CC BY
95
/2 = o(l/v3) (\a\<4v, v->co). ,14>
Из (12)-(14) следует второе равенство (11). Из (8), (11) следует (7).
Равенство (2) доказано.
Замечание. Полученные в [ 10] формулы для матриц Римана гиперболического оператора теплопроводности с переменными коэффициентами позволяют эффективно строить решение задачи Коши (1) с переменными р, к, С.
Библиографический список
1. Соболев С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса// Успехи физ. наук. 1997. Т. 167,№10. С. 1095-1106.
2. Корнеев С.А. Гиперболические уравнения теплопроводности // Изв. РАН. Сер. Энергетика. 2001. №4. С. 117-125.
3. Бураханов Б.М., Лготикова E.H., Медин С.А. Гиперболическая теплопроводность и второй закон термодинамики. М„ 2002. 28 с. (Препринт / ОИВТРАН; №2-462).
4. Бубнов В.А., Соловьев И.А. Об использовании гиперболического уравнения в теории теплопроводности // Инж -физ.журн. 1977. Т. 33, №6. С. 1131-1135.
5. Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второ-
го рода// Докл. АН СССР. 1982. Т. 267, №3. С. 577-580.
6. Романовский Р.К. Эскспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными// Мат. сб. 1987. Т. 133, №3. С. 341-355.
7. Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости// Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, №3. С. 531 -540.
8. Романовский Р.К., Стратйлатова E.H. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений// Сиб. журн. индустриальной математики. 2004. Т. VII, №3(19). С. 119- 131.
9. Котляков Н.С., Глиннер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математ. физики. М.: Высшая школа, 1970 г. 710 с.
10. Стратйлатова E.H. Матрицы Римана гиперболического оператора теплопроводности. 2005. Деп. в ВИНИТИ. №1367-В 2005.
РОМАНОВСКИЙ Рэм Константинович, профессор кафедры высшей математики, доктор физ.-мат. наук, профессор.
СТРАТЙЛАТОВА Елена Николаевна, старший преподаватель кафедры высшей математики.
Дата поступления статьи в редакцию: 21.03.2006 г. © Романовский Р.К., Стратйлатова E.H.
удк 519.8 А.А. КОЛОКОЛОВ,
Т.В. ЛЕВАНОВА, М.А. ЛОРЕШ
Омский филиал института математики им. С.Л. Соболева СО РАН,
Омский государственный технический университет
АЛГОРИТМЫ МУРАВЬИНОЙ колонии ДЛЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ_
В статье идет речь о прикладных задачах, возникающих при планировании и реконструкции производства, в стандартизации и других областях, которые сводятся к решению дискретных задач оптимального размещения.
Введение
Значительное число указанных проблем может быть сформулировано в виде задач размещения, в которых необходимо расположить предприятия в пунктах и назначить им потребителей для обслуживания. Под обслуживанием часто понимается транспортировка продукции от пунктов производства к пунктам потребления.
Актуальность исследования дискретных задач размещения связана с их вычислительной сложностью, а также с большим прикладным значением. Использование методов оптимизации для их решения может привести к значительному уменьшению затрат и в конечном итоге к повышению доходов. В связи с этим становится важной разработка алго-
ритмов решения задач размещения и исследование их эффективности [2,3,16].
Вычислительная сложность, а также большая размерность указанных задач, как правило, не позволяет получать оптимальное решение за приемлемое время, вследствие чего особое значение приобрела разработка методов получения приближенных решений. В последние годы большой интерес проявляется к подходам, идеи которых заимствованы у живой природы или физических процессов. К таким подходам можно отнести алгоритмы муравьиной колонии, генетические алгоритмы, поиск с запретами, алгоритм имитации отжига, нейронные сети [4,7,10,13]. Активно развиваются также методы локального поиска [15,17]. Данная работа продолжает
исследования в этом направлении и посвящена алгоритмам муравьиной колонии.
Ранее алгоритмы муравьиной колонии были применены для решения задачи коммивояжера, квадратичной задачи о назначениях [10], задач теории расписаний [10, 18], задачи об упаковке [20] и ряда других комбинаторных проблем. При этом алгоритмы муравьиной колонии зарекомендовали себя как эффективный инструмент решения задач оптимизации. В данной статье приводится обзор результатов, полученных авторами в процессе разработки и исследования алгоритмов муравьиной колонии для известных задач оптимального размещения предприятий. В статье рассматриваются задача о р-медиане, простейшая задача размещения и задача размещения предприятий с ограничением на мощности производства, которые также являются ЫР-трудными [ 1,12,16].
