CC BY
12
Т. В. Меньших, кандидат технических наук А. В. Меньших, кандидат технических наук
РАЗРАБОТКА ПОДХОДОВ, ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ВЫБОРА ВАРИАНТОВ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В СИСТЕМАХ КРИТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ДЕСТРУКТИВНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
DEVELOPMENT OF APPROACHES, NUMERICAL METHODS AND ALGORITHMS FOR SELECTING OPTIONS FOR MANAGEMENT DECISION-MAKING IN SYSTEMS OF CRITICAL APPLICATION UNDER CONDITIONS OF DESTRUCTIVE IMPACTS
В работе описывается задача выбора вариантов принятия управленческих решений в системах критического применения в условиях деструктивных воздействий, приводящих к нарушению коммуникации между элементами, осуществляющими принятие решений. Разработаны подходы, численные методы и алгоритмы, основанные на использовании равновесия по Дж. Нэшу, которые позволяют получать наиболее близкие к оптимальным решения данной задачи.
The paper describes the problem of choosing options for making managerial decisions in systems of critical application under conditions of destructive influences that lead to disruption of communication between the elements that make decisions. Approaches, numerical methods and algorithms based on the use of the J. Nash equilibrium have been developed, which allow obtaining the closest to optimal solutions to this problem.
Введение. Функционирование систем управления критического применения может осуществляться в условиях преднамеренных и/или непреднамеренных внешних и/или внутренних деструктивных воздействий, которые могут приводить к нарушению коммуникации между элементами этих систем [1—3]. Вследствие этого создаются предпосылки к возникновению ситуаций, при которых отдельные элементы должны самостоятельно принимать различного рода управленческие решения в условиях полного или частичного отсутствия информации об управленческих решениях других элементов. Указанное обстоятельство может приводить к существенному снижению эффективности функционирования систем критического применения [3—6], поскольку процессы принятия решений различными элементами являются взаимосвязанными.
В связи с этим возникает задача оптимизации выбора вариантов управленческих решений отдельными элементами системы. Для решения данной задачи может быть эффективно применён аппарат теории игр [1, 6—8]. При этом, учитывая, что элементы систем имеют непротивоположные интересы, должны быть использованы методы кооперативных игр [4, 10]. В этом случае решение указанной задачи сводится к нахождению равновесия по Дж. Нэшу [7—9], в соответствии с которым каждый элемент будет
78
принимать компромиссный вариант управленческих решений, который является оптимальным не для него, а для всей совокупности элементов, но при этом наиболее близок к оптимальному для него решению.
В [11, 12] показано, что решение данной задачи может быть сведено к использованию разработанного Ю. Б. Гермейером и И. А. Вателем частного случая таких игр — игр с иерархическим вектором интересов [13] так, что в качестве игроков используются элементы системы, а в качестве ресурса игроков — время на принятие управленческих решений. В таком случае оказывается, что выбор варианта принятия управленческого решения определяется временным ресурсом, выделяемым для принятия решения.
Следует отметить, что при использовании такого подхода для решения рассматриваемой задачи возникают две основные проблемы:
1) проблема существования и единственности: состояние равновесия по Дж. Нэшу в играх рассматриваемого типа может не существовать или может существовать более одного такого состояния [9, 10, 12], что делает проблематичным выбор решений различными элементами в условиях отсутствия информации о том, каким именно вариантом равновесия руководствуются другие элементы;
2) проблема конечности допустимых вариантов: во всех известных вариантах решения рассматриваемой задачи предполагается возможность произвольного распределения ресурса, в то время как в реальных системах ограниченный набор вариантов принятия управленческих решений с определённым временем их реализации [2—6].
Настоящая работа посвящена разработке подходов и численных методов, которые позволяют устранить описанные выше проблемы при получении решения рассматриваемой задачи.
