Обобщённое уравнение Эйри Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 2 (1), с. 130-133

УДК 517.58

ОБОБЩЁННОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙРИ © 2011 г. Т.М. Митрякова, М.А. Солдатов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 25.10.2010

Для обобщённого уравнения Эйри отыскиваются фундаментальные системы решений в форме интегралов Лапласа и в форме степенных рядов, находятся характеристики роста решений.

Ключевые слова: фундаментальные системы, определители Вронского и Вандермонда, интеграл Лапласа, степенные ряды, целые функции, порядок и тип роста.

1. Решения в форме интегралов Лапласа

Обобщённым уравнением Эйри называем дифференциальное уравнение

(г) - т^(z) = 0,

(к = 1,2,...,и),

где

Ьк = 1к + 1к-1

2лу

!Л1=и: / =

При / е Ьк функция у(/) = ехр

п + 1

у(0 = ехр

{ \т+1

П + 1

2я(к-1) ( 2я(к-1) Л

Ак(г) =е

п+1

2в

п+1

(1.3)

(1.1)

где 2 - комплексное переменное, п > 2 . Всякое его нетривиальное решение w(г) является целой трансцендентной функцией. При п = 2 это есть уравнение Эйри.

Используя интеграл Лапласа по произвольным путям интегрирования Б, обычным образом (см., например, [1]) найдём, что уравнение (1.1) имеет решения

Ак,п (2) = Ак (2) = | ехр(- /п+1/(п +1)) в* Ж

(1.2)

фу =------,0< л <да^- луч аг§t = фу, исхо-

п + 1

дящий из начала (у = 0,1,...,п); /у - тот же луч, но идущий из бесконечности в точку Л = 0.

будет:

, так что интегралы (1.2)

сходятся для любых г (равномерно на любом компакте) и определяют целые функции. Произведём замену переменной интегрирования:

/ = ^е!фк-1. Поскольку Л е Ьк , то ^ е £1. Получим

Числа \ = ехр{/2лу/(п +1)} (V = 0,1,...,п) суть все значения

п+Ц.

Каждая из функций

(1.2) отлична от тождественного нуля и, более того, растёт при г ^ да быстрее любой целой функции экспоненциального типа (э.т.). Это следует из общих свойств интегралов Лапласа (см. [1]): раствор угла с границей Ьк меньше % и внутри его существует направление, по которому функция у(/) растёт быстрее любой целой

функции э.т., именно, при ах§,Л = (фк-1 +фк V2 будет

У(Л) = ехр(/|”+7(п +1)).

Решением уравнения (1.1) является также функция Ап+1(г), получаемая из интегралов

(1.2) при к = п +1. Однако она просто выражается через решения (1.2): А1(г) +... + Ап(г) +

+ А„+1( г) = 0.

Докажем, что п решений (1.2) линейно независимы. Для этого покажем, что их определитель Вронского А(г) (он постоянен), вычисленный в точке г = 0 , отличен от нуля. Непосредственное дифференцирование интегралов

(1.2) с учётом (1.3) приводит при г = 0 к результату

4^(0) = (ехр(/Л к-1 ))'+1 А^ф), (1.4)

А^(0) = |ехр(- /п+1/(п +1))/' Л (я = 0,1,...,п -1).

Ь1

Поэтому

V

/

Ь

к

и

Д(0) = 4(0)A(0)...A1n-1)(0}^(Л1,...,Ли) , где D(Ab...,An) - определитель Вандермон-да с элементами AV=A1(v = 1, 2,...,n; A1 = = ехр(2га/(n +1))), он отличен от нуля, поскольку все элементы A,!,...,A,n различны. Интеграл A^z) представим в виде суммы двух интегралов: по лучам /1 и /0 ; для t е I1 имеем t = 1, где ^ е /0, именно 0 < £, < +да . После

этого найдём

A{s)(0) = (1+ A1+1 )+j”exp(-^n+V(n + 1));Ч, (1.5) 0

откуда A(s)(0) Ф 0, так как 1+ A1+1 Ф 0 (s = 0,1,..., n — 1). Итак, Д(0) Ф 0, что и доказывает фундаментальность системы решений (1.2).

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Решения (1.2) уравнения (1.1)

1) растут при z ^ да быстрее любой целой функции экспоненциального типа;

2) образуют фундаментальную систему решений.

