CC BY
72
3. D. J. Wales, J. P. K. Doye, A. Dullweber, M. P. Hodges, F. Y. Naumkin F. Calvo, J. HernSndez-Rojas and T. F. Middleton. The Cambridge Cluster Database, URL: http://www-wales.ch. cam.ac.uk/CCD.html .
4. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method // Journal of the American Statistical Association. 1949, Vol. 44, pp. 335 — 341.
5. Frenkel D. Understanding molecular simulation: from algorithms to applications / Frenkel D., Smit B. - San Diego: Academic Press, 2002. — 638 p.
6. Landau D.P., and Binder K. A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. — 2nd ed. — Cambridge: Cambridge University Press, 2000. — 449 p.
7. Leach A.R. Molecular Modelling: Principles and Applications. — 2nd ed. — Prentice Hall, 2001. — 773 p.
8. McKenna K.P., Sushko P.V. and Shluge A.L. Transient Atomic Configurations of Supported Gold Nanocrystallites at Finite Temperature // Journal of Physical Chemistry C, 2007, Vol. 111, pp. 2823-2826.
9. Mbller M., Albe K. Lattice Monte Carlo simulations of FePt nanoparticles: Influence of size, composition, and surface segregation on order-disorder phenomena // Physical Review B, 2005, Vol. 72, pp. 094203.
10. Gupta R. P. Lattice relaxation at a metal surface // Physical Review B, 1981, Vol. 23, pp. 6265-6270.
11. Cleri F., Rosatto V. Tight-binding potentials for transition metals and alloys // Physical Review B, 1993, Vol. 48, pp. 22-33.
12. Sutton A.P., Chen J. Long-range Finnis-Sinclair potentials // Philosophical Magazine Letters, 1990, Vol. 61, pp. 139-164.
13. Germann T. C., Kadau K., Lomdahl P. S. 25 Tflop/s Mul-tibillion-atom Molecular Dynamics Simulations and Visualization/ Analysis on BlueGene/L // Proceedings of the 2005 ACM/IEEE Conference on Supercomputing. 2005.
14. Myshlyavtsev A., Stishenko P. Monte Carlo model of CO adsorption on supported Pt nanoparticle // Applied Surface Science. 2010. Vol. 256, no. 17. Pp. 5376-5380.
МЫШЛЯВЦЕВ Александр Владимирович, доктор химических наук, профессор кафедры «Химическая технология переработки углеводородов», проректор по учебной работе.
СТИШЕНКО Павел Викторович, младший научный сотрудник кафедры высшей математики.
Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 30.08.2011 г.
© А. В. Мышлявцев, П. В. Стишенко
УДК 51987 М. А. БАРЫШНИКОВ
А. А. КОЛОКОЛОВ
Омский государственный технический университет
Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН
РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ РАЗВОЗКИ НЕФТЕПРОДУКТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ_______________________________
В работе рассматриваются задачи оптимальной развозки нефтепродуктов. Для их решения построены модель дискретной оптимизации на графе и модель целочисленного линейного программирования, разработаны и реализованы алгоритмы муравьиной колонии, а также гибридный алгоритм с применением процедур локального поиска. Приведены результаты вычислительного эксперимента с реальными исходными данными, которые показали эффективность предложенного подхода к решению указанных задач.
Ключевые слова: задача оптимальной развозки, дискретная оптимизация, целочисленное программирование, дискретная оптимизация, алгоритм муравьиной колонии, локальный поиск.
Введение
Решение задач оптимальной развозки продукции [1, 2] необходимо для повышения эффективности работы транспортных структур крупных предприятий. Данная проблема особенно актуальна для организаций, в которых транспортные перевозки являются одним из основных видов деятельности [3]. Многие из указанных задач относятся к области развозки нефтепродуктов [4].
Рассматриваемые задачи, как правило, являются ЫР-трудными и на практике имеют большую размерность, вследствие чего нахождение точного решения представляется весьма трудоемким [5]. Использование эвристических алгоритмов позволяет получать приближенные решения с относительно небольшой погрешностью за приемлемое время [6].
