Размерность Зарисского алгебраических множеств над коммутативными идемпотентными полугруппами Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 4. С. 45-49.

УДК 512.53

РАЗМЕРНОСТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

МНОЖЕСТВ

ИДЕМПОТЕ*

Строится пример полугруппы С и серия неприводимых алгебраических множеств I)к е Л' ; над С с размерностями Зарисского 2 с1ип)'; = о> + к . где (О - первый счётный ординал.

Ключевые слова: универсальная алгебраическая геометрия, размерность алгебраического множества, коммутативная идемпотентная полугруппа.

Введение

Понятие размерности занимает одно из центральных мест в топологии и геометрии. Размерность множества У топологического пространства определяется как супремум длин всех строго убывающих цепочек

ва У существует цепочка бесконечной длины или существуют цепочки сколь угодно большой длины, то размерность множества ¥ считается равной оо.

Пусть У- алгебраическое множество над полем к, то есть множество, заданное системой алгебраических уравнений. Как следует из результатов алгебраической геометрии, размерность множества У всегда конечна.

При изучении алгебраической геометрии над произвольной алгебраической системой определение размерности выше становится неудобным, поскольку в соответствии с ним размерность любого алгебраического множества либо конечна, либо равна оо .

В связи с этим Э. Данияровой, А. Мясниковым, В. Ремесленнико-вым было сформулировано более универсальное определение размерности алгебраических множеств, названное ими размерностью Зарисского. Размерность Зарисского в алгебраической геометрии над полем к полностью совпадает с определением размерности выше.

Но поскольку значения размерности Зарисского могут быть равны любому (конечному или бесконечному) ординалу, то возникает следующая проблема: для заданного множества ординалов {у1 | /' е /} существуют ли алгебраическая система А и алгебраические множества У1 с: А" с размерностью Зарисского, равной yi ?

©А.Н. Шевляков, 2010

В настоящей работе данная проблема решается положительно для первых бесконечных ординалов вида (О +к , где к пробегает все натуральные числа, и в качестве алгебраической системы А берётся коммутативная идемпотентная полугруппа.

Определения теории полугрупп

Следуя [1], приведём основные определения теории коммутативных полугрупп.

Полугруппой называется непустое множество с определённой на нём ассоциативной операцией (х, у) \—> ху. Определённая на полугруппе операция называется умножением.

Полугруппа называется коммутативной, если для любой пары её элементов х,у выполнено тождество ху — ух. Полугруппа называется идемпотентной, если в ней выполнено тождество хх=х.

Замечание. Всюду в работе под термином «полугруппа» мы будем подразумевать коммутативную идемпотентную полугруппу.

Элемент с частично упорядоченного множества М называется точной нижней гранью элементов £/, Ь е М (и обозначается с = алЬ ), если с - наибольший элемент со свойством с < а, с <Ъ . Нижней полу-решёткой называется частично упорядоченное множество такое, что для любой пары его элементов определена точная нижняя грань.

На произвольной коммутативной идемпотентной полугруппе 8 можно задать частичный порядок по правилу х < у <=> ху = х .

Справедливо следующее утверждение.

Предложение [1]. Элементы произвольной коммутативной идемпотентной полугруппы Б определяют нижнюю полу-решётку Ь относительно порядка <, причём точная верхняя грань элементов а,Ъ определяется как умножение аЪ в полугруппе Б. И обратно: каждая нижняя полурешётка Ь является коммутативной идемпотентной полугруппой Б относительно операции л.

Нижнюю полурешётку (а следовательно, и полугруппу) можно задать в виде графа, где точная нижняя грань элементов а, Ъ и неравенство а<Ъ обозначаются соответственно

а аЬ

а

Основные понятия универсальной алгебраической геометрии

Приведём, следуя [2], основные понятия алгебраической геометрии над алгебраическими системами.

В своей работе мы будем рассматривать полугруппы в языке

Л = {■} <и {е( | / е N} со счётным числом

констант. Всюду ниже мы будем предполагать, что множество констант {ег | / е N} полугруппы А замкнуто относительно операции умножения.

