CC BY
45
УДК 532.529:536.8
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КАПЕЛЬ В СИСТЕМАХ ОХЛАЖДЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ РАСПЫЛЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
В. А. Наумов, Н. Л. Великанов
SIMULATION OF THE DROPLET MOTION IN SURFACE COOLING SYSTEMS
BY SPRAY
V. A. Naumov, N. L. Velikanov
Рассмотрены вопросы динамики падающей испаряющейся капли применительно к условиям в системах подачи смазочно-охлаждающих жидкостей (СП СОЖ). Поставлена и решена аналитически задача динамики сферической капли в неизменных условиях вдали от нагретой поверхности. Уменьшение диаметра капли по времени описано формулой Срезневского. Установлено влияние поправки Дуковича к силе аэродинамического сопротивления на динамику падающей испаряющейся капли. Коэффициент Дуковича определяется числом Рей-нольдса, рассчитанным по среднемассовой скорости отделяющегося пара. Показано, что при неизменных условиях это число прямо пропорционально отношению плотности воздуха к плотности пара. В отдельных случаях сила аэродинамического сопротивления испаряющейся капли составляла менее 40% величины силы для неиспаряющейся капли. Был исследован частный случай, когда безразмерная интенсивность испарения равна коэффициенту Дуковича. Эта интенсивность не может задаваться произвольно, так как малые величины соответствуют столь большому отношению плотностей, что оно не может быть физически реализовано. В СП СОЖ безразмерная интенсивность испарения изменялась в диапазоне (0,45; 0,7). На основе ранее выведенной формулы для реактивной силы предложена математическая модель динамики испаряющейся капли, падающей на горизонтальную стенку, при линейном профиле температуры газа. Реактивная сила увеличивается при приближении к поверхности. Система уравнений приведена к безразмерной форме. Задача решена численным методом в среде Mathcad. Установлено, что критериями подобия задачи являются четыре безразмерные комплекса. Показано, как значения критериев подобия влияют на скорость и интенсивность испарения капли.
смазочно-охлаждающие жидкости, динамика капли, аэродинамическое сопротивление, интенсивность испарения, критерии подобия
The dynamics of the falling evaporating droplet has been considered in relation to the conditions in supply systems lubricating-cooling fluid supply systems (LCF SS). The problem of spherical droplet dynamics under constant conditions far from the heated surface has been set and analytically solved. The droplet diameter reduction in time has been described by Sreznevskiy's formula. The influence of the Dukowics correction to the aerodynamic drag force on the dynamics of the falling evaporating droplet has
been found. The Dukowics coefficient has been determined by the Reynolds number calculated from the average mass velocity of the separating vapor. It has been shown that under constant conditions, this number is directly proportional to the ratio of the air density to the vapor density. In some cases, the drag force of the evaporating droplet was less than 40% of the force for the non-evaporating droplet. A special case when the dimensionless evaporation rate was equal to the ratio of Dukowics was investigated. This intensity cannot be given arbitrarily, since small quantities correspond to such a large density ratio that it cannot be physically realized. In LCF SS, the dimensionless evaporation intensity varied in the range (0.45; 0.7). The mathematical model of the dynamics of the evaporating droplet falling on a horizontal wall at a linear profile of the gas temperature has been proposed on the basis of the previously derived formula for the reactive force. The reactive force increases as it approaches the surface. The system of equations has been reduced to a dimensionless form. The problem has been solved by the numerical method in Mathcad. Four dimensionless complexes are criteria of similarity of the problem. It has been shown how the values of similarity criteria affect the rate and intensity of the droplet evaporation.
