Асимптотика трёхмерных интегралов, сингулярно зависящих от малого параметра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 1. С. 35-42.

УДК 517.9

АСИМПТОТИКА ТРЁХМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ, СИНГУЛЯРНО ЗАВИСЯЩИХ ОТ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

А. А. Ершов

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия [email protected]

Построена асимптотика некоторых трёхмерных интегралов, сингулярно зависящих от малого параметра. Знаменатель подынтегральной функции рассмотренных интегралов представляет собой сумму малого параметра и неотрицательной функции, обращающейся в ноль на трёх пересекающихся поверхностях. Такого вида интегралы расходятся при стремлении малого параметра к нулю. Применены метод вычитания особенностей и круговой метод.

Ключевые слова: асимптотическое 'разложение, малый параметр, интеграл, метод вычитания особенностей, круговой метод.

Введение

Хорошо известна задача нахождения асимптотики интеграла, зависящего от параметра. В качестве примера подобных интегралов можно привести хорошо изучен-

1

ные интегралы вида / /(х)еХ8(х^ ¿х, где Л — большой положительный параметр [1].

о

Асимптотика различных интегралов описана в ряде работ (например, [2; 3]). Здесь рассматриваются мало изученные до сих пор интегралы вида / Ф(х,е)йх от функции, которая регулярно зависит от малого параметра е всюду, кроме некоторого множества (одной или нескольких точек, многообразий и т. п.). Однако при е = 0 интеграл расходится, и его асимптотика имеет довольно сложный характер.

В настоящей статье находится асимптотическое разложение сингулярных интегралов вида /// е2+Щху г), где ш — некоторая окрестность критической точки

ш

(0,0,0), в которой неотрицательная функция и(х,у,г) и её частные производные обращаются в ноль. В статье рассмотрен неисследованный ранее случай, когда функция и(х,у,г) обращается в ноль на трёх пересекающихся в одной точке плоскостях и имеет специальный вид. Случаи, когда и(х,у,г) равна нулю в точке или на одной поверхности, более просты для рассмотрения [4, гл. 7, § 30]. Отметим, что двумерным аналогом данных исследований является работа [5], в которой были исследованы асимптотические разложения сингулярных интегралов вида // е2+щХ у),

ш

где ш — некоторая окрестность критической точки (0,0), когда функция и(х,у) обращается в ноль на п пересекающихся линиях, а в монографии [4, гл. 1, § 1] была

1 1

Яг (х у)ахау е2 + х- .

оо

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ (проект 12-01-00259-а) и фонда поддержки молодых учёных «Конкурс Мёбиуса».

Вычисление асимптотики

¿1 ¿2 ¿3

Рассмотрим интеграл / / / ^^(ху г), где окрестность [-8^8^ х [-82,82] х

¿1 ¿2 ¿3

[-достаточно мала,

и(х,у,г) = (г - к1(х,у))2 х (у - к2(х,г))2(х - Нз{у,г))2С2(х,у,г),

С(х,у,г) — гладкая функция, не обращающаяся в ноль, а уравнения г = к1(х,у), у = к2(х,г) и х = кз(у,г) задают достаточно гладкие поверхности, пересекающиеся на трёх кривых с общей точкой в начале координат (т. е. к1(0, 0) = к2(0, 0) = кз(0, 0) = 0), причём нормали к этим поверхностям в нуле не являются коллинеар-ными.

Заметим, что если применить предложенный в [5] метод разбиения области интегрирования на сектора и некоторые выпрямляющие замены, то по существу можно рассмотреть только следующий интеграл:

1 1 1

I (в)

f (х,у, г)¿хеку¿г

0 0 0

в2 + х2у2 г2

(1)

где f (х,у,г) € С^ ([0,1] х [0,1] х [0,— некоторая положительная функция. Действительно, возьмём 81, 82 и 8з малыми настолько, чтобы при -8з < х < 8з, -82 < у < 82, -81 < г < 81 выполнялись неравенства

-81 <к1(х,у) <81, -82 < Ь,2(х, г) <82, -83 <к3(у,г) <83.

