CC BY
28
Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 2. С. 59-67.
УДК 517.928.4
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ
М. И. Русанова
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия [email protected]
Найдена равномерная асимптотика решения начальной задачи для уравнения е2м' = —и2 + е/(ж), сингулярно зависящего от малого параметра е. Уравнения такого вида являются уже хорошо изученными, но данное уравнение представляет собой неисследованный случай поведения правой части. Методом еогласования построено трёхмас-штабное асимптотическое разложение решения, проведено его обоснование методом верхнего и нижнего решения.
Ключевые слова: асимптотическое 'разложение, малый параметр, начальная задача, метод согласования, промежуточное разложение, уравнение Риккати.
Введение
В 1952 г. академиком А. Н. Тихоновым в работе [1] была рассмотрена сингулярная задача вида
Г еи' = f (х,и,е), х > 0, I и(0) = А,
в которой рассматривалось поведение решения и(х,е) при е ^ 0. В области определения на функцию f (х, и, е) налагалось ограничение (х, и, 0) = 0, т. е. f ~ С ■ и при х ^ 0. Особенностью данной задачи является то, что для её решения не существует асимптотического разложения вида
и(х,е) = ^екик(х), е ^ 0, к
равномерного для всех х Е [0, М], М > 0. Асимптотическое разложение решения данной задачи можно выписать лишь в виде двухмасштабного разложения, если использовать метод согласования [2], либо в виде более сложного ряда
и(х,е) = ^екик(х,е), е ^ 0, к
с зависимостью самих асимптотических коэффициентов от малого параметра, если использовать метод введения погранслоя [3].
Позднее академик А. М. Ильин методом согласования рассмотрел более сложный случай [4, гл. 8] с уравнением вида еи' = f (х,и,е), где f ~ х — и2 при х ^ 0. (Отметим, что в случае, когда f ~ х + и2 при х ^ 0, происходит так называемый «дифференциальный взрыв» и область существования непродолжаемого решения сокращается до размеров порядка е.) Начиная с этого случая в структуре асимптотического разложения появляется промежуточный слой между внешним и внутренним асимптотическими разложениями, т. е. разложение становится трёх-масштабным. Возникает закономерный вопрос, не появится ли четырёх- и более
масштабное разложение при дальнейшем вырождении функции f (х,м, е) в правой части? Однако ответ пока неизвестен.
В работе О. Ю. Хачая [5] изучена асимптотика решения начальной задачи Коши с уравнением ем' = f (ж,и), где f (ж,и) ~ х — мк, к > 2 — произвольное натуральное число. В ней доказано, что при любых таких к решение задачи имеет трёхмасштаб-ную структуру.
А. М. Ильин и С. Ф. Долбеева в работе [6] исследовали поведение решения задачи Коши в случае, когда правая часть f (х, м, е) специального вида обращается в ноль на двух пересекающихся кривых, например, когда f (х, м, е) = (х — м)2(х — 2м)2.
В работе Ю. А. Крутовой [7] рассмотрен случай, когда правая часть уравнения f (х,м,е) ~ х2 — м2 при х ^ 0. Кажется более-менее ясным то, что в случае f (х, м, е) ~ хк — м2 при х ^ 0 и к > 2 асимптотическое разложение принципиальным образом не меняется. Поэтому в данной работе мы рассмотрим «предельный» случай, когда f (х,м,е) ~ —м2 при х ^ 0. Для упрощения вычислений мы будем исследовать начальную задачу Коши в следующей формулировке:
/ е2м' = —м2 + еf (х), (1)
\м(0,е) = 1, (±)
где f (х) > 0 при х ^ 0, f € Сте[0, Из устойчивости по Ляпунову следует суще-
ствование непрерывного решения рассматриваемой задачи на [0, Построенное
асимптотическое разложение будет иметь ту же структуру асимптотики, что и в случае более общей правой части, имеющей заданное поведение вблизи нуля, однако в данной работе асимптотические коэффициенты будут построены в явном виде.
Отметим, что рассматриваемое уравнение представляет собой так называемое уравнение Риккати. Оно является одним из наиболее интересных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнение Риккати встречается в различных областях математики (например, в алгебраической геометрии и в теории конформных отображений) и физики. К нему, в частности, сводится стационарное уравнение Шрёдингера (см., например, [8]). Оно также нередко возникает в прикладных математических задачах [9, введение].