lubricating cooling fluids, dynamics of droplets, aerodynamic drag, rate of evaporation, temperature gradient, similarity criterions
ВВЕДЕНИЕ
Динамика движения и теплообмена испаряющейся капли жидкости в потоке газа играет важную роль при изучении процессов, происходящих в различных энергетических установках и технологических аппаратах. Это относится к распыливанию топлива в двигателях внутреннего сгорания (см., например, монографию [1], соотношения из которой до сих пор широко используются в исследовательских работах и инженерной практике), в воздушно-реактивных двигателях [2], в СП СОЖ в зону обработки материала [3] и в других процессах. При моделировании важно учитывать, что силы, действующие на испаряющуюся каплю, могут заметно отличаться от таковых в классических условиях движения твердых частиц в безграничной изотермической среде [4]. Так, в [5] Дукович предложил поправку к коэффициенту аэродинамического сопротивления для случая, когда время стабилизации пограничного слоя испаряющейся капли много меньше, чем характерные времена изменения ее диаметра и скорости (квазистационарное приближение).
При неоднородном нагреве газа испарение с поверхности капли происходит с разной интенсивностью в зависимости от локальной температуры. В [6] впервые было предложено выражение для реактивной силы, обусловленной неравномерностью испарения капли вблизи нагретой стенки. При этом была допущена ошибка в числовом коэффициенте из-за неверного использования процедуры осреднения. В [7] указанная ошибка была исправлена и получена формула для реактивной силы путем интегрирования по поверхности испаряющейся капли. В [8] на базе формулы из [7] была разработана математическая модель движения испаряющейся капли в неоднородном температурном поле. Однако при решении прикладных задач названные поправки зачастую не учитываются (см., например, [9-11]), что может привести к заметным ошибкам.
В данной статье рассмотрим динамику сферической испаряющейся капли, падающей на горизонтальную поверхность, с учетом названных поправок применительно к условиям в СП СОЖ.
ДИНАМИКА КАПЛИ ПРИ ПОСТОЯННЫХ УСЛОВИЯХ На первом этапе рассмотрим испаряющуюся каплю вдали от нагретой поверхности. Положим, что капля находится при температуре кипения, газ неподвижен, числа Рейнольдса при движении капли малы. Пар отделяется от капли во все стороны с одинаковой относительной скоростью и интенсивностью. Тогда реактивная сила обращается в нуль. Если условия испарения капли не изменяются, то уменьшение диаметра по времени описывается формулой Срезневского [1]:
52 =52 (1 - N • О, (1)
где N - характеризует интенсивность испарения; д0 - начальный диаметр
капли.
Используем поправку к коэффициенту сопротивления Сд, предложенную
Дуковичем [5] (рис. 1):
Ск 2 Л =— = - ,
СО * ««
= 2 f' Re2 ,' f =1 "С1 + Ren )' exp(Ren), Ren =
Vnb
(2)
^ 3 0,5 - Ret f v
где Vn - массовая скорость отделяющегося пара относительно капли; v - коэффициент кинематической вязкости газа; CR - коэффициент сопротивления сферической твердой частицы диаметром 5 [4]:
CR = 24/Re, Re = V-5/ v, (3)
где V - скорость движения центра масс капли.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
J--
#
* * t
* *
/ *
О
1
Rey
Рис. 1. Поправка Дуковича к силе аэродинамического сопротивления Fig. 1. Dukowics correction to aerodynamic drag force
Получим формулу для вычисления числа Рейнольдса пара Явп. Продифференцируем (1) по времени Т:
2 8 = "80 N. dT 0
Производная массы капли по времени
dm = —p p 382 d8 = "—88 2Np p, dT 6Fp dT 4 0 Fp'
(4)
(5)
где pp - плотность капли.
Скорость отделяющегося пара найдем по его потоку массы и плотности У„ = Оп/рп. Поток массы пара связан с изменением массы капли по времени
(6) (7)
Опк5 =—dm/dT.