Тогда

¿1 ¿2 ¿3

I I I

- ¿1 - ¿2 - ¿3

¿1 ¿2 Ь3(у,у)

ехйуйг

в2 + и(х, у, г)

81

дьхдьудьг

— 81 + 82,

¿1 ¿2 ¿3

в2 + и(х, у, г)

82

ехйуйг

в2 + и(х, у, г)

-¿1 -¿2 -¿3 -¿1 -¿2 Ь,3(у,у)

Рассмотрим интеграл 82, интеграл 81 исследуется аналогично. Имеем

¿1 ¿2 ¿3-/вд(у,у)

ПГ' — У -Х- оЛ

82

х = С + к3(y,г), ¿х = ¿С

есеуег

-¿1 -¿2 0

в2 + и (С + к3(у,г),у,г)

где

С = (83 - кз(y,г))s,

еС = (83 - к3(у,г))е$

¿1 ¿2 1

-¿1 -¿2 0

f1(y, г )е$еуег в2 + и^в, у, г)

Ь(у,г) = 83 - кз(y,г), и1(в,у,г) = и((8з - кз(у,г))в + кз(у,г),у,г) = = в2(г - к1(в,у,г))2(у - k2(в,y,г))2G2l(в,y,г), к1(в,у,г) = к1((8з - кз(у,г))в + kз(У, г),У),

¡12(8, у, г) = ъ,2{{8з - ы(у,г))в + Н3(у,г),г), Ох(8,у,г) = (83 - кз(у,г))С((8з - к3(у,г))в + Нг(у,г),у,г).

Обозначим через функцию у = И2(в,г) решение уравнения у = к2(в, у, г) относительно у и переставим пределы интегрирования. Тогда интеграл Б2 можно представить в виде суммы Б2 = $2д + Б2,2, где

¿1 1 Н2(з,г) ¿1 1 62

_ = [ [ [ !\(у,г)<1у<18<1х = Г Г Г /1(у,г

2Л У У У е2 + 1Мз,у,г), 2,2 ] ] ] е2 + 1Мз,у,г)'

-61 0 -¿2 -¿1 0 И2{з,х)

Интегралы Б2у\ и Б2,2 могут исследоваться практически одинаково, поэтому достаточно рассмотреть один из них. Преобразуем интеграл Б2,2 следующим образом:

S-

2,2

y = H2(s,z) + п, dy = dn

¿1 1 S2-H2(s,z)

fi(H2(s, z) + n, z)drqdsdz

J J J £2 + s2n2(z — hi)2Gl(s, n, z)

-S1 0 0

где

n ( \ n ( и ( \ 1 ^ H2(s, z)+ n — h2(s, H2(s, z) + n, z) Gi(s, n, z) = Gi(s, H2(s, z) + n,z)--.

n

После замены

n = ($2 - H2(s, z)t, dn = (62 — H2(s, z)dt

интеграл S2}2 принимает вид

Si 1 1

¡¡I f2(s,t,z)dtdsdz 2,2 = J J J £2 + U2(s,t,z)

-S1 0 0

с функциями

f2(s,t,z) = fi (t§2 + (1 — t)H2 (s,z)), U2(s, t, z) = s2n2(z — hi(s, t$2 + (1 — t)H2(s, z),z))2G2(s, (62 — H2(s, z))t, z). В свою очередь интеграл S2}2 может быть разбит на сумму двух интегралов

S2,2,i + S2,2,2, где

i i Hi(s,t) i i S1

iff f2(s,t,z)dzdtds f f f f2(s,t, z)dzdtds

S2Ai = JJ J £2 + U2(s,t,z) , S222 = П J £2 + U2(s,t,z) .

0 0 -Si 0 0 Hi(s,t)

Здесь функция z = Hi(s,t) — решение уравнения z = hi(s,t62 + (1 — t)H2(s, z), z).

Каждый из интегралов, S2,2}i и S2,2,2, аналогичными заменами может быть приведён к интегралу вида

i i i

S = f f f h(s,t,r)drdtds

J J J £2 + s2t2T2G2(s, t, т)"

000

Теперь нужно избавиться от функции G3(в,t,т) в знаменателе. Для этого сделаем ряд замен, аналогичных заменам, проведённым в двумерном случае [5]:

1 1 1

S _ J, I ¡3(s,t,r )drdtds

J J J £2 + s2t2r2G2(s,t,r) 0 0 0

Z _ rG3(s,t,T)_ F(s,t,T), T _ F-1(s,t,Z)

1 1 G3(s, t, 1) 1 1 G3(s, t, 1)

f f f f3(s,t,F-1(s,t,Z ))d(dtds _ [Г Г f4(s,t,Z )dZdtds

J J J FT (s, t, F-1 (s,t,Z))(£2 + s2t2Z2) J J J £2 + s2t2Z2

0 0 0 0 0 0

Z _ G3(s,t, 1)z, dZ _ G3(s, t, 1)dz

1 1 1

f5(s, t, z)dzdtds

J J J

000

где F-\s,t,Z) обозначает функцию, обратную к функции F(s,t,T) относительно третьей переменной.

