CC BY
43
In this paper, we investigate the flow of events in robotic systems. Since the mathematical simulation of the systems under the Poisson character of the flow is essentially simplified, the goal is to obtain a simple criterion for determining the degree of approximation of the flow of events to a Poisson flow. Pearson's criterion, regression, correlation and parametric criteria were studied. Again, a criterion based on the calculation of the waiting function was obtained. A system with "competitions" is investigated and it is shown that the flow of events generated by the system tends to Poisson with an infinite increase in the number of "competing" subjects.
Key words: event flow, Poisson flow, semi-Markovian process, Pearson's criterion, correlation, regression, expectation function, uniform law
Larkin Evgeniy Vasilievich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Bogomolov Alexey Valerievich, doctor of technical sciences, professor, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Gorbachev Dmitry Viktorovich, doctor of technical sciences, professor, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Antonov Maxim Aleksandrovich, master, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 004.932
ФОРМИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ НА ПРИЕМНИКЕ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Т. А. Акименко, Е.В. Филиппова
Рассматривается модель формирования тепловой картины сцены, которая должна учитывать: особенности объекта наблюдения как источника сигнала; передачу сигналов через физические элементы системы тепловизионного изображения.
Ключевые слова: тепловой приемник, излучение, зрачок объектива, энергетическая освещенность.
Формирование тепловой картины наблюдаемой сцены с проверкой качества полученных тепловых изображений является одним из важных этапов технологического процесса, определяющих качество тепловизион-ной системы наблюдения. Управление этим этапом связано с разработкой математической модели процесса сканирования сцены, которая должна
13
учитывать: особенности объекта наблюдения, как источника сигнала; прохождение сигнала через физические элементы тепловизионной системы, производящие обработку сигнала на оптической, фотоэлектронной и электронной стадиях, что определяет конечные параметры сигнала и его соответствие требованиям, предъявляемым к тепловым информационно-измерительным системам [1-6].
Качество формируемого сигнала в значительной мере определяется освещенностью плоскости расположения чувствительных элементов приемника теплового излучения. Оценим неравномерность уровня энергетической освещенности чувствительных ячеек по площади приемника теплового излучения. Определим энергетическую освещенность ячейки приемника теплового излучения Ек< (рис. 1).
Рис. 1. Энергетическая освещенность чувствительной ячейки приемника теплового излучения
Рассмотрим элементарный участок приемника излучения преобразователя £ ' находящийся на оптической оси системы. С учетом потерь в объективе лучистый поток Р О
Ра = каРа, (1)
где ка - коэффициент пропускания оптической системы, 0 £ ка £ 1.
Энергетическая освещенность
каРа
Обозначим
Ек' . (2)
кО = |, (3)
где ка - кратность объектива.
Поток излучения ФО может быть выражен через энергетическую освещенность входного зрачка объектива Езр с учетом того, что он меняется мало, а источник излучения находится на главной оптической оси, перпендикулярной касательной плоскости к передней поверхности объектива в ее центральной точке,
Ра _ ро2Езр ,
где а - радиус входного зрачка объектива.
Пусть известны энергетическая сила света I (сила излучения) и энергетическая яркость В площадки Д5. Тогда
Е
Езр г,2 ,
V
где V - передний отрезок объектива. Так как I = Б8, то
2
Е _ Б^ Р _ по ЕзрДЛ
Езр _ Ь2 ' Р _ Ь2 ,
где Б - энергетическая яркость участка 8; I - энергетическая сила света. С учетом кратности объектива (3) энергетическая освещенность
Ек' _
2 2 по ББка по^Бка
Ь 8'
ь%2
(4)
Воспользуемся уравнением Гаусса:
4+4 -1
(5)
С учетом того, что отношение диаметра входного зрачка 2а к фокусному расстоянию, называется относительным отверстием объектива, окончательно получаем
Е
к'
Ек 'Ка
^ 2
41 + кг
/
(6)
V ^ /
2а
где ко - коэффициент пропускания объектива, 0 £ ко £ 1; — - относительное отверстие объектива; кО - кратность объектива.