-S0 Рp
Из (6) с учетом (5) следует
л2
Vn - 0,05 N
S Pn
По скорости (7) вычислим число Рейнольдса пара S0 Р S0 Ren - 0,05 Ns0-^ = 4,5N
v pn 18 vX
N
So , s0 Xn - 4,5 n Xn ;
(8)
n — X - f X~Pf В - 18vX
n - R ' Xn - , X--, В0 - —О"
В0 pn P p S0
Подставляя (8) в (2), получим, что коэффициент Дуковича уменьшается с ростом как безразмерной интенсивности испарения капли п, так и отношения плотностей Хп (рис. 2).
Рис. 2. Зависимость коэффициента Дуковича от интенсивности испарения при различных значениях Xn. 1 - Xn = 0,4; 2 - Xn = 0,5; 3 - Xn = 1,5 Fig. 2. Dependence of the Dukowics coefficient on the evaporation rate at different values of X„. 1 - Xn = 0.4; 2 - Xn = 0.5; 3 - Xn = 1.5
При рассматриваемой постановке задачи из действующих на каплю сил нужно учесть лишь силу тяжести и линейную силу гидродинамического сопротивления с поправкой Дуковича г]\
dW,
p _
18vX
- g—л-^- Wp .
dT " 'б2 '' (9)
Так как Я << 1, в (9) не учитывается сила Архимеда и эффект присоединенных масс. С учетом изменения диаметра по формуле (1) из (9) получим уравнение
dW„
" " (10)
- - g — Во^
dT W1 — Nt Перепишем уравнение (10) в безразмерной форме
dw л w . „„ Wp Ро N
-= 1--!—, t = T р0, w = ——, n =—
dt 1 - nt g p0
(11)
Формула (8) показывает, что число Рейнольдса пара при испарении в неизменных условиях остается постоянным. Значит, остается постоянным и коэффициент Дуковича ] в уравнении (11). Поэтому дифференциальное уравнение (11) является линейным и при нулевой начальной скорости Жр(0) = 0 имеет следующее аналитическое решение:
w = <
(1 - n • t)
n - л
z = <
1 -(1 - n • t )(и-л)/n t -1J ln (1 - n • t),
nt2 (1 - nt)(л-и)/n -1 t--+ ^--
л/n
2
n + л
n - л
n Ф л, n = л. n Ф л,
(12)
Л
(13)
ln (1 - nt) + -----,
6 2n
n = л.
^__1_
2 2п7 у
На рис. 3 кривые скорости падающей капли построены при Я п = 1 и четырех значениях безразмерной интенсивности испарения п (п Ф] ). Если испарение отсутствует (п = 0), то при ^ ^ да скорость капли стремится к скорости витания (^ ^ 1). Чем выше безразмерная интенсивность испарения п, тем быстрее уменьшается размер капли, т. е. в уравнении (11) растет сила сопротивления среды, отнесенная к массе капли. Скорость капли достигает максимума, а затем падает до нуля, что соответствует полному испарению капли за время ^ = 1 / п. Если подставить ¿2 в формулу (13), то получим безразмерную высоту, на которой капля полностью испарится.
Рис. 3. Зависимость безразмерной скорости падающей испаряющейся капли от времени при Xn = 1 и различной интенсивности испарения: 1 - n = 0; 2 - n = 0,2; 3 - n = 0,3; 4 - n = 0,5 Fig. 3. Dependence of the dimensionless velocity of the falling evaporating droplet on time at Xn = 1 and different evaporation rates: 1 - n = 0; 2 - n = 0.2; 3 - n = 0.3; 4 - n = 0.5
1
Особо следует рассмотреть ранее не изученный случай п = п. На рис. 4 показана зависимость безразмерной скорости падающей испаряющейся капли от времени при малых значениях интенсивности испарения. Получается, что безразмерная скорость значительно превышает единицу, т. е. размерная скорость должна быть больше скорости витания.
