CC BY
12
Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 1. С. 43-51.
УДК 517.9
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ
ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ
Ю. А. Крутова
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия julia_74rus@mail.ru
Найдена равномерная асимптотика решения начальной задачи для уравнения ем' = ж2 — м2 +е/(ж), сингулярно зависящего от малого параметра е. Уравнения такого вида являются уже хорошо изученными, но данное уравнение представляет собой неисследованный случай поведения. Методом согласования построено трёхмасштабное асимптотическое разложение решения, проведено его обоснование методом верхнего и нижнего решений.
Ключевые слова: асимптотическое 'разложение, малый параметр, начальная задача, метод согласования, промежуточное разложение.
Введение
В 1948 г. академиком А. Н. Тихоновым в работе [1] была впервые рассмотрена сингулярная задача вида
Г ем' = f (х, м, е), I м(0) = А,
для которой изучено поведение решения м(х,е) при е ^ 0. В области определения на функцию f (х,м,е) налагалось ограничение (х,м, 0) = 0, т. е. f ~ С ■ м при х ^ 0. Случай, когда f = 0(1) при х ^ 0, является тривиальным.
Позднее академик А. М. Ильин методом согласования [2] рассмотрел более сложный случай [3, гл. 8] с уравнением вида ем' = f (х,м,е), где f ~ х — и2 при х ^ 0. Начиная с этого случая в структуре асимптотического разложения появляется промежуточный слой между внешним и внутренним асимптотическими разложениями. Отметим, что в случае, когда f ~ х + м2 при х ^ 0, происходит так называемый «дифференциальный взрыв» и область существования непродолжае-мого решения сокращается до размеров порядка е.
В работе М. И. Русановой [4] построена формальная асимптотика решения задачи Коши в вырожденном случае для уравнения вида ем' = —и2 + еf (х). О. Ю. Ха-чай в работе [5] изучил асимптотику решения начальной задачи Коши с уравнением ем' = f (х, м), где f (х, м) ~ х — мк, к > 2 — произвольное натуральное число.
А. М. Ильин и С. Ф. Долбеева [6] исследовали поведение решения задачи Коши в случае, когда ветви многозначной функции, являющейся решением предельного уравнения, пересекаются. На самом деле правая часть f (х,м,е) в данной работе также имеет много нулевых производных в нуле, например, функция вида f (х, м, е) = (х — м)2(х — 2м)2.
В настоящей работе будет рассмотрен неисследованный ранее случай, когда f (х, м, е) ~ х2 — м2 при х ^ 0. Для упрощения вычислений мы будем исследовать
начальную задачу Коши в следующей формулировке:
ем' = ж2 — и2 + е/(ж),
м(0,е) = 1, ^ у
где /(ж) > 0 при ж ^ 0, /(0) = 1, / € Сте[0, Из устойчивости по Ляпунову
следует существование непрерывного решения рассматриваемой задачи на [0, Построенное асимптотическое разложение будет иметь ту же структуру асимптотики, что и в случае более общей правой части /(х, м, е), имеющей заданное поведение вблизи нуля, однако здесь асимптотические коэффициенты будут построены в явном виде в отличие от предыдущих работ, кроме работы [4].
1. Внешнее разложение
Будем строить асимптотическое разложение решения в виде формального ряда
те
и по степеням малого параметра е: и = ^ ек мк (ж). Подставляя этот ряд в наше
к=0
уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем: е0 : 0 = ж2 — и2, е1 : м0 = — 2м0м1 + /(ж), е2 : м1 = — 2м0м2 — м2,
к—1
ек : м'к—1 = — 2м0мк — ^ м,Uk—j, ... ,=1
Из первого уравнения следует, что м0 = ±ж, выберем м0 = ж. (На самом деле наш выбор определяется здесь знаком начального значения м(0,е)). Из остальных уравнений легко последовательно найти все асимптотические коэффициенты. Например,
/ (ж) — 1 4/(ж) — /2 (ж) — 2ж/'(ж) — 3
м1(ж) = —2ж—, м2(ж) =-- и т. д.