В данной работе построены и реализованы эвристические алгоритмы, основанные на алгоритме муравьиной колонии [7, 8]. Приводятся результаты вы-
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012
числительного эксперимента с использованием реальных данных, которые показали эффективность предложенного подхода к решению задач оптимальной развозки нефтепродуктов.
1. Постановка задачи и модель оптимизации на графе
Рассматривается следующая постановка задачи оптимальной развозки нефтепродуктов, учитывающая особенности отрасли. Имеется нефтебаза, обеспечивающая автозаправочные станции (АЗС) определенным видом топлива. Известна потребность каждой станции в топливе. Определен единый для всех потребителей директивный срок доставки.
Задана транспортная сеть, связывающая нефтебазу с АЗС и все станции между собой. Известны расстояния между узлами транспортной сети. Для развозки нефтепродуктов имеется несколько бензовозов с цистернами одинакового объема, разделенными на 3 отсека. Каждое транспортное средство выполняет один или несколько рейсов, удовлетворяя спрос некоторых АЗС, причем каждая из них обслуживается одним бензовозом и только один раз.
Количество топлива, необходимое для станций, входящих в один рейс, не должно превышать вместимости цистерны бензовоза. Требуется обеспечить всех потребителей продукцией в указанный директивный срок с наименьшими транспортными затратами.
Для построения математической модели введем граф С=(Ш,Е) с множеством вершин Ш и множеством ребер Е, с помощью которого описывается транспортная сеть рассматриваемой задачи. Вершинам графа соответствуют потребители и база снабжения, а ребрам — соединяющие их участки пути. Совокупность потребителей — пункты с номерами г=1, ..., N (где Ы = |Ш|—1), а базе соответствует пункт с номером 1 = 0.
Каждому ребру из множества Е приписан вес, равный расстоянию между соответствующими вершинами, а для каждой вершины, соответствующей потребителю, известен показатель, равный его спросу. Рейсом транспортного средства будем называть цикл в указанном графе, начинающийся и заканчивающийся на базе и проходящий через некоторые вершины. Маршрутом назовем совокупность рейсов, совершаемых одним транспортным средством. Рейс является допустимым, если удовлетворен спрос всех входящих в него потребителей, а общее количество доставляемой продукции не превышает указанной вместимости. Маршрут называется допустимым, если он состоит из допустимых рейсов и их суммарное время не превосходит директивный срок. Каждый потребитель обслуживается одним транспортным средством и только один раз.
Необходимо найти совокупность допустимых маршрутов минимальной суммарной длины, обеспечивающих удовлетворение спроса всех потребителей.
2. Модель целочисленного программирования
Рассмотрим модель целочисленного линейного программирования (ЦЛП) для одной из постановок исследуемых задач. Для ее построения введем следующие обозначения.
Пусть N — количество АЗС, К — количество
бензовозов, Ь - возможное количество рейсов, Су —
затраты на перемещение из пункта I в пункт ], X] — булевы переменные ( I, ] = 0, ..., N; &]; к=1, ..., К; 1=1, ..., Ь), V — объем бензовоза, V — спрос на
топливо АЗС с номером і, у — коэффициент, обратно пропорциональный средней скорости бензовоза, 8 — коэффициент, пропорциональный сумме скоростей налива топлива на нефтебазе и слива топлива на АЗС, Т — директивный срок, г — количество отсеков бензовоза.
