Разработка и исследование Ш-волноводных излучателей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.677.7 В.Н. Лиманский

Разработка и исследование Ш-волноводных излучателей

Излагаются принципы построения и методика итерационного полунатурного моделирования линейных излучателей на основе Ш-волновода для ФАР с низким уровнем боковых лепестков.

Ключевые слова: фазированные антенные решётки, линейные излучатели, уровень боковых лепестков, методика проектирования.

Ш-волновод, предложенный в 1950-х годах Е.Г. Фубини [1], получил своё название по форме поперечного сечения, напоминающего букву Ш. Первые публикации о нём рекламного характера появились в 1956г. [2]. Ш-волновод может быть представлен как результат симметричной бифуркации прямоугольного волновода в режиме Н10 с бесконечной продольной щелью, прорезанной по центру широкой стенки [3].

Симметричный Ш-волновод, имея открытую структуру, является неизлучающим, однако любое нарушение его симметрии приводит к излучению через открытый край, что используется для построения на его основе линейных излучателей. Простейший способ нарушения симметрии Ш-волновода - изменение глубины одного из каналов, что соответствует несимметричной бифуркации прямоугольного волновода, с бесконечной продольной щелью, смещённой относительно середины широкой стенки. Такая антенна вытекающей волны была впервые испытана Ротманом и Олинером [4]. Её луч направлен под некоторым углом 90 к оси волновода, определяемым характерным для антенн вытекающей волны соотношением: ео80о = Х/Хе, где X и X - длины волн в свободном пространстве и в волцДлядформирования луча вблизи нормальной плоскости излучающие неоднородности конечной длины (вкладыши) размещаются на дне волновода периодически по обеим сторонам от центрального ребра [4]. При этом длины неоднородностей выбираются из условия согласования равными половине волноводной длины волны X, а расстояния й между ними - из условия формирования луча под заданным углом 90 к направлению распространения волны по волноводу [5]: еов90 = Х/Хе - Х/2й .

Приведённая в [4] диаграмма направленности такого излучателя значительно отличается от расчётной. Наблюдались характерные признаки асимметричных фазовых искажений в апертуре: смещение луча, заплывы первых боковых лепестков и увеличение уровней боковых лепестков ДН, распложенных в направлении смещения луча от расчётного положения.

Фазовые искажения в апертуре излучателя могут быть оценены из следующих соображений. В каждой точке, где происходит ответвление бегущей по волноводу волны, существуют падающая, прошедшая и ответвлённая волны, и должно выполняться условие баланса комплексных амплитуд напряжённости электрического поля этих волн: Епад= Епр+ Еотв. Кроме того, в силу закона сохранения энергии, = —р + —,2тв. Следовательно, прошедшая и ответвлённая волны находятся в квадратуре, а сдвиг фазы 5ф прошедшей волны по отношению к падающей равен 5ф = — агевт(-Еотв / Епад) = — агеэтл/а , где а - коэффициент ответвления по мощности.

Эти фазовые сдвиги прогрессивно накапливаются по мере удаления от входа излучателя, приводя, таким образом, к искажению расчётного линейного фазового распределения. Другим источником фазовых искажений является взаимодействие излучающих неоднородно-стей в волноводе, учесть которое даже приближённо не представляется возможным. Кроме того, вклад в фазовую ошибку вносят другие приближения, допущенные при расчёте, и различные неучтённые в расчёте факторы, такие как конечная высота стенок волновода, форма раскрыва, конечная длина неоднородностей и др.

На рисунке 1 приведено сглаженное фазовое распределение Фп, измеренное в раскрыве 46-элементного Ш-волноводного излучателя длины Ь = 38Х с амплитудным распределением

Хэмминга J(x) = £+(1-£)в1п2(лх/£), £ = 0,08, за вычетом расчётной линейной составляющей, и соответствующая ему диаграмма направленности.

Эти измерения и расчёты показывают, что имеется линейная составляющая ошибки, на которую накладывается значительное нелинейное искажение. Диаграмма направленности по форме напоминает ДН, измеренную Ротманом [4]. На рисунке 1б пунктиром показана также диаграмма направленности излучателя с расчётным фазовым распределением.

