CC BY
29
УДК 551.578.71
РАЗЛОЖЕНИЕ И ПРОГНОЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ МЕТЕОПАРАМЕТРОВ
В СТЕПНОЙ ЗОНЕ КБР
© 2007 г. Б.А. Ашабоков, Л.М. Федченко, Л.Ж. Шугунов
The results of analysis, decomposition and forecast of various meteoparameters in Kabardino-Balkaria steppe zone are presented. The basic components as trend, cycling trend and irregular row component are selected using known criterions of row randomness. Residual series are also analyzed. The equations which describe the dynamic of these meteoparameters timing series are received. Its forecast values are calculated.
Для исследования погодно-климатических характеристик региона применяются различные виды метеорологической информации. Однако использование для этих целей временных рядов метеопараметров при их обработке современными средствами позволяет наиболее простыми методами получить достаточно надежные результаты, имеющие важное практическое значение.
Для исследования и анализа временных рядов различной природы разработаны различные методы, предложенные в работах [1-3] и др. В [1] для анализа временных рядов метеопараметров (для оценки эффективности противоградовых работ) был применен метод, основанный на выделении скрытых периодич-ностей.
В данной работе проводится анализ, разложение и прогноз временных рядов различных метеопараметров в степной зоне КБР (в г. Прохладном и Тереке) за период с 1957 по 2002 г.
Предварительный анализ данных показывает, что относительно исследуемых рядов можно сделать ряд общих предположений относительно структуры ряда. В наиболее общем случае для описания временных рядов исследуемых метеопараметров можно использовать аддитивные модели следующего вида:
1(п) = ш(г)+С(п) + £ (1)
где ш(г) - полиномиальный тренд ряда; С(п) - циклический тренд, подлежащий определению; £ -случайная часть с нормальным законом распределения, с нулевым математическим ожиданием; п -номер ряда.
Анализ исследуемых временных рядов показал, что их тренды с хорошим приближением можно описать моделью, определяемой формулой ш(г)=к+ёг, где коэффициенты к и ё находят методом наименьших квадратов.
Исключением тренда ряд приводится к стационарности, что необходимо для дальнейшего его анализа. Так как рассматриваемые ряды не содержат сезонной компоненты, то следующий этап анализа состоит в отделении циклической составляющей от нерегулярной части ряда.
Допустим, что в общем случае ряд содержит циклические компоненты, т.е. является полигармоническим процессом вида
С(г) = 1 (А,соэ—г+Е1Э1п—г), (2)
и Т1 Т,
где неизвестные A,, B,, Ti подлежат определению. Основная трудность в определении T,. Поэтому предложены различные методы решения этой задачи.
Для выявления циклических составляющих ряда используется спектральный анализ ряда. Среди всех селективных методов выделения циклической составляющей ряда в настоящее время наиболее эффективными являются: метод Бью-Балло, периодограм-манализ, корреляционное преобразование и интегральное преобразование Фурье (спектральный анализ). Все эти методы, как показано в [2], приводят к идентичным результатам, на практике предпочтение отдается спектральному анализу. Причем последние два метода «подавляют» случайную часть и позволяют «свести» стохастическую задачу (1) к полигармоническому процессу (2).
Особое значение среди нелинейных преобразований занимает так называемое корреляционное преобразование, которое имеет следующий вид:
1 "
x(1 )(t) =—J x(t)x(t +т )dt. (3)
2a -a
Показано, что преобразование вида (3) при достаточно общих предположениях дает
1 q
x(1 )(t) = -I Ajcos Ю01 + Kn(t). (4)
2 ,=1
Преобразование усиливает выделяемую гармонику, и добавляется несущественная относительно гладкая функция Kn(t), которая стремится к нулю при t^-ж особенно быстро, если случайная часть является белым «шумом».
На практике вместо (3) используется интегральное преобразование Фурье, которое приводит к тем же результатам.
1 L
Fl(ш) = Т Jx(t)e-'m - U(ш) -iV(ш), (5)
L -L
где
1 L 1 L
Aj ~U(ш) =— Jx(t)cosmjdt; Bj ~V(ш) =— Jx(t)sinmjdt. (6)
L -L L -L
Функции U(m), V(m) позволяют обнаружить в x(t) периодические компоненты, т.е. определить параметры скрытых периодичностей.
