CC BY
28
МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 60-62.
УДК 512.53 А.Н. Шевляков
ОБ ОБЪЕДИНЕНИИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ПОЛУГРУППОВОМ ЯЗЫКЕ БЕЗ КОНСТАНТ*
Полугруппа $ называется эквациональной областью, если любое конечное объединение алгебраических множеств над $ является алгебраическим. Доказано, что любая нетривиальная полугруппа, рассматриваемая в стандартном языке {•}, не является эквациональной областью.
Ключевые слова: уравнение, алгебраическое множество, полугруппа.
Введение
Из коммутативной алгебры известно, что объединение Уі и У2 двух алгебраических множеств над полем к снова является алгебраическим множеством (то есть представимо в виде решения некоторой системы уравнений). Кроме того, существование системы уравнений с решением У1 и У2 возможно не только для алгебраических множеств Уі,У2, определенных над полем к, а для любого коммутативного ассоциативного кольца без делителей нуля.
В категории групп также существуют примеры, когда любое конечное объединение алгебраических множеств над группой О является алгебраическим множеством. Согласно [1], группы с таким свойством называются эквационалънъми областями.
Заметим, что любая группа О может рассматриваться как алгебраическая система в любом из следующих языков:
1) ь = {-Лі},
2) ь = {-Д1}и {£|£ є О},
3) Ь = {-Д1}и{И |И єН < О},
где последние два языка являются расширениями стандартного языка теории групп Ь1 с добавлением констант. Поскольку уравнение над группой является выражением вида w(X) = 1, где слово w(X) представляет
собой произведение букв множества X и X-1 и констант языка, то каждый из групповых языков Ь1, ЬО, ЬН определяет свой класс алгебраических множеств AS(Ь, О) над группой О . Очевидно, что справедливы следующие включения AS(Ь1, О) с AS(ЬН, О) с AS(ЬО, О) . Следовательно, одна и та же группа О может не быть эквациональной областью в языке Ь1 или ьН , но оказаться таковой в языке ьО .
Если мы будем рассматривать группы в языке без констант Ь1, то
проблема поиска эквациональных областей решается отрицательно ввиду следующего утверждения.
Утверждение [1]. Любая нетривиальная группа в языке Ь1 не является эквациональной областью.
В данной работе мы доказываем аналогичный результат для полугрупп (теорема 2).
Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (проект 14.В37.21.0859) и гранта РФФИ 12-01-31008 мол_а.
© А.Н. Шевляков, 2013
Об объединении решений систем уравнений в полугрупповом языке без констант
61
Основные определения теории полугрупп
Приведем основные понятия теории полугрупп, которые будут использоваться нами в статье. Более детальное введение в теорию полугрупп см., например, в [2].
Полугруппой называется непустое множество с ассоциативной бинарной операцией •, которая называется умножением.
Пусть а - произвольный элемент полугруппы $ . Период п элемента а - это число элементов в подполугруппе, порожденной элементом а. Для элемента а, имеющего период п, индексом называется минимальное число т такое, что ат =ап . Говорят, что элементы а, Ь е $ коммутируют если
аЬ = Ьа . Полугруппа тривиальна, если она состоит из одного элемента.
Элемент а е $ называется идемпотен-том, если аа = а . Полугруппа $ называется связкой (или идемпотентной), если все ее элементы являются идемпотентами. Связка $ называется прямоугольной, если в полугруппе $ выполнено тождество хуг = Х2 .
Полугруппа нигде не коммутативна, если любая пара ее различных элементов не коммутирует.
Теорема 1. Полугруппа $ является нигде не коммутативной тогда и только тогда, когда $ - прямоугольная связка.
Алгебраическая геометрия над полугруппами
Полугруппы как алгебраические системы мы будем рассматривать в языке Ь = {•} .
Обозначим через X конечное множество переменных х1,х2,..хп . Термом языка Ь от переменных множества X называется конечное произведение, составленное из переменных множества X .
Уравнением над языком Ь называется равенство двух термов т(Х) = а(Х) . На-
2 2
пример, выражения х1 х2 = х3х1, х1 х2х3 = х1 х3 являются уравнениями над языком Ь . Система уравнений (для краткости - система) - это произвольное множество уравнений.
Множество решений системы 8 в полугруппе $ определяется естественным образом и обозначается через У$ (8) . Множество
У с $п называется алгебраическим над полугруппой $, если существует система 8 от переменных х1,х2,...,хп с решением У .
Следуя [1], дадим основное определение данной работы. Полугруппа $ называется эквациональной областью, если для любого конечного набора алгебраических множеств У1,У2,...,Уп множество У = У1 иУ2 и...иУп
является алгебраическим.
Основной результат
Наша цель - доказать теорему 2 в соответствии со следующим планом. Мы последовательно доказываем отсутствие нетривиальных эквациональных областей в следующих классах полугрупп:
1) идемпотентные полугруппы (лемма 1);
2) полугруппы, удовлетворяющие тождеству х = х (лемма 2);
3) полугруппы, в которых существует элемент а со свойством а2 Ф а3 (лемма 3).
Лемма 1. Любая нетривиальная идем-потентная полугруппа $ не является эк-вациональной областью.
Доказательство. Обозначим множество из трех переменных х1, х2, х3 через X и предположим, что множество
М = К (х1 = х2) и К (х1 = хз) =
= {(х1, х2, х3) | х1 = х2 или х1 = х3} является алгебраическим (совпадает с решением некоторой системы) 8(X).
Возможны два случая.