Ф„, град ДН, дБ

а б

Рис. 1. а) распределение фазовой ошибки, б) диаграмма направленности

Для устранения фазовых искажений построим расчётную модель измеренного фазового распределения: подберём величины поправок к фазе волны, излучённой и проходящей по волноводу, для каждой излучающей нагрузки волновода таким образом, чтобы фазовое распределение, рассчитанное с этими поправками, совпало с экспериментальным.

Поскольку все излучатели Ш-линейки находятся практически в одинаковых условиях и имеют одинаковую длину ^/2, будем искать эти неизвестные фазовые поправки как функции лишь одной переменной - высоты Н излучающей неоднородности. Обозначим эти функции ЪфгаЛ(НП) и 5ф'г(йп) соответственно.

Высоты неоднородностей Нп определяются связями ап, необходимыми для формирования требуемого амплитудного распределения Jn = J(d■n) с необходимым КПД п, Л - период данной решётки:

ап =

л

(1)

1 N П-1

-2 л

' 1=0 1=0

Для нахождения периода Л необходимо знать коэффициент замедления волновода у = Х/Хг. Согласно [4], он равен:

=71-

1+

1-Я2

2Нд 1-

X

1-я2

(2)

где я

х_

X с

71-

86,

1-(1+§г )3 х

Хс - критическая длина волны, равная Хс = 41 +--1п 2,

с п

I - высота центрального ребра,

6 - расстояние между ребром и стенкой волновода.

Параметр 5 учитывает конечную толщину £ центрального ребра [4]:

5 =Та

21п

£ £

2Ь -*- 1п 2Ь 2Ь1 2 2Ь

-2ЬЬ > (1 -- )2 2Ь

Нормированный к длине волны коэффициент погонного затухания к, определяющий величину коэффициента ответвления в несимметричном Ш-волноводе, может быть представлен в следующем виде [5]:

1-5,

Г

71-

г

2Нд А )

Ф—1 (1 + 5, )4 (1-2Й£)(1-22Й£у

к (Н) = п2

V1-?' (1 + 5г) Н-2 _

А ) А

Тогда величина связи а излучающей неоднородности длиной I определится следующим образом:

-2к (к)~

а(Н) = 1- е А.

Разрешив это выражение относительно к с учётом (1), находим необходимые высоты не-однородностей [5]:

к(к)

1-5,

к2 +4п2

1 + 5,

•к -3к

(3)

1-5,

1

1

Г

1+5

— 2к

Результаты работ [3, 4, 6], на основании которых были получены данные выражения, были подтверждены расчётами Осипова [7-9].

В принятых выше обозначениях искомая суммарная фазовая поправка для п-го вкла-

п—1

дыша определится следующим образом: 5фп = 5фгаа + ^5ф|г.

¡=0

Для многоэлементных линейных излучателей, какими обычно являются элементы ФАР, величины связей ап не превышают величин порядка -10 дБ, и их можно считать малыми величинами. Вследствие этой малости неизвестные функции 5фшЛ(к) и 5ф'г(й) могут быть представлены несколькими первыми членами их разложения в ряд по степеням к/Х. В первом приближении ограничимся первыми членами этого разложения:

5фга<г (к) = у Н

А

5ф£г (Н) = и• -Н.

(4)

(5)

Тогда, отсчитывая фазу при измерениях от первого элемента, т.е. Ф0 = 0, и обозначив

п—1

Н = ^ к , введём искомую аппроксимирующую функцию:

п £

¡=0

^ , ч Н к - к0

^ (и^) = и-^- + -0.

л ; А А

Коэффициенты и, V необходимо определить таким образом, чтобы ¥п(и,ь) наименее отличались от экспериментальных значений фазы Фп. Для этого потребуем, чтобы:

- их среднее по п отклонение было равно нулю, — Ф = 0 ;

- их среднеквадратичное по п отклонение было минимально.

2

2

2

2

2

2

Из этих двух условий определяем две искомые неизвестные величины:

2[( ■(Нп -н0)-Фп)■( + С: ■(Нп -Н) Ф_и —

u =

Здесь c1 = ■

N-Hn

Hn — Nh0

2.[Hn + Ci \hn — h0 )]2

v = -

n

(hn—ho)

Hn — Nho

В рассматриваемом примере их значения получились равными: и/Ь = 0,02, v/k = -9,06.

