CC BY
48
УДК 621.8
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ КОЛЕБАНИЙ ВИЛОЧНОГО
АВТОПОГРУЗЧИКА
И.А. Нефёдов, ст. преподаватель,
Приазовский государственный технический университет, г. Мариуполь
Аннотация. Разработана математическая модель колебаний вилочного автопогрузчика в условиях работы морских портов Украины.
Ключевые слова: автопогрузчик, собственные колебания, вынужденные колебания, динамическая модель.
РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ КОЛИВАНЬ ВИЛКОВОГО
АВТОНАВАНТАЖУВАЧА
І.О. Нефьодов, ст. викладач,
Приазовський державний технічний університет, м. Маріуполь
Анотація. Розроблено математичну модель коливань вилкового автонавантажувача в умовах роботи морських портів України.
Ключові слова: автонавантажувач, власні коливання, змушені коливання, динамічна модель.
DEVELOPING A MATHEMATICAL MODEL OF FORK-LIFT LOADER
VIBRATIONS
I. Nefyodov, Assistant Professor,
Pryazovskiy State Technical University, Mariupol
Abstract. A mathematical model of fork-lift loader vibrations in Ukrainian seaports has been developed.
Key words: fork-lift loader, natural vibrations, forced vibrations, dynamic model.
Введение
В условиях эксплуатации погрузчиков в морских портах Украины возникает необходимость уменьшения количества поломок в результате выхода из строя рам грузоподъемника. Проблема повышения эксплуатационной надежности в работе погрузчиков зависит от снижения динамических нагрузок, возникающих в грузоподъемном механизме при движении по неровностям пути. В связи с этим актуальной является проблема разработки динамической модели автопогрузчика для исследования влияния колебаний на грузоподъемник при различных условиях экс-
плуатации.
Анализ публикаций
Анализ последних исследований и публикаций показал, что в настоящее время большое внимание уделяется вопросам повышения эффективности работы короткобазовых колесных погрузчиков с бортовой системой поворота и модульных строительных и дорожных машин [1, 2]. Однако в условиях работы морских портов используются универсальные автопогрузчики грузоподъемностью 1,5-42 т с вертикальным грузоподъемным механизмом (наклонным или с кареткой, имеющей возможность наклона вил), влия-
ние возникающих в системе колебаний на динамику которых ранее не рассматривалось. Цель и постановка задачи
Разработка динамической модели, учитывающей собственные и вынужденные колебания.
Разработка математической модели колебаний вилочного автопогрузчика
Автопогрузчик представляет собой систему упруго связанных тел (рис. 1).
На данной схеме тело I схематически представляет собой автопогрузчик массой М, осевой момент инерции которой относительно оси, проходящей через центр масс ,
учитывает геометрические формы всех масс автопогрузчика. Тело II-II'" - колёса, массы которых сосредоточены и находятся на упругих связях, имеющих коэффициент жёсткости, равный радиальной жесткости шин этих колёс.
Примем, что начало координат находится в начальном статическом положении центра масс; упругие связи в этом положении имеют статические деформации.
Движение данной системы в процессе колебаний характеризуется тремя обобщёнными координатами: ^ = г - вертикальное перемещение центра тяжести автопогрузчика; д2 = фу - угол поворота машины относи-
Г/ 7
тельно поперечной оси; д3 = фх - угол поворота машины относительно продольной оси. С учётом того, что распределение масс автопогрузчика и жесткостей упругих связей симметрично относительно серединной продольной плоскости, движение данной механической системы описываем первыми двумя координатами: = г и ^2 = фу .
На движение автопогрузчика наибольшее воздействие оказывают колебания в продольно-вертикальной плоскости. При этом выделяются наиболее характерные режимы движения:
- движение по неровностям горизонтального участка дороги;
- фронтальный наезд передними колёсами на препятствие.
Особенностью фронтальных автопогрузчиков является наличие у них вертикального грузоподъёмника, который позволяет поднимать груз вертикально и препятствует его горизонтальному перемещению.
Это обстоятельство учитывается при разработке динамической модели автопогрузчика, считая, что груз находится в самом верхнем наиболее неблагоприятном положении (рис. 2).
Чтобы предложенная динамическая модель соответствовала реальной машине, приняты три базовых утверждения [3]:
//
Рис. 1. Система упруго связанных тел
Рис. 2. Расчётная схема несущей системы автопогрузчика
1. Кинетическая энергия автопогрузчика должна быть равна кинетической энергии модели.
2. Потенциальная энергия масс и упругих связей автопогрузчика должна быть равна потенциальной энергии модели.
