Равновесие нити с положительной плавучестью в однородном потоке жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5

Вестник науки и образования Северо-Запада России

http://vestnik-nauki.ru/ -------

2016, Т. 2, №2

РАВНОВЕСИЕ НИТИ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ ПЛАВУЧЕСТЬЮ В ОДНОРОДНОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ

В. А. Наумов

EQUILIBRIUM OF THE FILAMENT WITH POSITIVE BUOYANCY IN HOMOGENEOUS FLUID FLOW V.A. Naumov

Аннотация. Нить с положительной плавучестью, закрепленная на дне, является основным элементом гибкого волнолома. В качестве первого шага моделирования устройства рассмотрено равновесие гибкой нити в стационарном однородном потоке. Уравнения равновесия нити записаны в проекциях на нормальную и касательную оси и приведены к безразмерной форме. Результаты расчета угла погружения позволяют найти граничное условие - силу натяжения нити на поверхности воды. Критериями подобия задачи являются: число Фруда Fr, отношение плотностей X и отношение длины нити к глубине слоя воды. Поставленная краевая задача решена численным методом в среде Mathcad. Установлено, что форма большей части нити в толще воды близка к прямолинейной в исследованном диапазоне критериев подобия.

Ключевые слова: гибкая нить; однородный поток; уравнения равновесия; граничные условия; краевая задача; критерии подобия; численный метод

Abstract. The thread with positive buoyancy, fixed to the bottom, is a core element of a flexible breakwater. As a first step, simulation devices are considered the equilibrium of flexible strands in a stationary uniform flow. The equilibrium equations of the threads are written in projections on the tangent and normal to the axis and are reduced to dimensionless form. The calculation results of dip angle allows to find the boundary condition: effect of thread tension on the surface of the water. The similarity criteria of the problem are: the Froude number Fr, the ratio of the densities X and the ratio of the thread length to the water layer depth. Set the boundary value problem is solved by a numerical method in the Mathcad environment. Found that form most of the threads in the water column close to rectilinear in the investigated range of criteria in the water column close to rectilinear in the investigated range of criteria of similarity

Keywords: flexible filament; uniform flow; equations of equilibrium; boundary conditions; boundary value problem; similarity criteria; numerical method

Введение

В [1] для защиты пляжей разработано волногасящее устройство, состоящее из пучка нитей полистирола, закрепленных на дне. Авторы [1] предполагают, что под действием волн плетеный пучок нитей, прикрепленный к натянутому капроновому фалу, распустится на множество тонких нитей и займет водную толщу и поверхность подобно тине. Они при прохождении волн превратят кинетическую энергию волны в турбулентный поток нестационарных слабых течений в зоне критических глубин прибрежной зоны моря. Несомненно, качественно явление гашение волн будет происходить, но количественные характеристики такого процесса будут существенно зависеть как от параметров устройства, так и набегающих волн. Важно знать, какую форму примут нити. В данной статье в качестве первого шага рассмотрено равновесие гибкой нити, закрепленной на дне, в стационарном однородном потоке.

Физическая модель (схематизация)

Пусть гибкая нить закреплена на дне в однородном потоке вязкой жидкости. Плотность нити р меньше плотности жидкости рр. Диаметр нити Ь, общая длина L больше глубины слоя жидкости Н (см. рис. 1а), поэтому часть нити длиной L\ находится на поверхности жидкости. Скорость набегающего потока жидкости и не изменяется по глубине и по времени. Ось Ог направим вертикально вверх, ось Ох - по дну в сторону вектора скорости жидкости. В первом приближении полагаем, что ось указанной части нити прямолинейная и расположена горизонтально (параллельно оси Ох). Длина нити, находящейся в толще жидкости L0 = L - L1.

а Ь

Рисунок 1 - Схема равновесия нити в однородном потоке: а - общий вид; Ь - на поверхности жидкости

Математическая модель

Уравнения равновесия нити в проекциях на нормальную и касательную оси [2,3]:

Tda = ( _Gycosa_Rn, dT = (Fa _Qysina + ^

dS dS

dX dZ

= _cosa, -= _sina,

dS

dS

(1) (2)

где T - величина локальной силы натяжения нити; Rn, RT - проекции сил гидродинамического сопротивления на нормальную и касательную оси, соответственно (на единицу длины нити); Fa - сила Архимеда на единицу длины нити; G - сила тяжести на единицу длины нити; S -дуговая координата, отсчитываемая от точки А; а - угол между касательной и вектором скорости (локальный угол атаки).

