CC BY
27
http://vestnik-nauki.ru/
2016, Т 2, №2
УДК 531:532.5
ВЛИЯНИЕ ЭЛАСТИЧНОСТИ СИНТЕТИЧЕСКОГО КАНАТА НА ЕГО ФОРМУ И
НАТЯЖЕНИЕ В ПОПЕРЕЧНОМ ПОТОКЕ
И.М. Ахмедов
THE INFLUENCE OF THE SYNTHETIC ROPE ELASTICITY TO ITS SHAPE AND THE TENSION IN CROSS FLOW I.M. Ahmedov
Аннотация. Для учета упругих свойств канатов при их равновесии в потоке воды использовались ранее полученные эмпирические формулы. Рассмотрена автомодельная область гидродинамического сопротивления. При небольших значениях стрелы прогиба форму каната можно считать параболической, и задача равновесия может быть решена приближенно. После интегрирования получено нелинейное алгебраическое уравнение для определения стрелы прогиба растянутого каната. При заданных характеристиках упругости критериями подобия задачи являются число Фруда, отношение плотности воды к плотности материала и величина стрелы прогиба нерастянутого каната. Пренебрежение эластичностью каната в рассмотренных условиях приводит к завышению расчетной силы натяжения в несколько раз.
Ключевые слова: синтетические канаты; равновесие в воде; эластичность; критерии подобия; расчет; сила натяжения
Abstract. Previously obtained empirical formulas were used to account for the elastic properties of ropes at their balance in the water flow. The self-similar region of hydrodynamic resistance was investigated. The shape of the rope can be considered as parabolic for small values of the boom deflection. The problem of equilibrium can be solved approximately. Nonlinear algebraic equation for determining the deflection of a stretched rope was obtained after the integration. Under the given characteristics of elasticity by the similarity criteria of the problem are the Froude number, the ratio of water density to the density of the material and the magnitude of the deflection of unstretched rope. Neglecting the elasticity of the rope in the above conditions leads to an overestimation of the calculated tension force in several times.
Keywords: synthetic ropes; water balance; elasticity; similarity criteria; calculation; force of tension
Канаты широко используются в различных отраслях промышленности и на транспорте. Практиков, в первую очередь, интересуют инженерные методы определения формы и сил натяжения канатных систем. Для расчета формы и усилий стальных канатов с учетом их упругости разработаны современные математические модели, аналитические и численные методы (см. [1,2] и библиографию в них). Значительно меньше опубликовано исследований по влиянию эластичности на равновесие канатов из синтетических материалов. Нередко, расчет равновесия канатов из указанных материалов проводят без учета их деформации, например, [3-6].
В нашей работе [7] для учета упругих свойств канатов при их равновесии в потоке воды использовались эмпирические формулы [8]. Было установлено, если скорость течения не превышает 1 м/с, а стрела прогиба нерастянутого каната составляет более 10 % расстояния между точками крепления каната, то с погрешностью менее 5 % можно не учитывать упругие свойства при решении системы уравнений равновесия для канатов из
Введение
http://vestnik-nauki.ru/
полипропилена, полистила и полиамида. При небольших значениях стрелы прогиба каната его форму можно считать параболической, и задача равновесия может быть решена приближенно [9]. В [7] рассмотрено равновесие каната нейтральной плавучести, в данной статье изучено влияние плотности материала равновесное состояние.
Физическая модель (схематизация)
Пусть канат, закрепленный в точках О и А, находится в равновесии в однородном потоке воды, имеющем скорость и (рис. 1). Причем вектор скорости воды перпендикулярен отрезку ОА. Расстояние 1 = |ОА| и стрела прогиба нерастянутого каната /0 = |КВ| считаются
заданными. Ось Оху направим по отрезку ОА, Оу - по направлению вектора скорости, Ог -вертикально вниз. Полагаем, что длина нерастянутого каната Ь0 незначительно превышает величину 1, /0 << 1.