3. Обобщенные непотенциальные силы находятся из утверждения: возможная работа конкретной силы равна сумме возможных работ непотенциальных сил на заданном соответствующем возможном перемещении.
Согласно расчетной схеме (рис. 3) координата центра масс автопогрузчика вдоль продольной оси ОХ определяется [4]
10
М
і=1
(1)
Точку О помещаем на пересечение осей задних колес и оси симметрии машины.
Момент инерции автопогрузчика относительно ее центральной оси определен как сумма моментов инерции масс, из которых состоит автопогрузчик.
10
(2)
і=1
Момент инерции каждой массы относительно оси С определен согласно [4]
4) = + т, (С С )2.
(3)
Рис. 3. Расчётная схема для определения положения центра масс и момента инерции Для тел 1, 3 - 8
Учитывая, что при равновесии машины
ОП „
= и, потенциальная энергия в текущий
'ісі = 12 т (аі + Ь)
(4)
2 7 2
где а, , Ь, - размеры тел по осям х и г соответственно.
Осевые моменты колёс относительно собственных осей
1
¿С2, т2 (гс + к2) ^ = Т тГ (гі + Ю, (5)
1
22
2
"СГ
2
dz Г=0 I ф=0
момент времени примет вид
(8)
На основании вывода производных, входящих в уравнения (6), определены дифференциальные уравнения собственных колебаний автопогрузчика
где Я - наружный радиус колеса погрузчика, м; г - радиус диска колеса, м.
Движение по неровностям горизонтального участка дороги характеризуется возникновением собственных и вынужденных колебаний автопогрузчика.
Дифференциальные уравнения движения автопогрузчика описаны с помощью уравнения Лагранжа II рода [4] и имеют вид
d (dT\ dT
d&
dП
d ( dT
\
dT
dП
(6)
d & d ф d ф
где Т - кинетическая энергия механической системы; П - потенциальная энергия.
Кинетическая энергия равна
11
Т = - М& + - JЕ
2
2
(7)
М& г (Сп + Сз ) + ф(СзЬ + Спа ) = 0 ( СзЬ - Спа ) + ф( Спа2 + СЬ2)
I J^¿&г г (
=0
. (9)
Частные решения дифференциальных уравнений (9) имеют вид
Гг = А sin £
I ф = А2 cos Ы
(10)
Подставляя уравнение (10) в (9), определено уравнение частот собственных колебаний, на основании которого получены квадраты собственных частот
£2 = £1,2 _
М (Спа2 + С3Ь" )+ 1е(Сп + С3 )
21ЕМ
М (Спа2 + С3Ь' )+ ^Е(Сп + С3 )
21 еМ
(11)
-41ЕМСПС3 (а + Ь )
где М - приведенная масса автопогрузчика, кг; ./Е - момент инерции машины относительно поперечной оси у, проходящей через центр масс; - обобщенная скорость центра масс вдоль оси г, м/с; & - обобщенная угловая скорость вокруг оси Су, 1/с.
Потенциальная энергия машины состоит из потенциальной энергии силы тяжести и потенциальной энергии деформации шин, коэффициенты жесткостей которых обозначены Сп, Сз .
Случай кинематического возмущения при профиле дороги описан уравнением [5]
(12)
где h - глубина впадины, м; V - скорость автопогрузчика, м/с; I - длина одной волны, м. В рассматриваемом случае потенциальная энергия системы, с учётом условий равновесия автопогрузчика, в текущем ее положении имеет вид
2
С 2 С 2
П= ^Чг-°ф-г) +~у(г + еФ-г1) . (13)
Формула для кинетической энергии не изменилась. Входящие в уравнения Лагранжа II рода производные от потенциальной энергии равны
Агл = JеМ ш4-,2 . п Ї.2
М (Спа2 + СзЬ2) + Jz(Cn + Сз)] ш2 + (22)
+ССз ( а + Ь )2.
Следовательно
dП
~т = Сп (г - аф-г)+Сз (г+вф-г) ; (14)
А =■
А
СпСз (а + Ь у- ^
22 т ш
(23)
= -Сп (г - аф-г1)а + Ь (г + вф-г1) . (15)
d ф
Лф=А [М ш2 (Спа - СзЬ )] . (24)
Дифференциальные уравнения движения в этом случае
Гапг& с^г + С1 1ф = Н1 яіПш)
І а22фі+ с21г + с22ф = Н2 яіПш) ’
(16)
где а^ - коэффициенты инерции; - коэффициенты жесткости.
