CC BY
55
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
НАУКИ
УДК 519.854:[004.8+004.023] Д. Д. КОЛОКОЛОВ
Т. В. ЛЕВДНОВД Ю. С. ПОЗДНЯКОВ
Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РДН
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского
РАЗРАБОТКА И АНАЛИЗ ИММУННОГО АЛГОРИТМА КЛОНАЛЬНОЙ СЕЛЕКЦИИ ДЛЯ ЗАДАЧИ О р-МЕДИАНЕ
Разработан иммунный алгоритм клональной селекции для решения задачи о р-медиане с использованием медели целочисленного линейного программирования. Проведено сравнение с алгоритмом муравьиной колонии и представлены результаты экспериментальных исследований.
Ключевые слова: дискретная задача размещения предприятий, задача о р-медиане, иммунный алгоритм клональной селекции, целочисленное линейное программирование. Работа поддержана грантами РФФИ (проекты 13-01-00862 и 14-01-00656).
Введение
Различные проблемы, возникающие в таких областях, как размещение производственных объектов, сфера услуг, сотовая связь и др. [1, 2], сводятся к известной NP-трудной задаче о р-медиане.
Практические задачи во многих случаях характеризуются большой размерностью, поэтому использо-
вание точных методов не всегда представляется возможным. В связи с этим широкое применение получили методы приближенного решения, среди которых выделяются алгоритмы, основанные на аналогиях с процессами, протекающими в природе. Подобные алгоритмы способны находить достаточно хорошие решения благодаря возможности преодолевать
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014
6
точки локального минимума. К таким методам относятся имитация отжига [3], генетические алгоритмы
[4], алгоритмы муравьиной колонии [5], пчелиного роя [6] и др.
Перспективным направлением в поиске приближенных решений сложных задач также является использование иммунных алгоритмов [7, 8]. Данный подход базируется на имитации процессов иммунной системы человека, задача которой состоит в защите организма от различных патогенов путем поиска и постоянного совершенствования методов борьбы с ними. Иммунные алгоритмы могут быть реализованы по нескольким схемам, основанным на аналогии с поведением различных иммунных клеток.
В данной работе предложен гибридный алгоритм для решения задачи о р-медиане с использованием модели целочисленного линейного программирования (ЦЛП), в котором сочетаются схема клональной селекции и процедура локального поиска. Приведены результаты экспериментального сравнения с алгоритмом муравьиной колонии [9] на примерах задачи различной структуры.
Статья имеет следующую структуру. В разд. 1 дается постановка задачи о р-медиане. В разд. 2 приводится схема алгоритма клональной селекции и предлагается вариант такого алгоритма, сочетающий в себе процедуру локального поиска. В разд. 3 дается описание алгоритма муравьиной колонии, предложенного ранее для данной задачи. В разд. 4 содержатся результаты вычислительного эксперимента.
1. Задача о р-медиане
Задача о р-медиане [1] может быть сформулирована следующим образом. Определено конечное множество пунктов возможного размещения (открытия) предприятий I и множество клиентов J. Предприятия производят однородный продукт в неограниченном количестве. Известны затраты С/ на обслуживание клиента/ предприятием, открытым в пункте i, включающие издержки на производство и транспортировку. Требуется разместить р предприятий и прикрепить к ним клиентов так, чтобы спрос каждого клиента был удовлетворен, а суммарные производственно-транспортные затраты — минимальны.
Опишем модель целочисленного линейного программирования (ЦЛП), для этого введем следующие переменные:
1, если в пункте і открыто предприятие, 0 - иначе,
1, если предприятие, открытое в пункте і, обслуживает клиента j,
0 - иначе.
Тогда модель ЦЛП имеет вид:
ЕЕсчхч ^ тіп
іеї jеJ
при условиях
Е хч= 1 j е / ■
іеї
К ^ хч, і е 1, j е /,
Е к = Р'
іеї
кі, х„ е {0, 1}, і е ї, j е /.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Целевая функция (1) состоит в минимизации суммарных производственно-транспортных затрат. Требование удовлетворить потребности каждого клиента выражено условиями (2). Возможность обслуживания только с открытых предприятий описывается ограничением (3). Число открытых предприятий определяется равенством (4).
Далее в качестве решения задачи (1) — (5) будем считать вектор г= ^), так как известно, что для любого вектора z существует и легко находится матрица (X/), обеспечивающая минимальные затраты при данном выборе открытых предприятий.
2. Иммунный алгоритм клональной селекции
Для решения указанной задачи нами предлагается алгоритм клональной селекции, построенный по схеме, сочетающей механизмы функционирования иммунной системы: отбор, клонирование клеток и их мутацию. Защитная реакция организма заключается в подавлении действия патогенов путем их связывания иммунными клетками. Отбору и дальнейшему клонированию подвергаются клетки, обладающие более высокой силой связывания. Другие клетки мутируют, что способствует улучшению их качества. В разработанном алгоритме аналогом иммунной клетки выступает допустимое решение задачи, а значение целевой функции соответствует величине силы связывания.