Найдем энергетическую освещенность по полю в плоскости расположения элементов, если известна энергетическая освещенность в центре поля. При этом рассматривается выходной зрачок объектива диаметром 2а' и расстояние от выходного зрачка до плоскости элементов также считается неизменным (рис. 2).
£
Р'о ®о
Рис. 2. Энергетическая освещенность ячеек, наблюдаемых под углом
Лучистый поток Р''0 распространяется внутри телесного угла 0о и освещает ячейку площади чувствительного элемента £0, расположенную на главной оптической оси. Лучистый поток Р'' распространяется внутри телесного угла 01 и освещает ячейку площади чувствительного элемента £1, удаленную от главной оптической оси. Освещенности ячеек чувствительного элемента обратно пропорциональны квадратам расстояний, которые, в свою очередь, пропорциональны косинусу угла р, под которым наблюдается ячейка £1. Площадь выходного зрачка наклонена к исходной площади под углом ( , так же, как и элемент. Следовательно, энергетическая освещенность чувствительного элемента в точке, удаленной от главной оптической оси, определяется по зависимости:
где Е0 - энергетическая освещенность в центре; Е1 - энергетическая освещенность на периферии.
Очевидно, что при тестировании оптических систем тепловизион-ных приборов следует учитывать возможную неравномерность уровня энергетической освещенности чувствительных ячеек приемника излучения, которая может достигать 10...15 % по площади входных окон чувствительного прибора.
Рассмотрим сигнал энергетической освещенности в плоскости расположения чувствительных ячеек приемника теплового излучения. Пусть изображается точка к, которая проецируется в точку к (рис. 3).
В идеальном случае изображение к точки к можно представить в виде 5-функции Дирака с круговой симметрией :
Е1 = ЕоСОБ р,
4
(7)
й б(р) = А Е'-5(р),
(8)
где Ае' - перепад энергетической освещенности (динамический диапазон) в точке к и ее окрестностях; 5(р) - 5-функция Дирака, имеющая вид
8(р):
при р = 0,0 £ у £ 2р; 0 при р > 0, 0 £ у £ 2р; р и у - линейная и угловая координаты полярной системы координат с цен тром в точке к .
(9)
ае Ф(р)
Рис. 3. Изображение точки в плоскости расположения приемника теплового излучения
В реальности изображение точки определяется кружком рассеяния объектива, который, в свою очередь, определяется такими параметрами,
20
как глубина резкости 55 и относительное отверстие — объектива [6]: Диаметр кружка рассеяния 2о находим по зависимости
= 5 ff
2о
2о '
(10)
являющейся паспортной характеристикой объектива. Отношение
й 5(р)
А Е
= й5(р) = 5(р)
(11)
представляет собой идеальный двумерный пространственный импульсный отклик фильтра, нормированный по объему, поскольку для 5-функции выполняется условие
¥2р
| 15(р)я?уф = 1.
0 0
Для кружка рассеяния могут быть построены следующие модели пространственного импульсного отклика, нормированного по объему:
в виде цилиндра с диаметром 2о (изображения кружка рассеяния с резкими границами);
в виде гауссиана (изображения кружка рассеяния с размытыми границами).
Цилиндр с диаметром 2о, нормированный по объему, определяется зависимостью:
1 при 0 < ТУ2 0 при V У 2
^с (р) =
1 Г1 при 0 < р < о; _ 1 ро2 10 при р > о;
ро
2
+ 7 2 < о;
2
'_ ^ (У, 7). (12)
+ 7^ > о;
Гауссиан, нормированный по объему, вычисляется по зависимости:
г 2 ^ '
1
2жЬО
ехр
Р
2ЬО
1
2жЬО
ехр
У 2 + 7 2 Л
2ЬО
^о (У, 7), (13)
где Ьо - параметр, определяющий ширину функции Гаусса.
В данном случае следует воспользоваться методикой, основанной на минимуме квадрата расстояния между функциями.