N N К Ь
хххх
і=0 ]=0 к=1 I=1 І
с * хк1
сі] хі],
при условиях:
N К I
ХХХх“ = 1- і = 1-'
]=1 к=1 I=1 N К Ь
ХХХхк = 1 і =1,1
, N;
, N
(1)
(2)
(3)
і = 1 к =1 і = 1
Х < = Х х-;,
і=о і=о
і = 0,* ,N,
к = 1, • , К, і = 1,'
(4)
Х хк < 1, і = 0, • , N, к = 1, • , К, і = 1, • , Ь; (5)
]=0
Ххк < 1, І = 0,* ,N- к = 1,* ,К, і = V
ХХхк < г + 1, к = 1,• ,К, і = 1,• ,Ь;
і=0 ] =0
, Ь; (6) (7)
Х= Х=
>=1 ]=1
N N Ь
■ V < V, к = 1, • , К, і = 1,'
, Ь; (8)
ХХХх“- (У с] + 8- V) < Т, к = 1,- , К; (9)
і=0 ]=0 і=1
Хх0И] - (г + 1) >ХХхк, к = 1,- , К, і = 1,- , Ь;(10)
]=1 і=1 ]=1
кі кі
, N,
хккі =
х] + х] < 1, і,І = 0,'
к = 1, • , К, і = 1, • , Ь;
1, если ребро (і, ]) входит в рейс і бензовоза к, і,] = 0,- ,N, к = 1,- ,К, і = 1,' 0, иначе,
(11)
(12)
Выражение (1) — целевая функция, минимизирующая суммарные затраты. Ограничения (2) и (3) означают, что из каждой вершины, кроме базы, выходит ровно одно ребро, и в каждую такую вершину входит также одно ребро; (4) показывает, что в рамках одного рейса, число ребер, входящих в каждую вершину, равно числу ребер, выходящих из нее; выражения (5) и (6) означают, что для фиксированного рейса число ребер, входящих в каждую вершину не более одного, число выходящих также не более одного; (7) — для фиксированного рейса число вершин, включая базу, не превышает (г+1); (8) — для одного рейса сумма спроса АЗС не превышает объема цистерны бензовоза; ограничение (9) показывает, что для каждого транспортного средства время выполнения всех рейсов с учетом сервисных остановок не превосходит директивный срок; (10) —
Ь
=0
кі
і
Ь
в каждый рейс обязательно включается база; (11) — ограничение, обеспечивающее замкнутость каждого рейса с отсутствием внутренних петель. Отметим, что в выражениях (2) — (12) для всех пар (i, j) предполагается, что iVj.
Разработанная модель целочисленного линейного программирования с помощью пакетов ЦЛП позволяет получать оптимальные решения задач развозки, а при анализе эвристических алгоритмов — оценить их точность. При ее создании использовалась модель ЦЛП задачи коммивояжера, которая была расширена дополнительными условиями, присущими специфике отрасли.
3. Алгоритм муравьиной колонии
Идея данного алгоритма основана на поведении муравьев в процессе поиска пути от муравейника до источника пищи. Каждый муравей при движении оставляет за собой специальное вещество — феромон. Другие члены колонии используют этот след при поиске источника пищи. Вероятность выбора направления движения повышается с увеличением концентрации феромона.
Рассмотрим разработанный алгоритм муравьиной колонии [7, 8] для исследуемой задачи. Перед началом первой итерации концентрация феромона на всех ребрах одинакова. На каждой итерации t алгоритма m искусственных муравьев строят решения задачи развозки, двигаясь по графу задачи от одного потребителя к другому согласно некоторому вероятностному правилу, периодически посещая базу. Если, находясь в вершине i, муравей выбирает для перехода вершину j, то дуга (i, j) добавляется в решение. Таким образом, найденное муравьем решение представляет собой список пройденных дуг. Для того, чтобы в построенном решении все пункты были различны, каждому муравью сопоставляется список запретов (tabu list). В этом списке запоминаются потребители, пройденные к текущему моменту.
При выходе из базы каждому муравью сопоставляется количество продукции V, которое уменьшается на величину Vi при посещении потребителя i. Когда оставшееся количество не позволяет удовлетворить спрос ни одного из потребителей, муравей возвращается на базу.
Вероятность перехода из пункта i в пункт j для муравья l на итерации t алгоритма вычисляется следующим образом:
Pj =1
(tj (t))“(h!j)b ,
_ -------------- —т-, если і є R ,
Е (t!s(t))“(h!s )b (13)
sєRI
О, в противном случае,
где т — уровень феромона, г|у= 1/Су является «видимостью» пункта у из пункта г, а и Р — управляющие параметры, Я1 — множество пунктов, которые муравей 1 еще не посетил.
После того, как муравей оказался на базе, и все пункты были посещены, начинает движение следующий муравей.
