Методы анализа и прогноза временных рядов метеопараметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 551.578.71

МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ МЕТЕОПАРАМЕТРОВ

© 2007 г T.H. Mугуноe

The results of analysis, decomposition and forecast of various meteoparameters in are presented. Two methods of analysis and forecast of timing series are considered. First method is based on the usage of stochastic models. The basic components as trend, cycling trend and irregular row component are selected at the second method on the basis of decomposition of timing series using the known cri-terions of residual row randomness. The equations which describe the dynamic of these meteoparameters timing series are received. Its forecast values are calculated.

Анализ временных рядов многолетних наблюдений метеопараметров представляет значительный научный и практически интерес. С одной стороны, результаты анализа имеют непосредственное практическое значение для различных нужд народного хозяйства, с другой - эти результаты могут быть использованы для решения различных задач в метеорологии.

В работе предложены два метода анализа и прогнозирования временных рядов метеопараметров. В первом подходе, не делая никаких предположений

относительно структуры ряда, проводится анализ и прогноз ряда на основе стохастических моделей.

Во втором методе в предположении, что ряд содержит циклическую составляющую, проводится разложение ряда на основные составляющие. После выделения регулярной составляющей ряда на ее основе строится модель ряда, которая используется для его прогнозирования. Использование двух различных методов прогноза позволяет, с одной стороны, сравнить полученные результаты двумя различными методами, с другой - каждый из них имеет свою область

применения. В частности, первый метод позволяет построить краткосрочный, но более точный прогноз, второй - долгосрочный. Ясно, что и тот и другой методы нужны для решения различных задач.

Рассмотрим кратко основные положения этих методов и результаты их применения для расчетов реальных значений метеопараметров на примере данных температуры и количества осадков в горной зоне КБР.

В аддитивной модели исследуемый временной ряд в наиболее общем виде можно представить в виде суммы, состоящей из детерминированной и случайной составляющих

Y(t)=m(t) + {, (1)

где m(t) - детерминированная составляющая ряда; с - случайная часть с нормальным законом распределения, с нулевым математическим ожиданием; t - время.

Построение стохастических моделей временных рядов значений метеорологических параметров и их прогнозирование состоят из нескольких этапов: идентификации, оценивания, проверки адекватности модели и прогноза. Ниже рассмотрены основные этапы построения стохастических моделей.

На первом этапе проводится выбор пробной модели (из ряда альтернативных) и начальных оценок параметров модели с использованием автокорреляционной (АКФ) и частной автокорреляционной функций (ЧАКФ). Оценки автокорреляционных функций Ск определяются по формуле

1 п~к — —

Ck (n) =-- Z (Y- Y(n))(Yt+k- Y(n)) . (2)

n k t=î

Если среднее значение ряда задано, то эта формула упрощается и принимает вид

1 n—k — —

— X(Yt~Y)(Yt+k-Y) , (3)

n-k t=î

R =

1

где Y = — X У, ~ среднее арифметическое значений N¡=1

ряда.

Используя приведенные в работе [1] критерии выбора пробной модели по значениям автокорреляционных функций, в качестве пробных моделей можно взять: авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС(р,^)), проинтегрированное скользящее среднее (ПСС(0,^)) и авторегрессии (АР(рД0)).

Начальные оценки параметров модели определяются из соответствующих значений АКФ и ЧАКФ, которые используются на следующем этапе.

Оценивание параметров модели проводится методом наименьших квадратов. И на последнем этапе после определения адекватной модели строится прогнозирующая функция для определения прогнозных значений метеорологических параметров.

На рис. 1 приведены результаты расчетов, полученных на основе использования стохастических моделей для среднегодовой температуры в горной зоне республики.

На двух верхних рисунках приведены АКФ и ЧАКФ первой разности среднегодовой температуры, на нижних - эти же функции для остатка ряда после выбора адекватной модели.

АКФ СрТемКмн: D(-1)

"Г"

д--------------

□--------------

АКФ СрТемКмн: D(-1)

1 I

1

я

в

1 H .1

----- 1 1 11

Iii I H 1

1 U 1 I Г^П 1

IL!' i 1------1 1

I П 1

Ss

| u i

В

— Conf. Limit

Рис. 1. Автокорреляционная (АКФ) и частная автокорреляционная (ЧАКФ) функции

Используя критерии выбора адекватной модели, приведенные в [1], получим, что в качестве адекватной модели можно выбрать авторегрессию проинтегрированного скользящего среднего АРПСС(1,1,2).

