К вопросу об определении частот собственных крутильных колебаний многомассовой динамической модели Текст научной статьи по специальности «Физика»

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХШЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ

Вип. №20

Серiя: Техшчш науки

2010 р.

УДК 621.9.048.3

1 2 Карпенко Т.Н. , Чурляев А.В.

К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ МНОГОМАССОВОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Кратко изложены некоторые методы определения собственных частот крутильных колебаний системы со многими степенями свободы. Предложены рекомендации по практической реализации точных методов на ПК.

Ключевые слова: крутильные колебания, динамическая модель, частота, биение, степень свободы.

Карпенко Т.М., Чурляев А.В. До питання про визначення частот власних кру-тильних коливань багатоваговог динамiчноi модели Стисло висловлен деяк ме-тоди визначення власних частот крутильних коливань системи з багатьма ступенями свободи. Запропонован рекомендацп по практичтй реал1зацИ' точних мето-д1в на ПК.

Ключовi слова: крутильш коливання, динам1чна модель, частота, биття, стутнь свободи.

T.N. Karpenko, A. V. Churlyaev. On the problem of determination of frequencies of self-rotating oscillations of ploy-mass dynamic model. Some methods of determination of self- frequencies of turning vibrations of the system with many degrees offreedom are briefly analyzed. Recommendations on practical realization of exact methods on the personal compute were offered.

Keywords: turning vibrations, dynamic model, frequency, beating, degree of freedom.

Постановка проблемы. Большая часть повреждений в трансмиссиях, куда входят силовые агрегаты, редукторы, муфты, происходит в результате возникновения в них крутильных колебаний валов. Знание численных значений собственных частот этих колебаний многомассовой динамической модели очень важно, т.к. при близких частотах возникает явление биения, а при совпадении хотя бы одной собственной частоты с частотой возмущающего силового фактора имеет место резонанс по всем обобщенным координатам. Задача определения собственных частот решается многими приближенными и точными методами [1 - 3].

Цель статьи - сравнение наиболее простых, применяемых в инженерной практике, методов определения собственных частот крутильной динамической модели.

Изложение основного материала. Как известно [3], дифференциальные уравнения движения динамической модели диктуются построенной моделью. Построение динамической модели состоит из нескольких этапов.

1. Для исходной упругой системы определение массовых моментов инерции сосредоточенных масс, учет распределенных масс участков валов: определение жесткостных характеристик: участков валов между массами, соединений, ременной передачи и др.

2. Упрощение исходной цепной или разветвленной упругой системы.

3. Замена упрощенной крутильной системы одним эквивалентным упругим безмассовым валом с насаженными на нем сосредоточенными массами, не обладающими упругими свойствами.

Замена нескольких валов одним (валом приведения) осуществляется из двух условий:

- условия равенства кинетических энергий упрощенной исходной модели и вала приведения с насаженными на нем массами;

- условия равенства потенциальных энергий упругих деформаций и соединений исходной упрощенной модели и вала приведения.

1 канд. физ.-мат. наук, доцент, Приазовский государственный технический университет, г. Мариуполь

2 магистр, Приазовский государственный технический университет, г. Мариуполь

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХШЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ 2010 р. Серiя: Технiчнi науки Вип. №20

Тогда момент инерции к-той массы Jk, находящейся на /-том валу, приведенной к /-тому валу, равен

Л = ^ •, (1)

где и^ - передаточное отношение от /-того вала, вращающегося с угловой скоростью а/,

к/-тому валу, вращающемуся с угловой скоростью с/, т.е.:

с

и/и -

с

3

Податливость /-того вала е/, приведенная к/-тому валу е^, равна

е"р - е-

чр - и2

(2)

(3)

Приступая к определению собственных частот крутильных колебаний составленной динамической модели, мы имеем систему со многими степенями свободы, а значит, и собственных частот будет столько, сколько степеней свободы. Если диапазон возмущающих сил таков, что не требует знания высших частот, колеблющуюся систему сводят к системе с меньшим числом степеней свободы. Это будут приближенные способы определения частот.