а Ь
Рисунок 1 - Схема равновесия каната, закрепленного в двух точках, с малой стрелой прогиба: а - вид сверху; Ь - вид сбоку
Математическая модель
Воспользуемся результатами работы [7], в которой получено, что при указанных выше условиях в первом приближении систему сил, действующих на канат, можно считать параллельной, а форму каната - близкой к параболе [9]:
y = (l - x)x/(2a), a0 = l2 /(8 f0 ).
(1)
Сила гидродинамического сопротивления на единицу длины каната при поперечном обтекании [10]:
Я = 0,5• С90 • а-р-и2, (2)
Вес единицы длины каната в воде (сила тяжести минус сила Архимеда):
о = 0,25-п-а2(1 -Л)-g-р, Х = рг/р.
(3)
В формулах (2), (3) и далее d - диаметр каната, g - ускорение свободного падения, X -отношение плотности воды к плотности каната; C90 - коэффициент гидродинамического сопротивления каната при поперечном обтекании, для квадратичной (автомодельной) области принимаем C90 = 1,2 = const.
Равнодействующая сил (2), (3) вычисляется по формуле:
F = VR2 + G2 . (4)
http://vestnik-nauki.ru/
Угол отклонения плоскости параболы от горизонтальной плоскости в первом приближении может быть найден следующим образом:
Г о)
р = ат^ I — I = ат^
Г 0,5-п-(1 -Я) ^
Я-Рт - С
= ат^\ 1,308
90 I
1-Я Я- ¥т
¥т =
и2 g- а
(5)
Относительное удлинение каната 8 будем рассчитывать по степенной эмпирической зависимости [8,11]:
е = л, -0я' = л, -(т/тр,У, (6)
где 0 - отношение усилия в канате к разрывному усилию Тр; Л, , я, - эмпирические параметры зависимости (6) для ,-го типа канатов (табл. 1).
Таблица 1 - Параметры характеристик нагрузка-удлинение [8]
Параметр Материал канатов
1 2 3 4 5
Полипропилен «Малтитекс» Полиамид Полистил «Мастер»
Новые канаты
Л 0,155 0,255 0,357 0,180 0,195
я 0,487 0,551 0,582 0,618 0,438
Поработавшие канаты
Л 0,115 0,184 0,255 0,118 0,156
я 0,534 0,544 0,601 0,613 0,475
В [12] для широко используемых синтетических 3-прядных крученых кантов были найдены эмпирические зависимости разрывного усилия от диаметра О (мм):
тр1= вгат, (7)
где В', т' - эмпирические параметры зависимости (7) для '-го типа канатов (табл. 2). Таблица 1 - Параметры характеристик разрывная нагрузка-диаметр каната [12]
Параметр Материал канатов
1 2 3 4
Полипропилен Полистил «Силвер» (полистил+полиэстер) Полиамид
В 0,211 0,250 0,223 0,272
т 1,865 1,860 1,911 1,902
Длина нерастянутого каната [9]:
А, = 1 + 8Л2 /(31). (8)
Длина растянутого каната может быть найдена по формуле [7]:
1 1
Ь = Ь0 -1(1 + г(х))ск = Ь0 - Д 1 + Лг - (Т(х)/( ■ )) ) Ох, (9)
П П V У
http://vestnik-nauki.ru/
Откуда получим соотношение для растянутого каната
f2 = i + /(31) ^ у;2 = 0,375 .(Ц-1). l. При этом изменением силы натяжения вдоль каната можно пренебречь
T(x) « const = F ■ a = F ■ 12 /(8 f). Тогда в (9) выражение для удлинения может быть вынесено из-под знака интеграла:
(
L1 = L0
f
1 + A, ■
F ■ 1
2 У Л
8f; ■ T
pl у
(10)
(11)
(12)
Подставив (12) в (10), получим алгебраическое уравнение для отыскания стрелы прогиба растянутого каната /]:
f12 = 0,375 ■
( ( L0
V v
1 + A,
( F ■ 12 ^
^-fx ■ T
pi
-1 У У
■ 1.