1. Внешнее разложение
Будем строить асимптотическое разложение решения в виде формального ряда и по степеням малого параметра е:
те
и = Е е1/2+3к/2«к (х). к=0
Подставляя этот ряд в наше уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем: е : 0 = —м0 + f(х), е5/2 : м0 = —2м0м1, е4 : = —— 2м0м2,
Из первого уравнения следует, что м0(х) = , выберем м0(х) = \/70х).
(На самом деле наш выбор определяется здесь знаком начального значения м(0, е).)
Из остальных уравнений легко последовательно найти все асимптотические коэффициенты. Например,
f '(х)
и1(х) = —
4f (х)
() f ''(х) 5 (Г(х)\2
и2(х) = — — 3тП7Ш ит.д.
Поскольку f (х) > 0, то делить на f (х) можно. Однако очевидно, что начальное условие и(0, е) = 1 не выполняется даже асимптотически, поэтому вблизи точки х = 0 требуется дополнительное внутреннее асимптотическое разложение.
2. Внутреннее разложение
Для построения внутреннего разложения введём «внутреннюю» переменную £ = х/е2. Обозначим за ь(£,е) = и(е2£,е). В результате такой замены мы получим следующую краевую задачу:
| = —ь2(£) + еf (е2£), £> 0, (2)
ь(0, е) = 1.
Внутреннее разложение будем искать в виде формального ряда
те
V = £ е-7ь- (£).
3=0
Для нахождения его коэффициентов подставим его в уравнение (2) и приравняем члены при одинаковых степенях е, используя разложение в ряд Тейлора f (е2£) =
V е2к £к к! £ .
к=0
При подстановке ряда V в начальное условие получим
ьо(0)+ еы(0)+ е2Ь2(0) + ■■■ = 1,
откуда получаем следующие начальные условия:
Ьо(0) = 1, Ь1(0) = 0, Ь2(0) = 0,...
Таким образом, коэффициенты внутреннего асимптотического разложения могут определяться из следующих начальных задач:
ео Л ь0 = —
е ' I Ьо(0) = 1,
е1 Л ь1 = —2ьоЬ1 + f(0),
е ' I Ы(0) = 0,
2 Г ь2 = —2ьоЬ2 — V2,
е Ь2(0) = 0,
Отсюда можно последовательно найти
Ьо(£ )= 1
) = е+ 1 -
з V к+1)2 «2(£ ) = - (? + ^ + 2? - £ -1 - 1
9(е + 1)45 " " е+1
и другие асимптотические коэффициенты внутреннего разложения.
3. Промежуточное разложение
Введём новую переменную п = е-3/2х и функцию ад(п,е) = и(е3/2ж,е). После такой замены получим следующее уравнение на функцию ад:
е1/2 ^ = -ад2 + е/(е1/2п). (3)
ап
Будем искать промежуточное асимптотическое разложение в виде формального ряда
те
Ж = £ е7/2ад. (п). (4)
7=0
^ /(к) (0)
Также разложим в ряд Тейлора функцию
/ (е3/2п) = у пк.
к!
к=0
Подставим данные ряды в уравнение (3):
е1/2(ад0 + е1/2ад; + ...) = -(адо + £1/2^ + ... )2 + е/(0) + е3/2/'(0)п + ...,
а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим следующие уравнения:
е0 : 0 = -ад^, отсюда ад0 = 0 и, следовательно, промежуточное разложение, как и внешнее, не удовлетворяет начальному условию; е1/2 : ад>0 = -2ад0ад1 тождественно выполняется; е1 : ^^ = -ад2 - 2ад0ад2 + /(0).
Несмотря на то что последнее уравнение является уравнением Риккати, в данном случае несложно найти его два решения: ад1(п) = \//(0) сШ(^//(0)(п + С1)) или ад1(п) = \//(0) Ш(\//(0)(п + С1)), где С1 — произвольная постоянная. Выберем в качестве функции ад1 первое решение, в противном случае нам не удастся произвести в последующем процесс согласования.
е3/2 : ад>2 = -2ад0ад3 - 2ад1ад2. Отсюда ад2(п) = С2(сШ2(/0)(п + С1) - 1).