Аналогично можно получить, что

ill ill

iff f5(s,t,z)dzdtds f f f f6(s,y,z)dzdtds

J J J £2 + s2t2z2G3(s,t, 1) J J J £2 + s2y2z2G3(s, 1,1) 0 0 0 3 0 0 0 3

111 111

iff f7(x,y, z)dzdtds Г Г Г f8(x,y,z)dzdtds

_ J J J _ J J J ß2 + x2y2z2 ,

0 0 0 0 0 0

£

где ß _ аЖГл)■

Вернёмся к рассмотрению интеграла (1). Его асимптотику можно найти методом вычитания особенностей. Для этого представим функцию f (x,y,z) в виде следующей суммы:

f (x, y, z) _ f (0, 0, 0) + xfx(0, 0, 0) + yfy (0, 0, 0) + zf'z(0, 0, 0) +

+ xyfl(0, 0, 0) + yzfb(0,0, 0) + xzftz(0, 0, 0) + xyzf'^z(0, 0,0) +

+ x2 f (x, 0, 0) - f (0, 0, 0) - xfx(0, 0,0) + + x 0 + ...

x2

2 fy(x, 0, 0) - fy(0, 0,0) - xfXXy(0, 0,0)

+ x2y • —-y-2-y--+ ...

x2

2 flz(x, 0, 0) - fyz(0, 0, 0) - xfxyz(0, 0, 0)

+ x2yz • —-y---y--+ ...

x2

2 2 1

+ x2y2 •—( f (x, y, 0) - f (x, 0, 0) - f (0, y, 0) + f (0, 0, 0) + x2y2

+ xfx (00, 0, 0) + yfy (0, 0, 0) - xfx (00, y, 0) - yfy (x, 0, 0) + xyf'y (0, 0, 0^ +

+ • • • + x2y2z • -2-2 (fz(x, y, 0) - fz(x, 0, 0) - fz(0, y, 0) + fz(0, 0, 0) + x2y2

+ xf'z(0, 0,0) + yfHz(0, 0,0) - xf'z(0,y, 0) - yf^z(x, 0, 0) + + xy fXXy z (0,0, 0)}+ ••• + x2y2z 2ф, y, z),

где <^>(х,у,г) = 0(1). При этом данная сумма соответствует десяти различным видам интегралов, асимптотика каждого из которых по-прежнему не является столь очевидной, как в двумерном случае. Поэтому найдём только главный член асимптотики и оценку остатка.

Интеграл, соответствующий первому слагаемому равенства (2), можно разложить следующим способом:

1 1 1

с1хс1ус1г

1 1 1

с1хс1ус1г

1 1 £

+

dxdydz

У У У е2 + х2у2г2 У У У е2 + х2у2г2 У У У е2 + х2у2г2 0 0 0 £ 0 £ 0 0 0

где

I

£ 1 1

+

dxdydz

•~~2 | ^ -у2

£ 1 £

dxdydz

* ] е2 + х2у2г2 У У У е2 + х2у2г2 0 0 0 0 0 0

= Ь + 212 - 1з,

1 1 £

000

dxdydz е2 + x2y2z2

[х = еС] = -

1 1 1 1 [ I' [ d^dydz

е ] } } 1 + С2У2z2' 000

£ 1 £

dxdydz

1 1 1

[х = = е(]

1 + 0(е2).