Надо отметить, что ни один из этих методов не позволяет получить точное решение этой сложной задачи. Поэтому для получения точных результатов используются разные приемы. В настоящей работе для решения этой задачи применяется спектральный анализ, дополненный различными критериями слу-
чайности остатка ряда (случайной части), а также критерий регулярной части - метод классической декомпозиции, предложенный в [4], что, по мнению автора, приводит к более надежным результатам.
Так как периодограмма ряда является случайной, проводится ее сглаживание с использованием спектральных окон.
Известно, что спектральная плотность и оценка автокорреляционной функции связаны соотношением
1 T
fn(t) =т" k(n)Ck(n)coskt,
|k|Zn
(7)
где Сk - оценка автокорреляционной функции, определяемая по формуле
Ck(n) =
1
n - к t=i
S(Y, - Y(n))(Yt+к - Y(n)) ;
юк - спектральные окна.
Существуют различные виды спектральных окон, предложенные разными авторами: Тьюки, Хеммингом, Бартлетом и другими, которые не сильно отличаются друг от друга и практически приводят к одинаковым результатам. В окне Хем-минга веса для взвешенного скользящего среднего значений периодограммы вычисляются как юк = 0,54 + 0,46со8(лк/р) (для к=0 до р), ю-к = юк (для k <0).
Оценки вида (7) являются усредненными значениями периодограммы.
На рис. 1 приведены периодограмма и спектральная плотность среднегодовой температуры в г. Прохладном (для остальных параметров получены аналогичные результаты). Из графика спектральной плотности видно, что спектр содержит 4 области максимума в которых следует ожидать наиболее значимые гармоники ряда.
6,-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-,6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 — ЦНТР; ь™. — ЦНТР; 1г.2 Рис. 1. Периодограмма и спектральная плотность ряда среднегодового количества осадков
Рассматривая гармоники, полученные в результате спектрального анализа как пробные, проводится дальнейший анализ ряда для выделения циклического тренда, для чего анализируются остатки, полученные исключением из ряда циклического тренда при разных значениях гармоник с использованием различных критериев случайности остатка ряда [4].
Статистика Дарбина-Уотсона позволяет находить наличие связи в остатке ряда, что определяется по формуле
d = S(et- ei-i) t=i
'S e2i ;
(8)
где е; - остаток ряда.
Учет трех гармоник во временном ряде среднегодовой температуры Т1=22 года (2 гармоника), Т2=8,8 (5 гармоника), Т3=4,9 года (9 гармоника) дает для коэффициента Дарбина значение, равное d=2,3. Учет двух циклов Т1=22 года (3 гармоника), Т2=4,9 лет (9 гармоника) дает для коэффициента Дарбина к=2,038.
Для дальнейшего анализа проводятся расчеты и сравнение полученных результатов с результатами других методов, в частности, с результатами метода классической декомпозиции.
Метод классической декомпозиции широко используется для анализа и исследования временных рядов различной природы. Методы сезонной декомпозиции позволяют выделить тренд, сезонную, циклическую и нерегулярную компоненты ряда.
Алгоритм анализа временного ряда методом классической декомпозиции, не содержащего сезонной компоненты, состоит из следующих этапов:
- проводится сглаживание ряда методом скользящей средней;
- выделяется тренд-циклическая составляющая;
- выделяется нерегулярная часть ряда.
В аддитивной модели, в методе классической декомпозиции, временной ряд представляется в виде Х(У=Щ+ С(О+8(0+Е(О, где Т - тренд (детерминированная функция); С - циклическая составляющая; 5 - сезонная составляющая; Е - нерегулярная случайная компонента ряда (в среднегодовых значениях, естественно, нет сезонной компоненты, тогда 5=0).
Такой анализ позволяет разложить ряд на основные составляющие, однако при этом сам ряд предварительно сглаживается. Известно, что сглаживание ряда широко используется в анализе временных рядов и в ряде случаев практически необходимо. Однако оно, фильтруя высокочастотные составляющие, преобразует исходный ряд и вносит некоторые искажения. В большинстве случаев эти искажения несущественны для анализа остальных составляющих ряда, и ими можно пренебречь.