По индукции нетрудно показать, что мк ~ ж1-2к при ж ^ 0 либо некоторые мк имеют меньшие особенности при ж ^ 0 (например, при /(0) = 1 или при 4/(0) —/2(0) — 2ж/'(0) = 3). Тем не менее очевидно, что начальное условие м(0, е) = 1 не выполняется даже асимптотически, поэтому вблизи точки ж = 0 требуется дополнительное внутреннее асимптотическое разложение. Кроме того, поскольку коэффициенты внешнего разложения в общем случае имеют особенности порядка мк ~ ж1-2к, то при ж < 0(е1/2) ряд и может перестать быть асимптотическим вследствие нарушения условия екмк = о(ек—1мк—1).
2. Внутреннее разложение
Для построения внутреннего разложения введём «внутреннюю» переменную £ = ж/е. Обозначим г>(£,е) = м(е£,е). В результате такой замены мы получим следующую краевую задачу:
| = е2£2 — V2 + е/<е£), (2)
■и(0, е) = 1.
те
Внутреннее разложение будем искать в виде формального ряда V = ^ е-7 V, (£). Для
,=0
нахождения его коэффициентов подставим его в уравнение (2) и приравняем члены
при одинаковых степенях е, предварительно разложив в ряд Тейлора функцию
/ (е£) = £ ек ^
к=0
При подстановке V в начальное условие имеем v0(0) + еv1(0) + е2v2(0) + • • • = 1. Отсюда получаем следующие начальные условия: v0(0) = 1, v1(0) = 0, v2(0) = 0... Таким образом, коэффициенты внутреннего асимптотического разложения могут определяться из следующих начальных задач: е0 . ) ^ = —Vo
vo(0) = 1, 1. j vi = —2voVl + /(0),
е ^ Vl(0) = 0,
е2 Г V2 = С2 — 2VoV2 — v2 + /'(0)С, е : I V2(0) = 0,
к—1 /(к—1) (0) ек .) 4 = —2v0vk — ^ vj- + (^ — 1°, Ск—1,
Vk (0) = 0, -
Отсюда можно последовательно найти
^(С) = стг, ^(С) = ПГ (с+ 1 — ),
V2 (£)= (—45 / 2(0) + 5 )С3 + (—15 / 2(0) + )С2 + (—15 / 2(0)+^ —115 )С+ +А/(0)- Ш + 1 + (_ /М + +
+ 45/ () 12+30 + 1 5 + 12 307 (С + 1)2 + 9 (С + 1)3 и другие асимптотические коэффициенты внутреннего разложения.
Отметим, что коэффициенты внутреннего разложения Vk (С) ~ С2к—1 при £ ^ поэтому при С > 0(е—1/2) или ж > 0(е1/2) ряд V может перестать быть асимптотическим.
Таким образом, при ж = 0(е1/2) и внешнее, и внутреннее разложение в общем случае являются заведомо неверными. Для устранения этой проблемы мы построим промежуточное асимптотическое разложение.
3. Промежуточное разложение
Введём новую переменную п = е-1/2ж и функцию и(п,е) = м(е1/2ж,е). После такой замены получим следующее уравнение на функцию и:
е1/2 ^ = еп2 — и2 + е/(е1/2п). (3)
ап
Будем искать промежуточное асимптотическое разложение в виде формального
те
ряда Ш = е1/2 ^ е7/2и- (п). Также разложим в ряд Тейлора функцию /(е1/2п) = 7=0
те ,/ (к)(0)
ек/2 —— пк. Подставим данные ряды в уравнение (3)
к=0
е1/2(е1/2 ^0 + еи' + ...) = еп2 — (е1/2и0 + еи + ... )2 + е/(0) + е3/2/'(0)п + ...
а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим следующие уравнения.