На рисунке 2 приведено измеренное фазовое распределение за вычетом найденных поправок и соответствующая ему расчётная диаграмма направленности.

Из этих расчётов следует, что зависимость фазовых поправок от высоты не ограничивается линейной составляющей, однако учёт одной только этой составляющей позволил бы сформировать линейное с точность до трёх градусов фазовое распределение и получить диаграмму направленности, довольно близкую к расчётной.

n

n

F-Ф, град

А

n

ДН, дБ

А

ш

ш

м

- 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

в,град

а б

Рис. 2. а) экспериментальное фазовое распределение, б) диаграмма направленности

за вычетом расчётных поправок

Поскольку фаза возбуждения излучающей неоднородности полностью определяется её положением в волноводе, практическая компенсация фазовых искажений возможна за счёт выбора новых положений вкладышей в волноводе. Считая, что фазовые центры этих неодно-родностей расположены посредине их длин, равных Хг(й)/2, получаем из условия формирования луча в направлении в0 от нормали в сторону нагрузки расстояния Лп между п-м и (п1)-м вкладышем:

п-1 Н, Нп - Н0

— + V—11--

X,(hn—i) + X,(hn) 1=0 X X

u 2

d = X 2X, (0)_П (6)

n 2 Y(0) — sin во '

Простейшее практическое решение задачи - последовательное перемещение вкладышей по дну волновода в соответствии с этими dn. Однако при этом искажается амплитудное распределение, в результате чего ДН принимает характерный вид, представленный на рисунке 3а: вблизи главного лепестка появляются довольно высокие «приливы», которые можно трактовать и как первые боковые лепестки, уровень остальных боковых лепестков не превышает расчётного. Положение главного максимума совпадает с его расчётным значением в0 = 8°. ДН стала несколько уже исходной, так как линейка стала чуть длиннее.

Искажение амплитудного распределения имеет двоякий характер: помимо возникшего в результате смещения вкладышей несоответствия амплитуд их новым положениям, проявляется неэквидистантность излучателей, так как теперь на каждый вкладыш приходится различный участок апертуры. Последний эффект легко устраняется нормировкой распределения токов Jn с весом, равным новым межэлементным расстояниям йп:

J' = J • ^.

п п А

Расчётные ДН, соответствующие этим изменениям амплитудного распределения, приведены на рисунке 3б.

Эти расчёты показывают, что характерные для Ш-волноводных излучателей приливы ДН могут быть устранены достаточно простой корректировкой амплитудного распределения.

Необходимые изменения амплитудного распределения практически могут быть осуществлены изменением высот Нп излучающих неоднородностей в соответствии с (3). После этого получается ДН, изображённая на рисунке 4а.

Так как высоты вкладышей изменились, снова исказилось фазовое распределение. Его можно исправить, передвинув вкладыши в соответствии с (6). В результате этого шага получается ДН, представленная на рисунке 4б.

ДН, дБ

ДН, дБ

- 5 - 10

- 15

- 20

- 25

- 30

- 35

- 40

- 45

- 50

- 10 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

•10- 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

в,град в,град

а б

Рис. 3. а) ДН Ш-линейки со смещёнными вкладышами, б) ДН с компенсацией неэквидистантности

а б

Рис. 4. а) ДН Ш-линейки с изменёнными высотами вкладышей, б) ДН той же линейки с передвинутыми вкладышами

Изменение расстояний dn в свою очередь потребует восстановления амплитудного распределения J'n , т.е. изменения высот вкладышей, что повлечёт за собой необходимость изменения межэлементных расстояний. Этот итерационный процесс довольно быстро сходится. После трёх-четырёх шагов итерации боковые лепестки ДН практически не изменяются. Отметим, что данный итерационный процесс не требует промежуточных контрольных измерений и может быть полностью выполнен расчётным путём.

Для более точной компенсации фазовых ошибок линейное приближение 5фгЫ(Н) и Ъф>г(Н) может оказаться недостаточным, и потребуется разложение по более высоким степеням Н/Х. Для этого представим фазовое распределение в раскрыве Фп = Ф(хп) как функцию (М1 + М2) неизвестных переменных и1...иМ1 и v1...vM2 - коэффициентов разложения фаз проходящей и излучённой волн соответственно. Количество членов разложения М1 и М2, которое необходимо учитывать, определяется в процессе проектирования по заданной максимально допустимой фазовой ошибке.