Статья имеет следующую структуру. В первом разделе приводятся постановки рассматриваемых задач размещения предприятий. Раздел 2 посвящен алгоритмам муравьиной колонии для простейшей задачи размещения, задачи о р-медиане и задачи размещения предприятий с ограничениями на мощности в обобщенной постановке. В третьем разделе обсуждаются результаты вычислительного эксперимента.
1. Постановки задач
Простейшая задача размещения (ПЗР) состоит в следующем. Дано конечное множество I = {1,..., т} пунктов возможного размещения предприятий и список J = {1.....п} клиентов. Предприятия производят некоторый продукт, причем каждое предприятие способно удовлетворить спрос всех клиентов. Известны затраты ^ 1 е I, ] е Л, на удовлетворение спроса клиента ] предприятием из пункта а также стоимости С, размещения предприятий в указанных пунктах, 1 е I. Требуется разместить (открыть) предприятия и прикрепить к ним клиентов так, чтобы суммарные производственно-транспортные затраты были минимальны. Введем переменные
1, если предприятие / открыто, 0, иначе,
(1)
|1, если клиент ] обслуживается предприятием I, '' [0, иначе,
1 61,\ е Л. Модель целочисленного линейного программирования (ЦАП) для ПЗР имеет вид:
X) = ^с^ + XX''Л -> ШШ
iel jeJ
iel
клиента j в продукции предприятия i, i е I, j е J. Модель ЦАП для данной задачи можно записать следующим образом:
F(z, X) = £ ctzt + £ £ *ух« min
iel jeJ
iel
jeJ,
iel
I\dfyZVt,, iel,
jeJ
(5)
(6)
z,,x. e{0,l}, ieI,jeJ.
(2)
ху£г„ 1е1,)еЗ, (3)
е {0,1}, ieI,jeJ. (4)
Условия (2) означают, что потребности каждого клиента должны быть удовлетворены. Неравенства (4) гарантируют, что обслуживание будет осуществляться только открытыми предприятиями.
Задача о р-медиане отличается от ПЗР только тем, что требуется разместить ровно р предприятий и затраты на открытие предприятия в каждом пункте равны нулю, т.е. С, = 0,1 е I.
Задача с ограничениями на мощности производства является обобщением ПЗР. В ней известны объемы производства V для 1 е I, а также потребности сШ
(7)
В описанной модели переменные и х^ аналогичны (1). Условия (5) имеют тот же смысл, что и ограничения (2). Неравенства (6) представляют собой ограничения на объемы поставок продукции для каждого предприятия. Следует также отметить, что в литературе чаще встречается частный случай данной задачи, для которого с^ = с^для всех 1 е I, ] е Л (см., например, [19]).
2. Алгоритмы муравьиной колонии
Появление алгоритмов муравьиной колонии было обусловлено исследованиями поведения живых муравьев в процессе поиска кратчайшего пути между источником пищи и муравейником [11]. Оказалось, что муравей при движении выделяет вещество, называемое феромоном, которое остается за ним на земле в виде следа. След из феромона используется другими членами колонии при поиске источника пищи, причем вероятность выбора пути возрастает с увеличением на нем концентрации феромона.
На каждой итерации алгоритма муравьиной колонии конечное число искусственных муравьев (ИМ) ищут решения задачи. Решения представляют собой пути минимальной стоимости по состояниям задачи (каждое состояние — это часть решения, недостроенное решение). Таким образом, ИМ — это жадный алгоритм, который итеративно, шаг за шагом строит решение. На каждом шаге г муравей 1 определяет множество направлений А/Г(<р) из текущего состояния (р и выбирает одно из них с некоторой вероятностью. Для муравья 1 вероятность перехода из состояния </> в состояние у зависит от комбинации значений привлекательности р' перехода и уровня феромона. Привлекательность вычисляется при помощи некоторой эвристики и показывает априорную желательность перехода. Уровень феромона представляет собой число, показывающее насколько часто муравьи двигались из состояния <р в состояние у/ на предыдущих итерациях. Таким образом, данная величина отображает апостериорную желательность перехода. В результате каждый ИМ получает информацию, которая используется в дальнейшем. Эта информация и является аналогом феромона живых муравьев.