Рис. 4. Зависимость безразмерной скорости падающей испаряющейся капли от времени при n = ц\ 1 - n = 0,1; 2 - n = 0,12; 3 - n = 0,15; 4 - n = 0,2 Fig. 4. Dependence of the dimensionless velocity of the falling evaporating droplet on time at n = n: 1 - n = 0.1; 2 - n = 0.12; 3 - n = 0.15; 4 - n = 0.2
Задаваясь различными значениями n = n, рассчитаем по (2) соответствующие им значения Xn . Результаты расчета представлены в таблице. Из нее видно,
что для равенства n = n = 0,1 отношение плотностей должно быть нереально большим Xn = 33,7.
Таблица. Зависимость отношения плотностей газа и пара от интенсивности испарения капли при n = n
Table. Dependence of the ratio of gas and vapor densities on the droplet evaporation rate at n = n_
n 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Хп 33,7 8,6 3,8 2,1 1,2 0,74 0,44 0,24
На рис. 5 показаны зависимости безразмерной скорости падающей испаряющейся капли от времени при 0,45 < п < 0,7, что соответствует физически реализуемым в СОЖ отношениям плотностей Хп. На рисунке видно, что безразмерная скорость остается меньше единицы (размерная скорость - меньше скорости витания).
На рис. 6 зависимости безразмерной скорости падающей испаряющейся капли от времени построены при интенсивности испарения п = 0,2 и четырех значениях отношения плотности Xп . Так как величина п во всех случаях одинакова, безразмерное время полного испарения равно 5. При больших значениях Xп мак-
симум скорости падающей капли выше (рис. 6), поэтому капли успевают пролететь большее расстояние до полного испарения.
W
0.6
0.3
/
• X ' vN 1 \ % Л V ч Л
• * * * • • • * % i » * » » t
О 0.4 0.8 1.2 1.6
Рис. 5. Зависимость безразмерной скорости падающей испаряющейся капли от времени при n = ц: 1 - n = 0,45; 2 - n = 0,52; 3 - n = 0,6; 4 - n = 0,7 Fig. 5. Dependence of the dimensionless velocity of the falling evaporating droplet on time at n = ц: 1 - n = 0.45; 2 - n = 0.52; 3 - n = 0.6; 4 - n = 0.7
w
0.75
0.5
0.25
---- - 1
• * S-. 3
Vv V ••
2 4 г
0
Рис. 6. Зависимость безразмерной скорости падающей испаряющейся капли от времени при n = 0,2 и различных значениях Xn : 1 - Xn = 0,2; 2 - Xn = 0,5; 3 - = 1; 4 - = 1,5 Fig. 6. Dependence of the dimensionless velocity of the falling evaporating droplet on
time at n = 0.2 and different values Xn : 1 - Xn = 0. 2; 2 - Xn = 0. 5 ; 3 - Xn = 1; 4 - Xn = 1.5
ДИНАМИКА КАПЛИ ВБЛИЗИ НАГРЕТОЙ ПОВЕРХНОСТИ На втором этапе рассмотрим динамику падающей капли вблизи нагретой горизонтальной поверхности. Если условия испарения частицы (капли) неоднородны, то реактивная сила не равна нулю. Выражение для реактивной силы, действующей на испаряющуюся каплю, достигшую температуры кипения 0s, в потоке с температурным градиентом имеет следующий вид [7]:
Ря(в_в> )ц, (14)
з г Рп 0 г
где Ми - число Нуссельта частицы; г - удельная теплота парообразования; рп - плотность пара у поверхности капли; х - коэффициент теплопроводности; 0 - температура газа.
