Разработка пространственно-динамической модели прохождения светового сигнала по оптическому тракту Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.7

РАЗРАБОТКА ПРОСТРАНСТВЕННО-ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОХОЖДЕНИЯ СВЕТОВОГО СИГНАЛА ПО ОПТИЧЕСКОМУ ТРАКТУ

Н.Т. Нгуен, Т. А. Акименко, С. А. Будков, В.Ш. Нгуен

Построена пространственно-динамическая модель прохождения светового сигнала по оптическому тракту ОЭИК с использованием понятий «кружок рассеяния объектива» и «кружок Эри» с учетом конечных размеров фоточувствительных элементов фотоэлектронного преобразователя для случаев, когда свет распространяется в прозрачной и диспергирующей средах.

Ключевые слова: точечный источник, функция Гаусса, пространство, динамическая модель, моделирования.

Под пространственной динамикой оптического сигнала понимаются сферические аберрации, вносимые элементами оптического тракта по пути распространения модулированного светового потока, попадающего во входной зрачок объектива и создающего в плоскости расположения фоточувствительных элементов фотоэлектронного преобразователя изображение наблюдаемого точечного источника [2]. Для описания импульсного отклика элементов оптической системы была выбрана функция Гаусса от двух координат, нормированная по площади. Фурье-спектр которой также представляет собой Гауссиан, нормированный по амплитуде. Это позволяет унифицировать описание пространственной динамики всех элементов оптической системы, лежащих на пути распространения света в ОЭИК, и достаточно просто построить его суммарную пространственно-частотную характеристику [4].

Пусть известно, что импульсные отклики среды распространения света, объектива, и фотоэлектронного преобразователя являются изотропными и имеют вид, соответственно

^о У , г)■■

мсо (у , г )=

ко

2рЬ

ехр

о

ксо 2рЬсо

ехр

у 2 + г2

2Ь

о

у 2 + г

у 2^

2ЬСо

(1)

(2)

у

Мр (у , г ):

к р 2кЬр

ехр

У

2 + г2Л

2Ьр

(3)

2

2

где ко < 1, ксо < 1, кр < 1 - статические коэффициенты передачи, соответственно, объектива, пары объектив/среда распространения, фотоэлектронного преобразователя (все перечисленные элементы оптического тракта являются пассивными, т.е. не увеличивают световой поток после прохождения элемента); Ьо, Ьсо, Ьр - параметры, определяющие ширину функций Гаусса, описывающих импульсные отклики, соответственно, объектива, пары объектив/среда распространения, фотоэлектронного преобразователя.

По импульсным откликам перечисленных компонентов оптического тракта могут быть получены их пространственные передаточные функ-

ции [3]:

Жо («у, «2 )=Ко exp

Жсо («у, «2 )=КС ехР

Жр («7, «г ) = к р exp

Ь2 («2+«2 ьСо («2+«2

Ц- « + «2)

(4)

(5)

(6)

где «у, «2 - круговые пространственные частоты по координатам 7, 2, соответственно.

Структурная схема прохождения оптического сигнала через элементы оптической системы и фотоэлектронный преобразователь приведена на рис. 1.

Общая пространственная передаточная функция оптического тракта имеет вид:

ЖЕ («у, «2 ) = Жо («у, «2 ) • Жр («у, «2 ), (7)

Жх(юу, «2 ) = Жсо («у,«г )• Жр («у, «2) где Жо («у, «2) - пространственно-частотная передаточная функция объектива; Жсо («у, «2) - пространственно-частотная передаточная функция пары объектив/среда распространения; Жр («у, «2) - передаточная функция фотоэлектронного преобразователя.