2.1. Алгоритмы муравьиной колонии
для задачи о р-медиане и простейшей задачи размещения
В данном разделе описываются алгоритмы искусственного муравья апЬрт для задачи о р-медиане и ап1-5р1р для простейшей задачи размещения. На основе этих алгоритмов предлагаются алгоритмы муравьиной колонии АС1 и АС2 с различными способами переопределения уровня феромона.
Решением в задачи о р-медиане (а также ПЗР) будем называть булев вектор г размерности ш такой,
что г, = 1, если ¡еЬ.иО - в противном случае, где 15
— множество открытых предприятий (для р-медианы |1в| = р). Введем некоторые обозначения: величина агу
— уровень феромона для ¿-го предприятия на итерации к алгоритма муравьиной колонии, Д/7 — изменение целевой функции в результате закрытия предприятия 1 на шаге г алгоритма искусственного муравья.
Алгоритмы искусственного муравья агй-рт для задачи о р-медиане и ап1-зр!р для простейшей задачи размещения представляют собой вероятностную модификацию жадного алгоритма спуска. На каждом шаге г алгоритма ап!>рт формируется множество предприятий
W (Л) = е /; IД/7 < (1 - Л) min Д// + Лтах А/7
гдеЯе [0,1]. Привлекательностьт)" закрытия предприятия i е Is вычисляется по формуле
'-Д/7 + maхА/7, iefVr(Ä),
V] =i
lei:
iei;\tVr(Ä),
где параметр Е> 0. Данный параметр необходим для того, чтобы любое предприятие имело шанс быть закрытым. Далее случайным образом с распределением вероятностей
Р, =
„г
а, -г],
iei:,
(8)
2>,Ч
let'.
выбирается одно предприятие /Q G , которое закрывается. Данный процесс начинается с того момента, когда все предприятия открыты (Is = J) и завершается при 11Г | = р . После этого к построенному решению s применяется алгоритм локального поиска, основанный на окрестностях Swap и Лина-Кер-нигана, описанных, например, в [15].
На каждом шаге г алгоритма ant-splp для ПЗР генерируется множество
Wr = {/ G 1[ | Л/7 > о], а также множество
г (А) = {/ 6 /; | д/7 > л - дгде = max 4/7,
параметр А принадлежит [0, 1]. Привлекательность Г]' закрытия предприятия i е Ц вычисляется по формуле
Д/7, ieVr(A),
rj,=
е, /еГ\Г( Я),
О,
ieIr\Wr.
На каждом шаге г алгоритма ant-splp с распределением вероятностей (8) выбирается одно предприятие /0 е Irs , которое закрывается. Описанный процесс начинается с множества /] = I и завершается, если на некотором шаге либо ЦГГ — 0 , либо | | = 1. После этого к построенному решению s применяется алгоритм локального поиска, основанный на окрестности Drop. Окрестность Drop текущего решения s содержит решения s', построение которых можно описать следующим образом. Для каждого элемента iins е I \ Is выполняем шаги:
1. Включаем элемент iins в множество Is.
2. К полученному множеству 1е применяем алгоритм DROP [19].
Алгоритм DROP представляет собой жадный детерминированный алгоритм спуска. Основной идеей алгоритма DROP является последовательное закрытие предприятий, удаление которых приводит к максимальному уменьшению значения целевой функции.
В данной работе для задачи о р-медиане и простейшей задачи размещения авторами предлагаются варианты АС 1 и АС2 алгоритмов муравьиной колонии с различными схемами переопределения уровня феромона. Обозначим через лучшее найденное решение до начала итерации к; и у-*
- булев вектор и значение целевой функции, соответствующие рекордному решению ¡к . Пусть
— лучшее решение по значению целевой функции, найденное на итерации к; г и £ — булев вектор и значение целевой функции (рекорд, найденный на итерации к), соответственно. Параметр ага1п — вещественное положительное число, задающее минимально возможное значение уровня феромона я* для всех 1 е I.