Во-первых, е1 : и>0 = п2 — и2 + f (0). Данное уравнение относится к разрешимым уравнениям Риккати и имеет явное решение в специальных функциях. Однако, поскольку для упрощения вычислений мы положили f (0) = 1, то его общее решение ещё больше упрощается и имеет следующий вид:
е
ио(п) = П или ио(п) = П--
—п2
п >
Со — / е-42 ^ о
где С0 — произвольная постоянная.
Второе уравнение — при е3/2 : и^ = — 2иои>1 + f'(0)п. Это уже линейное уравнение, имеющее решение
(>(0)(1 еп2ег£2(п) — ^ пег£(п) — 2 е-п2) + С^е-п2 ( \ 4 у2 л/п п / /
иДп) =--при Со = 0
ег£ (п)
п * п
/ Г 2 Г т0(тЫт \ —2 Г адо(тЫт
и ил(п) = ( С + е 0 /(0)М 1е 0 при Со = 0,
о
где С1 — произвольная постоянная.
/ f "(0)
Далее при е2 : и>2 = — 2иои2 — и^ +---— п . Его решением является функция
^2 (п)
п 4
1 (£ — А'Ч/^М^е- —
ег£2(п)\./ ег£2(£) о
4
— 2/(0)^тет2ег£2(т■ С1е—42 — С^е-42 + 1 /ег£4(£)/'(0)£2)^ + С^е-п2 при Со = 0 о
п * п
( [ 21 -шо(т)йт ( 0 ) \ —2! ^о(т)<1т
и и2(п)= (С2 + е 0 (^^¿2 — и2(*))¿Ле 0 при Со = 0.
о
е(к+1)/2 : ик = —2иоик — ]Т и3ик—+ пк ■ ^^. ... '
Как будет показано далее, Со = 0, тогда ик ~ п—1—к при п ^ 0. Поэтому зона действия ряда Ш не может быть больше, чем е ^ х ^ 1. Отметим ещё, что при решении этих уравнений на каждом шаге появляется новая неопределённая постоянная, которую можно определить из условия согласования асимптотических рядов, что мы и сделаем.
4. Согласование
В соответствии с условиями согласования для любых /,ш, п должны быть выполнены равенства А^Ат,пШ = Ат,пА^V, Ат,пАп,хи = Ап,хАт,пШ, где через Ап,х
обозначается оператор взятия частичной суммы ряда, записанной от переменной х и содержащей степени е с показателем до п включительно.
Для определения постоянных С достаточно провести согласование только рядов V и Ш. Следить за согласованием асимптотических рядов удобно, используя специальную таблицу согласования (табл. 1).
Таблица 1
Таблица согласования V и Ш
Ш\У Ы?) — £2^2(?)
Г1 £?/3 0 £2А £3 £ 45?
£1/2 Ш0(п) £1/2П-1 £1/2П/3 0 £1/2_8 п3 £ 45 п
-г2 £/3 0 £2( 30 + ^ )?2
£Ш1(п) £ П—2 _£ СП £ 12 0 £( - ^ + ^ + ^ )п2
Г3 0 0 £2( ^ -125 )с
£3/2ад2(п) £3 / 2 П 3 £3/2 С^Пп-2 £3/2 С2П £ 12 £3/2 (^ - 125)п
Таблица устроена стандартным образом [2, гл. 5]. В верхних и нижних частях
клеток стоят равные функции с учётом замены переменой £ = е1/2п. В столбцы
этой таблицы записаны разложения коэффициентов внутреннего разложения )
при £ ^ а строки — разложения коэффициентов промежуточного разложения
4
и^(п) при п ^ 0. Таким образом определяются Со = 0, С1 = —, С2 = 0 и т. д. На
п
этом построение формального асимптотического разложения закончено.
Отметим ещё, что ряды Ш и и также являются согласованными и для них можно построить свою таблицу согласования (табл. 2).
