Прохождение локального резонанса линейной диспергирующей волной Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОХОЖДЕНИЕ ЛОКАЛЬНОГО РЕЗОНАНСА ЛИНЕЙНОЙ ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ ВОЛНОЙ

Рассматривается линейное неоднородное уравнение Шрёдингера с быстро осциллирующей правой частью. Строится асимптотика решения по малому параметру при наличии в задаче локального резонанса. Структура асимптотики представляется в виде ВКБ-анзатцев и оказывается различной для разных областей независимых переменных. Полное асимптотическое разложение решения получается с использованием метода согласования.

Ключевые слова: малый параметр, асимптотика, ВКБ-приближение, резонанс.

Введение

При описании осциллирующих волновых явлений важную роль играют резонансы. Имеется огромное число публикаций, посвященных анализу различных аспектов резонансных эффектов в теории волн. Математические модели, связанные с описанием локальных резонансов, имеют свою специфику, и в литературе они обсуждаются не часто. В этом направлении известен ряд работ, посвященных в основном исследованию нелинейных уравнений [7-12]. Асимптотический анализ такого типа задач существенно использует метод согласования (сращивания) [1], который в точной математической формулировке до сих пор остается мало доступным для специалистов. Возможно, по этой причине исследование локального резонанса в диспергирующей волне до сих пор не проведено даже для линейного случая. Данная работа восполняет этот пробел.

Как известно, уравнение Шрёдингера дает простейшую модель для описания диспергирующей волны. В данной работе рассматривается линейное неоднородное уравнение Шрёдингера

1еиТ + е2и^ + д(€, г)и = /(£, г) ехр(^(£, г)/е), (1)

где £ € К1, т > 0, 0 < е ^ 1. При малых е правая часть представляет собой быстро осциллирующую функцию с медленно меняющейся амплитудой /(£,т). Исходные данные считаются гладкими функциями в некоторой замкнутой области: д(£,т), /(£,т), V(£,т) € Сте(Й), П € К2. Работа посвящена построению асимптотического разложения решения и(£, т; е) при е ^ 0 равномерного в области П. Структура исходного уравнения указывает на возможность использования метода ВКБ [2-3]. Однако постановка задачи содержит одну особенность, связанную с заданной фазовой функцией, которая приводит к непригодности обычного ВКБ-анзатца.

Предполагается, что функция

(2)

обращается в нуль на гладкой линии Ь :

Ь = {(£,т) € П: £(£,т) = 0}. (3)

Под гладкостью линии понимается наличие градиента, отличного от нуля:

= 0 при £(£, т) = 0. (4)

Основная цель — выявление в структуре асимптотики специфики, обязанной наличию резонансной линии Ь. Поэтому уравнение (1) не дополняется никакими начальными или краевыми условиями; для него будет строиться частное асимптотическое решение. Построение быстроосциллирующих решений для однородного уравнения с соответствующими начальными данными хорошо известно [3]. Исходя из тех же соображений считают, что линия Ь имеет единственную ветвь, так что делит область на две части: П = П+ и П- иЬ, в каждой из которых функция £(£,т) является знакоопределенной: здпб'(£,т) = ±1, (£, т) € П±. Более того, область считается достаточно узкой окрестностью линии Ь, так что в П для уравнения эйконала разрешима задача Коши с данными на резонансной линии:

дту + (д?у)2 = 3(£, т), у и= V(£ т) к . (5)

Функция у(£, т), называемая в дальнейшем собственной фазой, играет важную роль. Эту функцию следует идентифицировать. Надо иметь в виду, что

с учетом = 0 заданная фазовая функция V(£, т) удовлетворяет уравнению эйконала лишь на резонансной линии, поэтому у(£, т) ф V(£, т) как определенное решение задачи (5), для которого выполнены условия теоремы существования [5]:

1) исходные данные согласованы, так что производные связаны соотношением

У(у - ^ и=°; (6)

2) начальная линия Ь не касается характеристик задачи (5)-(6):

(д?£ - 2^дт£) ^=0. (7)

1. Пример

Для прояснения структуры асимптотики анализируется задача, когда правая часть не зависит от £ и функция д(£,т) = с, с Є К, так что частное решение удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

гєит + си = ехр(г(т — 1)2/2є).

