Равновесная ориентация игольчатой частицы в нематической матрице Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Серия: Физика Вып. 2 (24)

УДК 532.783; 539.22

Равновесная ориентация игольчатой частицы в нематической матрице

С. В. Бурыловa, А. Н. Захлевныхb

a Институт транспортных систем и технологий Национальной академии наук Украины 49005, Днепропетровск, ул. Писаржевского, 5

b Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Рассматривается влияние поверхностных saddle-splay деформаций жидкокристаллической матрицы, которые связаны с модулем упругости K24 , на равновесную ориентацию игольчатой частицы в однородном нематическом окружении. Предполагается, что на поверхности частицы задан гомеотропный тип сцепления для нематического директора. Игольчатая частица моделируется цилиндром длиной L и диаметром d с отношением d / L << 1, что позволяет пренебрегать торцевыми эффектами. Показана качественная и количественная аналогия между внутренними и внешними задачами для цилиндрических объемов нематика и при ее использовании описаны структуры поля директора вокруг частицы, которые возникают в двух возможных положениях равновесия, когда частица перпендикулярна или параллельна нематическому директору. Вычислены энергии этих ориентационных состояний и установлена зависимость точки перехода между перпендикулярной и параллельной ориентациями частицы и директора от величины модуля упругости K24 .

Ключевые слова: ферронематик; жесткое и мягкое сцепление; поверхностный модуль упругости нематика; цилиндрический капилляр; вытекающая радиальная структура; планарно-полярная структура

1. Введение

Коллоидные суспензии частиц в жидких кристаллах (ЖК) привлекают большое внимание исследователей. Наиболее ярким примером таких систем являются ферронематики (ФН) - магнитные суспензии на основе нематических жидких кристаллов (НЖК). Твердая фаза ФН состоит из однодоменных игольчатых ферромагнитных частиц с отношением длины Ь к диаметру ё порядка 10. Такая анизотропия формы обеспечивает частицам магнитную жесткость, при которой магнитные моменты игольчатых феррочастиц всегда направлены вдоль их главных осей [1]. Длина Ь частиц и диаметр ё велики по сравнению с размером а молекул НЖК, т.е. частицы представляют собой взвешенные в нематике мезоскопические объекты. Объемная доля / твердой фазы достаточно мала

—7 —2

(10 + 10 ), поэтому магнитная примесь в ФН рассматривается как идеальный газ невзаимодействующих магнитных зерен. Наличие малой добавки феррочастиц не меняет характер ориентаци-онного упорядочения нематической матрицы,

вследствие этого ФН, обладая высокой магнитной восприимчивостью, в остальном ведет себя как обычный НЖК.

При построении континуальной модели ФН используется [2;3] два взаимосвязанных уровня теоретического описания, которые отличаются характерными масштабами: мезоскопический и макроскопический. На мезоскопическом уровне с характерным масштабом порядка длины L ферро-частиц рассматривается поведение отдельной частицы в нематической матрице. На макроскопическом (или континуальном) уровне результаты, полученные при мезоскопическом исследовании, усредняются на масштабах много больших, чем L, рассматривается взаимодействие ансамбля ферро-частиц с НЖК матрицей, исследуется ориентаци-онное и магнитное поведение суспензии во внешнем магнитном поле [2-5].

Настоящая работа посвящена решению одной из основных задач мезоскопического описания ФН - задачи об определении равновесной ориентации отдельной игольчатой феррочастицы (т.е. ее длинной оси u) по отношению к невозмущенному директору hq = const однородной НЖК матрицы. В

© Бурылов С. В., Захлевных А. Н., 2013

силу того, что вдоль длиннои оси частицы ориентирован ее магнитный момент, для ансамбля фер-рочастиц, т.е. на макроскопическом уровне, решение поставленной задачи определяет направление начальной намагниченности суспензии. Этот результат важен для понимания и корректного описания поведения ФН во внешнем поле.

Как было показано в классической работе Бро-шар и де Жена [2], которая положила начало развитию континуальной теории ФН, для игольчатой частицы, взвешенной в нематической матрице, существуют два возможных положения равновесия: когда ее длинная ось и параллельна либо перпендикулярна невозмущенному директору ид . Поэтому для определения положения равновесия частицы необходимо найти и сравнить энергии ориентационных деформаций НЖК, которые создает указанная частица при и || ид и и ± ид.

Отметим, что собственное магнитное поле фер-рочастицы достаточно мало и не в силах повлиять на распределение директора даже в непосредственной близости от последней [2]. Поэтому при описании ориентационных деформаций это поле можно не учитывать, т.е. считать частицу немагнитной. Тогда энергия искажений нематической матрицы будет суммой упругой энергии Франка и энергии взаимодействия нематика с поверхностью частицы. Напомним, что в общем случае взаимодействие НЖК с поверхностью частицы и возникающие в результате структуры поля директора зависят от типа граничных условий для директора на рассматриваемой поверхности и от величины удельной энергии сцепления Ж . Тип граничных условий определяется направлением и8 легкого ориентирования директора на поверхности частицы, а величина Ж характеризует амплитуду изменения энергии сцепления при локальных отклонениях директора и от направления и3.

Синтезированные к настоящему времени тер-мотропные ФН имели, в основном, гомеотропный тип сцепления на поверхности частиц, при котором направление и8 легкого ориентирования директора перпендикулярно поверхности отдельной частицы - см., например, [6;7]. Поэтому ниже мы будем рассматривать именно этот тип сцепления.

Отметим, что для гомеотропного сцепления задача о равновесной ориентации частицы уже исследовалась в работах [2; 8; 9]. При этом использовались различные приближения. В частности, Брошар и де Жен [2] рассматривали случай т.н. жесткого сцепления, когда удельная энергия Ж бесконечно велика и локальное направление директора и на поверхности частицы строго параллельно и8. Такой подход в период написания работы [2], т.е. в конце 60-х гг. прошлого столетия, считался наиболее вероятным. При вычислении

энергии ориентационных состоянии с u || пд и u L пд авторы [2] полагали, что частица имеет форму цилиндра и, в силу малого отношения (d/L) << 1, пренебрегали торцевыми эффектами.