Таблица 2
Таблица согласования и и Ш
и £1/2адо(п) £Ю1(П) £3/2ад2(п)
£1/2П 0 0
зд(х) X 0 0
0 £ /'(0) £ 2 £3/2п / ''4(0)
£«1(х) 0 £ /'(0) £ 2 £Х / 4(0)
0 0 /'2(0)+/''(0) £3/2 8п £
£«2(х) 0 0 /'2(0)+/''(0) £3/2 8п £
В столбцы табл. 2 записаны разложения
- 2 /'(0) _ 2 и0(п) = П + 0(е п ), п ^ и1(п) = —---+ 0(е п ), п ^ и т. д.,
а строки — разложения
/'(0) /''(0) /'''(0)
и0(х) = х, и1(х) = + х + 12 х2 + 0(х3), х ^ 0 и т. д.
5. Обоснование
Воспользуемся методом «нижнего и верхнего решений», описанным, например, в [7]. Обоснование проведём только для двух членов асимптотики, для большего числа его можно провести аналогично. Рассмотрим произвольную начальную задачу
¿У
¿X = f (х,у) = 0, х € I = (хо,х1^ (4)
У(хо) = ^ где f € С(I), и введём два определения.
Определение 1. Функцию V, имеющую свойства:
1) V(0) ^ уо, ¿V
2) -= — f (х, V) ^ 0 при х € I, — ах
назовём нижним решением начальной задачи (4).
Определение 2. Функцию V, имеющую свойства:
1) V(0) ^ Уо,
¿V —
2) —--f (х, V) ^ 0 при х € I, —
ах
назовём верхним решением начальной задачи (4).
Как известно [8, гл. IV, § 1], из существования нижнего и верхнего решений следует существование единственного решения у(х) задачи (4), удовлетворяющего неравенству
V(х) ^ у(х) ^ V(х) при х € I.
Пусть функция и(х, е) = г(=,е) = е1/2и(п,е) является точным решением задачи (1). Обозначим через V = го(=) + е^1(^). В качестве нижнего решения задачи (2) возьмём V = V — Ае5/4. Тогда
1) V(0,е) = го(0) + ег^0) — Ае5/4 = 1 — Ае5/4 ^ 1 = г(0,е), где г(=,е) — точное решение задачи (2);
2) § — е2=2 — V2 + еf(е,£) = — 9е2=2 + о(е2=2) — 2А^—1е5/4 + о(А=-
¿С 9
Следовательно, при достаточно большом А на отрезке = € [0,е—1/4] функция V действительно является нижним решением задачи (2).
В качестве верхнего решения возьмём функцию V = +Ае5/4. Аналогично, при достаточно большом А на отрезке = € [0,е—1/4] функция V действительно является верхним решением задачи (2).
Таким образом, мы доказали, что |г(=,е) — У2| = 0(е5/4) при = € [0,е—1/4]. Обозначим через Ж3 = е1/2ио(п) + еи1(п) + е3/2и2(п). В качестве нижнего решения возьмём функцию Ж = Ж3 — В ■ е5/4. Тогда при достаточно большом В:
1) Ж(е1/4,е) = е1/2ио(е1/4) + еи1 (е1/4)+ е3/2и2(е1/4) — В ■ е5/4 =
= е1/2 ■ (е-1/4 + 1 е1/4) + е ■ (е-1/2 — 1) + е3/2 ■ е-3/4 + 0(е5/4) — Ве5/4 ^
^ V|?=е-1/4 ^ и(е1/4,е);
2) е1/2¿Ж — еп2 + Ж2 — еf (е1/2п) = 0(п3е5/2) — 2Впе7/4 ^ 0.
¿п
Поэтому функция Ж при п € [е1/4,е-1/4] является нижним решением задачи (1) с учётом замены переменных.
Аналогично при достаточно большом В функция Ж = Ж3 + Ве5/4 является верхним решением задачи (1) при п € [е1/4,е-1/4].