} } } е2 + x2y2z2 У У У 1 + е2С2у2(2

0 0 0 0 0 0

Асимптотику оставшегося интеграла можно найти, применяя круговой метод:

1 1 1

1г

£0

dxdydz е2 + х2 y2z2

1 1 1/£

г , 1 С С С dtdydz [х = еЬ] = - 1 1 1

е .1 У J 1 + t2y2z2 0 1

1

t = -и

1 1 1 1 [ [ [ dudydz

е У У У и2 + y2z2

£0£

£ 1

1 1 У

1 С ( [ [ dudy

1 и

е

где

и2 + y2z2

+

dydu Г Г dydu

У и2 + у2 z2 У У и2 + y2z2 0 0 £

dz = %1 + %2 - г3,

11

1 1 У

1 [ [ [ dudydz

е У У У u2 + y2z2

££0

u = уь, du = ydv

1 1 1

1 [ [ [ dvdydz

е } J J у(ь2 + z2)

££0

11 1/£ 1 1 1 С С dvdz _ , 1 С С dvdC

-ы-1 I = [, = е(] = ш-Е] ] -,+-^2

10

е е ]} у2 + z2 £0

с =1

u

1 1

п 1 [ [ dvdu 1

ш - I I —-= 1п -

1 1

е ] У е2 + u2v2 £0

dvdu

£ 1

dvdu

П • ^ 1 - 11п1 [ t

2 е е е е I t

У У е2 + u2v2 У У е2 + u2v2 10 0 0 0 1

1п2± -± 1п- I dt + 1п^ + 0(е21пе),

1 1 и

г2 = - dz

dydu V,2 + у2 z2

у = и,

-у = п-ь

+

I

2

111 11

1 [ [ [ и^Ж^г 1 1 Г Г ^ег

~в] ] У и2 + иЧ2г2 = ~в П в У У 1 + ^г2

£ £ 0 £ 0

£ £

аг^ г , [ аг^ г -аг — -аг

0

1

!Ы1 Г атсЪг ¿г - Ы1 + 0(£2 ^ ,

в в} г в \ в'

0

1 £ 1 ■ 1 [ [ [ ауЛиЛг

в .} У 7 и2 + у2г2

£0£

у = вп, и = вС, г = вС

1/£ 1 1/£ 1 [ [ [ в3

1 1 1

в }} } в2С2 + в4п2С2 101

1 , 1

П=-Л=-уг

Лу¿СЛг

у2СЧ2 + в2

11.

£0

Таким образом, 211 = г1 + г2 = —1п2 —+ 0(в21пв). Отсюда 11 = —1п2—+

2 в в ~

0(в21п в) и, соответственно, 1 1 1

п 1

4 в в

1 1 1

у¿г

о о о в2 + х2у2г2 4 в в в }} } 1 + С2у2г2 0 0 0 0 0 0

dxdydг п 1 ^ 2 1 + 2

- 1 + 0(в2 Ь в).

Заметим, что абсолютные величины всех остальных интегралов, соответству-

1 1 1

ющих слагаемым суммы (2), можно оценить сверху интегралом М § § / £у<^хХ2у12Уг2,

000 £ х у у

где постоянная М не зависит от в. Поэтому для оценки точности главного члена

1 1 1

асимптотики достаточно найти асимптотику интеграла / / / £у^хх<2у/2Уу2.

Итак,

000

111 111

[ [ [ гdxdydг 1 [ [ [ dxdydг

в2 + х2у2г2 2 в2 + х2у2г

0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 11 ^ dxdydг

0£

1 1 £

dxdydг

—2 | /у2ъ <2 -

+ 77

1 £ £ 1 [ [ [ dxdydг

в2 + х2у2г в2 + х2у2г 2 в2 + х2у2г

0 0 0 0 0 0

131 - 32 + 1 3з

где

1 1 1

31

0£

dxdydг

в2 + х2у2г

1 1 Ы(1 + х^

х2у2

dxdy

вв х = - ,у = -

и ы

1 1

(:1п(и2у2 + в2) - 1п(и2У2)^)ЛиЛю = -12 (у1п(ю2 + в2) - в 1п(в2(ю2 + 1))-

2в ю \ 2 11 -2(1 - в) +--(агС^--aгctgу^Лу--^ (1пи + 1пю)

1 1

1п и + 1п у) ЛиЛю

п 11п1 + 1(п + 2 - 21п2 - 4

в в в V 2

аг^ у

\ 1 п

Лу) +21п-- 1 - - + 0(в)

1

£

г

г

1

1

2

в

у

1 1 £ 111

dxdydz г , 1 f f f d£dydz

J2 = о , о.о.. = [x = = -

£2 + x2y2z £jjj 1+ ^2y2z}

0 0 0 0 0 0

1 £ £ 111

J = ¡¡j^, = [x *y = £П] = ¡¡¡тШ = 1 + O(£).