На каждой итерации алгоритма АС1 при помощи алгоритма искусственного муравья (аги-рт, ап1-Бр1р) строится Ь решений задачи. Затем из этих решений выбираются 1 лучших по целевой функции. После этого на основе отобранных «лучших» решений переопределяются значения уровня феромона а* для всех 4 е I (причем чем чаще предприятие 1 включается в «хорошие» решения, тем меньше соответствующее а* ). Если на данной итерации изменилось значение рекорда, то для ненулевых компонент соответствующего вектора г назначается а) = &т1П . Компоненты вектора а* переопределяются ло формуле
аГ =
ßk
i е I,
(9)
где Р4 е (0,1) — коэффициент затухания (испарения феромона) на итерации к; /(Ц е [0,1] — частота появления предприятия 1 в 1 лучших решениях; параметр де (0,1).
Алгоритм АС 1-рт (АС1-8р1р)
0. Определяем начальный вектор уровня феромона а ', начальный рекорд у-' ._ х .
Итерация к, к 2:1.
1. Строим Ь допустимых решений алгоритмом апЬ рт (ап[-5р1р).
2. Среди этих решений выбираем 1 лучших по целевой функции.
3. Находим значения (Х*+\ /Е I согласно (9).
4. Если у* < , то для ненулевых компонент век-
тора zk+i полагаем а, := атт, /*
■■/'. i
5. Если выполняется критерий остановки, то работа алгоритма завершается.
Переходим на следующую итерацию, к := к + 1 .
Алгоритм АС2 отличается от АС1 тем, что лучшими на каждой итерации считаются только те решения, значение целевой функции которых строго меньше текущего рекорда. Для ненулевых компонент рекордного вектора г назначается ак = ОС
* I Ш1П
вне зависимости от того, произошла смена рекорда или нет. Такое изменение схемы переопределения уровня феромона позволяет получить алгоритму АС2 дополнительные в сравнении с АС1 асимптотические свойства.
В работе [6] доказано, что при определенных условиях на коэффициент испарения феромона при неограниченном увеличении числа итераций текущий рекорд алгоритмов АС1-рш и АС2-рт стремится почти наверное к оптимальному значению целевой функции. Показано также, что для алгоритма АС2-рт вероятность получения оптимального решения алгоритмом искусственного муравья ап1-рш стремится к единице. Аналогичные утверждения можно дока-
зать и для алгоритмов АС 1 -splp и AC2-splp. Кроме этого можно показать, что для алгоритмов АС2-рш и АС2-splp при некоторых ограничениях на коэффициент испарения число шагов алгоритма локального поиска стремится к нулю с увеличением номера итерации.
2.2. Алгоритм муравьиной колонии для задачи
размещения предприятий с ограничениями на мощности производства
В данном разделе предлагается вариант алгоритма муравьиной колонии АС-cplp для задачи (5) - (7). Здесь решением s является пара (z, X), г — булев вектор размерности m, X = (хц) — (ш х п)-матрица перевозок, причем хц = 1, если предприятие i обслуживает клиента], и 0 — в противном случае. В данном варианте алгоритма муравьиной колонии статистическая информация хранится и накапливается в (m х п)-матрице (гц), где т ч является уровнем феромона для перевозки x(j,
Искусственный муравей ant-cplp, двигаясь от клиента к клиенту, назначает каждому потребителю j ровно одно предприятие i согласно некоторому распределению вероятностей. Если клиенту j назначено предприятие i, то xif = 1, предприятие i считается открытым, и вероятность его использования для обслуживания оставшихся клиентов повышается. Порядок прохождения клиентов представляет собой перестановку Л = (j,, j2, ..., jn) на множестве J и формируется случайным образом перед началом работы алгоритма Ant-cplp. После этого к построенному алгоритмом ant-cplp решению s применяется процедура локального поиска, основанного на окрестности Shift, которая является модификацией соответствующей окрестности для обобщенной задачи о назначениях [21]. Кратко окрестность Shift решения s можно описать следующим образом. В нее попадают решения s', которые получаются из решения s сдвигом единицы в некотором столбце соответствующей матрицы перевозок X. Причем сдвигать можно только по строкам, соответствующим открытым предприятиям так, чтобы не были нарушены ограничения (6).