Формально мы получили набор из (N+1) функций Фп(и), где и = (и1, ..., иш v1, ..., vM2) - координата в М = М1 + М2-мерном евклидовом пространстве ЕМ.

Как и ранее, будем считать х0 = 0. Тогда фазовая поправка для первого вкладыша состоит только из второго члена - поправки в фазу излучения:

2

Фо("0 = 2

Для всех последующих вкладышей необходимо учитывать поправку к фазе проходящей по волноводу волны, накопленную на предыдущих вкладышах:

Фп (w) = 2

2п

1 g (0)

•U

I +-.,

i i-1

+

1g (hi) 1g (hi-i)

+ 2 Wm

m=1

h

M2

+2w

m=1

, n = 1...N.

Отметим, что все функции Фп(и) являются линейными функциями своих аргументов и = (и1, ..., иМ1 v1, ..., vM2) с известными коэффициентами.

Эти коэффициенты представляют собой комбинации определённых на данном этапе проектирования размеров неоднородностей и их функций:

Ф = А-и + В, где

Anm

для m <МЛ и A =

^ 1 nm

К

m

1

для m > М1,

\ /

а коэффициенты Bn определяются из выражения:

Вп=2

2л 1,(0)'

d -1 + п-

-

- + -

-i-i

1g(hi) 1g (hi-i)

— 1

Будем искать решение задачи в чебышевском смысле: найдём такие коэффициенты разложения поправок u1, ..., uM1 v1, ..., vM2, при которых максимальное по апертуре отклонение расчётного фазового распределения On(w) от измеренного х¥п будет наименьшим.

Иначе говоря, необходимо найти точку w* в подпространстве W в евклидовом пространстве ЕМ, в которой достигается минимум максимальной по п, п б [0 : N], целевой функции f(w) =|Фп(w)-|, равный 9(w) = max f (w*) = min max f (w).

ne[0:N] weW ne[0:N]

Этот принцип оптимального выбора параметров представляет собой дискретную минимаксную задачу [10].

Для того чтобы точка w* была точкой минимума функции 9(w) на En, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

inf Mwü ^ 0.

ИИ dg

Данное условие эквивалентно включению начала координат в выпуклую оболочку множества производных SOn(w)/5w:

0 е L(w*).

m=1

i=1

i=1

i=1

Известно несколько методов минимизации функции максимума. В любом из них необходимо задать некоторое начальное приближение. В качестве такового можно использовать найденное на первом этапе решение для w1 = u и wM1+1 = v, положив все остальные неизвестные переменные равными нулю.

Простейшим является метод покоординатного спуска, при котором ищется минимум функции последовательно вдоль каждой оси координат, исходя из точки начального приближения. В общем случае найденное таким методом решение w0 не только не является точкой локального минимума, но может не быть даже стационарной точкой функции 9(w), то есть 0 g L(w0) [10].

Другой простейший метод - метод наискорейшего спуска. В его основе лежит то обстоятельство, что если исходная точка w0 не является стационарной точкой функции 9(w), то существует единственное направление g(wp) наискорейшего спуска к стационарной точке wp: g(wp) = -Z*/|| Z*||, где Z* - ближайшая к началу координат точка множества L(wp).

Метод наискорейшего спуска является более гибким методом, чем метод покоординатного спуска. Однако и он в общем случае не обладает основным свойством - сходимостью [10]. Причина кроется в том, что функция максимума 9(w) не является гладкой (непрерывно дифференцируемой) функцией, что может привести к так называемому эффекту «заедания» процесса, препятствующему его сходимости к искомому решению.

Этих недостатков лишены методы последовательных приближений, такие как метод е-наискорейшего спуска и .D-метод, использующий непрерывную функцию D(w) на всём множестве Еп [10]. Сущность D-метода заключается в следующем.

Функции fn(w) в исходной точке w ранжируются в порядке убывания.