Прогнозные значения временных рядов в разностной форме при к < д, описываемых моделью АРПСС(/?,с/,с/). определяются по формуле [1]

Л7(А-) = фх 2+Фг |'г+а-2 2+- + ФР 1Г;+а-2 ~2~

- в\ |г+А-1 |г+А-2 ■ ■ ■ ~

0,0

0,5

1,0

0,0

0,5

0,0

0,5

1,0

0,0

0,5

1,0

где при j> 1 {-í+J.]=x;o), при />о \,_]}=х,_

ч-з _1: > ПРИ} - ^ =0 ,к- упреждение.

По формуле (4) прогнозные значения определяются последовательно: сначала с упреждением 1, затем 2 и т.д., т.е. в виде

Х,*(1) = фхХ, + ... + фрХ,+1_р -дха,-...~ вчапх_ч,

х; (2) = ф,х; (1) + ф2Х( +... + фрХм_р-

-в2аг-...-вчам_ч и т.д.

Используя формулу (4), проведено прогнозирование временного ряда среднегодовой температуры воздуха в горной зоне республики, результаты которого приведены на рис. 2.

разование и интегральное преобразование Фурье (спектральный анализ) [3]. Все эти методы, как показано в данной работе, приводят к идентичным результатам, однако на практике предпочтение отдается спектральному анализу. Причем последние два метода «подавляют» случайную часть и позволяют «свести» стохастическую задачу (5) к полигармоническому процессу (7). Корреляционное преобразование временного ряда имеет следующий вид:

1

х(1) (О =- J x(t)x(t + r)dr ■

2 а

Показано, что преобразование вида (3) дает i ^

■*(1) (0 = - Е Aj cos co0t + Кп (/) • 2 ,■=i

(8;

(9)

Отсюда видно, что преобразование усиливает выделяемую гармонику, и добавляется несущественная относительно гладкая функция кп(?), которая стремится к нулю при г -> оо особенно быстро, если случайная часть является белым «шумом».

На практике вместо (8) используется интегральное преобразование Фурье, которое приводит к тем же результатам.

(10)

1 1

FL{m) = - ¡x{t)e-

L -L

dt = U(а) - iV(co) >

1946 1956 1966 1976 1986 1996 2006 ГоД

1951 1961 1971 1981 1991 2001 2011

- КМНТМП - - КмнПргнТмп

Рис. 2. Фактические и прогнозные значения температуры воздуха

На рисунке фактические значения метеопараметра обозначены сплошной линией, прогнозные - пунктирной линией.

Во втором подходе для описания временных рядов исследуемых метеопараметров в наиболее общем случае можно использовать аддитивные модели следующего вида [2]:

Y(n) = т(п)+С(п) + {, (5)

где m(t) - полиномиальный тренд ряда; С(п) - циклический тренд, подлежащий определению; £ - случайная часть с нормальным законом распределения, с нулевым математическим ожиданием; п - номер ряда.

Анализ исследуемых временных рядов показал, что их тренды с хорошим приближением можно описать моделью, определяемой формулой

m(t)=k+dt, (6)

коэффициенты k и d определяются методом наименьших квадратов.

На первом этапе временной ряд приводится к стационарности, что необходимо для дальнейшего его анализа, исключением из ряда полиномиального тренда. Следующий этап анализа состоит в отделении циклической составляющей от случайной части ряда.

Допустим, что исследуемый ряд содержит циклические компоненты, т.е. является полигармоническим процессом вида

1 271 27Г C(t) = У\(А cos-t + B sin-1)

tC • T¡ T{ , i1)

где неизвестные A¡, B¡, T¡ подлежат определению.

Для решения этой проблемы широко используются селективные методы анализа рядов: метод Бью-Балло, периодограмманализ, корреляционное преоб-

1

где U(có) = — ¡x(t)cosß)jdt;

L

1 L

V(co) = — \x(t) sin (Ojdt.

L _r

(11)

Построение функций и {а), I'(о>) позволяет обнаружить в хф периодические компоненты, т.е. определить параметры скрытых периодичностей.