(13)
Результаты расчета
На рис. 2 показано изменение угла отклонения плоскости параболы от горизонтальной плоскости, рассчитанное по формуле (5). Видно, что с ростом числа Фруда модуль угла отклонения уменьшается. При положительной плавучести каната (линии 1 и 2) угол отклонения больше нуля, при отрицательной плавучести (линия 4) - меньше нуля. Линия 3 соответствует нейтральной плавучести каната (случай, рассмотренный в [7]).
V 10
-о
3
1.5 2 2.5 3 3.5 4 Рг
Рисунок 2 - Влияние числа Фруда на угол отклонения плоскости параболы при различных отношениях плотностей: 1 - X = 0,8; 2 - X = 0,9; 3 - X = 1; 4 - X = 1,1
пЛ Л
Решение уравнения (13) численным методом позволяет найти форму и силу натяжения растянутого каната. На рис. 3-4 представлена форма новых канатов из полиамида (р = 1140 кг/м3; X = 0,877), рассчитанная при 1 = 10 м; /0 = 0,01. Видно, что учет эластичности каната существенно влияет на результаты расчета. Это влияние усиливается при уменьшении диаметра каната и увеличении скорости течения.
http://vestnik-nauki.ru/
у
М
0.6
0.4
0.2
4 * /V х*' Л..
• •
Л • 1
V
М 0.6
0.4
0.2
г
1 4/ 1 1 г * 3/
* * » / # + *
•
0 1 2 3 4 х.М 0 о.ОЗ 0.06 0.09
а Ь
Рисунок 2 - Форма новых 3-х прядных канатов из полиамида с малой стрелой прогиба в однородном потоке при и = 0,6 м/с и различных диаметрах: а - вид в плоскости параболы; Ь - вид сбоку. 1 - без учета эластичности; 2, 3, 4 - с учетом эластичности: 2 - ё = 50 мм; 3 - ё = 20 мм; 4 - ё = 10 мм
V
М
0.4
0.2
4
/V 1 * 3 ..... ш * * 4
ш • • *
1 1
у М
0.4
0.2
•
4 • • • • ■ * Ъ / / /
• • • ; • * • ,* / +
• .
0 1 2 3 4 Ы 0 0.03 0.06 0.09 г,м а Ь
Рисунок 3 - Форма новых 3-х прядных канатов из полиамида с малой стрелой прогиба в однородном потоке при ё = 20 мм и различных скоростях: а - вид в плоскости параболы; Ь вид сбоку. 1 - без учета эластичности; 2, 3, 4 - с учетом эластичности: 2 - и = 0,4 м/с; 3 - и = 0,6 м/с; 4 - и = 0,8 м/с
V
М
0.3
о
-0.3
О 0.01 0.02 0.03 м
Рисунок 4 - Вид сбоку на канат с малой стрелой прогиба в однородном потоке:
1 - X = 0,91; 2 - X = 1,0; 3 - X = 1,1
http://vestnik-nauki.ru/
По рис. 5 видно, что учет эластичности каната приводит к значительному уменьшению расчетных значений силы натяжения и увеличению локальных углов наклона касательной. При этом изменение величины силы натяжения вдоль каната в рассматриваемых условиях невелико. Угол наклона касательной остается меньшим десяти градусов (в [7] имеется опечатка, этот угол назван углом атаки), значит, расчет формы каната в приближении параболы не приводит к заметным погрешностям.