Кроме того, они использовали т.н. одноконстант-ное приближение, когда объемные модули упругости нематика, т.е. константы продольного изгиба (splay) Ki i, кручения (twist) K22 и поперечного изгиба (bend) K33, равны межу собой. Было показано, что при таких допущениях энергия упругих деформаций НЖК матрицы имеет глубокий минимум при u || ид, т.е. частица всегда должна ориентироваться параллельно директору пд.

Этот вывод мезоскопического описания теории [2] не нашел, однако, подтверждения на практике. Уже в первых экспериментальных работах [6; 7] по термотропным ФН было установлено, что при гомеотропном типе сцепления на поверхности феррочастиц последние в отсутствие поля ориентируются перпендикулярно директору.

Возникшее противоречие между теорией и экспериментом побудило авторов работ [8; 9] к теоретическому исследованию равновесной ориентации частицы в случае мягкого сцепления на ее поверхности, когда удельная энергия W принимает конечные значения. Такому исследованию способствовал большой теоретический и экспериментальный материал по влиянию поверхностных эффектов на ориентационное поведение жидких кристаллов в ограниченных объемах различной геометрии, который был накоплен в литературе к моменту написания работ [8; 9].

Моделируя по аналогии с [2] игольчатые частицы цилиндрами и пренебрегая торцевыми эффектами, авторы [8; 9] получили следующие результаты. Во-первых, они показали, что при гомеотропном сцеплении ориентационные искажения нематической матрицы, которые создает частица при u | Ид и u L пд , не содержат деформаций кручения. Это означает, что энергии указанных ориентационных состояний не зависят от модуля упругости K22 , а для приближенного вычисления энергий вместо одноконстантного можно использовать более реальное - двухкон-стантное приближение Кц = K33 = K. Здесь под К понимается среднее значение истинных модулей упругости продольного Kii и поперечного K33 изгибов, которые для нематических жидких

кристаллов достаточно близки по величине [Ю].

Во-вторых, в [8; 9] было установлено, что равновесная ориентация частицы зависит от величины безразмерного параметра w = (WRK), здесь R -радиус частицы. При значении w , превышающем критическую величину w* и 1.396, частица долж-

на лежать вдоль директора, а при w < w* она должна ориентироваться перпендикулярно директору. Приведенные в [8; 9] оценки показали, что для реальных термотропных ФН [6; 7] параметр w < w*, поэтому вывод теории о перпендикулярной ориентации длинной оси частицы по отношению к директору нематической матрицы дал возможность объяснить результаты экспериментов. С другой стороны, в приближении жесткого сцепления, когда w >> w* , вывод [8; 9] о параллельной ориентации частицы и директора НЖК полностью совпал с теоретическим результатом [2].

Напомним, однако, что с момента публикации работ [2; 8; 9] прошло от 20 до 40 лет. За это время существенно углубились теоретические представления о поверхностных эффектах на границе НЖК [11-14] и о поведении частиц различной формы в нематической матрице [15-17], получили развитие методы описания ориентационных искажений различного типа с помощью систем точечных и линейных дефектов, т.е. на топологическом уровне [16-18]. Учитывая современные исследования по данным вопросам, очевиден тот факт, что работы [2; 8; 9] не достаточно полно описывают ориента-ционное поведение игольчатой частицы в нематической матрице как в случае жесткого (W =ю), так и в случае мягкого (0 < W <ж) сцеплений. В частности, в этих работах не учитываются поверхностные (saddle-splay) деформации НЖК, которые связаны с модулем упругости K24. Как показывают современные исследования, под влиянием таких деформаций могут формироваться новые ори-ентационные структуры в НЖК - см., например, [11-14]. Кроме того, в [2; 8; 9] не описаны системы дефектов, которые порождают искажения поля директора вокруг частицы, и трансформация систем дефектов при переходе от жесткого (W =ж) к мягкому (0 < W <ж) сцеплению.

В связи с этим основными целями настоящей работы являются: детальное рассмотрение искажений поля директора вокруг частицы, их описание с помощью систем дефектов и оценка влияния saddle-splay деформаций на равновесную ориентацию частицы в нематической матрице.

Проводя данное теоретическое исследование, мы не будем следовать строгим и громоздким вычислениям, показанным в работах [2; 8; 9], а используем другой подход. В частности, проведем качественную и количественную аналогию между внутренними и внешними задачами для цилиндрических объемов НЖК. Это позволит нам не только более наглядно представить искажения поля директора вблизи частицы, но и определить условия, при которых точные решения для внутренних задач переходят в точные решения для внешних задач.

Материал настоящей работы структурирован

следующим образом. Раздел 2 посвящен проведению качественной аналогии между внешними задачами [2; 8; 9] для игольчатой частицы, взвешенной в нематической матрице, и внутренними задачами [12-14] по определению равновесных конфигураций поля директора в цилиндрическом объеме. Здесь описаны системы дефектов, которые отвечают искажениям поля директора вокруг частицы в состояниях u || no и u L no . В разделе 3 представлена количественная аналогия между внутренними и внешними задачами, вычислены энергии указанных ориентационных состояний и показан физический смысл перехода от жесткого к мягкому сцеплению на поверхности частицы. В разделе 4 исследовано влияние saddle-splay деформаций НЖК на равновесную ориентацию частицы в нематической матрице. Заключение приведено в разделе 5.

2. Качественное описание

ориентационных искажений

Как уже отмечалось выше, равновесная ориентация игольчатой частицы в нематической матрице отвечает одному из состояний, когда ее длинная ось u параллельна или перпендикулярна директору no . Если считать игольчатую частицу длинным цилиндром и пренебрегать торцевыми эффектами (как в [2; 8; 9]), то при описании ориентационных искажений вокруг частицы можно использовать аналогию с распределениями директора [12-14] внутри цилиндрического капилляра. Качественный характер указанной аналогии для внутренних и внешних цилиндрических объемов НЖК показан на рис. 1 и 2.