Обозначим через Vt остаток мощности предприятия i, i € I (т.е. остаток продукции предприятия i после назначения некоторых клиентов), X = (хц) — матрица перевозок. Опишем схему алгоритма ant-cplp.
Алгоритм ant-cplp
_ 0. Определяем порядок клиентов п = (j,,j2.....jn);
V, := Vi, x„ = 0, i e I, j e J.
1. Для г от 1 до n выполняем следующие шаги. 1.1. Выбираем ir в столбце j, согласно (10). 1-2. Xj , := 1 .
4rJr я
1.3. zf := 1.
2. Выполняем процедуру локального поиска.
Результатом работы алгоритма является решение я = [2, X), где г — соответствующий булев вектор, X — матрица перевозок. Предприятие ¡г на шаге 1.1 алгоритма выбирается случайным образом согласно распределению вероятностей
Ра. =
_ %%
/е/
/6/.
(10)
Привлекательность перевозки определяется следующим образом:
' если К/ £ ,
у г
У г
где а и /3 — параметры, регулирующие влияние стоимости перевозки и открытия нового предприятия.
Перед началом работы алгоритма муравьиной колонии устанавливается уровень феромона Т„ — для всех 1 б I, ] е Л. Переопределение феромона на итерации к происходит по формуле
_к+1 _ у
С1 - р) - тК -ь если (i, j) е Хк,
(И)
а • tijr + /41 - г,) • с,-0, иначе,
тах((1 -рЗ-Ту.Ттт), иначе,
где хк — матрица перевозок лучшего решения, найденного до итерации (к 4- 1), г . — параметр, обозначающий нижнюю границу для уровня феромона.
Алгоритм АС-ср1р
0. Определяем начальный уровень феромона Ту := иЬ АЛ* всех I € I, ] е Л и оо ■
Итерация к, к > 1
1. Строим Ь допустимых решений алгоритмом ап1-ср1р.
2. Если /к < 'то /*+| :=/*, + | := / •
3. Переопределяем значения Т^ , \ е. 1, } е Л, согласно (11).
4. Если выполняется критерий остановки, то работа алгоритма завершается.
Переходим на следующую итерацию, к: = к + 1.
Критерием остановки работы алгоритма является заранее заданное число итераций. Данный алгоритм муравьиной колонии является аналогом схемы, для которой доказана асимптотическая сходимость [12].
Э. Результаты вычислительного эксперимента
Все разработанные алгоритмы были реализованы в виде комплекса программ, проведено их экспериментальное исследование. Вычислительный эксперимент осуществлялся с целью изучения влияния использования статистической информации (феромона), а также процедуры локального поиска на качество получаемых решений. Известно, что число шагов по окрестности до локального оптимума может оказаться экспоненциальным [5,17], поэтому представляет интерес информация о количестве шагов по окрестности локального поиска, используемого в алгоритмах муравьиной колонии.
Экспериментальное исследование алгоритмов АС1 и АС2 для простейшей задачи размещения и задачи о р-медиане проводилось на тестовых примерах размерности т = п = 100, взятых из электронной библиотеки «Дискретные задачи размещения» [22]. Данные задачи являются трудными для точных алгоритмов, а также для алгоритмов локального поиска. Кроме того, рассматривались примеры из ОИ-иЬгагу [9]. Задачи этой библиотеки оказались простыми для предложенных алгоритмов, Выполнялось по 30 запусков каждого алгоритма для каждого тестового примера.
Следует отметить, что алгоритмы муравьиной колонии отличаются от обычных мультистартовых процедур тем, что у них есть «память», реализуемая посредством феромона. Поэтому интересно было выяснить, влияет ли использование феромона на качество получаемых решений. Указанное влияние наглядно представлено в таблице 1, в которой содержатся результаты экспериментов для ПЗР. В данной таблице находятся средние погрешности решений в процентах относительно оптимального значения целевой функции для различ-
ных классов задач. Для сравнения в таблице предложена третья колонка, в которой отражены средние погрешности для обычной мультистартовой процедуры с алгоритм ant-splp без «памяти». Из таблицы видно, что использование феромона в алгоритмах муравьиной колонии уменьшило погрешность решений практически для всех задач.