Замечание 1.1. Решением уравнения (1.1) с n = 2 является, в частности, функция Ai( z) = A2 2( z)/2ra - это функция Эйри (Airy)

первого рода.

Функция Эйри первого рода при вещественных значениях z = x имеет представления

г'да ( 3 ^

dt =

1 /да f

Ai(z) =-------- J exp

2—i.

f t3

---------+ zt

З

V у

і +да f ( З 1 f u

= 2— J exp

+ zu

V V

du =

1 +да

=rJ

cos

З

уу

Л

■ + zu

du.

J1 = J exp

N1

= J exp

С З л t

------+ xt

З

V

dt =

Л

( P

------+ xt

З

N 2 V у

dt = J

2,

где N1 = { = гег2—3 }, N2 = { = ге1—2 } , 0 < г < да. Для этого рассматривается равный нулю интеграл от подынтегральной в (1.7) функции по замкнутому контуру Гй, состоящему из отрезков

N1,R = [0, Яег'2%3], N2,Я = [0,Яе2] и дуги окружности Ск = < / = Яегф, — < ф <

2 3

Отсюда при Я и получим равенство (1.7), предварительно убедившись, что интеграл по

дуге С я ведёт себя как 0| —— | - для этого ис-

R2

пользуется неравенство Жордана sin 9> 29/%, %

0 < 9 < — (см., например, [2, с.75]). Укажем другой способ, не требующий при оценке интеграла по Cr применения этого неравенства. Именно, в интегралах (1.7) заменим x на x + iy ; полученные интегралы обозначим J1 (у) и J2 (у). Они равномерно сходятся при у > 0 по признаку Абеля и тогда определяют непрерывные функции, так что J = lim J (у) , J2 = lim J2 (у).

У^+0 у ^+0

А равенство J1 (у) = J2 (у) при у > 0 будет следовать из того, что

e

-у+(x+iy)t

dt

- Ry— —

< Re 2 0, R ^ да.

6

2. Решения в форме степенных рядов. Рост решений

Сначала рассмотрим уравнение Эйри: п = 2 в (1.1). Отыскивая решения в форме степенных рядов с неопределёнными коэффициентами с :

w(z) = £ cnz* ,

(2.1)

(1.6)

n=0

можно найти следующие решения ([3, с. 205])

Первое из них получается формально, если путь интегрирования Ь2 заменить мнимой осью. Чтобы убедиться в законности этого, достаточно доказать равенство

w

да ( n \

_Зп

-1

(z) = 1 + £ z3n П Ok - І)3k

n=1 Vk=1

n

ч-l

3n+1

z

n=1

П 3k (3k +1)

V k=1

(2.2)

(1.7)

с начальными условиями w■^ (0) = 1, w^ (0) = 0 и

^2(0) = о, w2 (0) = 1.

Найдём их характеристики роста: порядок р и тип с - по формулам

З

с

R

-гда

-да

О

р = ІІШ п 1п п 1п -—

п С

(сер)р = 1ІШ пр

п ^да

При отыскании этих пределов применим правила

1іш ^ = 1ІШ Ып+1 Ып

уп+1

п+1

п^-да а

Аі( г)

1

2л/л

ехр

4к

ехр

3

/ 3 ^

) - 2 2 — г 2

3

V

3 А

г 2 , а^ г

)

|аг§ г < л, л

; г ^да.

3

Аі(г) =

2

33 Г

N-1

w1(г) -

^ 1 33 Г

N-1

W2( г),

Из (2.6) найдём

ґ п

С4п+Х = СХ

\

-1

(2.3)

П(4к - 2 + Х)(4к -1 + Х)(4к + Х) ,

V к=1 у

А, = 0, 1, 2. (2.7)

Коэффициенты с0 , с1, с2 играют роль произвольных постоянных. Полагая поочерёдно один из них равным 1, а двух других - нулю, получим три решения

(2.4)

V —1

Wv (г) =

справедливые при выполнении соответствующих условий (первое из этих равенств выражает теорему Штольца).

Непосредственные вычисления приводят к результату: функции (2.2) имеют порядок роста р = 3/2 и тип с = 2/3. Учитывая структуру рядов (2.2) (в них нет членов с одинаковыми степенями г), заключаем, что любая функция Эйри

w( г) = С^(г) + С2 W2( г),

С + |С2| * 0, (2.5)

имеет порядок р = 3/2 и тип с = 2/3. Это согласуется с асимптотикой функций Эйри первого и второго рода (см. [4, с. 175])

^- !)