Первый приближенный способ - способ парциальных систем [3]. Любую рядную динамическую модель можно разбить на парциальные системы двух типов. Тип «а» - два участка безинерционного вала с насаженной между ними массой Jk. Собственная частота такой системы определяется формулой

ек + еы

I Jкeк ' ек-1

(4)

Тип «б» - участок безинерционного вала с податливостью ек с двумя насаженными по краям массами. Собственная частота такой системы определяется формулой

с

к ,к+1

Л + Л+1 ек ' JkJk+1

(5)

а

б

Метод уменьшения числа степеней свободы основан на том, что парциальную системы типа «а» можно заменить системой типа «б» и наоборот. При этом не искажаются частоты, если инерционные и жесткостные параметры новых систем вычисляются по соответствующим формулам [3] (рис. 1, рис. 2).

Эти эквивалентные новые системы «вставляются» в основную динамическую систему. Таким образом, удается свести систему с большим числом степеней свободы к трехмассовой или к двухмас-совой, для которых частотное уравнение легко решается.

Второй приближенный способ - способ А.П. Черевко-ва [3]. В этом способе к массам с большими моментами инерции присоединяют находящиеся рядом с ними мелкие массы, и тогда момент инерции, эквивалентный Jэ, равен сумме моментов инерций мелких масс. Податливость между эквивалентной массой и ближайшей к ней, например, массой с мо-

Рис. 1 - Замена системы типа «а» системой типа «б»

Л

Jk+1

—

ек

—

Л

Л+Л+1

к+1

Лк + Л-1

Лк + Лк-1

а

Рис. 2 - Замена системы типа «б» системой типа «а»

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХШЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ 2010 р. Серiя: Техшчш науки Вип. №20

ментом инерции J2, не подвергающейся приведению, находят по формуле [4]

J3 +(¿3 + e4 ) J4 + ... + (e3 + e4 + ... ^ ) Jn

(6)

Сравнивая способы Черевкова и парциальных систем [1], приходим к выводу, что для приближенной оценки низшей собственной частоты динамической модели можно пользоваться вторым способом, но более точным является первый.

Следующие два способа являются точными.

Третий способ основан на решении частотного уравнения. Для составления уравнения частот рядной системы с любым конечным числом степеней имеются коэффициенты инерции •к и коэффициенты жесткости Ск. Уравнение частот получим, раскрыв определитель, порядок которого равен числу степеней свободы [4].

= 0. (7)

Q — a2 J1 —Q 0 0 0,0

— Q Q + Q — с212 — Q 0 0,0

0 0 0 0 — Cn—^ Qn—1 — с

Для решения этого уравнения относительно неизвестной частоты со использовался математический редактор Math Cad. Воспользовавшись командой Symbolies /Matrix/ Determinant, получили уравнение, которое решалось с помощью функции Poliroots (v).

Четвертый точный способ - способ Толле (остатков) [2]. Из системы дифференциальных уравнений движения n-массовой системы с обобщенными координатами р - углами закручивания масс и с моментами инерции Ji, i = 1, 2,..., n:

j14>1 —-(p,—1 — p, ) + -(p, — p+1) = 0 , (8)

ei-i ei

путем подстановки в них частных решений

n—1

p, =z A • sin (c+s,), (9)

¿=1

можно получить зависимости между амплитудными значениями колебаний соседних масс А, и Ai-1 для каждой собственной частоты со, т.е.

A, = A,—i —с2 • e,—i£ J,A, . (10)

i=1

Моменты сил упругости участков валов М1,2, М2,3, ..., Мп-1,п вычисляются по формулам

Мш = M-u — Jtap\ i = 1, 2, 3,., n - 1, (11)

здесь а, - относительные амплитуды a, = A, /A1, которые через моменты сил упругости выражаются следующим образом ai+1 = a, + Mii+1 • eii+1, i = 1, 2, 3,., n - 1. Очевидно то, что моменты Mn n+i и M0,i для крайних масс равны нулю.