После выделения циклического тренда проводится анализ остатка ряда, используя различные критерии случайности ряда: автокорреляционные функции, гистограммы и другие характеристики остатка ряда.
Следует отметить, что метод спектрального анализа имеет преимущество по сравнению с методом классической декомпозиции, состоящее в том, что он позволяет построить математическую модель, которая описывает динамику ряда, основанную на прошлых значениях временного ряда, и вычислить про-
t=i
гнозные значения ряда практически на любой срок, в том числе получить долгосрочный прогноз.
В работе проведены анализ и расчеты исследуемых временных рядов методом классической декомпозиции и сравнения полученных результатов с результатами разложения рядов на основные составляющие с использованием спектрального анализа ряда. Показано, что циклический тренд, полученный методом спектрального анализа, практиче-
ски совпадает с результатами второго метода, а случайная часть более изменчива, и, видимо, это связано с процедурой сглаживания ряда в методе классической декомпозиции.
На рис. 2 приведены графики тренд-циклических составляющих рядов в методе классической декомпозиции и спектрального анализа среднегодовой температуры (слева г. Прохладный, справа г. Терек).
Температура, °С Температура, °С
Рис. 2. Графики тренд-циклических составляющих, полученных методом классической декомпозиции (пунктирная)
и спектрального анализа (сплошная)
Из графиков рис. 2 следуют, что кривые, полученные различными методами, хорошо согласуются. На основании полученных результатов можно сделать вывод, что тренд-циклическая составляющая ряда, выделенная предлагаемыми подходами, достаточно точно описывает регулярную часть ряда.
На основе такого анализа основных метеопараметров в степной зоне КБР получены уравнения, описывающие динамику временных рядов метеопараметров, определяемые уравнениями вида
п (2П ^ (2П ^
Ук(г) = шк + ёкг + 2акСо.ч\ —г 1+Ькып\ —г \, к=, ^ Тк ) ^ Тк )
где шк, ёк - параметры полиномиального тренда; аю Ьк -амплитуды выделенных гармоник; Тк - периоды выделенных гармоник, определяемые из таблицы; п -число выделенных гармоник. Так, уравнение, описывающее динамику среднегодового количества осадков в г. Прохладном, имеет вид
Температура. °С
Y(t) = 432,8 + 1,65t + 30,81 cos\ —6t
-11,13cos| —6t I
- 20,91 coi — 8t \ 23
- 23,93 cosl — 8t \ 23
(9)
Используя формулу (9), можно вычислить прогнозные значения ряда на перспективу.
На рис. 3 приведены графики среднегодовой температуры, °С (сплошная линия), и прогнозных значений ряда (маркированная линия) на период до 2025 г. На рис. 3 слева приведены графики среднегодовой температуры в г. Прохладном, справа в г. Тереке. Из рисунка видно, что прогнозные значения ряда носят колебательный характер и на фоне периодических колебаний имеют тенденцию повышения среднегодовой температуры в соответствии с линейными трендами рядов.
Линейные тренды временных рядов метеопараметров по-видимому можно объяснить антропогенными факторами, имеющими тенденцию роста, связанную со всевозрастающим влиянием человека на окружающую среду.
Температура, °С
— ТМППРХ — - ПргнПрхТмп
1957 1965 1973 1981 1989 1997 2005 2013 202 — ЛетПрхТмп -- ПргнПрхТмпЛет
Рис. 3. Фактические (сплошная линия) и прогнозные (маркированная линия) значения ряда
19
1957 1967 1977 1987 1997 2007 2017
1962 1972 1982 1992 2002 2012 2022
Литература
1. Ашабоков Б.А., Федченко Л.М., Шугунов Л.Ж. // Тр. ВГИ. 1988. Вып. 88.
2. Кендэл М. Временные ряды. М., 1981.
3. Серебренников М.Г., Первозванский А.А. Выявление скрытых периодичностей. М., 1965.
4. Шугунов Л.Ж. // Вестн. КБГУ. Серия физ. науки. 2004. Вып. 9. С. 46-49.
Кабардино-Балкарская сельскохозяйственная академия
1 марта 2007 г