Схема алгоритма клональной селекции
Шаг 1. Инициализация: создание начальной популяции клеток.
Итерация к, к>1
Шаг 2. Связывание антигена: вычисление качества иммунных клеток.
Шаг 3. Селекция: отбор лучших клеток.
Шаг 4. Репродукция: создание клонов лучших клеток и мутация.
Переход к следующей итерации, к:=к+1.
В разработанном алгоритме используются процедуры локального поиска по 1^шар и к^шар окрестностям, поскольку они сохраняют количество единиц в булевых векторах и заключаются в следующем. Пусть множество 1г — набор открытых предприятий, соответствующий решению z задачи о р-медиане (| 1г | = р). Тогда 1^шар окрестность этого решения содержит все решения z', полученные из z закрытием одного предприятия из набора 1г и открытием другого из подмножества Мг. Таким образом, каждое решение Z содержит ровно р открытых предприятий, и расстояние Хэмминга между соответствующими векторами z и ^ равно 2:
= К1Е N- к'1 =2 Ы = р
іеї
Аналогично определяется окрестность к^шар, как множество векторов, в которых к единиц замены на 0, а к нулей — на единицы:
м^р№ = \К1Е К-- К'\ =2к- Ы = р
Перейдем к описанию разработанного алгоритма клональной селекции. На первом шаге этого алгоритма случайным образом создается начальное множество решений П0, в которых размещено р предприятий.
В начале каждой итерации к формируется некоторое множество решений ПкЬе!1 с Пк-1с высоким значением целевой функции.
Затем выполняются процедуры, в результате которых создаются по несколько копий каждого реше-
=
х
еї
ния и случайным образом изменяют их. При этом количество копий линейно зависит от силы связывания, но не превышает числа Ксору, заданного перед началом работы алгоритма.
Процедура модификации включает несколько операций. Сначала решение заменяется на соседнее, лежащее в окрестности к^шар. Затем выполняется процедура локального поиска с 1^шар окрестностью, результат работы которого является итогом модификации.
3. Алгоритм муравьиной колонии
Нами проведено сравнение разработанного алгоритма с алгоритмом муравьиной колонии, который широко применяется для решения различных задач дискретной оптимизации и позволяет получать достаточно хорошие результаты. В работе [9] предложен гибридный вариант такого алгоритма для задачи о р-медиане с использованием локального поиска по к^шар окрестности.
Центральной идеей любого алгоритма муравьиной колонии (МК) является накопление и использование информации о множестве допустимых решений, которую собирают искусственные муравьи. На каждой итерации такого алгоритма выполняется несколько запусков алгоритма искусственного муравья (ИМ) для построения некоторого множества решений. На основе полученных решений собирается статистическая информация, обрабатывается и используется на следующих итерациях.
Схема алгоритма ИМ для задачи о р-медиане
Шаг 1. Открытие всех предприятий.
Итерация г, г>1.
Шаг 2. Прекращение работы алгоритма, если осталось ровно р открытых предприятий.
Шаг 3. Отбор предприятий-кандидатов, закрытие которых приведет к большему увеличению целевой функции.
Шаг 4. Закрытие предприятий, случайно выбранных из списка кандидатов.
Переход к следующей итерации, г:=г+1.
В начале работы алгоритма ИМ открыты все предприятия. На каждой итерации закрывается одно из них. Выполнение алгоритма заканчивается пока не останется р открытых предприятий. Для улучшения качества получаемого решения применяется процедура локального поиска с окрестностью к^шар.
В реализации алгоритма МК использовалась модель с элитой, в которой для сбора статистической информации отбираются лучшие решения по целевой функции.
Таблица 1
Результаты вычислительных исследований алгоритмов КС, МК для задачи о р-медиане
Класс задачи КС МК
, % Ф, % Sav , % Ф, %
Gap-A 0,80 10,00 1,34 16,11
Gap-B 5,20 26,67 3,08 27,44
Gap-C 6,23 6,67 5,82 20,88
PC 1,60 0,00 1,52 0,00
FPP 0,61 0,00 1,41 0,00
CB 1,38 0,00 2,17 0,00
Схема алгоритма муравьиной колонии для задачи р-медиане
Шаг 1. Определение начального уровня феромона; задание параметров алгоритма.
Итерация k, k>1.
Шаг 2. Построение некоторого множества допустимых решений с использованием алгоритма искусственного муравья.
Шаг 3. Отбор лучших по значению целевой функции решений, которые будут составлять элиту.
Шаг 4. Вычисление нового уровня феромона, используя элиту.