Если произвольно заданная величина с будет равна искомой частоте собственных колебаний системы, то Mn n+1 = 0. При неудачном выборе значения со на участок (n, n+1) действует некоторый остаточный момент Mnn+1 = R. Построив график зависимостей остатков от частоты с, находят те значения частот, при которых R = 0. Точки пересечения кривой R(c) с осью абсцисс соответствуют собственным частотам, а вычисленные по формулам (10) амплитуды масс системы позволяют построить формы колебаний (это не удавалось сделать другими способами).

Численный анализ нами проводился для восьмимассовой системы, (к которой привелась указанным выше способом автоматическая коробка скоростей токарного станка) третьим и четвертым способами по данным из табл.

Результаты анализа для спектра частот от 0 до 200, рад/с третьим способом представлены на рис. 3, где по оси ординат откладывались значения определителя (7). Применяя метод Толле, вычислялись последовательно величины моментов сил упругости по формулам (11) М12, М23, М3,4, ..., М7,8, подставляя в них значения a, = A, / A1 .

n

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ 2010 р. Сер1я: Техн1чн1 науки Вип. №20

Таблица

Данные для численного анализа

Ji 0,121 4,174-10-3 4,07-10-3 7,27-10-3 9,3-10-3 0,011 0,039 0,25

ег 8,377-10-5 4,32-10-7 1,364 10-4 3,2Ы0-7 2,445-10-4 5,13610-6 8,7810-5

При этом М8,9(ю) должен быть равен нулю. Если со выбрана ошибочно, то М8,9 = R Ф 0. На рис. 4 по оси ординат откладывались величины остатков R(ю). Первая точка пересечения графика R(ю) с осью со и есть первая, неравная нулю частота. В данном примере с1 « 144 1/с.

Рис. 3 - Зависимость значений определителя Рис. 4 - Зависимость остатка от частоты (7) от с

Если в механической системе при передачах от одного вала к другому отсутствуют устройства, обеспечивающие передачу только вращающих моментов, то реальная система дополнительно нагружается поперечными, а иногда, и осевыми усилиями. Тогда принятые нами выражения кинетической и потенциальной энергии будут приближенными и задача определения собственных частот с учетом изгибной и продольной деформаций настолько усложняется, что ее практическое применение в условиях конструкторских бюро, создающих новые машины, очень затруднительно. В связи с этим необходимы дополнительные исследования и рекомендации по недопущению наиболее опасных поперечных и осевых нагрузок в механических системах, передающих вращающие моменты.

Выводы

1. Для приближенной оценки низшей собственной частоты крутильной модели можно пользоваться методом Черевкова А.П., но предпочтительнее использовать приближенный метод парциальных систем.

2. Точные методы (решения частотного уравнения и метод Толле), реализованные с помощью математического редактора Math Cad, дают полностью совпадающие результаты нахождения основной частоты и позволяют найти весь ряд собственных частот.

Список использованных источников:

1. Вынужденные колебания в металлорежущих станках / В. Л. Вейц [и др.]. - М., Л.: Машгиз, 1959. - 288 с.

2. Маслов Г. С. Расчеты колебаний валов / Г. С. Маслов. - М.: Машиностроение, 1980. - 152 с.

3. Ривин Е. И. Динамика привода станков / Е. И. Ривин. - М.: Машиностроение, 1966. - 204 с.

4. Яблонский А. А. Курс теории колебаний / А. А. Яблонский, С. С. Норейко. - М.: Высшая школа, 1975. - 248 с.

Рецензент: М.В. Маргулис, д-р техн. наук, проф., ПГТУ

Статья поступила 08.12.2009