14) то есть с поверхностного температурного шва Г идет прогревание тела шара D.
Выведем общее решение (13) на поверхность шара jtj = 1. Тогда задача Дирихле (10) редуцируется в граничную задачу теории С -функций 2Rep(t,t) = f (t,t), (15)
которая с учетом (11)-(15) носит алгебраический характер
22 2a0 + 16a2 + 8a1?1 — 24a2?2 = 1 + ?1 + 2^ .
Отсюда следует, что искомые const an имеют значения
n
Т 1 1
a0 = —, a, = —, a2 =----------
0 б 1 8 2 12
и приводят к окончательному решению задачи
(10) в конкретном виде
7 2,
3
T(x1
x1, x2, x3 ) = Т + x1 + 2 x + xf - 2x12)
3
Список литературы
1. Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Изд-во «Наука», 1964. 412 с.
2. Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции
многих комплексных переменных. М.: Изд-во
«Мир», 1969. 395 с.
3. Гамильтон У.Р. Избранные труды. М.: Изд-во «Наука», 1994. 560 с.
4. Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970. 712 с.
5. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. 3-е изд. М.: Наука, 1984.
6. Богашов Ф.А. О представлении пространст-
венных задач теории упругости в функциях комплексных переменных. Сообщение 1 // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз.
межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1989. Вып. 41. С. 110-118.
7. Богашов Ф.А. Описание пространственных задач теории упругости с помощью аналитических функций переменной Гамильтона. Сообщение 2 // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1990. Вып. 44. С. 46-55.
8. Богашов Ф.А. Структура пространственных аналитических функций и формирование обобщен-
ных функций Эри // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Нижегородский ун-т. 1991. Вып. 47. С. 15-26.
9. Богашов Ф.А., Угодчиков А.Г. Развитие методологии Мусхелишвили применительно к решению пространственных задач теории упругости. Часть I // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций. Научные труды. Н. Новгород, 1993. Вып. 1. С. 11-24. ”
10. Богашов Ф.А. Решение бигармонических уравнений в комплексном пространстве С2 // Докл. РАН. 1993. Т. 332, № 2. С. 135-137.
11. Богашов Ф.А. Решение бигармонических уравнений в комплексном пространстве // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29, № 28. С. 1370-1379.
12. Богашов Ф.А., Угодчиков А.Г. Пространственные комплексные потенциалы и их приложение в теории упругости. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1995. 184 с.
13. Богашов Ф.А. Проблемы соответствия пространственной теории упругости и С2-потенциалов // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб. / М.: Товарищ. науч. изд. КМК, 1995. Вып. 53. С. 31-45.
14. Богашов Ф.А. Пространственные комплексные потенциалы течения идеальной несжимаемой жидкости. Сообщение 1 // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб. /М.: Товарищ. науч. изд. КМК, 1997. Вып. 56. С. 5-16.
15. Богашов Ф.А. Пространственные комплексные потенциалы течения идеальной несжимаемой жидкости. Сообщение 2 // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб. / М.: Товарищ. науч. изд. КМК, 1998. Вып. 59. С. 41-61.
SIMULATION OF A TEMPERATURE DIRICHLET PROBLEM BY COMPLEX MATRIX FUNCTIONS
F.A. Bogashov, Yu.O. Kryuchkova, A.A. Tumanov, L.O. Sharova
A model for solving a 3D temperature Dirichlet problem for a sphere has been worked out on the basis of the developed theory of complex C2 potentials.
Keywords: R2 space, Dirichlet problem, temperature, simulation, solution, matrix C2 potentials.