Рассмотрим хорошо известную вытекающую радиальную (escaped radial - ER) структуру [1214] в цилиндрическом капилляре, представленную на рис. 1,а. С топологической точки зрения она представляет собой линейную дисклинацию с зарядом q = 1, вытекающую в третье измерение. При преобразовании обратных радиус-векторов

ц2

R

(1)

цилиндрической системы координат ER структура переходит в конфигурацию, которая для переменной г' отвечает взвешенной в нематике частице с и || по (рис. 1,6.). Действительно, при преобразовании (1) стенке капилляра с координатой г = Я отвечает поверхность г' = Я частицы, а оси капилляра г = 0 - бесконечно удаленные точки г' = ж. Поэтому поверхность капилляра переходит в поверхность частицы, тип сцепления не изменяется и остается гомеотропным, однородная ориентация директора на оси капилляра, которая характеризует ER структуру, переходит в однородное

r =

r

распределение директора на больших расстояниях от частицы, а ориентационные деформации директора от стенки до оси капилляра плавно распределяются по объему НЖК от поверхности частицы

до бесконечно удаленных точек.

К и-*

Рис. 1. Качественная аналогия между внутренними и внешними задачами для цилиндрических объемов НЖК: а - вытекающая радиальная (БЯ) структура в цилиндрическом капилляре; б - поле директора вблизи частицы с жестким гомео-тропным сцеплением при и || по, полученное из ER структуры с использованием преобразования (1); в - распределение директора при переходе от жесткого к мягкому сцеплению на поверхности частицы, полученное с использованием преобразования Я ^ Яеу = рц • Я - см. (21)

Рис. 2. Качественная аналогия между внутренними и внешними задачами для цилиндрических объемов НЖК: а - планарно-полярная (РР) конфигурация в цилиндрическом капилляре; б - поле директора вблизи частицы с жестким гомео-тропным сцеплением при и ± по, полученное из PP структуры с использованием преобразования (1); в - распределение директора при переходе от жесткого к мягкому сцеплению на поверхности частицы, полученное с использованием преобразования Я ^ Яеу = р± • Я - см. (27)

Преобразование (1) может быть использовано и при описании ориентационных искажений вблизи частицы с u L no . При этом исходной является так называемая планарно полярная (planar polar - PP) структура [12-14] в цилиндрическом капилляре (см. рис. 2,а). Как показано в [14], ориентационное искажение, которое отвечает этой структуре, в плоскости (г, ф) описывается системой двух дис-клинационных линий. При жестком сцеплении дисклинации располагаются на поверхности капилляра и имеют одинаковые топологические заряды qi = q2 = 1. Проследим, как изменятся заряды этих линейных дефектов при использовании преобразования (1). Окружим точки плоскости (г, ф), через которые проходят дисклинационные линии, малыми замкнутыми контурами и зададим направление обхода последних. Очевидно, что после преобразования (1) направления обхода дис-клинаций изменятся на противоположные. Поэтому для частицы (рис.2,б) образами линейных дефектов РР конфигурации будут дисклинационные линии с зарядами qi = q2 = -1. Кроме того, на оси частицы появится еще одна дисклинация с зарядом q3 = 2 , которая является образом линейного дефекта q3 = -2 , размытого в случае РР структуры на бесконечности плоскости (г, ф). Для лучшего понимания этого вопроса перейдем к описанию дисклинационных линий с помощью функций комплексного переменного [14; 19; 20], тогда положению дефекта q3 = -2 будет отвечать бесконечно удаленная точка сферы Римана. Таким образом, искажение, которое создает взвешенная в однородном массиве нематика цилиндрическая частица при перпендикулярной ориентации ее длинной оси по отношению к невозмущенному директору, описывается системой дисклинацион-ных линий с зарядами {-1, 2, -1} (см. рис. 2,б). Суммарный заряд системы дефектов равен нулю. С топологической точки зрения это означает, что такая система дефектов на больших расстояниях от области ее локализации не создает ориентацион-ных искажений. Данное обстоятельство еще раз подтверждает тот факт, что частица вписывается в однородное распределение поля директора.

3. Распределение директора и энергия ориентационных искажений

При проведении количественной аналогии между внутренними и внешними задачами необходимо рассмотреть, как влияет преобразование (1) на конкретный вид угловых зависимостей, которые задают распределения поля директора, и на изменение свободной энергии системы. Для двух показанных на рис. 1 и 2 аналогий данное исследование представляет собой две самостоятельные задачи,

решения которых представлены ниже.

3.1. Частица параллельна директору

Рассмотрим количественную аналогию между уравнениями равновесия и граничными условиями, которые отвечают ER структуре в цилиндрическом капилляре, с одной стороны, и взвешенной в нема-тике частице с и || пд, с другой стороны (рис. 1).

Будем исходить из общего выражения для полной свободной энергии

F = J fFRdV + J fsdS .

V S

(2)

Здесь - потенциал Франка упругих деформаций НЖК; он имеет вид

fFR =1 fcn (V • n)2 + K22 [n .(Vx n)]2 +

- K33 [n x (V x n)]2 - K24 V • [n x (V x n) + n • (V • n)]}

(3)

Последнее слагаемое в (3) описывает упругий вклад, порождаемый saddle-splay деформациями НЖК. Это слагаемое можно выразить через поверхностный интеграл (см., например, [11-14]), поэтому константу K24 часто называют поверхностным модулем упругости.

Величина fs в (А1) представляет собой поверхностную плотность энергии сцепления директора с границами объема НЖК, которую мы выберем в форме Рапини [21]:

fS = W (n x ns )2.

(4)

В рассматриваемых задачах, которые отвечают гомеотропному типу сцепления с Ж > 0, направление легкого ориентирования п8 можно выбрать вдоль направления внешней нормали к цилиндрическому объему.

Заметим, что в работах [8; 9] при вычислении полной свободной энергии (2) в состоянии и || щ использовалось двухконстантное приближение К1 = К33 , а в [2] общий подход к решению задач о поведении отдельной частицы в НЖК был основан на одноконстантном приближении Кц = К22 = К33. Кроме того, в [2; 8; 9] вклад, связанный с поверхностным модулем упругости К24, не принимался во внимание, так как на момент написания этих работ в литературе еще не сформировалось четкого мнения о необходимости его учета. Здесь, используя аналогию между внутренними и внешними задачами для цилиндрических объемов, мы имеем возможность получить решение в общем виде для произвольных значений

материальных параметров, входящих в соотношения (2)-(4).

Распределение директора для внутренней и внешней задач в цилиндрической системе координат будем искать в виде

1 = б1п ^(а)- еа + 008 ^(а)- е 2

а = г, г .