+

да ( п

_4n+v—1

А

-1

+ £г4п+^ П(4к + V-3)(4к + v-2)(4к + v-1) ,

п=1 V к=1 у

v = 1,2,3, (2.8)

с начальными данными 1)(0) = 5,^;

5^ = 1, 5^ = 0 при V Ф ' ; ' = 1, 2, 3. По тем

же формулам (2.3), используя правила (2.4), найдём порядок и тип функций (2.8): р = 4/3, с = 3/4. В силу структуры коэффициентов рядов (2.8) ясно, что и любое ненулевое решение ~№(г) = С^ (г) + С2У>2 (г) + CзWз (г) уравнения (1.1) с п = 3 имеет порядок 4/3 и тип 3/4.

Произведя аналогичные выкладки (они весьма громоздкие), найдём, что уравнение (1.1) при произвольном п > 2 имеет следующую фундаментальную систему

V-1

Wv (г) =

(V-1)

+Е

(п+1)і^-1

(п+1)і^-1

5=1

Замечание 2.1. Укажем связь функции А/(г) с решениями (2.2). Записав Аг(г) = w(г) в виде (2.5) и сравнив начальные условия Коши в точке г = 0 , найдём С = Аг(0), С2 = Аг'(0) - эти значения можно найти, например, из (1.4), (1.5) с п = 2 - и получим ([3, с. 205])

(V = 1, 2,...,п)

(2.9)

С

5

■ = П[(п+1)к+v — п][(п + 1)к + v — п +1].

где Г(г) - гамма-функция Эйлера.

Рассмотрим уравнение (1.1) ещё при п = 3. Отыскивая его решения в форме (2.1), для определения коэффициентов сп получим систему рекуррентных уравнений

(п + 3)(п + 2)(п + 1)си+3 - сп-1 = 0,

п = 1,2,..., (2.6)

а С3 = 0 - отсюда следует, что С3+4к = 0, к = 0,1, 2,....

(п+1)'+У-1 к=1

...[(п + 1)к + V - 2] [(п + 1)к + V -1] Линейная независимость решений (2.9) следует из того, что их определитель Вронского в точке г = 0 отличен от нуля (он равен единице), или прямо из асимптотики этих решений

^-1

при г ^ 0, именно: (г)

Обычным образом, с помощью (2.4), можно найти, что все решения (2.9) (и тогда всякое ненулевое решение уравнения (1.1)) имеют порядок роста р = (п + 1)/п и тип с = п /(п +1).

Полученный результат можно резюмировать в виде следующей теоремы.

Теорема 2.1. 1) Уравнение (1.1) при произвольном п > 2 имеет фундаментальную систему решений в форме степенных рядов (2.9).

1

V

1

V

V

2) Функции (2.9) и любое нетривиальное решение уравнения (1.1) имеют порядок роста Р = (п +1)/ п и тип с = п /(п +1).

Отметим, что решения (1.2) рассматривались в [5, с.70]. Представляет интерес найти их асимптотическое поведение при г ^ да по разным направлениям и связь с решениями (2.9).

Работа подготовлена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 годы (проект НК-13 П-13).

Список литературы

1. Солдатов М.А. О свойствах решений линейных дифференциально-разностных уравнений // Си-бир. матем. журн. 1967. Т. 8, № 3. С. 669-679.

2. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978. 376 с.

3. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989. 478 с.

4. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.-Л.: Физматгиз, 1963. 359 с.

5. Солдатов М.А., Митрякова Т.М. Обобщение функций Эйри // Тезисы докладов Международ. конф. по компл. анализу и смеж. вопр., посв. памяти А.Ф. Леонтьева. Н. Новгород, 1997. С. 70.

GENERALIZED AIRY EQUATION

T.M. Mitryakova, M.A. Soldatov

For the «generalized Airy equation» (1.1), the fundamental systems of solutions are obtained in the form of Laplace’s integrals and in the form of power series. The characteristics of solution growth are found.

Keywords: fundamental systems, Wronskian and Vandermonde determinants, Laplace's integral, power series, entire functions, order and type of growth.