С учетом (4) - (6) передаточная функция оптического тракта при-

нимает вид:

ЖЕ(юу, «2 ) = (ко-к р )• ехр

Жх(«у, «2 )=(ксо-к р )• ехР

(ьо + ьр )•« +«2

(Ьсо + Ьр )^(«7 +«2)

Ек(СОу, COz)

Жо(С07, СОz)

Ек{ СОу, COz)

Wp{ соу? coz)

COz) -►

Wco{ co7, coz)

ЖР(СОу, COz)

£^<С0у, coz) —►

б

Рис. 1. Структурная схема формирования сигнала Ек{сОу, COz) а - без учета потерь в среде распространения; б - с учетом потерь в среде распространения

Пространственная передаточная функция ^(со^со^) является неотрицательной действительной функцией действительного аргумента.

Определим для (8) логарифмическую пространственно-частотную характеристику (ЛПЧХ) оптического тракта ОЭИК в виде [5]:

L[^e(co7,coz )] = 20 lg + 20 lg a[oУу + ©z )=

= 201g(KO.KP) + 201g

exp

= 20[lgк0 + lgkp] + 4,3429 • [- (b% + bj>)\- (со\ + соJ } L[WZ (со y , coz)] = 20[lg ксо + lg kp ] + 4,3429 ■ [- + )]• (a£ + co|)

(9)

Вследствие того, что к0 < 1, ксо <\,кр<\, и Ъ2С > 0, Ъ2со > 0, ^ > 0, ЛПЧХ оптического тракта представляет собой квадратичный параболоид вращения, полностью лежащий под плоскостью свуО^ (рис. 2). Ширина

поверхности определяется суммарным коэффициентом Ъ\. Чем больше данный коэффициент, тем уже параболоид. При добавлении в оптический тракт очередного элемента (дополнительного фильтра, призмы, защитного окна и т.п.) параболоид смещается по оси ординат вниз, поскольку в тракт добавляется элемент с коэффициентом передачи, меньшим единицы, а также сужается, поскольку суммарный параметр, определяющий ширину параболоида, увеличивается.

Отметим, что на этапе фотоэлектронного преобразования и последующего усиления видеосигнала возможен подъем параболоида вверх, так как при формировании и преобразовании электрических сигналов возмож-

но их усиление. Поэтому на этапе усиления и аналого-цифрового преобразования видеосигнала, часть поверхностей может располагаться над плоскостью СОуО^СО^.

Для того, чтобы определить суммарную передаточную функцию оптического тракта найдем передаточные функции иго компонентов.

Формирование проекции изображения точки К поясняется следующим образом Падающий световой поток при достаточно удаленной наблюдаемой точке К можно представить в виде пучка параллельных лучей с плоским фронтом. Вследствие сферической аберрации пучки, идущие через разные радиусы входного зрачка объектива, дают наиболее резкие изображения указанной точки, расположенные в разных плоскостях, ортогональных главной оптической оси объектива [1]. Наложение изображений в плоскости расположения фоточувствительных элементов фотоэлектронного преобразователя представляет собой нерезкое пятно (рис. 3), называемое кружком рассеяния.

У_ Л

в 9

Л

Рис. 3. Кружок рассеяния

41

Будем считать, что изображение в точке К" представляет собой круг с резкой границей. Тогда импульсным откликом объектива будет являться цилиндр вида:

м->о{г,г)=

^ при72+72 <р2р; лркр

о при г2 +г2 >р2р.

(10)

Зависимость (10) может быть аппроксимирована функцией Гаусса:

К<9

2лМРкр

у2 + г2

(П)

где ^(ркр] - определяется из следующих условий: в точке = (О.О)

аппроксимирующий и аппроксимируемый импульсный отклик создает одинаковые освещенности; объемы импульсных откликов равны (единице).

С учетом приведенных условий будем иметь:

_

2к

Ыркр)Р

лРкр

(12)

откуда следует, что ¿>о(ркр)= 0,707ркр.