(5)

рея = пь

1{к 1соб2 о(г) + К33 б1п2 о(г)

0

сЮ(Г )^2 К11 б1п2 П(г )

ёг / г -

}гёг +

(6)

+ (т - к11 + к24 )соб2 о(я)+к11 - к24

и конфигурации, отвечающей ориентационному искажению, которое создает частица при и || по

Р = пЬ

i |к11 соб2 о(г') + К33 б1п2 о(г')

К

+ К1181П2 °(г,) [г'ёг' + (7)

2

+ (т+к11 - к24 )соб2 о(я) - к11 + к24

где Ь - длина капилляра и частицы.

В формальном отношении подынтегральные выражения в (6) и (7) совпадают, поэтому уравнения равновесия для внутренней и внешней задач, которые получаются при минимизации функционалов (6) и (7), имеют одинаковый вид

(соб2 ^(а) + "л б1п2 ^(а))-

ё 2^(а) + 1 ёО.(а)

ёа

а ёа

+ б1п О(а)с0Б ^(а) •

(л-1)'

ёЮ(а)

ёа

1

а

^(г = о) = 0,

ёП(г )

ёг

СТ- Б1П

=я я •

1п П(Я )соб П(Я)

соб

П(Я ) + "б1п2 П(Я)

(9)

_ш - к11 + к24

СТ= к\1 ,

а для внешней - следующим образом:

П(г' = ю) = о,

ёО.(г')

ёг'

СТ - Б1П

г '= я

Я ■

1п П(Я )соб П(Я)

соб2 о(я) + л б1п2 п(я )

(10)

Здесь переменные а = г и а = г' относятся соответственно к внутренней и внешней задачам; на начальном этапе проведения аналогии мы считаем эти переменные независимыми.

Подстановка (5) в (2) - (4) дает следующие соотношения для энергий ER структуры:

+ кп - к24

кп .

Рассмотрим теперь, как изменится постановка задачи для ER структуры при использовании преобразования (1) и сопоставим ее с постановкой задачи для частицы с и || по. Это дает следующий результат. Уравнение (8) инвариантно относительно данного преобразования, первое граничное условие (9) переходит в первое граничное условие (10), а второе граничное условие (9) записывается как

ёО.(г')

с!г'

СТ- Б1П

г=я

я ■

п(я )соб п(я)

соб2 п(я ) + "б1п2 п(я)

(11)

Чтобы соотношение (11) совпадало с граничным условием (10) на поверхности частицы, необходимо использовать замену ст ^ ст' . Тогда решение для внешней задачи можно получить из известного решения для внутренней задачи [12-14], используя

две простые подстановки г ^(я2/г') и ст^ст' . Последняя подстановка эквивалентна замене к24 ^ (2к11 - к24). Заметим, что для величины (2кц - к24 ) выполняются условия

0 < (2к11 - к24) < 2к11, поскольку возможные значения к24 лежат в интервале 0 < к24 < т1п{2к11, 2к33 } (см. [22]).

Для записи окончательного результата напомним известное решение [12-14], отвечающее ER структуре. Оно зависит от величины параметра ст . При ст > 1 равновесное распределение 0.(г) задается неявной функцией

л/л -1 агс1;и -^П-(-)

^ ЛСТ + П +1

ст + 1 Л-1

г = я,--ехр

СТ-1Л +1

= 0,(8) Л^Т^+П^2^, 0 <0<я/2.

(12)

здесь п = (кзз /к11). Граничные условия для внутренней задачи записываются как

Этот результат записан в терминах работы [14]. Он справедлив как при л > 1, так и при 0 < л < 1; в

последнем случае в показателе экспоненты следует использовать тождественную замену

л/л-1 аг^Т""!- Мл, • • •)] = = Т^-ПаПЬ^Д-л -М(л,•)]

(13)

где М(л,—) - знакоопределенная функция при любом значении л > 0 . При ст > 1 граничное значе-

X

X

X

X

+

2

г

ние угла Q на поверхности капилляра определяется выражением

Q(r = R) = arctgí-Да2 - ] .

В случае ст < i граничный угол равен нулю и в цилиндрическом капилляре реализуется ситуация полного вытекания, когда Q(r )= 0 во всем объеме образца и директор параллелен оси капилляра. Однородное состояние, которое отвечает полному вытеканию ER конфигурации, называют аксиальной (axial - AX) структурой [14]. Полные свободные энергии данных конфигураций определяются соотношениями

Fer =

жЬКц

К 24 ц л/л-1 (ст- i)

-V24 + arctg—-^

КП ^ц-i ст+ц-i

для ст > i,

(i4)

, ст'-i Л + i

r = RJ—--exp

ст' + i Л-i

V^Iarctg^1 (ст'-Л) V ' 6 Лст' + ц + i

(i5)

F =

пЬКц

K24 ц . уЦ -1Г -1 —24 + ._!— arctg^—i-

k11 -у/Ц-1 ст+ц-1

при ст > 1 или W > K24 /R,

(16)

гии между внутренней и внешней задачами подставим решение (15) в уравнение равновесия (8) и граничные условия (10). При этом целесообразно использовать замену переменных: угол О считать независимой переменной, а координату г' - функцией этого угла, выбрав, например, представление г' = Я •©(о) . Дважды дифференцируя последнее

соотношение как неявную функцию по г', получаем связь между производными

dQ(r') _ í d©(Q)

dr'

dQ

-i

d2Q(r ') _ d2©(Q)f d©(Q)

dr'2

dQ

dQ

-3

(17)

жЯЬШ для ст< 1.

Используя в выражениях (12) и (14) подстановки ст^ст' (т.е. К24 ^(2Кц -К24)) и

г ^ (я 2 Г), получаем окончательное решение для внешней задачи, которая отвечает взвешенной в нематике частице при параллельной ориентации ее длинной оси по отношению к невозмущенному директору. В случае ст ' > 1 или Ш > (К24 /Я) неявная функция О(г') имеет вид

Тогда в терминах функции © = ©(о) и переменной О уравнение равновесия (8) и граничные условия (10) запишутся в виде

»•(а

©•Icos2 Q + ^in2 Qí

d2© í d©}2

)• © d2©-í

dQ2 l

+ sin Q cos Q

dQ2 ldQ

d©]3-(ц-1)-©2 d©

dQ I v ' dQ

(18)

= 0,

©(q = 0)=(

d©(Q)

dQ

22 cos Qr + ц sin Qr

ст'^ sin Qr cos Qr

а граничный угол О на поверхности частицы определяется как

Оя = О(г ' = Я)= агс1м^(ст'2 -^ .