На примере задачи о р-медиане видно влияние процедуры локального поиска на качество получаемых решений. Вследствие того, что в матрицах транспортных затрат присутствуют запрещенные элементы, алгоритмы могут найти решения с этими элементами. Будем называть такие решения недопустимыми. В таблице 2 представлены проценты запусков, в которых алгоритмами для задачи о р-медиане не было найдено допустимых решений. В таблице отражены результаты для алгоритмов АС 1 -рт и АС2-рт, в которых используется локальный поиск с окрестностью Swap. Для сравнения в таблице 2 предложена третья колонка (АС), в которой указаны результаты алгоритма АС 1 -рт без процедуры локального поиска.
Среднее количество шагов по окрестности алгоритма локального поиска представлено в таблицах 3 и 4 на примере алгоритмов ACl-splp, AC2-splp с окрестностью Drop, а также ACl-pm, AC2-pm с окрестностью Swap.
Вычислительный эксперимент для задачи размещения предприятий с ограничениями на мощности производства проводился на тестовых примерах размерности ш = п = 100, взятых из электронной библиотеки «Дискретные задачи размещения». Для данных задач пока не найдены оптимальные решения, но известны нижняя и верхняя оценки значений целевой функции, вычисленные при помощи алгоритмов, основанных на использовании релаксации Лаг-ранжа [6]. Кроме этого, рассматривались примеры из электронной библиотеки OR-Library, которые оказались достаточно простыми.
Следует отметить, что для более чем 70% тестовых задач из библиотеки «Дискретные задачи размещения» алгоритмом муравьиной колонии АС-ср!р удалось улучшить существующие рекорды. На примерах из библиотеки OR-Library алгоритм также находил решения с небольшими средними отклонениями от оптимальных. В целом экспериментальное исследование показало, что, несмотря на относительную простоту, алгоритм муравьиной колонии АС-cplp для задачи размещения предприятий с ограничениями на мощности производства продемонстрировал хорошие результаты.
Результаты вычислительных экспериментов свидетельствуют о том, что использование информации об уровне феромона улучшает качество получаемых решений, а предложенные алгоритмы муравьиной колонии с процедурой локального поиска более эффективны на рассматриваемых классах тестовых задач.
Кроме информации о погрешностях алгоритмов, представляют интерес данные о количестве шагов по окрестности алгоритма локального поиска. Для алгоритма АС2 при определенных условиях на коэффициент испарения можно показать, что число шагов локального поиска уменьшается с увеличением номера итерации. Экспериментально установлено, что это также верно и для схемы переопределения уровня феромона, используемой в АС1. Данные факты говорят о том, что использование феромона уменьшает общее время работы алгорит-
Таблица 1. Средине погрешности алгоритмов для ПЗР
Класс ACl-splp AC2-splp multy
Gap-A 2,98 3,41 3,71
Gap-B 3,67 3,80 VI
Gap-C 5,12 5,00 5,90
FPP11 29,45 29,17 43,21
PC7 0,01 0,015 0,01
CB4 0,16 0,25 0,36
Uniform 0,007 0,009 0,005
Euclidean 0,00 0,00 0,00
Таблица 2. Доля запусков, на которых не найдено допустимого решения, %
Класс ACl-pm AC2-pm AC
Gap-A 16,11 16,55 98,33
Gap-B 27,44 27,86 99,33
Gap-C 20,88 21,20 99,77
FPP11 0,0 0,00 70,00
PC7 0,00 0,00. 90,55
CB4 0,00 0,00 99,77
Uniform 0,00 0,00 0,00
Euclidean 0,00 0,00 0,00
Таблица 3. Среднее число шагов по окрестности Drop
Класс ACl-splp AC2-splp multy
Gap-A 4,19 4,13 6,10
Gap-B 4,39 4,26 5,58
Gap-C 4,52 4,01 5,24
FPP11 3,18 3,03 3,33
PC7 4,98 4,73 7,55
CB4 6,12 5,87 9,82
Uniform 4,02 3,87 7,62
Euclidean 5,08 4,51 9,97
Таблица 4. Среднее число шагов по окрестности Swap
Класс ACl-pm AC2-pm multy
Gap-A 4,80 4,77 7,46
Gap-B 4,63 5,54 7,33
Gap-C 5,65 5,54 6,81
FPP11 4,35 4,22 7,21
PC7 5,81 5,79 8,38
CB4 6,79 6,76 10,56
Uniform 4,35 4,30 7,83
Euclidean 6,47 6,17 12,50
mob. Это означает, что предложенные алгоритмы муравьиной колонии не только получают решения с меньшими отклонениями от оптимальных, но и работают быстрее, чем обычные мультистартовые процедуры с локальным поиском.