е2 : ад3 = - 2ад0ад4 - 2ад1 ад3 - ад|. Следовательно,
^ (п)= С3 + С2ехр(-/0)(п + С1))
3(/) 8Ь2 (/)(п + С)) /0) ■ 8Ь3(УТ(0)(п + С1)).
Продолжая данный процесс, можно последовательно определить все функции ^к(п) из ряда (4). Отметим, что на каждом шаге при определении очередной функции ад>к (п) появляется новая неопределённая постоянная С к, которую можно определить из условия согласования асимптотических рядов, что мы и сделаем в следующем пункте.
1
4. Согласование
В соответствии с условиями согласования для любых /,ш, п должны быть выполнены следующие равенства:
А, ^ А Ш — А А, Л/ А А ТТ — А А ТД/
где через Ап х обозначается оператор взятия частичной суммы ряда, записанной от переменной х и содержащей степени е с показателем до п включительно [2, введение].
Для определения постоянных С достаточно провести согласование только V и Т. Следить за согласованием асимптотических рядов удобно используя специальную таблицу согласования:
*о(0 £(е) £2^(е)
£1/2^ (п) е-1 £е/(0)/з —£ 2е3/2(0)/45
£1/2П-1 £1/2п/(0)/3 £1/2П3/2(0)/45
£ ^(п) -е-2 £е/(0)/з —£ 2е2/2 (0)/15
£П-2С2//(0) —£ С2/3 £П2С2/(0)/15
£ 3/2^3 (п) е-3 0 £2е/2 (0)/15
£3/2п-3с22/-2(0) 0 —£ 3/2пС22/15
Таблица устроена стандартным образом [2, гл. 5]. В верхних и нижних частях клеток стоят равные функции с учётом замены переменой £ — е1/2п. В столбцы этой таблицы записаны разложения коэффициентов внутреннего разложения ) при £ ^ а строки — разложения коэффициентов промежуточного разложения ■(п) при п ^ 0. Таким образом определяются С1 — 0, С2 — — / (0), С3 — /3/2(0) и
т. д. Отсюда _ _
■1(п) — /) еШ(/0) ■ п),
■2(П) — - 2 ,
2(/) 8Ь2(У/(0) ■ п),
■з(п) — /3/2(0) сЬ3(/1 ■ п) .
На этом построение формального асимптотического разложения закончено.
5. Обоснование
Воспользуемся методом нижнего и верхнего решения, описанным, например, в [3]. Обоснование проведём только для двух членов асимптотики, для большего числа его можно провести аналогично. Рассмотрим произвольную начальную задачу
ау
^х — /(х,У) — 0 х € 1 — (х0,х1^ (5)
У(хо) — ^ где / € С(1), и введём два определения.
Определение 1. Функцию V, имеющую свойства:
1) У(0) ^ Уо, ау
2) -= - /(х, V) ^ 0 при х € 1, ах
назовём нижним решением начальной задачи (5).
Определение 2. Функцию У, имеющую свойства:
1) У(0) ^ У0,
аУ _
2) ---/(ж, У) ^ 0 при X е I,
ах
назовём верхним решением начальной задачи (5).
Как известно (см. [10, гл. IV, § 1]), из существования нижнего и верхнего решения следует существование единственного решения у(х) задачи (5), при этом
У (ж) ^ у(х) ^ У (ж) при х е I.
Пусть функция и(х, е) = г(е, е) = е1/2ад(п, е) является точным решением задачи (1) (или в других переменных — задачи (2)). Обозначим через V2 = г0(е) + е^1 (|). В качестве нижнего решения задачи (2) возьмём V = V - Ае5/4. Тогда
1) V(0,е) = г0(0) + ег^0) - Ае5/4 = 1 - Ае5/4 ^ 1 = г(0,е), где г(е,е) — точное решение задачи (2),
2) !§ - V2 + е/(е2е) = -^ + 1 /2(0) ({ +1 - -ЦV е» -
; ае - 1 ; е +1 9 V (е+ ш
- 2/(0) (е + 1 - (ё^) Ае9/4 + А2е5/2 + 0(е3е).
Следовательно, при достаточно большом А > 0 и достаточно малом, выбранном по А, параметре е на отрезке е е [0,е-1/4] функция V действительно является нижним решением задачи (2).