На оставшемся участке х € [е1/4, в качестве нижнего решения возьмём
и = ио(х) + еи1(х) — С ■ е5/4. Тогда при достаточно большом С:
1) U |x=ei/4 = uo(e1/4) + eui(x) - C • e5/4 ^ W |n=e-i/4 ^ u(e1/4, e);
2) e^ - x2 + U2 - e/ (x) =
dx
/' " 4 140 " 4 1 '"xn f (x) -
x
-2xCe5/4 , Л/(x) - I)2 - /(x) - I + - /(x) - l Ce9/4 + C2e5/2 ^ q
\ 4x2 2x2 2x ) x ^
(если f(х) и f'(х) не растут слишком быстро). Следовательно, и действительно является нижним решением задачи (1) при х € [е1/4, +то).
Аналогично при достаточно большом С функция и = ио(х) + еи1(х) + С ■ е5/4 является верхним решением при х € [е1/4, +то).
Отметим, что из существования верхнего и нижнего решений вытекает существование решения задачи. Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 1. Существует решение задачи (1) из класса [0, то), такое, что при достаточно малом е > 0 верны следующие равенства:
u
u(x,e) = vo( -) + evW -) + O(e5/4), x G [Q, e3/4), (x,e) = e1/2wo(—) + ewi(—) + e3/2W2(—) + O(e5/4), x G [e3/4,e1/4), u(x,e) = u0(x)+ eu1(x) + O(e5/4), x G [e1/4, +то).
Заключение
Мы построили следующее трёхмасштабное разложение:
i "o(T) + ev!(f) + e2V2(C) + ... при x < e1/2, u(x,e) = < e1/2w0(n) + ew1(n) + e3/2w2(n) + ... при e ^ x ^ 1, У u0(x) + eu1(x) + e2u2(x) + ... при e1/2 ^ x,
где
"oifl = 7+1• "1^ = /3)(t + 1 - И
e + г ^ з v*' (f + i)2
(f) = (- 45f2<(»+5)t3+(- ilf2(Q)+¿44)«■+(- £f2<Q)+^ - £)T+
+ 45' <' 12 + 3Q + V 5 + 12 ,30/<f + l)2 + 9 (f + l)3'
/П / t \ 2 4 \
-П2 (l f '(0)et2( J 2dr) dt + e-n2 e ' / \ Vo v0 > -KJ
wo(n) = П--n-, w1(n)
n > ^ и n 2
7o - J e-t2dt (j е-т2dr)
(n / ft \ 2
/srf^t) (-/'2<q) у теТ2<*v>dT Iе-т2-
- 2/'(0) f тет2erf2(т)dr • 4e-t2 - 16e-t2 + 1 et2erf4(t)///(Q)t2 | dt | e-n2 j n n2 2
. . /(x) - 1 . . 4/(x) - /2(x) - 2x//(x) - 3 uo(x) = x, u1<x) = ^-, u2<x) = -^^-^^-.
2x 8x3
Также проведено обоснование первых членов асимптотики.
Список литературы
1. Тихонов, А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А. Н. Тихонов // Мат. сб. - 1948. - Т. 22, № 2. - С. 193-204.
2. Ильин, А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин. — М. : Наука, 1989. — 336 с.
3. Ильин, А. М. Асимптотические методы в анализе / А. М. Ильин, А. Р. Данилин. — М. : Физматлит, 2009. — 248 с.
4. Русанова, М. И. Асимптотика решения уравнения Риккати / М. И. Русанова // Материалы второй научно-практической конференции Научного общества учащихся Малой академии Челябинского государственного университета / отв. за вып. С. Н. Замоздра. — Челябинск : Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2013. — С. 7-9.
5. Хачай, О. Ю. Асимптотическое разложение решения начальной задачи для сингулярно возмущённого обыкновенного дифференциального уравнения / О. Ю. Хачай // Дифференц. уравнения. — 2008. — Т. 44, № 2. — С. 270-272.