4. Заключение
В последние годы большой интерес проявляется к подходам, идеи которых заимствованы у живой природы или физических процессов. К таким подходам можно отнести алгоритмы муравьиной колонии, генетические алгоритмы, поиск с запретами, алгоритм имитации отжига, нейронные сети. В данной статье приведен обзор результатов, полученных авторами в процессе разработки и исследования алгоритмов муравьиной колонии для некоторых известных задач оптимального размещения предприятий. Предложены алгоритмы муравьиной колонии для задачи о р-медиане, простейшей задачи размещения и задачи размещения предприятий с ограничением на мощности производства. Проведены теоретическое исследование и экспериментальное сравнение алгоритмов на различных классах тестовых задач. Экспериментально было установ-
лено, что алгоритмы муравьиной колонии с процедурой локального поиска более эффективны по качеству получаемых решений. Показано также, что на рассмотренных тестовых задачах число шагов локального поиска уменьшается при увеличении номера итерации алгоритма муравьиной колонии. Полученные в работе результаты позволяют сделать вывод о перспективности дальнейшей разработки и применения алгоритмов муравьиной колонии к задачам оптимального размещения предприятий.
Библиографический список
1. Агеев A.A. О сложности задач минимизации полиномов от булевых переменных / A.A. Агеев // Управляемые системы. - Новосибирск, 1983. - Вып.23. - С. 3-19.
2. Колоколов A.A. Исследование отсечений Бендерса в декомпозиционных алгоритмах решения некоторых задач размещения / A.A. Колоколов, H.A. Косарев, H.A. Рубанова // Омский научный вестник. — 2005. - №2(31). — С. 76-80.
3. Колоколов A.A. Алгоритмы декомпозиции и перебора L-классов для решения некоторых задач размещения / A.A. Колоколов, Т.В. Леванова // Вестник Омского ун-та. — Омск: ОмГУ, 1996. - №1. - С. 21-23.
4. Кочетов Ю.А. Вероятностные методы локального поиска для задач дискретной оптимизации / Ю.А. Кочетов // Дискретная математика и ее приложения: Сборник лекций молодежных научных школ по дискретной математике и ее приложениям,- М.: МГУ,2001. - С. 84-117.
5. Кочетов Ю.А. Локальный поиск в комбинаторной оптимизации: достижения и перспективы / Ю.А. Кочетов, Н. Младенович, П.Хансен // Материалы конф. «Проблемы оптимизации и экономические приложения». — Омск: Изд-во Наследие. Диалог Сибирь, 2003. — С. 43-47.
6. Леванова Т В. О сходимости одного алгоритма муравьиной колонии для задачи о р-медиане / Т.В. Леванова, М.А. Ло-реш // Труды XIII Байкальской международной шк.-сем. Севе-робайкальск, 2005. - Т.1, - С. 535-541.
7. Леванова Т.В. Алгоритмы муравьиной колонии и имитации отжига для задачи о р-медиане / Т.В Леванова, М.А. Лореш //Автоматика и телемеханика. — 2004.-№3. — С. 80-88.
8. Пащенко М.Г. Лагранжевы эвристики для задачи размещения с ограничениями на мощности // Труды XI международной Байхальской школы-семинара. Иркутск, Байкал, 5-12 июля 1998,Т.1. - С. 175-178.
9. Beasley J.E. An algorithm for solving large capacitated warehouse location problems // Europ. J. of Oper. Res. — 1988. -33. - P.314-325.
10. Dorigo M. Ant Algorithms for Discrete Optimization / M. Dorigo, G. Di Саго, L.M. Gambardella // Artificial Life, 1999. -V.5(2). P. 137-172.
11. Dorigo M. Ant System: An Autocatalytic Optimizing Process /M. Dorigo, V. Maniezzo, A. Colorny// Report No. TR-91-016. -Milan: Politécnico di Milano, 1991.
12. GutjahrWJ. ACO algorithms with guaranteed convergence to the optimal solution // Information Processing Letters, 2002. — №82(3). - P. 145-153.