В качестве верхнего решения возьмём функцию V = У2 + Ае5/4. Аналогично при достаточно большом А и достаточно малом е на отрезке е е [0,е-1/4] функция V действительно является верхним решением задачи (2).
Таким образом, мы доказали, что |г(е,е) - Т/21 = 0(е5/4) при е е [0,е-1/4] или, с учётом замены п = е1/2е, при п е [0, е1/4].
Обозначим через Ж2 = е1/2ад1(п) + еи>2(п). В качестве нижнего решения возьмём функцию Ж = Ж2 - Ве5/4/ /(0) ■ п). Тогда при достаточно большом В и затем выбранном по нему достаточно малом е выполняются неравенства:
1) Ж(е1/4,е) = е1/2^(е1/4) + е^(е1/4)--В5/4-=
) "( , ) 1( ) 11 ) вЬ(/0) ■ е1/4)
= е1/2 (е-1/4 + /^е1/4 + 0(е3/4)) + е (е-1/2 + + 0(е1/2)) -Ве5/4
- ,_ Ве-^ V ^ Це1/4, е),
/) ■ е1/4 + 0(е3/4) -с=в-1/4 1 ' ь
2) е1/2+ ^2 - е/(е1/2п) = -В/)^^^ ■ е^ + е2 +
+ 2/(0)Ве9/4 + 2^^ + 0(е2п) ^ 0 при п ^ е1/4.
Следовательно, при п е [е1/4,е 5/4] или, что то же самое, при х е [е7/4,е1/4] функция Ж является нижним решением задачи (1) с учётом замены переменных. Совершенно аналогично можно доказать, что
Ж = ^2 + Ве5/4/ вЬ(Л//(0) ■ п)
является верхним решением задачи (1) на отрезке х е [е7/4,е1/4].
На оставшемся участке х е [е1/4, в качестве нижнего решения возьмём
и = и0(х) - С ■ е5/8. Тогда при достаточно большом параметре С, а затем выбранном по нему достаточно малом е будут выполняться неравенства:
1) =(е1/4, е) — ио(е1/4) - С ■ е5/8 — е1/2(/0) + О(е1/4)) - С ■ е5/8 ^ Т(е-5/4, е) — е1/2\/Ж + О(ехр(-е-5/4)) ^ и(е1/4,е),
2) е20= + Т2 - е/(х) — -2С/я) ■ е9/8 + С2е5/4 +
/ '(х)
, , „ ~ , ._:е5/4 ^ 0 при доста-
°х - - ' у - '
точно малом е и не слишком большом х (в зависимости от функции / (х)). Иначе
говоря, второе неравенство выполняется на промежутке х € [е1/4, ^[/](е)], где ^ —
некоторый оператор, причём функция ^[/](е) ^ при е ^ 0.
Аналогично можно построить верхнее решение вида = — и0 (х) + С ■ е5/8.
Таким образом, нами доказана следующая теорема.
Теорема 1. Решение начальной задачи (1) существует и удовлетворяет следующему асимптотическому равенству:
' ^о(£) + е^(£) + О(е5/4) при х € [0,е7/4],
/ ч £ ^0
и(х,е) — <
5/4
е1/2и1(п) + еи2(п) + О -, - при х € [е7/4,е1/4],
/(0) ■ п)/
к е1/2ио(х) + О(е5/8) при х € [е1/4, ^[/](е)],
х
где £ — ; п
х
^3/2 ;
^о(£) —
£ + 1'
(£) / (0) (р + -, 1 Мп) — у/т ■ п),
■2(п) — -
/(0)
«ь2^Л/7(0) ■ п)
ио(х) — л/ / (х).
Автор благодарит А. А. Ершова за постановку задачи и полезные обсуждения работы.
1
Список литературы
1. Тихонов, А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных / А. Н. Тихонов // Мат. сб. — 1952. — Т. 31 (73), № 3. — С. 575-586.
2. Ильин, А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин. — М. : Наука, 1989. — 336 с.
3. Васильева, А. Б. Контрастные структуры в сингулярно возмущённых задачах / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефёдов. // Фундамент. и приклад. математика. — 1998. — Т. 4, № 3. — С. 799-851.
4. Ильин, А. М. Асимптотические методы в анализе / А. М. Ильин, А. Р. Данилин. — М. : Физматлит, 2009. — 248 с.