6. Ильин, А. М. Асимптотика решения дифференциального уравнения с малым параметром в случае двух решений предельного уравнения / А. М. Ильин, С. Ф. Дол-беева // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2006. — Т. 12, № 1. — С. 98—108.
7. Васильева, А. Б. Контрастные структуры в сингулярно возмущённых задачах / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефёдов // Фундамент. и приклад. математика. — 1998. — Т. 4, вып. 3. — C. 799-851.
8. Чаплыгин, С. А. Новый метод приближённого интегрирования дифференциальных уравнений / С. А. Чаплыгин. — М.-Л. : Гостехиздат, 1950. — 103 с.
Поступила в 'редакцию 14-08.2014 После переработки 03.02.2016
Сведения об авторе
Крутова Юлия Александровна, студентка математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: julia_74rus@mail.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 1. P. 43-51.
ASYMPTOTICS OF THE SOLUTION OF A NONLINEAR CAUCHY PROBLEM
Ju. A. Krutova
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia julia_74rus@mail.ru
The solution uniform asymptotics of the initial value problem for equation eu' = x2 — u2 + ef (x) singularly depending on small parameter e is considered. The equation contains the unexplored case of the right-hand side, though equations of this type are well studied. The three-scale solution asymptotic expansion is constructed by the matching method, justificated by the upper and lower solutions method.
Keywords: asymptotic expansion, small parameter, initial value problem, matching method, intermediate expansion.
References
1. Tikhonov A.N. O zavisimosti resheniy differentsial'nykh uravneniy ot malogo paramétra [About dependence of differential equations solutions on a small parameter]. Matematicheskiy sbornik [Sbornik Mathematics], 1948, vol. 22, no. 2, pp. 193-204. (In Russ.).
2. Il'in A.M. Matching of asymptotic expansions of solutions of boundary value problems. Translations of Mathematical Monographs. 102. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). ix+281 p. (1992).
3. Il'in A.M., Danilin A.R. Asimptoticheskiye metody v analize [Asymptotic methods in analysis]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 248 p. (In Russ.).
4. Rusanova M.I. Asimptotika resheniya uravneniya Rikkati [Asymptotics of Riccati equation solution]. Materialy vtoroy nauchno-prakticheskoy konferentsii Nauchnogo obshchestva uchashchikhsya Maloy akademii Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of The Second Scientific Conference of Small Academy Students of Chelyabinsk State University]. Chelyabinsk, Izdatel'stvo Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta Publ., 2013. Pp. 7-9. (In Russ.).
5. Khachay O.Yu. Asymptotic expansion of the solution of the initial value problem for a singularly perturbed ordinary differential equation. Differential Equations, 2008, vol. 44, no. 2, pp. 282-285.
6. Il'in A.M., Dolbeeva S.F. Asimptotika resheniya differentsial'nogo uravneniya s malym parametrom v sluchaye dvukh resheniy predel'nogo uravneniya [Solution asymptotics of a differential equation with a small parameter in the case of two solutions for a limit equation]. Trudy Instituta Matematiki i mekhaniki UrO RAN [Proceedings of Institute of Mathematics and Mechanics of UB RAS], 2006, vol. 12, no. 1, pp. 98-108. (In Russ.).
7. Vasil'yeva A.B., Butuzov V.F., Nefedov N.N. Kontrastnye struktury v singularno vozmushchyonnykh zadachakh [Contrast structures in singularly perturbed problems]. Fundamental'naya i prikladnaya matematika [Fundamental and Applied Mathematics], 1998, vol. 4, iss. 3, pp. 799-851. (In Russ.).
8. Chaplygin S.A. Novyy metod priblizhyonnogo integrirovaniya differentsial'nykh uravneniy [A new method of approximate integration of differential equations]. Moscow, Leningrad, Gostekhizdat Publ., 1950. 103 p. (In Russ.).
Article received 14.08.2014 Corrections received 03.02.2016