При ст' < 1 или Ш <(К24/ Я ) распределение директора становится однородным (О(г') = 0) во всем

объеме образца, т.е. частица не создает ориентаци-онных искажений в нематической матрице. Полная свободная энергия системы, полученная из соотношений (14) с помощью указанных выше подстановок, записывается в виде

(ст'-1)

nRLW при ст< 1 или W < К24 /R.

Напомним, что при 0 < ^ < 1 в выражениях (15) и (16) следует использовать тождественную замену, аналогичную (13).

Для проверки корректности показанной анало-

О=О Я

Выражая из (15) функцию ©(о) и подставляя ее в соотношения (18), нетрудно показать, что эти соотношения переходят в тождества.

В справедливости выражений для энергии (16) можно убедиться, подставляя в исходное соотношение (7) для функцию О(г ')= 0 при

Ш <(К241Я ) и распределение (15) при Ш >(К 241Я ). В последнем случае при вычислении интеграла (7) можно снова использовать замену переменных г '= Я •©(о) и связь дифференциальных операторов (17). Результаты вычисления для каждой из подстановок полностью совпадают с соотношениями (16). Отметим также, что в приближении {К\ \ = К33, К24 = 0} полученные результаты совпадают с результатами работ [8; 9], а в приближении {Кц = К33,К24 = 0,Ш =да} - с результатом [2]. Таким образом, представленная количественная аналогия между внутренней и внешней задачами является корректной.

Добавим, что указанную количественную аналогию можно было получить и более простым способом, применяя преобразование г = (я 2/г') непо-

2

+

средственно к выражению (6) для энергии ER структуры. В этом случае объемный интеграл, входящий в соотношение (6), переходит в объемный интеграл выражения (7) для энергии искажения, создаваемого частицей при и || по, а поверхностные слагаемые (6) и (7) становятся равны при замене К24 — К24), т.е. ст^-ст '. Здесь,

однако, мы предпочли более детальное рассмотрение, чтобы проследить, как данное преобразование влияет на уравнение равновесия, граничные условия и, в конечном счете, на распределение директора вблизи частицы.

В заключение данного рассмотрения обсудим вопрос о физической интерпретации перехода от жесткого к мягкому сцеплению в исследованной задаче о взвешенной в нематике частице с и || по. Полученное решение (15) для неявной зависимости О(г') можно представить в виде

г' = (рц-Я)-©ш =» = Яе/ -©ш =ж, (19)

здесь ©ш=ж - функция угла О, которая отвечает жесткому сцеплению:

©Ш =Ж = I —

Ш =ж

Л+1 Л-1

ехр

л/л-1 аг^

Л

(20)

безразмерный коэффициент рц определяется выражением

Р\\ =

ст' — 1 ст'+1

ехр

— л/л — 1 а^И

л/л—1

(21)

нечности, т.е. ст ^ ж, величина

Р||

монотонно

возрастает от нуля до единицы и имеет следующие асимптотики:

• ' 1^/2 о „г ' А32 ст — 1 V 3л — 4 (ст —

р||=1

2л

х ехр(— -у/л — 1 агй^л — 1)для ст'^+1, (22)

1 -л^-^г

ст 2ст 2

для ст ^ ж.

Таким образом, параметр 0 < рц < 1 играет роль

коэффициента растяжения, который показывает, насколько уменьшается эффективный радиус Яе/ = рц • Я частицы при переходе от жесткого к

мягкому сцеплению - см. соотношение (19) и рис.1,в. Выражения (19) - (22) позволяют также дать физическую интерпретацию перехода от неоднородного распределения (15) к однородному с О(г') = 0, который имеет место при Ш = (К24 /Я) или ст' = 1. В этом случае коэффициент рц, а следовательно, и эффективный радиус Яе/ частицы

уменьшаются до нуля, что означает формальное отсутствие частицы в нематической матрице с однородным распределением поля директора.

3.2. Частица перпендикулярна директору

Рассмотрим количественную аналогию между РР структурой в цилиндрическом капилляре и ори-ентационным искажением, которое создает взвешенная в нематике частица при перпендикулярной ориентации ее длинной оси по отношению к невозмущенному директору (см. рис. 2.).

Поле директора в этих задачах является плоским и в цилиндрической системе координат определяется углом Ф = ф(а, ф) отклонения директора от направления полярной оси:

П = 008!

(Ф — ф)-еа+ ¡нп(Ф — ф)-еф .

(23)

нижний индекс у рц означает, что данный коэффициент отвечает параллельной ориентации и и п0.

Как следует из (21), при заданном значении радиуса Я частицы и заданных материальных параметрах жидкого кристалла, т.е. значений К11, К33 и К24 , коэффициент р|| является функцией удельной энергии сцепления Ш . С ростом Ш от значения (К24 /Я), что отвечает ст ' = 1, до беско-

здесь, как и в п. 3.1, переменные а = г и а = г', относящиеся к внутренней и внешней задачам, на начальном этапе проведения аналогии считаются независимыми. Угол Ф5 = ФS (ф), который задает направление п8 легкого ориентирования директора на поверхности цилиндрического объема, для рассматриваемых задач можно выбрать однотипно:

Ф 5 (ф) =

ф, 0 < ф < л,

. (24)

I ф — л л < ф < 2л.

Выражения для полной свободной энергии внутренней и внешней задач находятся подстановкой (23) и (24) в соотношения (2) - (4); это дает

ЬК

2л

аа

+к

0

2

ЭФ

Ъ =— | а^а^ —| +—I —| +

1 ( ЭФ

ЭФ Эа

1 (ЭФ

т

2

2

а

• 008

(2Ф — 2ф) +

, к ЭФ ЭФ . / ч| „ + 2----81п(2Ф — 2фНёф +

а Эа Эф

ЬШЯ

2л

| б1п2 (Ф — Ф5 )ёф, 0

ст

2

2

X

2

2

К =

К11 + К33

к =

К33 - КП

I = 1,2.