Решение записывается в виде интеграла:

т

и(т, є) = — ехр(гст/є) / ехр(г((( — і)2 — 2с()/2еЫ(.

гє ]

0

Для определенной таким образом функции структура асимптотики при £ ^ 0 резко отличается для разных т. Критическим значением является точка т = 1 + с; в интерпретации исходной задачи это будет резонансная прямая т = 1 + с, € К.

1. Разложение до линии резонанса описывается в терминах элементарных функций. Асимптотика извлекается из интеграла путем интегрирования по частям:

и(т, є) = —

ехр(і(т — 1)2/2є) + ехр(і(2ст + 1)/2є)

т — 1 — с

1 + с

+ 0(є/(т — 1 — с)3),є ^ 0.

Как видим, решение представляется в виде быстро осциллирующих функций и имеет порядок 0(1) при £ ^ 0 на конечном расстоянии до резонансной линии. При т ^ 1 + с — 0 коэффициенты разложения имеют особенности. Поэтому такая асимптотика пригодна вне узкой окрестности этой линии 1 + с — т ^ -^/е.

2. Разложение за линией резонанса извлекается из представления

и(т, є)

1

^є

(— 1—с)/^є

ехр(і(2ст — 2с — с2 )/2є)

ехр(іп2/2)^п—

ехр(г^2/2)^п — J ехр(г^2/2)^п

(т—1 —с)/^є -

где п = (С — 1 — с)/\^Є- Первый интеграл представляет собой СО = л/2л ехр(іп/4), а для остальных асимптотика строится тем же способом интегрирования по частям. Таким образом, при т ^ 1 + с + 0 получается разложение

и(т, є)

Сі

Н/є

ехр(іст/є) —

ехр(і(т — 1)2/2є) ехр(і(2ст + 1)/2є)

т 1 с

с +1

+0(є/(т —1—с)3),

є ^ 0, где С1 = С0 ехр(—і(2с + с2)/є).

Решение при т — 1 — с ^ у/є в главном имеет порядок 0(є—1/2).

3. В области вблизи линии резонанса асимптотику получим другим способом. Введем в рассмотрение новую (растянутую) переменную о = (т — 1 — с)/^/є. Тогда решение записывается в виде

и(о, т, є) = ехр(і(2ст — 2с — с2)/2є)

П/є

(—1—с)/'/є

ехр(гп2/2)^п —

ехр(гп2/2)^п

Теперь главный член асимптотики

— ОО

— ОО

а

— со

и(о,т,є) = — іє 1/2ехр(і(2ст — 2с — с2)/2є)и0(о) — е р(і( ст +—)/ є) + О(є), є ^ 0

1+с

идентифицируется интегралом

а

и0(а) = J ехр(*п2/2}^п,

— ГО

который не выражается через элементарные функции. Рассмотрим поведение функции и0 (а) в зависимости от а. Она стремится к нулю на одной бесконечности:

и0(а) = —ехр(га2/2) + 0(а—3), а ^ —то га

и стабилизируется к константе на другой бесконечности:

и0(а) = СО +---ехр(га2/2) + 0(а—3), а ^ +то

га

Выводы:

1) вне окрестности резонанса внешние разложения отличаются на слагаемое С

-—р ехр(гст/е). Разложения 1 и 2 непригодны вблизи резонанса благодаря осо-

гу е

бенностям коэффициентов;

2) вблизи линии резонанса асимптотика записывается с участием быстрой переменной а. Коэффициенты определяются через специальную функцию и0(а);

3) внутреннее разложение при а ^ ±то согласовано с внешним при т — 1 — с ^ ±0 и переходит одно в другое в промежуточных областях, где л/е т — 1 — с 1.