Подход к решению проблемы существования и единственности. Как показано в [13], задача нахождения состояния равновесия по Дж. Нэшу в играх с иерархическим вектором интересов сводится к решению совокупности систем линейных уравнений и неравенств. В [9, 11] был получен явный вид такой системы для нахождения равновесия в системах критического применения при указанных выше условиях на выбор игроков и их ресурса. С помощью известных методов [14, 15], использующих введение дополнительных фиктивных переменных, полученная совокупность систем уравнений и неравенств может быть преобразована в совокупность систем линейных алгебраических уравнений вида
' Аххх = Ьх\ А2х2 = Ь2;
^п•
(1)
где — искомые векторы, представляющие собой решения соответству-
ющих систем линейных алгебраических уравнений.
Обозначим X = (х-±,х2, ■ ■ -,хп> — конкатенацию указанных векторов, которая является решением совокупности систем (1).
Возможны 3 ситуации:
1) если все системы совокупности вида (1) совместны и определены, то существует и единственное состояние равновесия по Дж. Нэшу, которое может быть найдено по формуле
Х = (А - гЪ ! ,А - гЪ2.....А - Ч>; (2)
2) если хотя бы одна система в совокупности несовместна, то равновесия по Дж. Нэшу не существует;
3) во всех остальных случаях существует бесконечно много равновесий по Дж. Нэшу.
Учитывая частичную неопределенность исходных данных, для решения задачи при возникновении ситуаций 2) или 3) численный метод решения задачи заключается в нахождении такого вектора X+, который в некотором смысле был бы близок к решению системы (2).
С этой целью могут быть использованы псевдообратные матрицы А+А = 1, 2,... п для соответствующих матриц систем уравнений А ¿, / = 1, 2 ,... п.
В этом случае, как это вытекает из свойств псевдообратных матриц, которые описаны в [14], решение задачи может быть найдено по формуле
X + = (А+Ъ !, А+Ь2.....А+Ъп). (3)
Относительная точность решения, полученного с использованием выражения (3), определяется по формуле
8 = Щ= х^Йр (4)
Заметим, что в соответствии со свойствами псевдообратной матрицы при возникновении ситуации 1) результат вычислений по формулам (2) и (3) совпадает, относительная погрешность, найденная по формуле (4), в этом случае: 5 = 0.
Подход к решению проблемы конечности допустимых вариантов. Существует ограниченное, как правило, очень небольшое количество вариантов действий для достижения каждой цели каждым элементом системы критического применения, из которых необходимо выбрать один конкретный вариант [2—6]:
- имеющий время реализации, наиболее близкое к найденному значению равновесия по Дж. Нэшу;
- имеющий наибольшую точность результатов выполнения действий, необходимых для принятия управленческого решения.
Кроме того, совокупное время достижения всех целей не должно превышать заданное предельное значение.
Вопрос об оценках времени реализации вариантов выбора решений рассмотрен в [16, 17], а об оценках точности — в [12].
Как указано выше, в условиях деструктивных воздействий для достижения одной и той же цели элементы системы действуют независимо друг от друга. Поэтому решение задачи можно осуществлять независимо для каждого элемента ЭСПР СН.
Рассмотрим произвольный -й элемент системы с множеством целей
2 = 1,22, .■ ",2т¿}.
Будем считать, что для цели 2 £ 2^, имеющей значимость Я ^ с помощью разработанного в подразделе 2.3 численного метода определена оптимальная длительность реализации т2, соответствующая равновесию по Дж. Нэшу.
Пусть / — множество альтернативных вариантов реализации цели г. Для каждого варианта № ЕШ2 определены:
— длительность действий для достижения цели;
— точность выполнения действий для достижения цели. Обозначим:
Ш 2 — множество вариантов, для которых ^ < т2;
— множество вариантов, для которых ^ > т2;
(Агдтах„е]Уо ^, если ± 0;
№ = 1 ,______. ^ _____,яга м (5)
( Агдтат^Шг ^, если У\/20 = 0.
(Агдтт^^ ^, если Ф 0;
11 = 1 *
[Агдшахи;еи/ ^, если Ш2 = 0.
(6)
Поясним формулы (5) и (6):
- если существуют варианты, для которых время реализации цели г не больше , то — тот из этих вариантов, который имеет наиболее близкое к время реализации;
- если таких вариантов нет, то — вариант с наименьшим временем реализации (это время по-прежнему наиболее близко к );
- если существуют варианты, для которых время реализации цели больше , то — тот из этих вариантов, который имеет наиболее близкое к время реализации;
- если таких вариантов нет, то — вариант с наибольшим временем реализации (это время по-прежнему наиболее близко к ).