Согласно (14) реактивная сила направлена в сторону убывания температуры газа в потоке (т. е. от нагретой поверхности). По формуле (5) интенсивность испарения
N=—. (15)
*55¿рр ^ ( )
Так как капля достигла температуры кипения, то весь тепловой поток расходуется на испарение капли:
dm _ л52а-(©-05)_ %-уЫи •8-(©-05)
dT г
Подставим (16) в (15)
_ • (0 - 0, )
(16)
Ж = -^ . (17)
5° Р рг
Рассмотрим осаждение испаряющейся капли, достигшей температуры кипения, в неподвижном газовом слое. Высота слоя Н. Пусть температура газа линейно увеличивается по координате 2 (вниз), на внешней границе 0 = 0ц , на поверхности 0 = 0„ . Тогда градиент температуры в формуле (14) равен
00 = 0,-0, о г н '
Запишем дифференциальное уравнение осаждающейся капли (9), полагая, что число Рейнольдса Яв < 1000 и добавив реактивную силу (14):
Шр 18уЬ 0 0, -0-^ п/иЖи! пал - =*-Л^с—р---^-- (0-0,)-- , (19)
dT * 1 5° р РпРр Н V - \ г •б J ' ()
с(Яв) = 1 + 0,15 Яв0'687.
С учетом изменения диаметра по формуле (1) из (19) получим уравнение dW„ с•лЖп (0-0 )
— =*-Ро Т^ - , (20)
dT 1 - N1 1 - N1
где А =
0 0-0
с х-
2
9
РпРр Н -50
(21)
Перепишем уравнение (20) в безразмерной форме
= 1 - с -Л * + аЩг) е= 0-0- ^ = T Р0,, = ^ (22)
dt 1 - Ш ' 0,-0/ ° *
п = * = М^0-0-) = ,-е(2), Яв = ,•,-5, . = 50*, (23)
р0 9Р / ^г РоV
г
г
a = ■
(©w -®sf (%■ Nu^ b = 2X-Nu-(©w-®я) (24)
РпРр g■ Н-8о I Г ) 9рг
Начальные условия к системе уравнений движения капли:
м>(0) = 0, 2(0) = 0. (25)
Критериями подобия являются безразмерные комплексы: а, Ь, Хп, с. Задача решалась численным методом в среде МаШсаё. На рис. 7-10 представлено влияние значений критериев подобия на результаты расчетов.
0.15 0.1 0.05
• • * • Л -
• у + . J»* Л- _ - - '
m " . - - ' , - - * . — — ~ 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 О.Е 0.9 2
Рис. 7. Изменение безразмерной интенсивности испарения по высоте при a = 0,1; \n = 1; с, = 20 и различных значениях b: 1 - b = 0,001; 2 - b = 0,06; 3 - b = 0,12; 4 - b = 0,19 Fig. 7. Change of dimensionless evaporation rates at the height a = 0.1; Xn = 1; q = 20
and different values of b: 1 - b = 0.001; 2 - b = 0.06; 3 - b = 0.12; 4 - b = 0.19
w 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
TTvi * * : i
••.4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Рис. 8. Изменение безразмерной скорости капли по высоте при b = 0,15 Дп = 1; q = 20 и различных значениях a: 1 - a = 0,1; 2 - a = 0,2; 3 - a = 0,3; 4 - a = 0,4 Fig. 8. Change of dimensionless velocity of the droplet at the height b = 0.15; \n = 1; q = 20 and different values of a: 1 - a = 0.1; 2 - a = 0.2; 3 - a = 0.3; 4 - a = 0.4
Рис. 9. Изменение числа Рейнольдса капли по высоте при a = 0,1; b = 0,15; Xn = 1 и различных значениях д : 1 - д = 10; 2 - д = 20; 3 - д = 40; 4 - д = 80 Fig. 9. Change of the number of Reynolds drops at the height a = 0.1; b = 0.15; Xn = 1
and different values of д : 1 - д = 10; 2 - д = 20; 3 - д = 40; 4 - д = 80
Рис. 10. Изменение безразмерной скорости капли по высоте при a = 0,1; b = 0,15; д = 20 и различных значениях Xn : 1 - Xn = 0,5; 2 - Xn = 1; 3 - Xn = 1,5 ; 4 - Xn = 2 Fig. 10. Change of dimensionless velocity of the droplet at the height a = 0,1; b = 0,15; д = 20 and different values of Xn :
1 - Xn = 0.5; 2 - Xn = 1; 3 - Xn = 1.5 ; 4 - Xn = 2 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для условий в СП СОЖ установлено влияние поправки Дуковича к силе аэродинамического сопротивления на динамику падающей испаряющейся капли. Коэффициент Дуковича определяется числом Рейнольдса, рассчитанным по сред-немассовой скорости отделяющегося пара. Показано, что при неизменных усло-
виях это число прямо пропорционально отношению плотности воздуха к плотности пара. Важную роль играет безразмерная интенсивность испарения капли смазывающей жидкости п. Когда отношение плотностей достигло значения 1,5 при п > 0,6, сила аэродинамического сопротивления испаряющейся капли составляла менее 40 % величины силы для неиспаряющейся капли.