2. Внешнее разложение (до резонансной линии)

Внешнее асимптотическое разложение (вне окрестности резонансной линии) строится в виде ВКБ-анзатца с заданной быстрой фазой:

«(£, т;е) = А(С, т,е) ехр(ш (£, т)/е). (8)

Для амплитуды строится асимптотический ряд по степеням малого параметра:

ГО

-.П

А(£,т,е) = ^ £П Ап (£,т ),е ^ 0- (9)

Ап

п=0

Поскольку для амплитуды уравнение имеет вид

—А(Ут + )2 — т)) + ге(Ат + 2^Ае + А^е) + £2а55 = /(^ т),

то для коэффициентов Ап получаются рекуррентные формулы, которые с учетом обозначения Б(£, т) = ит + (^)2 — ^(£, т) записываются в виде

А0(е,т) = — БТТ-)/(^,т^ Ап(£,т) = Б(! ) Оп(С,т),п > 1 Б (?,т) Б (?,т)

Правые части здесь определяются соотношениями

С: = г [5т + 2^5? + ] А0,

Сп = г[5т + 2^5? + ] Ап—1 + 5|Ап—2, п > 2.

Теорема 1. 1. Коэффициенты асимптотического решения (8) являются гладкими функциями всюду, кроме резонансной линии Ь : Ап(£,т) € Сте(П/Ь).

2. Асимптотика коэффициентов вблизи резонансной линии описывается формулами:

Ап(£,т) = [Б (£,т)]—2п—1 Ап(£,т), где функции Ап(£,т) € Сте(П) являются гладкими всюду, включая линию Ь.

Пояснение. Если (Бт + 2^Б^)/(£,т) |ь= 0, то Ап(£,т) |^= 0 и особенности коэффициентов имеют порядок 0(Б—2п—:) при Б ^ 0.

Доказательство: На первом шаге

1 / / 1

А1 = гБ [дт + 2^ ^ ] Б = — Б3 (Бт + 2^ Б) + гБ2 [^? + дт +2^д]/

В данном случае А: = —/(£, т)(Бт + 2^Б^) — гБ[^ + дт + 2^]/(£, т). На общем шаге п доказательство по индукции.

Следствие. Формальное асимптотическое решение (8)-(9) пригодно всюду вне окрестности резонансной линии при | Б(£,т) |^^

Доказательство следует из определения асимптотичности.

3. Собственная фаза и ее свойства

При построении асимптотического решения вблизи резонансной линии главную роль будет играть собственная фаза <^(£,т). Структура асимптотики интересующего нас решения определяется разностью фаз Я(£,т) = <^(£,т) — V(£,т). Задачей настоящей главы является описание этой разности в терминах функции Б(£,т), которая характеризует расстояние до резонансной линии.

Лемма 1. Если выполнено условие (7), то задача Коши (5) с условием согласования (6) имеет единственное гладкое решение <^(£,т) в достаточно узкой окрестности линии Ь.

Доказательство. Как известно, в случае нелинейных уравнений первого порядка для выделения единственного решения требуется задание первых производных на начальной линии, согласованных с уравнением и начальной функцией. Если первые производные на линии Ь определить соотношением (6), то уравнение (5) выполняется в силу свойств (2), (3). Согласование с начальной функцией состоит в сохранении начального тождества (^ — V)|^ = 0 при дифференцировании его вдоль линии Ь с использованием заданных производных. Такое свойство, очевидно, выполняется в силу (6). Поскольку условия согласования выполнены, то в соответствии с [5, с. 270] утверждение леммы доказано. □

Лемма 2. Пусть <^(£,т) — гладкое решение задачи (5)-(7). Тогда вблизи резонансной линии Ь разность фаз Д(£, т) = <^(£, т) — V(£, т) имеет асимптотику

(10)

Доказательство. Поскольку функции <^(£, т), V(С, т) и их производные совпадают на линии Ь, то по формуле Тейлора их разность имеет порядок квадрата расстояния от этой линии. Расстояние можно измерять величиной | Б(С,т) | .