Заметим, что если Ш2 = 0 или Ш2 = 0 , то № 2 =
Обозначим
у?,
г
= Агд т^ е { (7)
тот вариант из и , который имеет наибольшую точность. Тогда для всего множества целей -го элемента системы
= {г11 ,гЧ, ■ ■ ш,г1т¡}
множество вариантов
IV;
^ = {№21 ,№2к.....№2т}
обеспечивает наиболее близкие к оптимальным реализации целей /-го элемента системы.
Обратимся к рассмотрению вопроса проверки допустимости множества вариантов .
Пусть — общее время достижения всех целей /-го элемента системы:
Т ( ¡^=^2 е21 (8)
Если выполняется неравенство
Т (< Т, (9)
то — искомое множество вариантов достижения целей -го элемента системы.
Если неравенство (9) не выполняется, то осуществим поиск наиболее близкого к множества вариантов, которые обеспечивают достижение целей . Для этого упорядочим все цели -го элемента системы по возрастанию их значимости :
2 = 1 ,2*2 , . ■ -,21т ¡)
- кортеж целей -го элемента, упорядоченных по возрастанию значимости, которому соответствует кортеж вариантов
^ = 0% ,^2.....^т^.
Обозначим Ш ^ кортеж, полученный из заменой для первых к целей вариантов на :
1 V 2Ч 1 2 2'/с 1/с+ 1 1т ^ /
Очевидно, что значения Г( 1^) монотонно не возрастают при увеличении к и, т.к. по определению , т.е.
Г(Й^) > Т(Й^) > Т(^¿2) > • • • > Т(ж^).
Будем последовательно рассматривать кортежи
,. . .
и если найдется значение , для которого будет выполнено неравенство
Т(Й^) < Г, (10)
то, следовательно, множество вариантов действий для реализации целей, соответствующее кортежу является искомым вариантом целей /-го элемента системы.
Если окажется, что даже
, то рассматриваемый подход к выбору вариантов действий для реализации целей, основанный на нахождении равновесия по Дж. Нэшу, нереализуем и следует использовать эвристический подход к выбору вариантов.
Укрупнённая блок-схема алгоритма для описанного численного метода выбора вариантов реализации целей приведена на рисунке.
Укрупнённая схема алгоритма выбора вариантов выполнения действий для достижения целей элементом системы
Заключение. Применение подхода, основанного на использовании псевдообратных матриц, позволяет находить приближенные значения ресурса времени для принятия управленческих решений, которые в наибольшей степени соответствуют состояниям равновесия по Дж. Нэшу, что позволяет решить проблему существования и единственности таких решений.
Разработанный численный метод и алгоритм позволяют осуществлять выбор вариантов достижения целей элементом системы, обеспечивающих, с одной стороны, учёт интересов других элементов системы, участвующих в достижении общих целей, а с другой — максимизацию точности результатов выполнения действий для достижения целей данного элемента, что позволяет решить проблему конечности допустимых вариантов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ямалов И. У. Моделирование процессов управления и принятия решений в условиях чрезвычайных ситуациях. — М. : Лаборатория базовых знаний, 2012. — 288 с.
2. Меньших В. В., Сысоев В. В. Структурная адаптация систем управления. — М. : Радиотехника, 2002. — 150 с.
3. Математическое моделирование действий органов внутренних дел в чрезвычайных обстоятельствах : монография / В. В. Меньших [и др.]. — Воронеж : Воронежский институт МВД России, — 2016. — 187 с.
4. Меньших Т. В. Анализ особенностей процессов принятия решений в системах управления специального назначения при возникновении чрезвычайных обстоятельств // Общественная безопасность, законность и правопорядок в III тысячелетии.
— 2019. — № 5-2. — С. 164—166.
5. Меньших А. В., Горлов В. В. Модель и численный метод оптимизации выбора действий органов внутренних дел при возникновении чрезвычайных обстоятельств криминального характера // Вестник Воронежского института МВД России. — 2016. — № 2. — С. 213—221.