13. Hertz A. Local search in combinatorial optimization / A. Hertz, H. Taillard, D. de Wena // John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997. - 512 p.
14. Kariv O. An algorithmic approach to network location problems. Il:Thep-medians/0, Kariv, L. Hakimi // SIAM J. Appl. Math. Vol 37 - 1979. - №3 - P. 539-560.
15. Kochetov Y. Large neighborhood local search for the p-median problem / Y. Kochetov, E. Alekseeva, T. Levanova, M. Loresh//Yugoslav Journal of Operations Research, 15,2005. - № 1. - P. 53-63.
16. Kolokolov A. Analysis of decomposition algorithms with benders cuts for p-median problem / A. Kolokolov, N. Kosarev // Proceedings of The Second International Workshop «Discrete Optimization Methods in Production and Logistics», Omsk-Irkutsk, 2004. - P. 66-69.
17. Local search in Combinatorial optimization / Edited by E.Aarts and J.K.Lenstra, Wiley and Sons, 1997.
18. Rajendran Chandrasekharan, Ziegler Hans Ant-colony algorithms for permutation flowshop scheduling to minimize makespan/total llowtimeof jobs//Eur. J, Oper. Res. — 2004. 155, №2. - P. 426-438.
19. Sridharan R. The capacitated plant location problem // European Journal of Operational Research. V87,1995. - P.203 - 213.
20. Valeeva A. Using Ant Colony Algorithm for the 2D Bin-Packing Problem / A. Valeeva, M. Agliullin // Proceedings of the 3rd International Workshop CSIT'2001. Ufa, 2001. - P. 123-133.
21. Yagiura M. An Ejection Chain Approach for Generalized Assignment Problem / M. Yagiura, T. Ibaraki, F. Glover // INFORMS Journal on computing, 16, 2004. - P. 133- 151.
22. http://www.math.nsc.ru/AP/bench-marks/index.hnml
КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, д.ф.-м.н., профессор, зав. лабораторией дискретной оптимизации Омского филиала Института математики им. СЛ. Соболева СО РАН.
ЛЕВАНОВА Татьяна Валентиновна, к.ф.-м.н.,доцент, старший научный сотрудник Омского филиала Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН. ЛОРЕШ Максим Андреевич, ассистент кафедры высшей математики ОмГТУ.
Дата поступления статьи в редакцию: 18.04.2006 г. © Колоколов А.А, Леванова Т.В., Лореш М.А.
Книжная полка
Волькенштейн B.C. Сборник задач по общему курсу физики: Для студентов технических вузов. Учебное пособие. - 3-е изд. - СПб.: Профессия, 2005. - 327 с.
Настоящее издание представляет собой переработанный вариант книги «Сборник задач по общему курсу физики» того же автора. Значительная часть задач заменена на новые в соответствии с современными требованиями вузов к обычной программе по физике. Сборник задач может частично использоваться учащимися старших классов, техникумов и ПТУ, а также преподавателями указанных учебных заведений при подготовке к занятиям.
Ремизов АЛ., Максина А.Г., Потапенко А.Я. Учебник по медицинской и биологической физике. Учебник для вузов. - 6-е изд. -М.: Дрофа, 2005. - 559 с.
Данный учебник является частью учебного комплекта, включающего также два учебных пособия: «Сборник задач по медицинской и биологической физике» А.Н. Ремизова и А.Г. Максиной и «Руководство к лабораторным работам по медицинской и биологической физике» М.Е. Блохиной, И.А. Эссауловой и Г.В. Мансуровой. Комплект соответствует действующей программе курса медицинской и биологической физики для студентов медицинских специальностей. Отличительная особенность учебника - сочетание фундаментальности изложения общефизических сведений с четкой медико-биологической направленностью. Наряду с материалом по физике и биофизике излагаются элементы теории вероятностей и математической статистики, вопросы медицинской метрологии и электроники, основы фотомедицины, дозиметрии и др., приводятся сведения о физических методах диагностики и лечения. Содержание книги значительно обновлено по сравнению с ее третьим изданием (1999 г.) в соответствии с современными требованиями.
Для студентов и преподавателей медицинских вузов, а также студентов сельскохозяйственных вузов и биологических факультетов университетов и педагогических вузов.