2 2 Здесь энергия ^ = ^рр отвечает внутренней задаче для РР структуры, а ^2 = F_l - внешней задаче для частицы с и ! ид ; интервалах интегрирования по а для внутренней (/ = 1, а = г) и внешней (/ = 2, а= г' ) задач равны соответственно

[а1Ьа12]=[0,к] и [а21,а22]=[^ж].

Как видно из соотношения (25), полная свободная энергия зависит только от двух из четырех модулей упругости НЖК. Это константы продольного Кц и поперечного К33 изгибов. К сожалению, в общем случае произвольных значений Кц и К33 энергии внутренней Fрр и внешней F_L задач не являются инвариантными относительно преобразования (1). При таком преобразовании слагаемое 2к(дФ/да)(дФ/адф)51п(2Ф- 2ф) в первом интеграле (25) меняет знак, и изменение этого знака не удается компенсировать подстановками, как это было сделано в п. 3.1. Например, использование подстановки к ^ -к не приводит к желаемому результату, так как в соотношении (25) имеются и другие вклады, пропорциональные параметру к . Поэтому в общем случае К11 ^ К33 не удается использовать полученное в [14] точное решение для РР конфигурации. В то же время в двухконстантном приближении, когда

Кц = К33 = К и к = 0 , выражения для энергий

Fрр и F_L полностью инвариантны относительно преобразования обратных радиус векторов, т.е. их значения должны совпадать. Этот вывод подтверждают результаты работ [9, 12-14], где энергии Fрр и F_L вычислялись независимо:

[12 -14]: Fpp =жКЬ

<» [9]: F!=жKL здесь

- 1п

Г с4 -! >1

у с2 -1

+ У"

- 4 - )+у (1 - А )

w

'+ У(1 -

1

4 + у2 + 2

У

Р±=~ = с

I

4 + У - 2

У

(26)

. (27)

ждают выражения для углов Фрр = Ф(г, ф) и Ф±=Ф(г' , ф) ориентации директора в случае внешней и внутренней задач, которые связаны преобразованием (1), т.е.

2

п-. Л ^ г 8ш2ф Ж (1)

[12-14]:Фрр = аг^ —-+ -

г 2ео82ф-(с • К )2 2

(1) гш ^ * (р|К)28т2ф Ж ^^ [9]: Ф±= апЛв -^ + Т ■

(р^ К)2со82ф- г' 2 2

(28)

а также асимптотики коэффициента растяжения Р1:

Р! =1

У1/2 у V2

2

при у ^ 0,

64

, 1 1 -

1 - — +--— при У ^ ж.

У 2У

(29)

Как показано в [14], для PP структуры параметр 1 < с < ж играет роль коэффициента растяжения, который задает эффективный радиус Кеу = (с • К)

цилиндрического капилляра при переходе от жесткого к мягкому сцеплению. Следовательно, для частицы с и ! ид параметр 0 < р! < 1 определяет эффективный радиус Ке^ = (р! • К) последней при таком же переходе (см. рис.2,в.). Это подтвер-

Из рис. 2 и соотношений (28) и (29) видно, что при жестком сцеплении, когда у = ж и р! = 1, дисклинационные линии с зарядами д1 = д2 = -1 находятся на поверхности частицы. При конечных значениях у , когда 0 < р! < 1, они локализуются внутри частицы и становятся чисто фиктивными. При стремлении у к нулю, т.е. р! ^ 0, дискли-нации д1 = д2 = -1 и линейный дефект с зарядом д*3 = 2, расположенный на оси частицы, аннигилируют, и поле директора становится однородным.

Такое поведение дисклинаций в случае внешней задачи полностью аналогично поведению линейных дефектов, которые отвечают внутренней задаче. В случае PP конфигурации в цилиндрическом капилляре (см. рис. 2,а) с уменьшением у от бесконечности до нуля дисклинационные линии с зарядами = ^2 = 1 сначала исчезают с поверхности капилляра и становятся фиктивными, а затем аннигилируют с дефектом ^3 = -2 в бесконечно

удаленной точке сферы Римана.

Таким образом, в двухконстантном приближении Кц = К33 = К углы ориентации директора для внутренней и внешней однозначно связаны между собой преобразованием обратных радиус

векторов г = (к 2/г' ), а искажение, которое отвечает частице с и ! «0 , энергетически полностью эквивалентно РР структуре в цилиндрическом капилляре.

4. Влияние модуля упругости К24 на равновесную ориентацию частицы

Обсудим влияние поверхностного модуля упругости К24, который не учитывался в работах [2;

4

с

1

8;9], на ориентацию частицы в нематической матрице. Как показано в разд. 3, поверхностный модуль упругости К24 вносит вклад только в энергию р, которая может быть вычислена при

произвольных значениях материальных параметров системы - см. (16). Для корректного сравнения данного результата с энергией ^ из (26) в случаях жесткого (Ж = ж) и мягкого (0 < Ж < ж) сцеплений запишем (16) в двухконстантном приближении

Fi = 1

nKL

k24 +-

w - ^24

1 + w - k'

24

nRLW

при w > k24, при w < k24,

(30)

здесь к 24 = (К24/ К).

При жестком сцеплении, когда Ж ^ ж, т.е. № ^ ж, из (26) и верхней строки (30) получаем следующие значения энергий:

fi =k[1+K24/ k )]

F_l = nkl ln(R/2rd ) .

(31)

0.4

ДF

0.2 42

0 к* \ w

\2 4Х

здесь г^ - радиус ядра дисклинации, который имеет порядок длины а молекул НЖК. Напомним, что при жестком сцеплении и и ± пд дисклинаци-онные линии с зарядами д{ = ^2 = -1 находятся на поверхности частицы (см. рис. 2,6.). Величина К24 может лежать в интервале (0 ^ 2)К [22], а предполагаемые размеры частиц в ФН таковы, что 1п(Л/2г^)и1п(Л/2а) и 2 ^ 3 . Поэтому, если значение поверхностного модуля упругости близко к нижней границе К24 = 0, то из (31) следует результат Брошар-деЖена [2]: р < , т.е. частица

должна ориентироваться параллельно директору. Однако при увеличении модуля упругости К24 и приближении его к значению 2К получаемая оценка р и зпКЬ будет превышать энергию р!

из (31), т.е. частица будет ориентироваться перпендикулярно директору. По сравнению с [2] этот результат будет являться новым для частиц с жестким гомеотропным сцеплением.