1. Полугруппа $ нигде не коммутатив-
на. По теореме 1 $ является прямоугольной связкой. Пусть а,Ь - два различных элемента полугруппы $ и с = аЬ . В силу тождества хуг = хг и идемпотентности имеем равенства ас = с , са = а . Поскольку (а, с, с) й М , то в системе 8( X) существует уравнение
п(X) = р^) , не удовлетворяющее данной точке. Так как множество {а,с} образует подполугруппу в $ , то значения термов п(X) , р(X) в точке (а, с, с) принадлежат множеству {а, с} . Без ограничения общности будем считать, что п(а, с, с) = а ,
р(а,с, с) = с . Следовательно, терм п^) заканчивается на переменную х1 , в то время как терм р^) заканчивается на х2 либо х3. Тогда п(а, а, с) = п(а, с, а) = а, и либо р(а,с, а) = с (если терм р(X) заканчивается на переменную х2), либо р(а, а, с) = с (если терм р(X) заканчивается на переменную х3 ). В любом случае мы получаем противоречие, поскольку точки (а, а, с), (а, с, а)
принадлежат множеству М .
2. Пусть в полугруппе существуют два различных коммутирующих друг с другом элемента а, Ь е $ и с = аЬ . Легко проверить, что элемент с обладает свойством ас = са = с . Поскольку (а, с, с) й М , то в системе 8( X) существует уравнение п^) = р(X) , не удовлетворяющее данной точке. Так как множество {а,с} образует
62
А.Н. Шевляков
подполугруппу в $ , то значения термов п^) , р^) в точке (а,с, с) принадлежат множеству {а, с} . Без ограничения общности будем считать, что п(а, с, с) = а , р(а,с, с) = с . Следовательно, в терм п^) входит лишь переменная х1 , в то время как в р(X) входит хотя бы одна из переменных х2 или х3. Тогда п(а, а, с) = п(а, с, а) = а, и либо р(а,с, а) = с (если переменная х2 входит в терм р(X)), либо р(а, а, с) = с (если переменная х3 входит в терм р(X)). В любом случае мы получаем противоречие, поскольку точки (а, а, с) , (а, с, а) принадлежат множеству М .
Лемма 2. Пусть в полугруппе $ истинно тождество х2 = х3 и полугруппа $ не идемпотентна. Тогда $ не является эк-вациональной областью.
Доказательство.
Обозначим множество из трех переменных х1, х2, х3 через X и предположим, что множество
М = (х1 = х2) и (х1 = х3) =
= {(х1, х2, х3) | х1 = х2или х1 = х3} является алгебраическим, т. е. совпадает с решением системы 8(X).
Поскольку полугруппа $ не является идемпотентной, то существует элемент а е $ такой, что а Ф а2.
Так как (а, а2, а2) й М , то в системе 8(X) существует уравнение п^) = р(X) , не удовлетворяющее данной точке. Так как множество {а, а2} образует подполугруппу в $ , то значения термов п^) , р(X) в точке
(а,а2,а2) принадлежат множеству {а,а2} . Без ограничения общности будем считать, что п(а, а2, а2) = а , р(а, а2, а2) = а2. Следовательно, п^) = х1, в то время как в терм р(X) либо входит одна из переменных х2, х3, либо по крайне мере переменная х1 входит два раза.
Тогда п(а, а, а2) = п(а, а2, а) = а , и либо р(а, а2, а) = а2, либо р(а,а, а2) = а2. В любом случае мы получаем противоречие, поскольку точки (а, а, а2), (а, а2, а) принадлежат
множеству М .
Лемма 3. Если полугруппа S не удовлетворяет тождеству х2 _ х3, то она не является эквациональной областью. Доказательство.
Пусть X _ (Xj, х2, х3, х4} . Предположим противное: решение системы S(X) равно множеству
M _ VS (xj = х2) u VS (х3 = х4) =
= ((х1, х2, х3, х4) | х1 = х2 или х3 = х4}.
Пусть т( X) = с( X) - произвольное уравнение системы S. По условию существует элемент a е S такой, что a2 Ф a3 (поэтому а Ф a2).
Из выбора системы S следует, что точки
P = (a2, a, a, a), P2 _ (a, a, a2, a) удовлетворяют уравнению t(X) = c(X) .
Пусть терм t(X) содержит в себе nt вхождений переменной х1. Аналогично mt -число вхождений переменной х1 в терм с(х) . Равенства т(р ) _ c(р ) влекут
a2nj+n2 +П3 +П4 _ a2mj +m2 +m3+m4
anj+n2 +2n3 +П4 _amj+m2 +2m3+m4
Перемножая уравнения полученной
выше системы, получаем равенство
a3nj +2n2 +3n3 +2n4 _a3mj + 2m2 + 3m3 +2m4
Рассмотрим точку Q _ (a3, a2, a3, a2) й M . Однако при подстановке координат точки Q в уравнение t(X) _ c(X) получаем
t(Q ) _ a3nJ+2n2+3n3+2n4 c(Q) _ a3mJ+2m2+3m3+2m4
Таким образом, имеем t(Q) _c(Q) . Из произвольности выбора уравнения
т(X) _ c(X) получаем, что Q eVS (S), что
выбору системы S .
Основной результат параграфа напрямую следует из лемм 1-3.
Теорема 2. Любая нетривиальная полугруппа в языке L _ {•} не является эквацио-нальной областью.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами IV: эквациональные области и ко-области // Алгебра и Логика. 2011. Т. 49. № 6. С. 715-756.
[2] Howie J. M. Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford: ClarendonPress, 1995. 351 p.