Впервые был исследован частный случай, когда безразмерная интенсивность испарения равна коэффициенту Дуковича. Эта интенсивность не может задаваться произвольно, так как при малых величинах получается столь большое значение отношения плотностей, что оно не может быть физически реализовано. В СП СОЖ безразмерная интенсивность испарения п изменялась в диапазоне (0,45; 0,7).
На основе ранее выведенной формулы для реактивной силы предложена математическая модель динамики испаряющейся капли, падающей на горизонтальную стенку, при линейном профиле температуры газа. Система уравнений приведена к безразмерной форме. Задача решена численным методом в среде Mathcad. Установлено, что критериями подобия задачи являются четыре безразмерные комплекса. Показано, как значения критериев подобия влияют на скорость и интенсивность испарения капли.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Лышевский, А. С. Процессы распыливания топлива дизельными фор-
сунками / А. С. Лышевский. - Москва: Машгиз, 1963. - 180 с.
2. Акимов, В. М. Теория и расчет воздушно-реактивных двигателей: учебник / В.М. Акимов [и др.] / под ред. С. М. Шляхтенко. - Москва: Машиностроение, 1987. - 568 с.
3. Великанов, Н. Л. Гидравлический расчет системы подачи смазочно-охлаждающей жидкости в зону обработки материала / Н. Л. Великанов, В. А. Наумов, С. И. Корягин // Вестник машиностроения. - 2017. - № 10. - C. 70-74.
4. Crowe, C.T. Multiphase Flows with Droplets and Particles / C.T. Crowe, M. Sommerfeld, Y. Tsuji. - Florida: CRC Press, 1998. - 471 p.
5. Dukowics, J.K. An exact solution for drag of sphere i a low Reynolds number flow with strong uniform suction or blowing / J.K. Dukowics // Physics of Fluids. -1982. - V. 25, no. 7, pp. 1117-1118.
6. Ganic, E.N. On the mechanism of liquid drop deposition in two-phase dispersed flow / E.N. Ganic, W.M. Rohsenow // Journal of Heat Transfer. Transactions of the ASME. Series C. - 1979. - V. 101, no. 2, pp. 288-294.
7. Наумов, В. А. Реактивная сила, действующая на испаряющуюся каплю / В. А. Наумов // Промышленная теплотехника. - 1993. - Т. 15, № 4. - С. 62-64.
8. Наумов, В. А. Динамика дисперсной частицы в вязкой среде / В. А. Наумов // Математическое моделирование. - 2006. - Т. 18, № 5. - С. 27-36.
9. Дахин, С. В. К определению относительной скорости капли жидкости в потоке газа / С. В. Дахин, И. Г. Дроздов, Д. П. Шматов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9, № 5. - С. 86-90.
10. Волков, А. В. Расчет испарения и динамики движущихся капель топлива / А. В. Волков // Молодой ученый. - 2018. - № 51. - С. 19-30.