Теперь рассмотрим поведение частицы в случае мягкого сцепления, который отвечает конечным значениям Ж . Результат сравнения энергий р и ^ представлен на рис. 3. Здесь показаны

зависимости нормированной разности энергий АР = [(р - от безразмерного параметра

V, рассчитанные с использованием соотношений (26) и (30). Положительным значениям АР отвечает перпендикулярная ориентация длинной оси и частицы по отношению к направлению П0 невоз-

Рис. 3. Зависимость нормированной разности энергий АР от безразмерного параметра V при различных значениях К24: К24 = 0 (кривая 1), 0.5К (2), К (3), 1.5К (4), 2К (5). На вставке показано поведение кривых 1 и 2 при меньших значениях №

щенного директора НЖК, отрицательным значениям АР - параллельная ориентация и и И0 . Переход от перпендикулярной к параллельной ориентации частицы и директора НЖК имеет место при № = , здесь значение V* определяется из условия р| = и в отличие от [8; 9] зависит от величины поверхностного модуля упругости К24 (см. таблицу).

Зависимость критического значения от величины к24 = К24 /К

k24 0 0.5 1 1.5 2

w* 1.396 4.233 8.627 15.759 27.441

Из представленных данных и рис. 3 видно, что поверхностные saddle-splay деформации НЖК существенным образом влияют на ориентационное поведение частицы в нематической матрице: с ростом K24 расширяются границы устойчивости состояния частицы с u L no . Этот вывод также является новым по сравнению с известными результатами, полученными в [8; 9].

5. Заключение

В настоящей работе рассмотрена более общая по сравнению с [2; 8; 9] постановка задачи об ориентации взвешенной в нематике игольчатой (цилиндрической, стержнеобразной) частицы в нема-тической матрице: предложенное теоретическое исследование учитывает поверхностные saddle-splay деформации НЖК.

Решение основано на использовании нового оригинального подхода, который заключается в проведении качественной и количественной аналогии между внутренними и внешними задачами для цилиндрических объемов нематика. Как показано выше, такой подход, с одной стороны, существенно упрощает аналитические расчеты, а, с другой стороны, дает более ясное представление о поведении частицы в нематическом окружении. При использовании данного подхода в настоящей работе получены следующие результаты

• Определена неявная зависимость (15) угла Q от радиальной координаты для искажения, которое создает частица при u || ид (внешняя задача). Этот результат получен из известного решения (12) для ER конфигурации в цилиндрическом капилляре (внутренняя задача) при использовании преобразования (1) обратных радиус-векторов и формальной замены поверхностного модуля упругости K24 на комбинацию (2Ki i - K24). Установлено, что указанные структуры поля директора энергетически эквивалентны с точностью до замены K24 ^ (2Ki i - K24) в соотношениях для энергий этих структур - см. (14) и (16).

• Показано, что зависимости (28) угла Ф ориентации директора для искажения, которое создает частица при u ± ид (внешняя задача), и для PP конфигурации в цилиндрическом капилляре (внутренняя задача) являются взаимно однозначными в двухконстантном приближении Kii = K33 = K при использовании преобразования (i) обратных радиус-векторов. В приближении Kii = K33 = K эти структуры поля директора являются энергетически эквивалентными - см. (26).

• Установлено, что переход от жесткого к мягкому характеру сцепления для внутренних задач эквивалентен эффективному увеличению радиуса цилиндра, а для внешних задач - эффективному уменьшению радиуса частицы. В последнем случае коэффициенты растяжения о < p||, p< i для состояний u || ид и u L ид

определяются формулами (21) и (27), соответственно.

• Показано, что при u L ид, когда поле директора вокруг частицы является плоским, вклад поверхностных saddle-splay деформаций в полную свободную энергию НЖК равен нулю. В то же время для конфигурации, которая вытекает в третье измерение и отвечает распределению директора в состоянии u || ид, данные деформации играют существенную роль. В частности, они вызывают появление новой однородной (Q = 0) структуры поля

директора. Данная структура при преобразовании (1) обратных радиус-векторов является образом однородной аксиальной конфигурации нематика в цилиндрическом капилляре и возникает вокруг частицы при мягком сцеплении, когда значение удельной энергии W меньше или равно отношения поверхностного модуля упругости K24 к радиусу R частицы.

• Установлено, что при малых значениях безразмерного параметра w = (W/KR) энергетически устойчивым является состояние, при котором длинная ось u частицы лежит перпендикулярно директору нд. Переход к параллельной ориентации u и нд имеет место при увеличении параметра w и достижении им критического значения w*. Величина w* зависит от поверхностного модуля упругости K24: данные, приведенные в таблице и на рис. 3, показывают, что значение w* растет с ростом K24 .

Последний результат является очень важным, поскольку в экспериментах [11-13] установлено, что для нематиков значение поверхностного модуля упругости K24 ~ K . Это означает, что переход от перпендикулярной к параллельной ориентации частицы и директора НЖК должен иметь место при w* ~ 8.6 (см. таблицу). Принимая по аналогии

с [2; 3; 6-9] K ~5-10—7 дин и R ~2^7-10—6 см, получаем, что перпендикулярная ориентация частицы и директора должна сохраняться при W < W*~0.6 ^ 2 эрг/см2. Полученная оценка W*

более чем на порядок превосходит значения

—3 —2 2

W ~10 ^ 10 эрг/см , которые были зафиксированы в экспериментах по определению удельной энергии сцепления в гомеотропно ориентированных плоских слоях НЖК [23]. Поэтому следует ожидать, что в ФН даже при достаточно тщательной обработке субмикронных игольчатых ферро-частиц сурфактантом последние при гомеотроп-ном типе сцепления будут ориентироваться перпендикулярно директору в отсутствие внешнего магнитного поля.

Подводя итог, отметим, что полученные результаты обладают большой общностью. Они применимы не только к игольчатым частицам в ферро-нематиках, но и к другим внедренным в жидкий кристалл объектам (частицам или конгломератам частиц), форма которых близка к цилиндрической: углеродным нанотрубкам, стеклянным наностерж-ням, золотым наночастицам и т.д. [24-27]. Если отношение длины к диаметру указанных объектов больше или порядка 10, то для них остаются справедливыми результаты качественной и количественной аналогии между внутренними и внешними

задачами для цилиндрических объемов НЖК и выводы, представленные в настоящей работе.