Однако ни один из этих методов не позволяет получить точное решение этой сложной задачи. Поэтому для получения более точных результатов в этих методах используются разные приемы. В настоящей работе для решения этой задачи используется спектральный анализ, дополненный различными критериями случайности остатка ряда (случайной части), а также критерий регулярной части - метод классической декомпозиции. Такой совместный анализ регулярной и случайной частей ряда, по нашему мнению, приводит к более надежным результатам.

Известно, что спектральная плотность и оценка автокорреляционной функции связаны соотношением

/И(0 = ¿^(иАМ СОЗ*/ • (12)

-¿Я" \k\cn

Из-за конечности ряда для получения более надежных результатов проводится сглаживание ряда с использованием спектрального окна Хемминга определяемого в виде

0)к = 0,54 + 0,А6 со$(к к/р) (для к=0 до р),

со_к = тк (для к <0)), (13)

где Ск - оценка автокорреляционной функции, определяемая формулой (2).

Периодограмма (рис. 1) имеет сравнительно большое количество близко расположенных пиков. Поэтому непонятно, какие гармоники ряда являются более значимыми, и для их выбора необходим дальнейший анализ ряда. Спектр ряда, полученный сглаживанием периодограммы с использованием спектрального окна Хэмминга (ширина окна т=5), содержит от-

и

a

и

L

L

носительно небольшое число максимальных областей, что значительно облегчает поиск значимых гармоник ряда.

Однако из-за неоднозначности получаемых результатов при разложении ряда на основе спектрального анализа используются критерии случайности остатка ряда, в частности, использованы: автокорреляционные функции, число поворотных точек, знаки разности и др. [2]. Кроме того, в качестве критерия регулярной части ряда используется метод классической декомпозиции, т.е. выбор искомых гармоник осуществляется по согласованию результатов этого метода с результатами предлагаемого подхода. Результаты такого анализа для исследуемых временных рядов приведены на рис. 3.

духа в горной зоне республики (пос. Каменномост-ское) описываются моделью вида Г(/) = 7,175 + 0,012? +

Рис. 3. Результаты анализа метеопараметров

На верхнем рисунке приведены периодограмма и спектр среднегодовой температуры в горной зоне КБР (пос. Каменномостское), на нижнем - тренд-циклические компоненты среднегодового количества выпадающих осадков в этом же пункте, полученные методом классической декомпозиции (пунктирная линия) и спектральным методом (сплошная линия) с использованием перечисленных критериев случайностей остатка ряда. Кривые, полученные этими различными методами, находятся в хорошем согласии, что позволяет заключить, что регулярная часть ряда выделена достаточно четко. Тогда получим, что основные характеристики среднегодовой температуры воз-

+ 0,291cos| — 3t -0,17816cos — 3/ -28 128

-0,17814cos| ^3/ +0,3318cos ^3/

(14)

Формула (14) позволяет получить прогнозные значения среднегодовой температуры воздух. На рис. 4 приведены результаты такого анализа.

1946 1958 1970 1982 1994 2006 2018 1952 1964 1976 1988 2000 2012 2024 НЕР -СРТМПКМН --• СрКмнТмрПргн

Рис. 4. Фактические и прогнозные значения температуры воздуха

Из графика прогноза видно, что колебательный характер ряда сохраняется и в будущем, однако здесь просматриваются определенные закономерности. В частности, в изменении температуры (как это видно из формулы) содержится линейный тренд, этим объясняется средний рост температуры в будущем. Наряду с этим процессом происходят сложные периодические изменения относительно тренда. Нетрудно заметить хорошее согласие фактических и сглаженных значений в годы наблюдений. Из сравнения этих графиков следует, что кривые на рис 2 и 4 не противоречат друг другу, т.е. качественно согласуются. При этом надо отметить, что если требуется прогноз на короткий период, надо использовать первый метод, а для долгосрочного прогноза - второй метод, основанный на разложении ряда на основные составляющие.

Литература

1. Бокс Дж. Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М., 1974. Вып. 2.

2. Кендэл М. Временные ряды. М., 1981.

3. Серебренников М.Г., Первозванский А.А. Выявление скрытых периодичностей. М., 1965.

Кабардино-Балкарская государственная сельскохозяйственная академия, г. Нальчик

1 марта 2007 г.