Квадрат расстояния между функциями (12) и (13) находим в полярной системе координат р, у в виде
о
еОс _ í
0
1
2рЬО
ехр
Р
2
2ьО ;
1
ро
2р ¥ I рйуйр + | 0о
2рЬ0
ехр
р
2
2ьО ;
2р
Iр^у^р.(14) 0
Эквивалентные преобразования еОс приводят к следующему мате-
матическому выражению:
1
2
еОс
4рЬ
О
ро
1 - ехр
о
2Ь
О )
+
ро
(15)
где Ьс - искомый параметр, определяющий ширину функции Гаусса; о -радиус кружка рассеяния.
• 1
Умножив обе части (15) на величину ро Ф 0, получим
V2
роеос _ + 2 ехр
V
2
2
-1 ® шт
V'
(16)
где V
о
ь
О
Минимум функции роеос достигается, когда
й(роеОс) _ 0. й (роеОс) > 0
(17)
^ dv2
Вид функции (16) приведен на рис. 4 (а), вид первой и второй производных функции (16) изображен на рис. 4 (б и в).
Для расчета оптимального значения V* необходимо решить уравнение
й (роеос)
dv
V_V*
1 - 2v * • ехр
И? 2
0.
(18)
2
2
1
1
Рис. 4. Функция Рое£С (V) (а), ее первая (б) и вторая (в) производные
Решение уравнения дает следующие три корня: V* = = (-1,65; 0; 1,65). В точке V* = = 0 имеет место максимум функ-
Ь
£
Ь
£
о
ции Рое£с, а в точке V* = —= ±1,65 - минимум указанной функции, отку-
*
да = 0.606о, где о - радиус кружка рассеяния объектива.
Таким образом, импульсный двумерный пространственный отклик объектива при формировании изображения в плоскости расположения чувствительных ячеек приемника излучения может быть представлен в виде следующей двумерной функции Гаусса:
(у, % ) = ——-^ехр
у2 + г2 Л
2р(0,605о)2 \ 2(0,605о)2 Преобразование Фурье от ^ (У, %) дает
1
(19)
Жс(ш7,)= I |
2р(0,605о)2
ехр
у2 + г2 Л
2(0,605о)2
ехр(- /Уюу - )dYdZ =
= ехр
(юу • 0,605о)2 + • 0,605о)2
2
(20)
Как видно из (20), передаточная функция объектива представляет собой гауссиан, нормированный по амплитуде.
Таким образом, разработана модель формирования оптического изображения точки в плоскости расположения фоточувствительных элементов фотоэлектронного преобразователя, для разработанной модели получено уравнение для оптимального расчета параметра ширины гауссиана, представляющего геометрическую точку, по радиусу кружка рассеяния объектива.
эо —оо
Работа выполнена в рамках государственного задания по проекту "Параллельные полумарковские процессы в системах управления мобильными роботами" (№ 2.3121.2017/ПЧ).
Список литературы
1. Lloyd J.M. Thermal Imaging Systems, Springer US. 2013.
2. Richard H. Vollmerhausen, Ronald G. Driggers. Analysis of Sampled Imaging Systems // SPIE Press. 2000.
3. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. 1072 с.
4. Rosenfeld A. and Kak A. Digital Image Processing, Academic Press, Orlando. 1982. 2nd Edition, Vol. 2 ed.
5. Marshall G.F., Stutz G.E. Handbook of Optical and Laser Scanning (Optical Science and Engineering). CRC Press, 2004. 1175 p.
6. Калинтин Н.Н. Численные методы: учеб. пособие. 2-е изд., испр. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 592 с.
Акименко Татьяна Алексеевна, канд. техн. наук, доц., tantan72@ mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Филиппова Екатерина Вячеславовна, лаборант, kisskin a hk.ru Россия, Тула, Тульский государственный университет
FORMATION OF THE IMAGE ON THE RECEIVER OF HEAT RADIATION
T.A .Akimenko, E. V. Filippova
A model for the formation of a thermal picture of a scene is considered, which should take into account: the features of the object of observation as the source of the signal; signal transmission through the physical elements of the thermal imaging system.
Key words: radiation, pupil of the lens, Energy illuminance, the Thermal Receiver.
Akimenko Tatiana Alekceevna, candidate of technical sciences, docent, tan-tan72@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Filippova Ekaterina Vyacheslavovna, laboratory assistant, kisskina hk.ru, Russia, Tula, Tula State University