Частные решения дифференциальных уравнений (16), определяющие вынужденные колебания автопогрузчика, представлены в виде [5]
Учитывая, что знаменатель в формулах амплитуд вынужденных колебаний Аг и Аф
является квадратным многочленом относительно ю2, а корнями этого многочлена являются квадраты частот собственных (главных) колебаний системы ^ и к2, (11), выражения (23, 24) для амплитуд вынужденных колебаний будут представлены в виде [5]
Л=
ССз (а + Ь)2 - J£ш2 ]
JЕМ(ш2 -£2)(ш2 -£22)
(25)
г = Лг яіп(ш t + а),
ф = Лф яіп(ш t + а).
(17)
(18)
Лф =
И [Мш2 (Спа - СзЬ)] JЕM(ш2 -£2)(ш2 -£22)
(26)
Подставив частные решения в систему дифференциальных уравнений движения, определено
(С11 а11ш ) Лг + С12 Лф Н1 С12 Лг +(С22 - а22ш ) Лф+ = Н2
(19)
В результате решения данной системы уравнений выведены формулы для определения амплитуд вынужденных колебаний
Лг =
Н1 (с
1)-Н 2
А
Лф =
, (с11 а11ш ) Н1с
А„„
(20)
(21)
При ю = ^ или ю = k2 амплитуды колебаний с течением времени неограниченно возрас-
п kl
тают, т.е. возникает резонанс. Если у = —
п k2
или — = —, создаётся опасный режим дви-I V
жения автопогрузчика.
Амплитуды вынужденных колебаний в случае резонанса увеличиваются до бесконечности при условии, что отсутствует рассеяние энергии, обусловленное демпфированием. В случае так называемого вязкого демпфирования максимальная амплитуда вынужденных колебаний даже при резонансе имеет конечную величину [6]. Для системы с одной степенью свободы имеем
А = Н
''^тах о ’
рш
И
И
где Н - амплитуда возмущающей силы; в -обобщенный диссипативный коэффициент.
Коэффициент динамичности системы
х = - 1
V
(
1 -
ю
Т2
2 У
(28)
+
ß ю
ak к
где а - обобщённый коэффициент инерции. График зависимости коэффициента дина-
ю
мичности от отношения частот — 161 пока-
k
зывает, что при ю = k и ю ? k демпфирование оказывает второстепенное влияние на коэффициент динамичности. Таким образом, в обоих указанных случаях вынужденных колебаний вполне допустимо полностью пренебречь демпфированием и использовать решения, полученные выше (25, 26).
Выводы
1. Разработаны расчетные схемы несущей системы автопогрузчика, определения центра масс и момента инерции автопогрузчика.
2. Исследовано воздействие собственных колебаний автопогрузчика на грузоподъемный орган и выведены уравнения частот собственных колебаний.
ном наезде передних колес автопогрузчика на препятствие.
Литература
1. Разарьонов Л.В. Підвищення ефективності
роботи короткобазових колісних навантажувачів з бортовою системою повороту: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спец. 05.05.04 «Машини для земляних, дорожніх і лісотехнічних робіт» / Л.В. Разарьонов.
- Х., 2011. - 22 с.
2. Кириченко І.Г. Принципи ефективного
формування модульних будівельних і дорожніх машин: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня д-ра техн. наук: спец. 05.05.04 «Машини для земляних, дорожніх і лісотехнічних робіт» / І.Г. Кириченко. - Х., 2012. - 36 с.
3. Зиновьев В.А. Основы динамики машин-
ных агрегатов / В.А. Зиновьев, А.П. Бессонов. - М.: Машиностроение, 1964. -239 с.
4. Лойцянский Л.Г. Курс теоретической
механики. Ч.2 / Л.Г. Лойцянский,
А.И. Лурье. - М.: ГИТТЛ, 1954. - 595 с.
5. Яблонский А.А. Курс теории колебаний /
А.А. Яблонский, С.С. Норейко. - М.: Машиностроение, 1975. - 248 с.
6. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном
деле / С.П. Тимошенко, Д.Х. Янг, У. Уивер - М.: Машиностроение, 1985.
- 472 с.
2
3. В условиях движения автопогрузчика по неровностям дорожного покрытия разработан вывод амплитуд вынужденных колеба- Рецензент: Л.А. Хмара, профессор, д.т.н.,
ний, обоснованный расчетом коэффициента ХНАДУ
динамичности.
4. Перспектива дальнейших исследований
заключается в исследовании воздействия ко- Статья поступила в редакцию 27 июня
лебаний на грузоподъемник при фронталь- 2012 г.