Работа выполнена при частичной поддержке

РФФИ (проект 13-02-96001).

Список литературы

1. Шлиомис М. И. Магнитные жидкости // Успехи физ. наук. 1974. T. 112. C. 427-458.

2. Brochard F., Gennes P. G. de. Theory of magnetic suspensions in liquid crystals // J. Phys. (France). 1970. Vol. 31. P. 691-708.

3. Burylov S. V., Raikher Y. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. I. Extended continuum model // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 107-122.

4. Zakhlevnykh A. N. Threshold magnetic fields and Freedericksz transition in a ferronematic // J. Magn. Magn. Mater. 2004. Vol. 269. P. 238 - 244.

5. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Tricritical phenomena at the Freedericksz transition in ferronematics // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. 051710 (9 p.).

6. Chen S.-H., Amer N. M. Observation of macroscopic collective behavior and new texture in magnetically doped liquid crystals // Phys. Rev. Let. 1983. Vol. 51. P. 2298-2301.

7. Chen S.-H., Liang B. J. Electro-optical effect of a magnetically biased ferronematic liquid crystal // Optics Lett. 1988. Vol. 13. P. 716-718.

8. Burylov S. V., Raikher Yu. L. On the orientation of an anisometric particle suspended in a bulk uniform nematic // Phys. Lett. A. 1990. Vol. 149. N. 5-6. P. 279-283.

9. Burylov S. V., Raikher Yu. L. Orientation of a solid particle embedded in а monodomain nematic liquid crystal // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. P. 358-367.

10. Gennes P. G. de, Prost J. The Physics of Liquid Crystals. Oxford: Clarendon Press, 1993. 596 p.

11. Sparavigna А., Lavrentovich O.D., Strigazzi A. Periodic stripe domains and hybrid-alignment regime in nematic liquid crystals: threshold analysis // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49. P. 1344-1352.

12. AllenderD. W., Crawford G. P., Doane J. W. Determination of the liquid-crystal surface elastic constant K24 //Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 67. P. 1442-1445.

13. Crawford G. P., Allender D. W., Doane J. W. Surface elastic and molecular-anchoring properties of nematic liquid crystals confined to cylindrical cavities // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45. P. 8693-8708.

14. Бурылов С. В. К вопросу о равновесных конфигурациях нематического жидкого кристалла в цилиндрицеском объеме // Журн. экспер. и тео-рет. физ. 1997. Т. 112. С. 1603-1629.

15. Lapointe C. P., Mason T. G., Smalyukh 1.1. Shape-controlled colloidal interactions in nematic liquid crystals // Science. 2009. Vol. 326. P. 1083-1086.

16. Evans J. S., Beier C. N., Smalyukh I. I. Alignment of high-aspect ratio colloidal gold nanoplatelets in nematic liquid crystals // J. Appl. Phys. 2011. Vol. 110. 033535 (7 pp.)

17. Lubensky T.S., Pettey D., Currier N., Stark H. Topological defects and interactions in nematic emulsions // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 57. P. 610625.

18. Terentjev E. Disclination loops, standing alone and around solid particles, in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51. P. 1330-1337.

19. Бурылов С. В. Полярные конфигурации немати-ка в цилиндрическом объеме и проблема поверхностного K13 - вклада // Вестник Пермского университета. 2004. Вып.1. С. 45-52.

20. Бурылов С. В. Взаимодействие цилиндрической частицы с плоскими дисклинациями нематиче-ского жидкого кристалла // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т. 86. С. 598-603.

21. Rapini A., Papoular M. Distorsion d'une lamelle nematique sous champ magnetique conditions d'ancrage aux parois // J. de Phys. Colloq. 1969. Vol. 30. C4-54 - С4-58.

22. Eriksen J. L. Inequalities in liquid crystal theory // Phys. Fluids. 1966. Vol. 9. P. 1205-1207.

23. Блинов Л. М., Кац Е. И., Сонин А. А. Физика поверхности термотропных жидких кристаллов// Успехи физ. наук. 1987. Т. 152. С. 449-477.

24. Lysetskiy L., Panikarskaya V., Sidletskiy O., Kasian N., Kositsyn S., Shtifanyuk P., Lebovka N., Lisunova M., Melezhyk O. Optical transmission and conductivity of nematic liquid crystals containing dispersed multiwall nanotubes // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2007. Vol. 478. P. 127-133.

25. Garbovskiy Y. A., Glushchenko A. V. Liquid ^stalline TOlloids of nanoparticles: preparation, properties, and applications // Solid State Physics. 2011. Vol. 62. P. 1-74.

26. Lynch M.D., Patrick D.L. Controlling the orientation of micron-sized rod-shaped SiC particles with nematic liquid crystal solvents // Chem. Mater. 2004. Vol. 16. P.762-767.

27. Tkalec U., Skarabot M., Musevic I. Interactions of micro-rods in a thin layer of a nematic liquid crystal // Soft Matter. 2008. Vol. 4. P. 2402-2409.

Equilibrium orientation of needle-like particle in a nematic matrix

S. V. Burylova, A. N. Zakhlevnykhb

a Institute of Transport Systems and Technologies, Ukrainian National Academy of Science, 5 Pisargevsky St., Dnepropetrovsk 49005, Ukraine

b Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm, Russia

We consider the influence of surface saddle-splay deformations of a liquid crystal matrix, which are associated with elastic constant K24 , on the equilibrium orientation of the needle-like particles in uniform nematic environment. It is assumed that homeotropic type of anchoring for the nematic director takes place on the surface of the particle. Needle-like particle is modeled as a cylinder with the length L and the diameter d with the ratio d / L << 1 that allows neglect end effects. We show the qualitative and quantitative analogy between the internal and external problems for cylindrical cavities of the nematic and while using we describe the structures of the director field around the particle, which appear for two possible equilibrium states, when the particle is perpendicular or parallel to the nematic director. We calculate the energies of these orientational states and the dependence of the transition point between the perpendicular and parallel orientations of the particles and the director on the value of elastic module K24 .

Keywords: ferronematic, rigid and soft anchoring, surface saddle-splay modulus, cylindrical capillary, escaped radial structure, planar polar structure.