Импульсный отклик фоточувствительного элемента фотоэлектронного преобразователя имеет вид, приведенный на рис. 4, и описывается зависимостью:

гк р

К

при 171 < <;, Щ < с;,

(13)

0 во всех остальных случаях, где кр - коэффициент передачи; 2с>х2с> - размеры входного окна фоточувствительного элемента.

Рис. 4. Импульсный отклик фоточувствительного элемента

Зависимость (13) может быть аппроксимирована функцией Гаусса:

wp (Y, Z ) =—k P exp

2p[b(q)]2 { 2[b(q)]

■2 ,

Y^ + Z'

2

(14)

у

где b(v) определяется из следующих условий: в точке (Y,Z) = (0.0) аппроксимирующий и аппроксимируемый импульсный отклик создает одинаковые освещенности; объемы импульсных откликов равны (единице).

С учетом приведенных условий будем иметь:

kP = . (15)

4v2 2p[b(v)]2

Численное решение (15) дает b(v) = 0,798с;.

Основные выводы:

1. Построена пространственно-динамическая модель прохождения светового сигнала по оптическому тракту ОЭИК с использованием понятий «кружок рассеяния объектива» и «кружок Эри» с учетом конечных размеров фоточувствительных элементов фотоэлектронного преобразователя для случаев, когда свет распространяется в прозрачной и диспергирующей средах.

2. Показано, что наиболее просто суммарная пространственно-частотная характеристика оптического тракта строится, если все его компоненты описываются функциями Гаусса, в этом случае для нахождения суммарной передаточной функции может быть применен аппарат логарифмических пространственно-частотных характеристик, что позволяет получать суммарную статическую характеристику путем суммирования логарифмов статических характеристик компонентов, а квадрат суммарного коэффициента, определяющего ширину функции Гаусса, рассчитывать как сумму квадратов коэффициентов компонентов.

Список литературы

1. Методы компьютерной обработки изображений / под ред. В. А. Сойфера. М.: Физматлит, 2003. 784 с.

2. Larkin E.V. The Method of Multiframe Image Filtering // E.V. Lar-kin et al. Machine Graphics & Vision: International Journal. Poland, 1998. Vol. 7. N3. P. 645 - 654.

3. Аршакян А.А., Будков С. А., Ларкин Е.В. Математические модели точечных источников сигнала в полярной системе координат. // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 163 - 168.

43

4. Ларкин Е.В., Шаталов И.Е. Вейвлет-анализ сигналов, несущих информацию о наступлении события // Известия Тульского государственного университета. Математика. Механика. Информатика. Т. 6. Вып. 3. Информатика. Тула: ТулГУ, 2000. С. 162 - 166.

5. Ларкин Е.В., Котов В.В. К вопросу о применении вейвлетанали-за для решения задач распознавания // Известия Тульского государственного университета. Математика. Механика. Информатика. Т. 6. Вып. 3. Информатика. Тула: ТулГУ, 2000. С. 79 - 82.

Нгуен Нгок Туан, асп., hip [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Акименко Татьяна Алексеевна, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Будков Сергей Анатольевич, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Нгуен Ван Шон, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

DEVELOPMENT OF SPA TIAL AND DYNAMIC MODEL PASSAGE OF THE LIGHT

SIGNAL OF THE OPTICAL PATH

N.T. Nguyen, T.A. Akimenko, S.A. Budkov, V.S. Nguyen

Built-space dynamic model of the passage of the light signal through an optical path OEIK using the terms "lens circle of confusion" and "circle of Erie, " taking into account the finite size of the photosensitive elements of photo-electron-converter for when light propagates in a transparent and dispergiruyuschey environments.

Key words: point source, the Gaussian function, space, dynamic model simulation.

Nguyen Ngoc Tuan, postgraduate, hip 1121544@ gmail. com, Russia, Tula, Tula State University,

Akimenko Tatiana Alekseevna, candidate of technical science, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Budkov Sergey Anatolievich, candidate of technical science, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Nguyen Van Son, postgraduate, sugus105@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University