6. Меньших А. В., Тростянский С. Н. Модель и численный метод оптимизации выбора мер безопасности // Вестник Воронежского института МВД России. — 2013. — № 4. — С. 208—214.
7. Меньших В. В., Думачев В. Н., Пешкова Н. В. Математическое моделирование и численный анализ задач естествознания : учебное пособие. — Воронеж : Воронежский институт МВД России, 2015. — 122 с.
8. Меньших Т. В., Новосельцев В. И. Исследование свойств сообществ игроков и функций выигрыша в играх с непротивоположными интересами // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. — 2018. — Т. 6. — № 4. — С. 357—367.
9. Меньших Т. В. Модели функционирования эргатической системы принятия решений специального назначения // Вестник Воронежского института МВД России. — 2020. — № 3. — С. 107—118.
10. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. — М. : Наука, 1976. — 326 с.
11. Меньших Т. В. Оценка параметров игр с иерархическим вектором интересов // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия : Математическое моделирование и программирование. — 2018. — Т. 1. — № 3. — С. 118—122.
12. Меньших Т. В., Новосельцев В. И. Модель и численный метод оценки погрешности вычислений в эргатических информационных системах на основе использования методов нечеткой математики // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. — 2019. — № 5. — С. 47—55.
13. Гермейер Ю. Б., Ватель И. А. Игры с иерархическим вектором интересов.
— Техническая комбинаторика. — 1974. — № 3. — С. 54—69.
14. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 336 с.
15. Меньших Т. В. Оценки устойчивости равновесий по Дж. Нэшу в играх с непротивоположными интересами при частичной неопределенности // Актуальные проблемы деятельности подразделений УИС : сборник материалов всероссийской научно-практической конференции. — Воронеж, 2021 — С. 220—222.
16. Меньших Т. В., Папонов А. В., Меньших А. В. Изучение влияния временного фактора на эффективность принятия решений в системах специального назначения // Вестник Воронежского института ФСИН России. — 2021. — № 2. — С. 62—67.
17. Меньших Т. В., Папонов А. В., Меньших А. В. Сравнительный анализ влияния временного фактора на эффективность принятия решений при возникновении чрезвычайных обстоятельств на объектах уголовно-исполнительной системы // Вестник Воронежского института ФСИН России. — 2021. — № 4. — С. 104—109.
REFERENCES
1. YAmalov I. U. Modelirovanie processov upravleniya i prinyatiya reshenij v uslovi-yah chrezvychajnyh situaciyah. — M. : Laboratoriya bazovyh znanij, 2012. — 288 s.
2. Men'shih V. V., Sysoev V. V. Strukturnaya adaptaciya sistem upravleniya. — M. : Radiotekhnika, 2002. — 150 s.
3. Matematicheskoe modelirovanie dejstvij organov vnutrennih del v chrezvychajnyh obstoyatel'stvah : monografiya / V. V. Men'shih [i dr.]. — Voronezh : Voronezhskij institut MVD Rossii, — 2016. — 187 s.
4. Men'shih T. V. Analiz osobennostej processov prinyatiya reshenij v sistemah upravleniya special'nogo naznacheniya pri vozniknovenii chrezvychajnyh obstoyatel'stv // Ob-shchestvennaya bezopasnost', zakonnost' i pravoporyadok v III tysyacheletii. — 2019. — № 5-2. — S. 164—166.
5. Men'shih A. V., Gorlov V. V. Model' i chislennyj metod optimizacii vybora dejstvij organov vnutrennih del pri vozniknovenii chrezvychajnyh obstoyatel'stv kriminal'nogo harak-tera // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2016. — № 2. — S. 213—221.
6. Men'shih A. V., Trostyanskij S. N. Model' i chislennyj metod optimizacii vybora mer bezopasnosti // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2013. — № 4. — S. 208—214.
7. Men'shih V. V., Dumachev V. N., Peshkova N. V. Matematicheskoe modelirovanie i chislennyj analiz zadach estestvoznaniya : uchebnoe posobie. — Voronezh : Voronezhskij institut MVD Rossii, 2015. — 122 s.
