CC BY
9
МЕХАНИКА
УДК 532
Н. Л. Великанов, В. А. Наумов, С. И. Корягин
РАВНОВЕСИЕ ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ В ФОРМЕ ДУГИ ЭЛЛИПСА В ПОТОКЕ ВОДЫ
Предложен метод расчета, который позволяет определить условия равновесия дуги в форме части эллипса, обтекаемой однородным потом жидкости.
Calculation method to determine the equilibrium conditions of the arc in the form of the ellipse, then streamlined homogeneous liquid
Ключевые слова: коэффициент гидродинамического сопротивления, численный метод, однородный стержень.
Key words: drag coefficient, numerical method, uniform rod.
В инженерных расчетах по аэродинамике летательных аппаратов, гидродинамике кораблей и судов, проектированию орудий рыболовства и других отраслей требуется определять условия равновесия различных элементов конструкции в потоке вязкой жидкости [1 — 4]. В работе [5] исследованы условия равновесия в воде однородного стержня, в том числе в виде дуги окружности. В данной статье предложен численный метод расчета равновесия в воде однородного стержня в виде дуги эллипса.
Однородный стержень плотностью ps в форме четверти эллипса (полуоси a, b) находится в потоке воды в положении, показанном на рисунке 1. Плотность воды pf, скорость потока U.
77
Рис. 1. Однородный стержень плотностью р5 в форме четверти эллипса
© Великанов Н. Л., Наумов В. А., Корягин С. И., 2017
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 1. С. 77-83.
78
Уравнение эллипса в размерной и безразмерной форме:
,2
X2 у2 2 У1 x у , ь -г-+—г = 1, х + 2 = 1, х =—,У = ~,к =—. а Ь к а Ь а
Выразим функцию у(х), ее производную и дифференциал:
У:
' = ^л/Г^х2, у' = —, кх , йу = у'йх =—, кх йх.
лЯ-х7
Угол атаки а является функцией аргумента х и зависит от величины отношения полуосей эллипса к (рис. 2):
а(к, х) = аг^ ^
лЯ-х2
Дифференциал дуги эллипса (безразмерный)
йст = 7(йх)2 +(йу)2 =1(к2 ~т)х22 +1 йх. (1)
V 1_ х
Рис. 2. Зависимость локального угла атаки а от аргумента х при различных значениях параметра к: 1 - к = 0,25; 2 - к = 0,5; 3 - к = 1; 4 - к = 2; 5 - к = 4
Длину стержня (безразмерную, отнесенную к а, можно найти с помощью криволинейного интеграла (по дуге)
щ) = | йа=и(к2 - + 1йх. (2)
, 0 ' 1 х
Средний по длине дуги угол атаки
аср(к) = 7^ 1а(к, х)йа = 7^ 1а(к, х\ (к -1)х? +1 йх. (3)
р 1(к) ( Ь(к )0 V 1 - х
Заметим, что (2), (3) и последующие выражения не интегрируются в квадратурах (в общем случае не существует первообразной, выраженной через элементарные функции). Определенные интегралы будем находить численным методом в среде Mathcad (рис. 3).
а
ср 60
40
20
L
— * ---' ----
о 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7
Рис. 3. Зависимость среднего по длине дуги угла атаки и безразмерной длины дуги Ь от значений параметра к
С учетом (1) координаты центра тяжести определяются с помощью интегралов по длине дуги (рис. 4):
L(k) f L( k) J0V 1 - X2 '
1 k 1 _
y (k) =-f yda =-f\/(k2 - 1)x2 + 1dx.
*cK L( k)J/ L( k) f0vv '
(4)
79
o 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 l.S 2.1 2.4 2.7 k
Рис. 4. Зависимость безразмерных координат центра тяжести от параметра k
Полагаем, что при больших числах Рейнольдса коэффициенты гидродинамического сопротивления длинного цилиндра при поперечном и продольном обтекании можно принять равными [4; 5]
С90 = 1,2, С0 = 0,04.
Локальные коэффициенты сил лобового сопротивления и подъемной криволинейного стержня при произвольном угле атаки будут такими же, как у прямолинейного цилиндра (рис. 5):
Cx = C0 + (С90 - C0) sin" a, Cy = С90 sin2 а cos а.
80
Рис. 5. Зависимость локальных коэффициентов гидродинамического сопротивления стержня от угла атаки
Элементарная сила лобового сопротивления и подъемная сила (действующие на малый элемент дуги da)
1 2 1 2
dRx (k) = 2 Cx (a)U dpfada, dRy (k) = Cy (a)U dp fada. (5)
Силы гидродинамического сопротивления, действующие на весь криволинейный стержень, находятся интегрированием (5):
Rx (k ) = 1U 2dap f j Cx (a( k, x))J-Ry (k) = 1U2dapf j Cy (a(k, x))^
(k2 - 1)x2 + 1J 2-dx,
1 - x2
(k2- 1)x2 +1
1 - x2
■dx.