11. Липантьев, Р. Е. Высокотемпературная термическая подготовка сернистых мазутов к сжиганию в топках энергетических котлов: моногр. / Р. Е. Липантьев, В. П. Тутубалина. - Варшава: Изд-во iScience, 2018. - 60 с.
REFERENCES
1. Lyshevskiy A. S. Processy raspylivaniya topliva dizel'nymi forsunkami [Process of atomization of the diesel fuel injectors]. Moscow, Mashgiz Publ., 1963, 180 p.
2. Akimov V. M., Bakulev V. I., Kurziner R. I. et al. Teoriya i raschet vozdushno-reaktivnykh dvigateley: uchebnik [Theory and calculation of air-jet engines: textbook]. Edit. S. M. Shlyakhtenko. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1987, 568 p.
3. Velikanov N. L., Naumov V. A., Koryagin S. I. Gidravlicheskiy raschet sis-temy podachi smazochno-ohlazhdayushchey zhidkosti v zonu obrabotki materiala [Hydraulic calculation of the supply lubricating fluid system to the treatment zone]. Vestnik mashinostroeniya, 2017, no. 10, pp. 70-74.
4. Crowe C. T., Sommerfeld M., Tsuji Y. Multiphase Flows with Droplets and Particles. Florida, CRC Press, 1998. 471 p.
5. Dukowics J. K. An exact solution for drag of sphere i a low Reynolds number flow with strong uniform suction or blowing. Physics of Fluids, 1982, vol. 25, no. 7, pp. 1117-1118.
6. Ganic E. N., Rohsenow W. M. On the mechanism of liquid drop deposition in two-phase dispersed flow. Journal of Heat Transfer. Transactions of the ASME. Series C, 1979, vol. 101, no. 2, pp. 288-294.
7. Naumov V. A. Reaktivnaya sila, deystvuyushchaya na isparyayushchuyusya kaplyu [Reactive force acting on the evaporating drop]. Promyshlennaya teplotekhnika, 1993, vol. 15, no. 4, pp. 62-64.
8. Naumov V. A. Dinamika dispersnoy chastitsy v vyazkoy srede [Dynamics of a dispersed particle in a viscous medium]. Matematicheskoe modelirovanie, 2006, vol. 18, no. 5, pp. 27-36.
9. Dahin S. V., Drozdov I. G., Shmatov D. P. K opredeleniyu otnositel'noy skorosti kapli zhidkosti v potoke gaza [On determination of relative velocity of liquid drop in a gas flow]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universi-teta, 2013, vol. 9, no. 5, pp. 86-90.
10. Volkov A. V. Raschet ispareniya i dinamiki dvizhushchikhsya kapel' topliva [Calculation of evaporation and the dynamics of moving fuel drops]. Molodoy uchenyy, 2018, no. 51, pp. 19-30.
11. Lipant'ev R. E., Tutubalina V. P. Vysokotemperaturnaya termicheskaya podgotovka sernistykh mazutov k szhiganiyu v topkakh energeticheskikh kotlov [High temperature thermal preparation of sulfur fuel oils for burning in the furnaces of power boilers]. Warsaw, iScience Publ., 2018. 60 p.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Наумов Владимир Аркадьевич - Калининградский государственный технический университет; доктор технических наук, профессор; зав. кафедрой водных ресурсов и водопользования; E-mail: van-old@mail.ru
Naumov Vladimir Arkadievich - Kaliningrad State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Head of the Department of Water Resources and Water Use; E-mail: van-old@mail.ru
Великанов Николай Леонидович - Балтийский федеральный университет им. Иммануила Канта (г. Калининград); доктор технических наук, профессор; зав. кафедрой машиноведения и технических систем; E-mail: monolit8@yandex.ru
Velikanov Nikolay Leonidovich - Immanuel Kant Baltic Federal University (Kaliningrad); Doctor of Technical Sciences, Professor; Head of the Department of Engineering Science and Technical Systems; E-mail: monolit8@yandex.ru