Уравнением над полугруппой А называется атомарная формула

т(Х) = а(Х) языка Л . Система уравнений (система) над А - это произвольное множество уравнений над А .

Нетрудно проверить, что любое уравнение над полугруппой А может быть преобразовано к виду

-у» ^2 п — у 02

Л1 л2 • • • лп ^ ~ Л1 Л2 ■ ■ ■ Лп ;

где ё{0,1}, и с,С - константы. То

есть в уравнениях над А в качестве параметров мы можем использовать лишь элементы, являющиеся константами языка Ь .

Решением уравнения т(Х) = а(Х) в полугруппе А называется множество точек (ах, а2,..., ап) с: Ап таких, что при подстановке хі \—> аі уравнение

г(Х) = с(Х) превращается в истинное равенство. Решение уравнения

т(Х) = ст(Х) в полугруппе А обозначается Уд (т(Х) = с(Х)) . Решение системы

уравнений 8 в полугруппе А определяется естественным образом и обозначается как Уд (Я).

Множество V А" называется алгебраическим над полугруппой А , если существует система уравнений 8 такая, что V , (£) = V . Непустое алгебраическое над А множество У называется приводимым,

ь

ь

если оно является нетривиальным конечным объединением алгебраических над А множеств.

Пусть У с: А" - алгебраическое множество над полугруппой А . Тогда радикал Нас/А (У ) множества У есть совокупность всех уравнений (следствий) т(Х) = о(Х) , которым удовлетворяют все точки множества У. В частности, радикал пустого множества совпадает с множеством всех уравнений.

Пусть У - алгебраическое множество над А. Семейство неприводимых множеств {У | у е /} будем называть правильной цепочкой с началом. У, если

1. 7з70;

2. У —) У. ! для непредельного ординала у;

3. |^| У8^Уу для предельного ординала у.

Размерность Зарисского алгебраического множества У - это супремум длин всех правильных цепочек с началом У. В случае, когда длина правильных цепочек с началом У не ограничена, то мы полагаем, что У имеет бесконечную размерность. Размерность Зарисского алгебраического множества У обозначается как I (Нт У.

Основной результат

Пусть С - полугруппа, заданная следующей полурешёткой

/2

ч

/■

/о

с;

к с.

к

к

сп

В полугруппе С элементы Г являются константами и через Ci обозначены

подполугруппы, изоморфные полугруппе, определяемой следующей полурешёткой:

Еп

Е

являются кон-

где элементы е0,ег,е2, стантами. Элементы еі, Е1 из подполу-

Л Т?к

группы Ск будем обозначать через еі ,Е соответственно.

Кроме того, в полугруппе С для всех натуральных чисел і, к, т выполнены неравенства:

л<<.

Рк<Е%

Л<е

к+п

Рк<Е

•к+т

Иными словами, элементы подполугруппы Ск соединены в решётке с элементами /к,Рк следующим образом:

Ек

Рассмотрим все нетривиальные уравнения от одной переменной над полугруппой С:

1. хс = х;

2. хс = хс ;

3. хс = с ;

4. хс = с ;

е

о

е

е

2

где с, с - константы.

С помощью IVк будем обозначать множества Ск ^{/к}^Рк . Найдём решения уравнений от одной переменной в полугруппе С .

1. {х < с} ;

2.1. Пусть с&Ск, с <^1¥к, тогда решением уравнения 2. является множество {х<сс}[_)Щ ;

2.2. Пусть с &Ск, с> /к,с £Ск, тогда решение уравнения 2. равно

г<к

2.3. Пусть с =/к, с> /к,с<£Ск, тогда уравнение 2. имеет решение

г<к

3. {х > с) ;

4. Решение равно {х = с} при с < с, с,сёС^; во всех других случаях

уравнение несовместно.

Поскольку мы будем рассматривать только системы уравнений от одной переменной х, то ниже подразумеваем, что для всех алгебраических множеств выполнено включение 7сС.