Шаг 5. Обновление рекорда.
Шаг 6. Завершение работы алгоритма, если выполнено условие остановки.
Переход к следующей итерации, k:=k+1.
4. Результаты вычислительного эксперимента
Алгоритм клональной селекции (КС) был реализован на языке программирования C++ и запускался на компьютере с процессором Intel® Core™ i5 — 2430M 2.4~GHz. Алгоритм муравьиной колонии (МК) реализован на том же языке, тестирование производилось на компьютере с процессором AMD® Athlon™ 1900 XP.
Для исследования алгоритмов использовались тестовые примеры различной структуры и сложности, представленные в библиотеке тестовых задач «Дискретные задачи размещения» [10]. Множество примеров разбито на 6 серий: примеры с большим разры-
Рис. 1. Результаты вычислительного эксперимента.
Частота запусков, в которых не найдено ни одного допустимого решения
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014
Рис. 2. Результаты вычислительного эксперимента. Средняя погрешность
вом двойственности (Gap-A, Gap-B, Gap-C), примеры, построенные с помощью совершенных бинарных кодов (PC), примеры на шахматной доске (CB) и на проективных плоскостях (FPP).
В табл. 1 приведены результаты вычислительного эксперимента, где &av — среднее относительное отклонение значения целевой функции от оптимального для лучших найденных решений каждого запуска, ф — процент от общего числа запусков, в которых не найдено ни одного допустимого решения.
Иммунный алгоритм клональной селекции нашел допустимые решения в большем количестве запусков (рис. 1) и имел меньшее среднее относительное отклонение значения целевой функции от оптимального (рис. 2) при решении примеров Gap-A, FPP и CB.
Проведенные исследования показывают, что иммунные алгоритмы позволяют получать решения для задачи о р-медиане с лучшим значением целевой функции по сравнению с алгоритмом муравьиной колонии. В связи с этим представляется перспективным применение данного подхода для разработки алгоритмов решения других задач дискретной оптимизации.
Библиографический список
1. Mirchandani, P., Francis, R. Discrete Location Theory. — New York, NY: Wiley. — 1990.
2. Cornuejols, G., Fisher, M. L., Nemhauser, G. L. Location of Bank Accounts to Optimize Float: An Analytic Study of Exact and Approximate Algorithms // Management Science. — 1977. — Vol. 23, no. 8. — P. 789-810.
3. Kirkpatrick, S., Galatt, C. D., Vecchi, M. P. Optimization
by simulated annealing // Science. — 1983. — Vol. 220, no.
4598. — P. 671-680.
4. Holland, J.H. Adaptation in Natural and Artificial Systems: An Introductory Analysis with Applications to Biology, Control and Artificial Intelligence. — Cambridge, MA, USA: MIT Press, 1992.
5. Dorigo, M., Maniezzo, V., Colorni, A. The Ant System: An Autocatalytic Optimizing Process. Technical Report 91-016. — Milano, Italy, 1991. — 21 p.
6. Lucic, P., Teodorovic, D. Bee system: modeling combinatorial optimization transportation engineering problems by swarm intelligence // Preprints of the TRISTAN IV triennial symposium on transportation analysis. — 2001. — P. 441-445.
7. De Castro, L.N. Immune, swarm, and evolutionary algorithms part I: Basic Models // Proc. of the ICONIP Conference (International Conference on Neural Information Processing), Workshop on Artificial Immune Systems. — 2002. — Vol. 3. — P. 1464-1468.
8. Колоколов, А. А. Алгоритмы искусственной иммунной системы для вариантной задачи размещения телекоммуникационных центров / А. А. Колоколов, Т. В. Леванова, Ю. С. Поздняков // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. — 2013. — № 1. — С. 35-44.
9. Колоколов, А. А. Алгоритмы муравьиной колонии для задач оптимального размещения предприятий / А. А. Колоколов, Т. В. Леванова, М. А. Лореш // Омский научный вестник. — 2006. — № 4 (38). — С. 62-67.
10. Benchmarks library [Электронный ресурс]. — URL: http://www.math.nsc.ru/AP/benchmarks/index.html (дата обращения: 26.08.2013).
КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), заведующий лабораторией дискретной оптимизации Омского филиала Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.
Адрес для переписки: kolo@ofim.oscsbras.ru ЛЕВАНОВА Татьяна Валентиновна, кандидат физико-математических наук, доцент (Россия), старший научный сотрудник Омского филиала Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.
Адрес для переписки: levanova@ofim.oscsbras.ru ПОЗДНЯКОВ Юрий Сергеевич, соискатель по кафедре прикладной и вычислительной математики Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского.
Адрес для переписки: yura.pozdnyakov@gmail.com
Статья поступила в редакцию 02.04.2014 г.
© А. А. Колоколов, Т. В. Леванова, Ю. С. Поздняков