Вводится множество индексов R(x), для которых fn(w) достигает своего максимального значения,равного 9(w):

R(w) = {n £ [0: N]fn (w) = q>(w)}.

Обозначим m количество разных уровней функции fn(w) (очевидно, что 0 < m < N+1) и Jk - набор индексов n, относящихся к k-му уровню:

Jk(w) = {nv...,n, }, k£[0:m].

ч ¡k

Следуя [10], введём константы ak:

at(w) = 9(w) - f (w), i £ Jk(w).

Ясно, что a0(w) = 0 и 0 = a0(w) <ax(w) <... <am(w).

S

Далее, введём индексные множества RS (w) = U Jk (w), s £ [0: m].

k=0

Очевидно, что R 0(w) = R(w) и Rm (w) = [0: N].

Обозначим Re(w) набор индексов n, для которых fn(w) отличаются от своего максимального значения 9(w) не более чем на некоторую величину е:

Re (w) = {n 19(w)- fn (w) < е}, е > 0.

Тогда Re(w) = RS(w), если as(w) < e < as+1(w), s £ [0: m]. В частности,

Re(w) = R(w), если 0 < e < ax(w), (7)

Re(w) = [0: N]), если am(w) < e (8)

Пусть V(w) = min max (g), (9)

П£щ>) dw

уе(w) = min max (—fn(w),g). (10)

ljgjj=1 niR(w) dw

Очевидно, что у0(w) = у(w). Из этого определения видно, что ye(w) как функция от е, 0 < е < является неубывающей и кусочно-постоянной.

Зафиксировав некоторое значение е0, положим D(w) = inf еуе(w).

е£[0:е0 ]

Справедливо следующее представление функции В(и):

В(и) = тт( а^ ao(u),..., ат у amJw), £ о V ат (и)).

Введённая таким образом функция В(и) является непрерывной функцией своего аргумента и. Для того, чтобы функция максимума ф(и) достигала минимума в точке и*, необходимо, а в случае выпуклости ф(и) и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

В(и*) = 0.

Таким образом, задача отыскания стационарных точек функции ф(и) сводится к задаче минимизации непрерывной функции В(и).

По данной методике была спроектирована Ш-линейка с рабочей длиной 38Х, с амплитудным распределением Хэмминга, п = 0,97. При расчёте параметров излучателя использовалось разложение функций фазовых поправок по степеням Н/Х до третьего порядка малости (М1 = М2 = 3).

Экспериментальная диаграмма направленности Ш-линейки, изготовленной по расчётным данным, приведена на рисунке 5. Эта ДН измерялась в дальней зоне в составе фрагмента из 5 одинаковых линеек на антенном полигоне с паспортным коэффициентом безэховости КБЭ = -23 дБ. Для измерения низких уровней боковых лепестков выбиралось место установки поворотного стенда, в котором исключались отражения от местных предметов в необходимом секторе углов поворота стенда (около ±15°). Кроме того, для снижения отражения от земли подстилающая поверхность вблизи стенда выкладывалась поглощающим материалом. Эти меры обеспечили снижение локального КБЭ и позволили измерить диаграмму направленности Ш-линейки с необходимой глубиной. Наличие регулярных нулей в ДН показывает, что уровень мешающих сигналов не превышает величины порядка минус 50 дБ. Это свидетельствует о том, что боковые лепестки данной ДН имеют реальный уровень не выше минус 38-40 дБ.

Многократные последующие измерения различных образцов излучателей показали, что уровень боковых лепестков ДН данного Ш-волноводного излучателя не превышает расчётного значения для выбранного амплитудного распределения - 40 дБ.

Конструктивные особенности излучателя - коаксиальный переход, позволяющий эффективно использовать излучатель для построения ФАР, форма его излучающего раскрыва и конфигурация вкладышей (рис. 6) защищены рядом патентов [11-13].

Можно предположить, что компенсация фазовых ошибок по изложенной методике позволит создать Ш-волно-водный излучатель и с более низким УБЛ, с применением соответствующих амплитудных распределений.