Г
кН
1.396
1.394 1.392 1.39
ь X
ч
V *
*
О
4
S х, М
et Т
кН
1.5 0.321 0 0.314 -1-5 0.307 0.3
ч * \
\ *
а %
V -V * *
Cf
- \
О
2 4 6 8
а Ь
Рисунок 5 - Локальные характеристики канатов из полиамида в однородном потоке при и = 0,6 м/с; ё = 50 мм; а - без учета эластичности; Ь - с учетом эластичности; Т - сила натяжения; а - угол наклона касательной
Заключение
Предложенный приближенный метод расчета позволяет определить форму и силу натяжения синтетического каната с малой стрелой прогиба в однородном потоке. В исследованном диапазоне параметров погрешность расчета, по сравнению с решением системы дифференциальных уравнений равновесия, не превышает 5 %. Учет эластичности каната существенно влияет на результаты расчета. Это влияние усиливается при уменьшении диаметра каната и увеличении скорости течения. Пренебрежение эластичностью каната в рассмотренных условиях приводит к завышению расчетной силы натяжения в несколько раз.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Gerdemeli I., Kurt S., Anil A.S. Analysis with finite elements method of wire rope // Machines, Technologies, Materials: Int. Virtual Journal, 2012. № 11. URL: http://mech-ing.com/journal/Archive/2012/11/185_Kurt.pdf.
2. Тарасов Д.А., Коновалов В.В., Зайцев В.Ю. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стальных канатов // Вестник Саратовского государственного технического университета, 2013. Т. 4, № 1 (73). С. 215-221.
3. Наумов В. А., Агиевич Н.А. Численное решение краевой задачи о равновесии сферического тела на тросах в однородном потоке // Известия КГТУ, 2013. № 31. С. 58-63.
4. Ахмедов И.М., Наумов В.А. Коэффициент гидродинамического сопротивления криволинейного каната // Известия КГТУ, 2015. № 38. С. 53-60.
5. Наумов В. А., Ахмедов И.М. Численный метод решения трехмерной задачи равновесия сферического тела на тросе в потоке // Известия КГТУ, 2015. № 37. С. 63-72.
6. Наумов В.А., Ахмедов И.М. Равновесие криволинейной нити, закрепленной в двух точках в однородном потоке // Материалы III Балтийского международного морского форума. Калининград: Изд-во БГАРФ, 2015. С. 299-304.
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
2016, Т. 2, №2
7. Наумов В.А., Ахмедов И.М. Расчет формы и усилий в канатах с учетом их эластичности // Известия КГТУ. 2016, № 40. С. 159-166.
8. Ахмедов И.М. Эмпирическая формула для расчета удлинения синтетических канатов // Вестник науки и образования Северо-Запада России: электронный журнал, 2016. Т. 2, № 1. URL: http://vestnik-nauki.ru/wp-content/uploads/2016/01/2016-N-Ahmedov.pdf.
9. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити: монография. М.: Наука, 1980.
240 с.
10. Великанов Н.Л., Наумов В.А. Гидродинамическое сопротивление систем из стержней и нитей: монография. Калининград: Изд-во ФГОУ ВПО «КГТУ», 2015. 192 с.
11. Наумов В. А., Ахмедов И. М. Упругие свойства синтетических канатов // Наука в современном мире: Сборник статей Международной научно-практической конференции (19 февраля 2015 г.). Стерлитамак: РИЦ АМИ, 2015. С. 180-182.
12. Наумов В.А., Ахмедова Н.Р., Ахмедов И.М. Анализ результатов испытания прочности трехпрядных канатов из полимерных материалов // Известия КГТУ, 2015. № 36. С. 43-51.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Ахмедов Исфендияр Махмуд-оглы ФГБОУ ВО «Калининградский государственный технический университет», г. Калининград, Россия, аспирант кафедры водных ресурсов и водопользования E-mail: [email protected]
Ahmedov Isfendiar Mahmud-oglu FSEI HE «Kaliningrad State Technical University», Kaliningrad, Russia, the post-graduate student of The Water Resources Department E-mail: [email protected]
Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с автором статьи: 236022, Калининград, Советский пр., 1, КГТУ, ГУК, каб. 322. Ахмедов И.М.
8(4012)99-53-37
