Равномерная асимптотика интеграла, зависящего от двух параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАВНОМЕРНАЯ АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛА, ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ДВУХ ПАРАМЕТРОВ

A.C. Ванданов, А.М. Ильин

Рассматривается интеграл типа Лапласа при условии, что показатель экспоненты имеет две близкие точки максимума с равными значениями. Построена асимптотика интеграла, равномерная по большому параметру А и по малому расстоянию между точками максимума.

Ключевые слова: асимптотические разложения, интеграл Лапласа,.

Ь

Хорошо известна асимптотика интеграла / <р(х) ехр(Ар{х))йх при А ^

а

оо в том случае, когда гладкая функция р(х) имеет одну внутреннюю невырожденную точку максимума или несколько таких точек [1]. Однако если две такие точки находятся на малом расстоянии 2е друг от друга, то при их слиянии асимптотика носит другой характер. Задача становится двухпараметрической (расстояние между максимумами стремится к нулю, а А ^ оо). Стандартная асимптотика при фиксированном £ и А оо перестаёт быть справедливой при е ^ 0. Легко вычислить асимптотику при фиксированном А и е ^ 0, но она тоже недействительна при больших А. Поведение интеграла носит достаточно сложный характер. Целью настоящей

заметки является построение такой равномерной асимптотики для интегра-ь

ла / <р(х)ехр(АР(х,е))йх.

а

Будем рассматривать тот случай, когда функция Р(х, е) имеет две точки максимума по переменной х, находящиеся на расстоянии порядка е << 1 вблизи внутренней точки ха отрезка [а, Ь], а значения в этих точках максимума равны между собой. Некоторые другие случаи рассмотрены в [2, гл.6]. Ясно, что вблизи точки ха находятся точки, где и вторая, и третья производные функции .Р(ж, е) по х обращаются в нуль. Ситуация общего положения состоит в том, что

д4Р(х,е) дхА

В некоторой окрестности Ш ТОЧКИ Ха-

Всюду ниже посредством т, М. 7 будем обозначать положительные постоянные, не зависящие от е и А.

(1)

Легко видеть, что при указанных выше предположениях функция Р(х, е) имеет вид

Р{х, е) = ^(х2 ^ е2)2д(х, е), (2)

где д(х, е) > 0 — гладкая функция, которую можно разложить в асимптотический ряд по степеням х и е в окрестности нуля. Это вытекает из простого интегрального соотношения для функции, обращающейся в нуль

„ ^

в точке: если _Р(е, е) = 0, то Р(х, е) = (х — е) / Цг(е + в(х — е),е)йв. Приме-

0

д Р ( X £

няя это соотношение для производной —^ ’ и для точек £ и —е, приходим

к равенству (2).

Итак, задача сводится к выяснению асимптотики интеграла

/(А,е)= / ф)е-х{х2-£^2^х’£Ы:

■ж,

где а < О, Ь > 0, <р,д € С°°, д(х,е) > т > 0.

Введем обозачение Ф(ж, А, е) = ср(х)е^х(х2_е2)2в(х’£К Пусть 6 = 2е + А-“, где а < |. Ясно, что

Ф(ж, А, е)йх + / Ф(ж, А, е)йх

<

5

оо

<М J ехр(—Х^х4)йх < Л/ех|)(^7А

г

(3)

Отсюда следует, что достаточно получить асимптотику интеграла

Ф(х, А, е)йх.

Положим р(х, А, е) = А(ж2 — £2)2, до = 5(0,0), Л(ж, е) = д(х, е)^до и заметим, что |/г(ж,е)| < М(|ж| + е) < 5о/2 при |ж| < 8.

в

в

Равномерная асимптотика интеграла

37

Преобразуем подынтегральное выражение:

<р(х) = (ркХк + 0(х

п+1\

к=О

ехр(^Л(ж2 — е2)2д(х, е)) = ехр(-рдо) ехр(—р/г(ж, е))

П 1

= ехр(^р50)(Е + °(\рк\п+1е-^'2)).

к=О

Таким образом,

9 * п

Ф(ж, Л, е)с],Х = 1^^(ркХке^Р90'^^—( — р11(х,£))1с1х + Н 1- (4)

16 к=0 1=0

Ясно, что

г г

-в -в

Разложим в (4) функцию /г(ж, е) в ряд Тейлора с остаточным членом:

9 ^ п п п

Ф(ж,Л,е)йх = ^^(ркХке^Р90 ^ ¡\(~Р ^.¡х%е^)1йх + Дг■

-г

6=0 /=0 *>5=0

Справедлива оценка: (Дг! < 0(5”+1).

Преобразуем подынтегральное выражение

г г

Ф(ж, Л, е)с!х = ^ [ Ьу(^А(ж2 — £2)2)кхге^еГР90йх .

$ О <1,з,к<п_в

В интегралах полученной суммы заменим переменную х = еу: г

(^А(ж2 - е2)2)1хге-х(х2-£2)2аЧх =

-6

г

=(-5оГгег+У I у*(у2 - 1)21е-^2-1У2ёу,

-6

в

где Ае4до = А*-

Полученные интегралы можно заменить на интегралы от ^оо до +оо с точностью до любой степени А-1. Эти оценки аналогичны оценке (3).

+°° . 2 2 Обозначив (¿(¿(/л) = ц1 / уг(у2 — 1)21е~^у ёу, получаем оконча-

— ОО

тельную асимптотическую формулу, равномерную относительно е -) 0 и

Е вш,^кМ.

к,1,т> О

Выпишем несколько первых членов полученной формулы:

/(А, е) — e^oQoo — е2 PohoiQoigi 1

о ^

+ £3[—(Poho2Qoi9o1 - (Poh2oQ2ig 1 +

1 1

-(p0h2l0Q22g+ 2^o/ioiQo2д^2 - ¡Mioíhis^1 + mQw]

£4[—<Poh2iQ2ig 1 — Voho^Qoig 1 + (pohoih2oQ22g 2 + щhwhnQ22g 2 -

1 1 + (Pohoiho2Qo2g 2 — ^VahiohQiQvig 3 — -^щЩгЯтд 3 —

- mh2nQ2ig+ mhwhhQ22g^2 - <P2hhQ2ig~l] + 0(e5 + A-?),

где

90 24 ¿te4 ^°’ °^’ kl° 120 dx5 ^°’ °^’

1 dbF 1 d6F

hoi = ^mlk^^0^ ho2 = ^72ÓJ^^°^

1 d6F 1 d6F

ft“ = -l20«P(°-°>- '!2° = -T20

1 dJF Лоз = -^(0,0).

Список литературы

1. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

2. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.