Замечание. Далее в качестве уравнений мы будем писать неравенства X < с X > с, подразумевая под ними уравнения хс — X и хс = с соответственно.

Из описания решений уравнений непосредственно следуют утверждения.

Лемма 1. Алгебраические множества пунктов 1. 4. неприводимы, алгебраические множества остальных пунктов приводимы.

Доказательство. Решения уравнений будем обозначать через У.

Решения уравнений 2.1. 2.2. 2.3.

представимы в виде следующих конечных объединений алгебраических множеств

2Л- (¥с(х/ш =хе1+1)глУ)^{х<сс}^

^{х<ек\

к-1

2.2. У{х<е;}(7 п{х</^})

2=0

к

2.3. У{х<4)

2=0

Решение уравнения 3. представимо в виде объединения ({х ^;}п7)и{х>/м}

X к

при с — ; при С — е решение предста-

вимо в виде конечного объединения эле-

С к л л

■ ■ — - к е0->е1 •

Неприводимость одноэлементного множества из пункта 4. очевидна.

Докажем неприводимость множества, заданного уравнением 1. Пусть Е - наибольший неконстантный элемент полугруппы С со свойством Е <с .

Предположим, что существуют алгебраические множества , 1 < / < т такие,

что 7 = 71 о172 о1... о17т . Не ограничивая

общности, будем считать, что Л е У\.

Как следует из приведённых выше решений уравнений, любое уравнение, удовлетворяющее точке Е, удовлетворяет также точке с. Следовательно, система

уравнений, определяющая множество У\, удовлетворяет точке с. Заметим, что радикал множества У\ не может содержать

уравнений вида 3. 4., поскольку данные уравнения не могут удовлетворять неконстантному элементу Е. Следовательно, множество У\ определяется лишь уравнениями вида 1. 2. Но, как следует из описания решений уравнений 1. 2., множество У\ будет содержать все элементы

х < с, то есть 7, =7. Следовательно,

множество У неприводимо. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть У - неприводимое алгебраическое множество над С, заданное системой уравнений Б. Тогда в У не существует элементов, принадлежащих разным подполугруппам Ск. Кроме того, если в У существует элемент у &Ск, то 7 = 0 для всех 1>к.

Доказательство. Покажем, что нарушение условий леммы делает множество У приводимым.

Не ограничивая общности, будем считать, что элементы у0,у1 (= У принадлежат множествам C0,Wl соответственно.

Тогда множество Y представимо в виде нетривиального объединения

(Ус(х/о = xel) п 7) ^ (Iх ^ е1} nY) ■

Лемма доказана.

Из леммы 2. следует, что любое неприводимое множество Y над С, состоящее более чем из одной точки, задаётся с помощью уравнения X < с . Константу с будем называть определяющей для множества Y и обозначать как Су .

Рассмотрим следующие алгебраические множества

Yk = {x^el} = ck^vc(x<fk).

Докажем, что Z dim Yk = СО +k . Рассмотрим последовательность длины (О +к алгебраических множеств

ук Vc(x < el) з Vс(х < ef) з ... з

=3 Vc(X ^ fn) ^ Л-l) => • • • => У(Х ^ /о)

По лемме 1 все множества цепочки неприводимы, и поэтому Z dim Yk > со + к .

Пусть Yk = Z0 з Zj з ... - произвольная цепочка неприводимых множеств длины более чем (О +к . Для множеств Z( существуют определяющие константы cz . Кроме того, существует определяющая константа сю для множества

Z.cfK

ieN

Однако в полугруппе С не существует убывающих цепей констант, начинающихся с £*, длины более 0) +к. Следовательно, длина цепочки алгебраических множеств Z( не может быть более

чем со +к . Таким образом, Z dimí^ = <як . ЛИТЕРАТУРА

[1] Grillet P. Commutative semigroups. New York: Berlin: Springer. 2001. 456 p.

[2] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Math. 2008. V. 1. P. 80112.