(6) (7)
Перейдем к соответствующим безразмерным числам Ньютона (рис. 6): Rx (k)
Nex (k) =
0,5U dapf 0
= j Cx(a(k, x))
(k2 - 1)x2 +1
1 - x2
dx,
Ney (k) = 0 jUidL = j Cy (a(k, x))P2^ +1 dx,
0,5U2 dap
f0
1 - x2
K(k ) = Ney (k )/ Nex (k ).
(8)
0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 Jt
Рис. 6. Зависимость чисел Ньютона от параметра k
Найдем, при какой скорости потока и однородный криволинейный стержень в форме четверти эллипса, в положении, показанном на рисунке 1, будет находиться в состоянии равновесия. Условие равновесия: алгебраическая сумма моментов сил относительно оси Аг, перпендикулярной плоскости рисунка 1, равна нулю:
Мг (К ) + Мг (Ку ) -(С - ¥а ) Хс = 0,
МЛК) = } ((- , Мг(К) = ]хйяу.
0 0
Подставим (9) в (10) и преобразуем выражения (рис. 7):
Мг (К) = 2 и2йи2рГШХ(к), Мг (Ку) = 2 и2йи2ргшу(к),
тх(к) = к I" С (а(к, х))(1 -41 - х2 \ ——1)Х2 + 1йх, 0 V 1 - х2
шу(к) = | Су(а(к, х))хх|(к ^ 1)х +1 йх, М(к) =
1 - х2
шу(к) шх( к)
(9) (10)
(11) (12) (13)
Рис. 7. Зависимость безразмерных гидродинамических моментов от к
С учетом (11) — (13) уравнение моментов (9) можно записать в безразмерной форме:
шу( к)+шу(к) - х®^ = 0,
{Шк)
где
{Гш =-
2Ш2
л(1 - X)gй
Из уравнения (13) выразим модифицированное число Фруда, а по нему найдем скорость потока, обеспечивающую состояние равновесия (рис. 8):
рГш{к) = х(к)1(к) , и(к) = , Ргш(к).
шу(к) + шу(к) V 2Х
87
82
Рис. 8. Число Фруда и скорость потока, обеспечивающие состояние равновесия
Рассмотрим пример при следующих значениях размерных параметров задачи:
а = 1 м; Ь = 2 м; р/ = 1000 кг/м3; р8 = 4000 кг/м3; й = 0,04 м; и = 1 м/с. Тогда
Ь
к0 = - = 2, Х=-/ = 0,25. а Ps
Безразмерная и размерная (м) длина дуги по формуле (2) Ь(к0) = 2,422, Ьг = аЬ(к0) = 2,422 м.
Вес криволинейного стержня в воде
■кй 2
вт = — Ьг(1 - X )р^ = 22,371 Н.
Безразмерные и размерные координаты центра тяжести по формулам (4)
хс(к0) = 0,706, у с(к0) = 1,140, ахс(к0) = 0,706 м, аус(к0) = 1,140 м. Средний по длине дуги угол атаки
аСр(к0) = 62,8°.
Числа Ньютона по (8):
Ывхк) = 2,417, Ывук) = 0,663, ВД = 0,262.
Составляющие силы гидродинамического сопротивления, действующие на весь криволинейный стержень (в Ньютонах) по (6) — (7):
Ях = 0,5и 2йар/Ывх (к0) = 48,338 Н, Яу = 0,5и 2йар /Ыву (к0) = 25,306 Н.
Безразмерные моменты сил гидродинамического сопротивления по формулам (12) — (13):
тх(Ц = 2,274, тук) = 0,430, М(Ц = 0,189.
Размерные моменты сил гидродинамического сопротивления по формуле (11):
Mx = 45,48 Н-м, My = 8,61 Н-м.
Модифицированное число Фруда и скорость потока в равновесии по формуле (14):
Frm(ko) = 0,603, и(к0) = 1,08 м/с.
Таким образом, предложенный метод расчета позволяет определить условия равновесия дуги в форме части эллипса, обтекаемой однородным потом жидкости.
Список литературы
83
1. Петров К. П. Аэродинамика элементов летательных аппаратов. М., 1985.
2. Великанов Н. Л. Механика кошелькового лова рыбы. Калининград, 2001.
3. Норьков Е. С., Рудниченко А. А. Анализ особенностей распределения по длине корпуса сил сопротивления воды движению скоростного судна // Труды ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова. 2014. Вып. 82 (366). С. 139 — 146.
4. Великанов Н. Л., Наумов В. А. Гидродинамическое сопротивление систем из стержней и нитей : монография. Калининград, 2015.
5. Наумов В. А., Ахмедов И. М. Коэффициенты гидродинамического сопротивления цилиндрического стержня // Водопользование и задачи гидромеханики : сб. науч. тр. Калининград, 2015. С. 63 — 68.
Об авторах
Николай Леонидович Великанов — д-р техн. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: [email protected]
Владимир Аркадьевич Наумов — д-р техн. наук, проф., Калининградский государственный технический университет, Калининград. E-mail: [email protected]
Сергей Иванович Корягин — д-р техн. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: [email protected]
About the authors
Prof. Nikolay Velikanov, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]
Prof. Vladimir Naumov, Kaliningrad State Technical University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]
Prof. Sergey Koryagin, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]
