CC BY
13
Вестник науки и образования Северо-Запада России http://vestnik-nauki.ru/ -------
, ^ ~~^ --2016, Т. 2, №4
УДК 51-74
ПЛОЩАДЬ ЭЛЛИПСА, ВПИСАННОГО В СЕКТОР КРУГА С ЦЕНТРАЛЬНЫМ
УГЛОМ 90 ГРАДУСОВ
В. А. Наумов
AREA OF THE ELLIPSE INSCRIBED IN A CIRCLE SECTOR WITH A CENTRAL
ANGLE OF 90 DEGREES
V.A. Naumov
Аннотация. Для сравнения характеристик канатов из различных материалов используют коэффициент относительной прочности. Величина относительной полезной площади играет важную роль при определении прочностных и упругих характеристик канатов. Применительно к форме сечения 4-прядных крученых канатов аналитически решена задача на нахождение наибольшей площади эллипса, вписанного в сектор круга с центральным углом 90 градусов. Определена область, в которой решение задачи не существует.
Ключевые слова: 4-прядный крученый канат; относительная полезная площадь; вписанный эллипс; экстремум; аналитическое решение.
Abstract. The relative strength coefficient is used to compare the characteristics of ropes made of different materials. The relative value of the useful area plays an important role in determining the strength and elastic characteristics of ropes. With respect to the cross-sectional shape 4-strand twisted ropes the problems of finding the largest ellipse inscribed in the circle sector with the central angle of 90 degrees are solved. Defined area in which the solution of the problem does not exist.
Keywords: 4-strand twisted rope; relative useful area; inscribed ellipse; extremum; analytical solution.
Введение
Для сравнения характеристик канатов из различных материалов используют коэффициент относительной прочности K [1, 2]:
K = Pg/n, (1)
где Pg - разрывное усилие, кгс (килограмм силы), Pg=1000P/9,8 (P - разрывное усилие в Н); П - линейная плотность каната, кг/км (г/м).
В [2] показано, как коэффициент относительной прочности связан с напряжением разрыва а в материале каната:
а = P/S = P/(0,25-Лп-d2), Х = S/S0, (2)
где X - относительная полезная площадь, равная отношению площади сечения всех прядей S к площади сечения каната S0. В частности, для 4-прядного крученого каната (рис. 1), имеем
х = S/S 0 = 4-S1 /(0,25 • ж-d2 ), (3)
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
~~^ --2016, Т. 2, №4
где - площадь сечения отдельной пряди, ё - диаметр каната.
Величина X играет важную роль при определении прочностных и упругих характеристик канатов [4-7]. В [8] найдена наибольшая площадь эллипса, вписанного в сектор круга с центральным углом 120°, что соответствует трех прядному канату. Данная статья посвящена решению аналогичной задачи, связанной с четырех прядным канатом.
Постановка задачи
Пусть круг диаметром ё разбит радиусами на четыре равные части. Центр круга (точка О) находится в начале координат. В каждый сектор круга вписан эллипс (рис. 2). Эллипс касается внешней окружности (точка Е) и граничных радиусов (точка в). Требуется найти положение и размеры такого эллипса, чтобы его площадь была наибольшей. Следовательно, определению подлежит ордината центра эллипса (точка О;) уе и его полуоси а, Ь. Рис. 2 является симметричным относительно оси ординат, поэтому далее рассматриваются только положительные значения абсциссы (правая часть сектора).
0.8
0.6
0.4
0.2
Е
л уу
N ^ Ч Ч у * г в
V Ч Ч Ч / / * *
ч V ч ч * г'
0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Рисунок 2 - Эллипс, вписанный в сектор круга 90°
О.Е
В общем случае, в правой части сектора эллипс может иметь по две точки пересечения с радиусом ОА (обозначим их В; и в2) и внешней окружностью (обозначим их
Е1 и Е2).
Система уравнений для определения координат точек пересечения В; и В2, включает уравнение эллипса и уравнение прямой оа, соответственно:
4 + - У е^ = 1, у = 2 1.2 ' ^ а Ь
http://vestnik-nauki.ru/
Вестник науки и образования Северо-Запада России
2016, Т. 2, №4
Система уравнений для определения координат точек пересечения Е1 и Е2, включает уравнение эллипса и уравнение окружности:
2 2 _ x_ + ry-yJ_ = i, x2 + у2 = d_.
a2 b2 4
(5)
Параметры искомого эллипса можно найти, используя условие, что и система уравнений (4), и (5) должны иметь единственное решение.
Решение задачи
Исключим х2 из системы (5) и получим квадратное уравнение:
Л
.F"1
V _ 2 ye V +
■у--У +
к 2
Гл2 2 ^
d 2 ye
--a2
4 к2
v
= 0.
(6)
Чтобы найти единственную общую точку Е (точку касания), приравняем дискриминант квадратного уравнения (6) к нулю:
a -1
^ Г d 2
к
2
\
d2 --a
4
v У
+ У_ = 0. к2
(7)
Единственный корень уравнения (7) в рассматриваемой области такой же, как в работе [8],
Ув =
V(l - к2 )• (0,25 ■ d2 - a2).
(8)
Рассмотрим систему уравнений (4). Для удобства обозначим Ь = ка. Выражение, следующее из второго уравнения х2 = _у2, подставим в уравнение эллипса и преобразуем его следующим образом:
(l + к 2 ) ■ у 2 - 2 Ve-y + (у_ - к 2 a2 )= 0.
(9)
Приравняем дискриминант квадратного уравнения (9) к нулю:
к2(a2 -у_ + a2к2)= 0.
(10)
Из уравнения (10) к = 0 или
ye = a ■ V к 2 +1 .