После завершения движения всех муравьев рассчитывается вклад каждого муравья 1 в изменение уровня феромона для каждого ребра (I, у) по формуле:
Dti=[Qo/ P'(t), если (i, j) є T'(t), 4 [О, в противном случае,
где Т(Ц — общий маршрут, построенный муравьем 1 на итерации t, Р(£) —суммарные затраты на данный маршрут, О0 —некоторая положительная константа.
Далее вычисляется суммарное изменение феромона для каждого ребра (I, у):
Djt) = £д< (t)-
(15)
Концентрация феромона для каждого ребра (г, у) на следующей итерации рассчитывается по формуле:
(t +1) = (1 - p)x„- (t) + Дх!7 (t),
(16)
где рє(0, 1] — коэффициент испарения феромона.
Алгоритм завершает работу после выполнения заданного максимального числа итераций или по истечении определенного времени. Наилучшими считаются решения, соответствующие текущему рекорду [3].
4. Система «элитных» муравьев и гибридный алгоритм
Одним из усовершенствований классической версии алгоритма муравьиной колонии является введение в алгоритм так называемых «элитных» муравьев [7]. Элитой называется совокупность муравьев, чьи маршруты по значению целевой функции лучше остальных. Опыт показывает, что, двигаясь по ребрам, входящим в короткие пути, муравьи с большей вероятностью будут находить пути меньшей длины. Таким образом, эффективной стратегией является искусственное увеличение уровня феромона на самых удачных маршрутах.
В связи с этим нами была разработана следующая модификация вышеописанного алгоритма муравьиной колонии, основанная на знаниях об «элитных» муравьях [4]. Обозначим через Ь(ґ) длину лучшего маршрута на момент времени t, а через е — количество элитных муравьев. Тогда уровень феромона на ребрах лучших маршрутов увеличится на величину:
Д!"(t) = А" ■ Q, L(t)
(17)
(14)
где Ае — «авторитет» множества элитных муравьев, О — некоторая положительная константа. Таким образом, мы можем регулировать влияние «элитных» муравьев с помощью коэффициента Ае. Оптимальное значение Ае зависит от размерности графа и численности колонии муравьев.
Исследования в области дискретной оптимизации показали эффективность использования комбинированных методов. Для повышения точности алгоритмов муравьиной колонии предложен гибридный вариант алгоритма с применением процедур локального поиска.
Для рассматриваемой задачи был построен следующий алгоритм локального поиска. Лучшее решение, полученное на каждой итерации алгоритма муравьиной колонии, берется в качестве начального для процедуры локального поиска. К этому решению применялись следующие преобразования:
1) перестановка двух произвольных вершин внутри одного рейса;
2) перестановка двух произвольных вершин внутри одного маршрута.
I=1
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012
*
Рис. 1. Сравнение погрешности алгоритмов
Рис. 2. Сравнение алгоритмов при размерности свыше 25
Указанные преобразования выполняются до тех пор, пока не будет получено лучшее решение. Далее лучшее решение передается алгоритму муравьиной колонии.
5. Результаты экспериментальных исследований
Указанные алгоритмы реализованы, проведены их экспериментальные исследования на задачах с реальными исходными данными одного из омских предприятий, осуществляющего развозку нефтепродуктов. Было решено более 100 задач размерности до 50 станций и получены приближенные решения. Для построения точных решений исследуемой задачи на основе разработанной модели ЦЛП проведены расчеты с использованием пакета GAMS. Выполнен анализ алгоритмов по точности и времени работы.
Для получения оценок погрешности работы эвристических алгоритмов были протестированы задачи относительно небольшой размерности (не более 25 станций), чтобы они решались за приемлемое время в пакете GAMS. Результаты показали, что при размерности 10 в серии запусков алгоритмы почти всегда находят точное решение, при размерности от 10 до 25 лучшие результаты показали гибридные алгоритмы с применением процедур локального
поиска (рис. 1). На задачах большей размерности (свыше 25 станций) получение точного решения весьма трудоемко, однако возможно сравнить результаты работы алгоритмов между собой. В этом случае также гибридные алгоритмы показали лучшие результаты (рис. 2). При оценке работы алгоритмов было замечено небольшое увеличение времени решения у гибридных алгоритмов, но оно незначительно, для задач размерности 50 станций время работы менее 6 секунд можно считать приемлемым (рис. 3). Экспериментальным путем найдены оптимальные значения количества искусственных муравьев — 200 и количества итераций — 20.