Полагаем, что при больших числах Рейнольдса (в квадратичной области) силы гидродинамического сопротивления (на единицу длины нити) можно рассчитать по формулам [3,4]:

Rn = (k2 + (k1 _ k2 )• (sin a)2,7 + cos2 a • sin a) • sin a, (3)

RT =(k2 + (k1 _ k2 )• (sin a)2,1 + sin2 a • sin a) • cos a, (4)

где k1 - сила гидродинамического сопротивления на единицу длины нити при поперечном обтекании, k2 - при продольном обтекании:

k1 = 0,5 • С90 •Spfü2, k2 = 0,5 С0 •Spf-U2. (5)

Коэффициент гидродинамического сопротивления нити в автомодельной области при поперечном и продольном обтекании можно принять [3]: С90 = 1,2; С0 = 0,04 .

Математическая постановка задачи включает дифференциальные уравнения (1)-(2) и граничные условия. Граничными условиями являются координаты нижней точки нити О, значения угла и силы натяжения в верхней точке А (при £=0):

Х(Ь,) = 0; ) = 0; (6)

Т( 0) = 70, а( 0) = «0 = 0 . (7)

В первом приближении будем считать силу натяжения в точке А равной силе гидродинамического сопротивления части нити, находящейся на поверхности жидкости:

Т0 = 0,5 • С0 • Ь1 -8-и2 в/(2п). (8)

Последний множитель в формуле (8) учитывает, какую часть смоченная площадь составляет от боковой площади цилиндра длиной Ь1 (см. рис. 1Ь). Угол погружения в приближенно определим, приравнивая силы тяжести и Архимеда части нити, находящейся на поверхности жидкости [5]:

п5

2 í с2 f п\ л

-р-Ц- g = prh- g- I— In-2 1 + 2-sin el. (9)

4

После упрощения получаем из (9) уравнение:

п -(1 -Л) + 0,5-(sinв-в) = 0, Л = р/pf < 1. (10)

Результаты расчета угла погружения по уравнению (10) представлены на рис. 2.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.5 0.9 Л Рисунок 2 - Зависимость угла погружения от отношения плотностей

Безразмерная форма краевой задачи

Для приведения задачи к безразмерной форме в качестве характерных величин выберем длину троса Т0 и величину силы к}Ь0. Введем безразмерные величины [6]:

Т К„ XX £

т =-, гп = —п, гт = ——, х =—, г = —, а = — . (11)

Т •к к к Т Т Т

0 Л1 Л1 Л1 0 0 0

Размерные переменные величины выражаем через безразмерные по (11) и подставляем в (1)-(2), (6)-(7). После очевидных преобразований получим систему уравнений равновесия нити в безразмерной форме и граничные условия к ним

т■ da = w■ cosa- rn(a), = W ■ sin a + гт (a), (12)

d о d о

dx dz .

-= -cosa,-= -sina, (13)

d о d о

rn(a) = (x + (1 - x) ■ (sina )2"1 + cos2 a ■ sina). sina,

гт(a) = (x + (1 - x) ■ (sina)2 7 - sin2 a ■ sina). cos a,

x( 1) = 0; z( 1) = 0, т(0) = т0 = x■ (1 -0'5■р/n) ■119 a(0) = 0. (14)

11 = LL, x = kkl = sL, W = FA~G = (1 -ЛУП , Fr = EL, (15)

L k1 C90 k1 2 ■ C90 ■Fr

g S

Коэффициенты гидродинамического сопротивления, а, значит, и величину х считаем известными. Критериями подобия задачи являются: число Фруда Fr, отношение плотностей X, отношение 11. Однако их количество увеличится, если будет рассматриваться не автомодельная область гидродинамического сопротивления, а течение со сравнительно небольшими числами Рейнольдса.

Поставленная таким образом задача (12)-(14) является краевой, так как граничные условия заданы в двух точках нити (верхней O и нижней A).

Результаты решения краевой задачи численным методом

Краевая задача не имеет аналитического решения и была решена численным методом в среде МаШсаё [7], на рис. 3-6 представлены результаты расчета.