8. Men'shih T. V., Novosel'cev V. I. Issledovanie svojstv soobshchestv igrokov i funkcij vyigrysha v igrah s neprotivopolozhnymi interesami // Modelirovanie, optimizaciya i informacionnye tekhnologii. — 2018. — T. 6. — № 4. — S. 357—367.
9. Men'shih T. V. Modeli funkcionirovaniya ergaticheskoj sistemy prinyatiya reshenij special'nogo naznacheniya // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2020. — № 3.
— S. 107—118.
10. Germejer YU. B. Igry s neprotivopolozhnymi interesami. — M. : Nauka, 1976. —
326 s.
11. Men'shih T. V. Ocenka parametrov igr s ierarhicheskim vektorom interesov // Vestnik YUzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya : Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie. — 2018. — T. 1. — № 3. — S. 118—122.
12. Men'shih T. V., Novosel'cev V. I. Model' i chislennyj metod ocenki pogreshnosti vychislenij v ergaticheskih informacionnyh sistemah na osnove ispol'zovaniya metodov nechetkoj matematiki // Pribory i sistemy. Upravlenie, kontrol', diagnostika. — 2019. — № 5.
— S. 47—55.
13. Germejer YU. B., Vatel' I. A. Igry s ierarhicheskim vektorom interesov. — Tekhnicheskaya kombinatorika. — 1974. — № 3. — S. 54—69.
14. Beklemishev D. V. Dopolnitel'nye glavy linejnoj algebry. — M. : Nauka. Glavna-ya redakciya fiziko-matematicheskoj literatury, 1983. — 336 s.
15. Men'shih T. V. Ocenki ustojchivosti ravnovesij po Dzh. Neshu v igrah s neprotivopolozhnymi interesami pri chastichnoj neopredelennosti // Aktual'nye problemy deyatel'nosti podrazdelenij UIS : sbornik materialov vserossijskoj nauchno-prakticheskoj kon-ferencii. — Voronezh, 2021 — S. 220—222.
16. Men'shih T. V., Paponov A. V., Men'shih A. V. Izuchenie vliyaniya vremennogo faktora na effektivnost' prinyatiya reshenij v sistemah special'nogo naznacheniya // Vestnik Voronezhskogo instituta FSIN Rossii. — 2021. — № 2. — S. 62—67.
17. Men'shih T. V., Paponov A. V., Men'shih A. V. Sravnitel'nyj analiz vliyaniya vremennogo faktora na effektivnost' prinyatiya reshenij pri vozniknovenii chrezvychajnyh obstoyatel'stv na ob"ektah ugolovno-ispolnitel'noj sistemy // Vestnik Voronezhskogo instituta FSIN Rossii. — 2021. — № 4. — S. 104—109.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Меньших Татьяна Валерьевна. Преподаватель кафедры математики и естественно-научных дисциплин. Кандидат технических наук.
Воронежский институт ФСИН России.
E-mail: tasay94@rambler.ru
Россия, 394072, Воронеж, ул. Иркутская, 1а. Тел. (473) 260-68-20.
Меньших Анастасия Валерьевна. Доцент кафедры математики и моделирования систем. Кандидат технических наук.
Воронежский институт МВД России.
E-mail: asy90@yandex.ru
Россия, 394065, Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473) 200-51-89.
Menshikh Tatyana Valerevna. Lecturer in the chair of Mathematics and Natural Sciences. Candidate of Technical Sciences.
Voronezh Institute of Russian Federal Penitentiary Service.
E-mail: tasay94@rambler.ru
Work address: Russia, 394072, Voronezh, Irkutskaya Str., 1a. Tel. (473) 260-68-20.
Menshikh Anastasia Valeryevna. Assistant Professor of the chair of Mathematics and Systems Modelling. Candidate of Technical Sciences.
Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.
E-mail: asy90@yandex.ru
Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473) 200-51-89.
Ключевые слова: системы критического применения; принятие управленческих решений в условиях деструктивных воздействий; равновесие по Нэшу; проблема существования и единственности; псевдообратная матрица; проблема конечности допустимых вариантов.
Key words: critical application systems; making managerial decisions under destructive influences; Nash equilibrium; problem of existence and uniqueness; pseudoinverse matrix; the problem of the finiteness of feasible options.
УДК 519.8:004.94