5. Хачай, О. Ю. Асимптотическое разложение решения начальной задачи для сингулярно возмущённого обыкновенного дифференциального уравнения / О. Ю. Хачай // Дифференц. уравнения. — 2008. — Т. 44, № 2. — С. 270-272.
6. Ильин, А. М. Асимптотика решения дифференциального уравнения с малым параметром в случае двух решений предельного уравнения / А. М. Ильин, С. Ф. Дол-беева // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2006. — Т. 12, № 1. — С. 98—108.
7. Крутова, Ю. А. Асимптотика решения одной нелинейной задачи Коши // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 1. — C. 43-51.
8. Цапенко, Н. Е. Уравнение Риккати и волновые процессы / Н. Е. Цапенко. — М. : Изд-во Моск. гос. горного ун-та, 2008. — 244 с.
9. Егоров, А. И. Уравнения Риккати / А. И. Егоров. — М. : Физматлит, 2001. — 320 с. 10. Чаплыгин, С. А. Новый метод приближённого интегрирования дифференциальных уравнений / С. А. Чаплыгин. — М. : Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1950. — 102 с.
Поступила в 'редакцию 01.05.2016 После переработки 12.06.2016
Сведения об авторе
Русанова Мария Игоревна, студентка математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 2. P. 59-67.
ASYMPTOTICS OF SOLUTION OF THE RICCATI EQUATION M.I. Rusanova
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia [email protected]
Uniform asymptotics is found for a solution of the initial value problem to the equation e2u' = — u2 + ef (x), singularly depending on a small parameter e. Equations of this type are already well studied, but this equation represents an unexplored case of the right-hand side behavior. By the method of asymptotics matching the three-scale asymptotic expansion for a solution is constructed and is justificated by the method of upper and lower solutions.
Keywords: asymptotic expansion, small parameter, initial value problem, asymptotics matching method, intermediate expansion, Riccati equation.
References
1. Tikhonov A.N. Sistemy differentsial'nykh uravneniy, soderzhashchikh malye parametry pri proizvodnykh [Systems of differential equations containing small parameters at derivatives]. Matematicheskiy sbornik [Sbornik: Mathematics], 1952, vol. 31 (73), no. 3, pp. 575-586. (In Russ.).
2. Il'in A.M. Matching of asymptotic expansions of solutions of boundary value problems, transl. Math. Monogr. 102, AMS, Providence, RI, 1992. 279 p.
3. Vasil'eva A.B., Butuzov V.F., Nefedov N.N. Kontrastnye struktury v singulyarno vozmushchyonnykh zadachakh [Contrast structures in singularly perturbed problems]. Fundamental'naya i prikladnaya matematika [Fundamental and applied mathematics], 1998, vol. 4, no. 3, pp. 799-851. (In Russ.).
4. Il'in A.M., Danilin A.R. Asimptoticheskie metody v analize [Asymptotic methods in analysis]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 248 p. (In Russ.).
5. Khachay O.Yu. Asymptotic expansion of the solution of the initial value problem for a singularly perturbed ordinary differential equation. Differential equations, 2008, vol. 44, no. 2, pp. 282-285.
6. Il'in A.M., Dolbeeva S.F. Asymptotics of the solution to a differential equation with a small parameter in the case of two limit solutions. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2006, vol. 253, suppl. 1, pp. 105-116.
7. Krutova Yu.A. Asimptotika resheniya odnoy nelineynoy zadachi Koshi [Asymptotics of the solution of a nonlinear Cauchy problem]. Chelyabinskiy fiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk physical and mathematical journal], 2016, vol. 1, iss. 1, pp. 43-51. (In Russ.).
8. Tsapenko N.E. Uravnenie Rikkati i volnovye protsessy [The Riccati equation and wave processes]. Moscow, Lomonosov Moscow State University Publ., 2008. 244 p. (In Russ.).
9. Egorov A.I. Uravneniya Rikkati [Riccati equations]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2001. 320 p. (In Russ.).
10. Chaplygin S.A. Novyy metod priblizhyonnogo integrirovaniya differentsial'nykh uravneniy [New method of approximate integration of differential equations]. Moscow, 1950. 102 p.
Accepted article received 01.05.2016 Corrections received 12.06.2016