дБ

/\ 0-

#

л

5 7.5 10 12.5 15 17.5

град

Рис. 5. Экспериментальная ДН Ш-волноводного излучателя

Торцевая /

Коаксиал

Трансформатор

Излуча раскрыв

Четвертьволновый изолятор Рис. 6. Конструкция элементов Ш-волноводного излучателя

Вкладыш

Так как методика проектирования не привязана к конкретному типу линейного излучателя, она может быть использована для проектирования излучателей с низким уровнем боковых лепестков на основе вытекающей волны любого типа, в том числе волноводно-щелевых решёток.

Литература

1. Packard K.S. The Cutoff Wavelength of the Trough Waveguide // IRE Trans. Antennas Propagation. - 1958. - Vol. MTT-6X. - P. 455.

2. The trough waveguide [Рекламное сообщение]. - Proc. IRE. - 1956. - Vol.44, №8. -P. 2A.

3. Rotman W. Some New Microwave Antenna Design Based on the Trough Waveguide / W. Rotman and N. Karas // IRE Conv. Rec. - 1956. - Pt. 1. - P. 230.

4. Rotman W. Asymmetrical trough waveguide antennas / W. Rotman and A. A. Oliner // IRE Trans. Antennas Propagation. - 1959. - Vol.7. - P. 153-162.

5. Лиманский В.Н. Усовершенствованная методика проектирования Ш-волноводных излучателей // 27 НТК Теория и техника антенн. - М. : АО Радиофизика, 1994. - С. 326-329.

6. Сканирующие антенные системы СВЧ / пер. с англ. / под ред. Г.Т. Маркова и А.Ф. Чаплина. - М. : Сов. Радио. - 1969. - Т. 3. - C. 32.

7. Осипов Л.С. К вопросу конструирования широкополосных переходов от коаксиальной линии к Ш-волноводу // Вопросы радиоэлектроники. Серия общетехническая. - 1962. -Вып. 6. - С. 3-12.

8. Осипов Л.С. К теории Ш-образного полуоткрытого волновода // Вопросы радиоэлектроники. Серия общетехническая. - 1962. - Вып. 6. - С. 13-29.

9. Осипов Л.С. Ш-образный полуоткрытый волновод / Л.С. Осипов // Вопросы радиоэлектроники. Серия общетехническая. - 1960. - №7. - С. 13-27.

10. Демьянов В.Ф. Введение в минимакс / В.Ф. Демьянов, В.Н. Малоземов. - М. : Наука, 1972. - 368 с.

11. Пат. 2049368 Российская Федерация, МПК6 H 01 Q 11/02. Устройство возбуждения линейного излучателя фазированной антенной решетки на Ш-образном волноводе / Е.И. Бе-лошапкин, В.Н. Макаридин, Ю.А. Кожухов ; заявитель и патентообладатель Научно-исслед. ин-т измерительных приборов. - №5100295/09 ; заявл. 19.07.1991 ; опубл. 27.11.1995, Бюл. №33. - С. 247 : ил.

12. Пат. 2237323 Российская Федерация, МПК7 H 01 Q 11/02. Линейный излучатель ФАР РЛС / В.М. Балабонин, Е.И. Белошапкин, Ю.А. Кожухов, В.Н. Лиманский ; заявитель и патентообладатель ОАО Научно-исслед. ин-т измерительных приборов. - №4540516/09 ; заявл. 25.03.1991 ; опубл. 27.09.04, Бюл. №27. - С. 448 : ил.

13. Пат. 2237953 Российская Федерация. МПК7 H 01 Q 11/02. Линейный излучатель на Ш-образном волноводе / В.М. Балабонин, Е.И. Белошапкин, Ю.А. Кожухов, В.Н. Лиманс-кий ; заявитель и патентообладатель ОАО Научно-исслед. ин-т измерительных приборов. -№4538465/09 ; заявл. 10.01.1991 ; опубл. 10.10.04, Бюл. №28. - С. 431 : ил.

Лиманский Владимир Николаевич

Доцент кафедры прикладной электродинамики Сибирского государственного университета

телекоммуникаций и информатики (СибГУТИ), г. Новосибирск

Тел.: 89139192376

Эл. почта: v_lim@mail.ru

V.N. Limanskiy

Study trough waveguides and development of trough waveguide radiators

Principles of semi-natural modeling of linear radiators are given on account of low-sidelobe phased arrays. Keywords: phased arrays, linear radiators, low side lobes, designing methods.