(11)
Приравнивая ординаты центра эллипса (8) и (11), получим:
a = 0,25 ■ d-J 2-(1 - к 2 ) ^ ye = 0,25 ■ dV1 - к4. (12)
Учитывая, что площадь эллипса Sj = nab, относительная полезная площадь по формулам (3), (12) представлена на рис. 3:
http://vestnik-nauki.ru/
Вестник науки и образования Северо-Запада России
2016, Т. 2, №4
л =
4п ■a■Ь
0,25п- d
2
^^^ = 2 ■ к ■ (1 - к2 d 2
:■ k ■! - k2).
(13)
о 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 к
Рисунок 3 - Зависимость относительной площади от величины k
Формула (13) представляет целевую функцию Х(к). Прежде чем решать оптимизационную задачу, необходимо определить G - область допустимых значений к. На первый взгляд, такая область 0 < k < 1. Левая граница отрезка G, действительно к0 = 0. Это корень уравнения (10), а по формуле (8) у¡¡о = d/4. Эллипс вырождается в отрезок, правый край которого - точка А (см. рис. 2).
Однако при к1 = 1 получаем по формуле (8) уе0 = 0; а = 0, что не имеет смысла. Необходимо учесть еще одно условие, ограничивающее область G: радиус кривизны эллипса К(к;х) на оси ординат не может быть меньше радиуса описанной окружности [8]:
Я(к,0) > ё/2.
(14)
Формула для радиуса кривизны плоской линии [9]:
Л = (1 +(у')2) ■ 7У7; у2 = к2-(а2 -х2).
\у
(15)
Найдем производные заданной в (15) функции у:
У =
к ■ х
Г~2 2
у а - х
; у =
к ■ аг
(2 21 а - х I
(16)
Подставляя (16) в (15) найдем радиус кривизны эллипса на оси ординат
жк,0)=а=4к.
(17)
Безразмерный радиус кривизны эллипса на оси ординат
г(к,0) =
Щк, 0 )
0,5ё 2к
1 -да
(18)
Вестник науки и образования Северо-Запада России
-http://vestnik-nauki.ru/ -------
~~^ --2016, Т. 2, №4
Решение уравнения г(к,0) = 1 дает правую границу области G: к\ — 0,577. Получена классическая задача нахождения наибольшего значения функции Х(к) на отрезке 0 < к < к1. Определяем производную функции и приравниваем ее к нулю:
Х'(к) = 2-(1 - 3-к2 )= 0; ке = 1 />/3 - 0,577. (19)
Получилось, что к1 - ке. Значения целевой функции на границах и в точке экстремума:
Д(0) = 0; Л(ке ) = Я(к1 )= 0,770.
Таким образом, наибольшее значение целевой функции равно X = 0,77; достигается в точке к = 1 /л/3 - 0,577 . Полученная величина X меньше, чем в 3-прядном канате [8].
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Евсеева С.С. Сравнительный анализ технических характеристик синтетических канатов // Вестник АГТУ. Промышленное рыболовство, 2008. № 3. С. 90-92.
2. Наумов В.А., Ахмедова Н.Р., Ахмедов И.М. Анализ результатов испытания прочности трехпрядных канатов из полимерных материалов // Известия КГТУ, 2015. № 36. С. 43-51.
3. ГОСТ Р ИСО 1140-2007. Изделия канатные полиамидные 3-, 4- и 8-прядные. Общие технические условия. Утвержден и введен в действие приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 30 ноября 2007 г. № 345-ст.
4. Ахмедов И.М., Наумов В.А. Зависимость разрывного усилия синтетических канатов от их диаметра // Водопользование и задачи гидромеханики: Сборник научных трудов. Калининград: Изд-во ФГБОУ ВПО «КГТУ», 2015. С. 15-20.
5. Наумов В. А., Ахмедов И.М. Статистический анализ результатов испытаний прочности синтетических канатов // Сборник статей Международной научно-практической конференции «Инновационное развитие современной науки» (7 февраля 2015 г.). Уфа: РИО МцИи «Омега сайнс», 2015. С. 51-53.
6. Наумов В.А., Ахмедов И.М. Упругие свойства синтетических канатов // Наука в современном мире: Сборник статей Международной научно-практической конференции (19 февраля 2015 г.). Стерлитамак: РИЦ АМИ, 2015. С. 180-182.
7. Наумов В.А., Ахмедов И.М. Расчет формы и усилий в канатах с учетом их эластичности // Известия КГТУ, 2016. № 40. С. 159-166.
8. Наумов В. А. Наибольшая площадь эллипса, вписанного в сектор круга // Вестник науки и образования [Электронный ресурс], 2016. № 7 (19). C. 6-8. URL: http://elibrary.ru/download/82840402.pdf (дата обращения 20.12.2016).
9. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: АСТ. Астрель, 2006. 991 с.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Наумов Владимир Аркадьевич ФГБОУ ВО «Калининградский государственный технический университет», г. Калининград, Россия, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой водных ресурсов и водопользования, действительный член Российской инженерной академии, действительный член Российской академии естественных наук, E-mail: van-old@rambler.ru.
http://vestnik-nauki.ru/
Вестник науки и образования Северо-Запада России
2016, Т 2, №4
Naumov Vladimir Arkad'evich FSEI HE «Kaliningrad State Technical University», Kaliningrad, Russia, Chairman of The Water Resources Department, Doctor of Technical Sciences, Professor, Member of Russian Engineering Academy, Member of Russian Academy of Natural Science, E-mail: van-old@rambler.ru
Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с автором статьи: 236022, Россия, Калининград, Советский пр., 1, КГТУ, ГУК, каб. 372. Наумов В.А.
8(4012)99-53-37