0.8 0.6 0.4 0.2

1/ 2''з ' J * * У4 . • ■ • • •

' .У * • • • • *

•

•

Л > •

1.2

1.4 х

0 0.2 0.4 0.6 О.Е Рисунок 3 - Форма нити в равновесии при Л = 2, Гг = 1 и различных значениях X: 1 - X = 0,2; 2 - X = 0,4; 3 - X = 0,55; 4 - X = 0,65

Так как величина L0 не задана, то безразмерные координаты в результатах расчетов (рис. 3) пересчитаны по формулам z = Z/H, x = X/H, а в качестве критерия подобия использован не 1Х, а Л = L/H. По рис. 4 видно, что безразмерное касательное напряжение растет к точке крепления нити, но с увеличением отношения плотностей X - падает.

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 б Рисунок 4 - Изменение безразмерной силы натяжения вдоль нити при различных значениях X. Обозначения, как на рис. 3

Г 0.03 0.02 0.01

1

^ 2

г* ....... Л......

1 • • * * *

О 0.01 0.02 0.03 0.04 5

Рисунок 5 - Изменение безразмерной силы натяжения нити вблизи поверхности воды при различных значениях X. Обозначения, как на рис. 3

т 0.6 0.4 0.2

гт

г

0.04

V_

1 0.03

0

% ч 1

V.

0.1

0.2 0.3

0

0.3

0.1 0.2 а Ь

Рисунок 6 - Безразмерные составляющие силы гидродинамического сопротивления нити: а - нормальная; Ь - тангенциальная. Обозначения, как на рис. 3

Заключение

Таким образом, поставленная краевая задача решена численным методом. Установлено, что форма большей части нити в толще воды близка к прямолинейной в исследованном диапазоне критериев подобия (рис. 3). Отличие отмечено только вблизи поверхности воды. Рост X (плотности нити при неизменной плотности жидкости) приводит к тому, что увеличивается часть нити, находящаяся в толще воды. Величина натяжения нити в

точке А мала по сравнению с ее значениями как в точке О, так и в толще воды (рис. 4 и 5). Поэтому нет необходимости усложнять модель равновесия части нити на поверхности воды, чтобы повысить точность расчета угла в и граничного условия т(0).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Гибкий волнолом / Б.М. Балаян, А.Б. Балаян. Патент на изобретение ЯИ2014121760 С1. Заявка № 2014121760/13 от 28.05.2014. Опубликовано: 10.10.2015, Бюл. № 28.

2. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити: монография. М.: Наука, 1980. 240 с.

3. Розенштейн М.М. Механика орудий рыболовства: учебное пособие. Калининград: Изд-во КГТУ, 2000. 364 с.

4. Ахмедов И.М., Наумов В.А. Коэффициент гидродинамического сопротивления криволинейного каната // Известия КГТУ, 2015. № 38. С. 53-60.

5. Великанов Н.Л., Наумов В.А. Гидродинамическое сопротивление систем из стержней и нитей: монография. Калининград: Изд-во ФГОУ ВПО «КГТУ», 2015. 192 с.

6. Наумов В.А., Агиевич Н.А. Численное решение краевой задачи о равновесии сферического тела на тросах в однородном потоке // Известия КГТУ, 2013. № 31. С. 58-63.

7. Наумов В.А. Прикладная математика: Учебное пособие по решению профессиональных задач в среде МаШсаё для студентов вузов. Калининград: Изд-во ФГБОУ ВПО «КГТУ», 2014. 144 с.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Наумов Владимир Аркадьевич ФГБОУ ВО «Калининградский государственный технический университет», г. Калининград, Россия, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой водных ресурсов и водопользования, действительный член Российской инженерной академии, действительный член Российской академии естественных наук, E-mail: [email protected].

Naumov Vladimir Arkad'evich FSEI HE «Kaliningrad State Technical University», Kaliningrad, Russia, Chairman of The Water Resources Department, Doctor of Technical Science, Professor, Member of Russian Engineering Academy, Member of Russian Academy of Natural Science, E-mail: [email protected].

Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 236022, Калининград, Советский пр., 1, КГТУ, ГУК, каб. 372. Наумов В.А.

8(4012)99-53-37