На основе результатов вычислительного эксперимента сделан вывод о том, что алгоритмы муравьиной колонии позволяют получать достаточно хорошие приближенные решения за приемлемое время. Применение стратегии «элитных» муравьев и процедур локального поиска позволяет увеличить точность решения с незначительным повышением времени работы. Лучшие решения были получены с помощью гибридного алгоритма, их погрешность составила 1—2 %.
Заключение
Для исследуемых задач оптимальной развозки нефтепродуктов построены математические модели,
10 15 20 25 30 35 40 45 50
Число пунктов, шт.
И Муравьиные алгоритмы ■ Стратегия элиты И Гибридные алгоритмы
і-
Рис. 3. Сравнение времени работы алгоритмов
разработаны и реализованы алгоритмы муравьиной колонии, а также гибридный алгоритм с применением процедур локального поиска. Проведенные экспериментальные исследования с реальными исходными данными показали эффективность предложенного подхода для решения рассматриваемых задач развозки.
Библиографический список
1. Aksen D. Open vehicle routing problem with driver nodes and time deadlines / D. Aksen, Z. Ozyurt, N. Aras // Journal of the Operational Research Society. — 2006. — Vol. 58, № 9. — P. 1223-1234.
2. Pisinger D. A general heuristic for vehicle routing problems / D. Pisinger, S. Ropke // Computers & Operations Research. —
2007. — Vol. 34, № 8. — P. 2403 — 2435.
3. Барышников, М. А. Приближенное решение некоторых задач оптимальной развозки продукции / М. А. Барышников, Д. А. Уляшев // Теоретические знания — в практические дела : сб. науч. статей Междунар. конф. (Омск, 7 — 15 апр. 2011 г.). В 2 ч. Ч. 2. - Омск : Изд-во ГОУ ВПО «РосЗИТЛП», 2011. — С. 111-114;
4. Барышников, М. А. Разработка и реализация алгоритмов муравьиной колонии для некоторых задач развозки нефтепродуктов / М. А. Барышников // Статистика. Моделирование. Оптимизация : сб. тр. Всерос. конф. (Челябинск, 28 нояб.-2 дек. 2011 г.). - Челябинск : Изд-во ЮУрГУ, 2011. - С. 274-279.
5. Костюк, Ю. Л. Сбалансированная эвристика для решения задачи маршрутизации транспорта с учетом грузоподъемности / Ю. Л. Костюк, М. С. Пожидаев // Вестник ТГУ. - 2010. -№ 3. - С. 65-72.
6. Меламед, И. И. Задача коммивояжера. Приближенные алгоритмы / И. И. Меламед, С. И. Сергеев, И. Х. Сигал // Автоматика и телемеханика. - 1989. - № 11. - С. 3-26.
7. Колоколов, А. А. Алгоритмы муравьиной колонии для задач дискретной оптимизации : учеб. пособие / А. А. Колоколов, Т. В. Леванова, М. А. Лореш — Омск : Изд-во ОмГУ,
2008. — 32 с.
8. Dorigo, M. Ant Colony Optimization. Artificial Ants as a Computational Intelligence Technique / M. Dorigo, M. Birattari, T. Stutzle // IRIDA — Technical report series: TR/IRIDA/2006023.
БАРЫШНИКОВ Михаил Алексеевич, аспирант кафедры «Математические методы и информационные технологии в экономике» Омского государственного технического университета.
КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, Омский филиал института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, заведующий лабораторией дискретной оптимизации.
Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 26.09.2011 г.
© М. А. Барышников, А. А. Колоколов
Книжная полка
Юша, В. Л. Методы и средства исследований : конспект лекций / В. Л. Юша, Н. А. Райковский ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. - 95 с. - ISBN 978-5-8149-1108-7.
В конспекте лекций приведены математические методы планирования и обработки результатов экспериментальных исследований, рассмотрены основные принципы организации эксперимента, принципы работы с полученной выборкой значений результатов экспериментальных исследований, методы статистического анализа результатов исследования, а также необходимый минимум по теории вероятностей и математической статистике.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