0 0 0 0 0 0 Складывая интегралы, получаем

1 111

J= n-1-ln1-+1- (П + 1 - ln2 - 2 arc^dv + d£dyJz ) - 1 - - + O£).

2 £ £ £\ 4 v 1 + £ y z ) 8 v ;

Данная оценка позволяет заключить, что 1 1 1

f (x,y, z)dxdydz п 1 2 1 гл{1 1

f », 0).п £ + o( 1 4).

7 7 7 е2 + x2y2z2 4 е"~ е' \е~"е,

000

Заключение

Как замечено А. М. Ильиным в работе [5], уже в трёхмерном случае возникают значительные трудности, когда знаменатель подынтегральной функции стремится к нулю на пересекающихся многообразиях различной размерности. Построенная здесь асимптотика является примером такого вида сингулярных интегралов.

Остаётся открытым вопрос, например, об асимптотике интеграла // X У), кош

гда неотрицательная функция и(х,у^) обращается в ноль на трёх пересекающихся кривых. Однако интерес представляют и случаи, когда предельный знаменатель имеет критические точки более сложного вида, классификация которых есть, например, в [6; 7].

Автор благодарит А. М. Ильина за постановку целого направления исследований.

Список литературы

1. Федорюк, М. В. Асимптотика, интегралы и ряды / М. В. Федорюк. — М. : Наука, 1987. — 544 с.

2. Риекстыньш, Э. Я. Асимптотические разложения интегралов / Э. Я. Риек-стыньш. — Рига : Зинатне, 1974. — Т. 1. — 392 с.; Т. 2. — 464 с.

3. Риекстыньш, Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. Т. 3 / Э. Я. Риекстыньш. — Рига : Зинатне, 1981. — 370 с.

4. Ильин, А. М. Асимптотические методы в анализе / А. М. Ильин, А. Р. Данилин. — М. : Физматлит, 2009. — 248 с.

5. Ильин, А. М. Асимптотика двумерных интегралов, сингулярно зависящих от малого параметра / А. М. Ильин, А. А. Ершов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2009. — Т. 15, № 3. — С. 116-126.

6. Арнольд, В. И. Теория катастроф / В. И. Арнольд. — 2-е изд., доп. — М. : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1983. — 80 с.

7. Брекер, Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брекер, Л. Ландер. — М. : Платон, 1997. — 208 с.

Поступила в редакцию 11.11.2014 После переработки 10.02.2016

Сведения об авторе

Ершов Александр Анатольевич, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры вычислительной математики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 1. P. 35-42.

ASYMPTOTICS OF THREE-DIMENSIONAL INTEGRALS SINGULARLY DEPENDING ON A SMALL PARAMETER

A. A. Ershov

Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia [email protected]

Asymptotics of some three-dimensional integrals singularly depending on a small parameter is constructed. The integrand denominator of the considered integrals is a sum of a small parameter and nonnegative function vanishing on three not intersecting surfaces. Such form integrals diverge as a small parameter tends to zero. The method of singularities subtraction and the circle method are applied.

Keywords: asymptotic expansion, small parameter, integral, singularities subtraction method, circle method.

References

1. Fedoryuk M.V. Asimptotika, integraly i ryady [Asymptotics, integrals and series]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 544 p. (In Russ.).

2. Riekstynsh E.Ya. Asimptoticheskiye razlozheniya integralov [Asymptotic expansions of integrals]. Riga, Zinatne Publ., 1974. Vol. 1. 392 p.; Vol. 2. 464 p. (In Russ.).

3. Riekstynsh E.Ya. Asimptoticheskiye razlozheniya integralov [Asymptotic expansions of integrals]. Riga, Zinatne Publ., 1981. Vol. 3. 370 p. (In Russ.).

4. Il'in A.M., Danilin A.R. Asimptoticheskiye metody v analize [Asymptotic methods in analysis]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 248 p. (In Russ.).

5. Il'in A.M., Ershov A.A. Asymptotics of two-dimensional integrals dependind singularly on a small parameter. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2010, vol. 268, suppl. 1, pp. 131-142.

6. Arnold V.I. Teoriya katastrof [Catastrophe theory]. Moscow, Izdatel'stvo Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta Publ., 1983. 80 p. (In Russ.).

7. Brocker Th., Lander L. Differentiable Germs and Catastrophes. Cambridge University Press, 1975. 188 p.

Article received 11.11.2014 Corrections received 10.02.2016