Для формального доказательства этого свойства надо провести подходящую замену переменных и воспользоваться разложением Тейлора. С этой целью удобно использовать параметрическое задание линии Ь в виде

С = £(£),т = т(£),£ € (^1,^2) с К,

§ = * «к.т >,£ = дтБ к.т),

С |в=0= &(*),т |в=0= т0(*),* € (*1,*2)-

Пара функций, задаваемых решением этой задачи С = £(в,£), т = т(в,£) используется для замены переменных в окрестности линии Ь. Заметим, что касательный вектор (С0(£), т0(£)) ортогонален градиенту У Б |^, направленному по нормали. Поэтому с учетом динамических уравнений якобиан преобразования, вычисленный на линии Ь, оказывается ненулевым:

д(в, т)

дсСТГ)

в£ вт

С0 т0

= 0.

Поскольку в силу гладкости всех функций якобиан отличен от нуля в некоторой окрестности линии, то рассматриваемое преобразование обратимо в такой окрестности. Следовательно, в той же окрестности разность фаз можно записать в новых переменных в виде некоторой функции Д(в, £) = Д(С, т). Учтем, что частная производная по в вычисляется через производную в направлении градиента У Б в силу динамических уравнений д5Д(в, £) = дузД(С, т). Поскольку Д(0, £) = 0 и д8Л(0,£) = 0, по формуле Тейлора получаем соотношение

в2 Л в2 Д(М) = 2дв2д(0,*) + 0(в3) = ^д^Д(С,т) к +о(в3),в - 0.

Теперь учтем подобные формулы для функции Б>(в, ^) = Б (С, т). Эта функция на линии Ь обращается в нуль Б(0,£) = 0, для нее имеет место асимптотика

Б(С,т) = Б(в,£) = вд*Б(0,£) + 0(в2) = в | УБ Ц +0(в2),в — 0.

Как видим, в асимптотической формуле для разности фаз можно заменить в — 0 на Б (С, т) — 0 по формуле

в = Б/ |УБ |2 + 0(Б2), Б — 0.

Это приводит для разности фаз к требуемому разложению (10). □

4. Асимптотическое решение в резонансном слое

Вблизи резонансной линии S(С, т) = 0 внешнее разложение непригодно благодаря особенностям коэффициентов Ап(С,т). Поэтому введем дополнительную переменную типа S/^/е. Асимптотическое решение строится в виде ВКБ-анзатца с собственной фазой <^(С, т) и с амплитудой, зависящей от растянутой переменной

а = S (С,т )/V^:

и(Ст, е) = a(a С,т; е) exp(i^(^,т )/е). (11)

В отличие от стандартного метода согласования [1] мы удерживаем в этом анзатце обе медленные переменные С, т. Такой подход напоминает метод многомасштабных разложений и обеспечивает большую простоту в последующих формулах. Для амплитуды a(a, С, т; е) как функции трех переменных получается дифференциальное уравнение

ie1/2[Sr + 2^g Sg ]5СТ a + e[i(5r + 2^g dg + ^gg) + (Sg )2 52 ]a+

+e3/2[2Sgdg + Sgg]a + e2d|a = f (С, т) exp(-i(a2r(C, т)).

Для разности фаз здесь использовано представление ^ — v = a2г(С, т) с функцией г(С, т) = (^ — v)/S2, которая является гладкой в силу леммы 2. Из соображений согласования с внешним решением асимптотическое разложение для амплитуды строится в виде ряда

ГО

a(a,С,т,е) = е-1/2 en/2an(a,С,т), е ^ 0. (12)

n=0

Коэффициенты находятся из рекуррентной системы линейных уравнений

i[Sr + 2^gSg]<9СТa„ = Fn(a, С, т),n = 0,1,...

Правые части определяются через предыдущие приближения:

Fo = f (С,т )exp(—г(а2г(С,т )),Fi = —[i(dr + 2^dg) + (Sg)2^ ]ao,

F = — [i(5r + 2^g dg) + (Sg )252 ]ao — [2Sg da dg + Sgg da ]ai,

= — [i(dT + 2^g dg + ^gg) + (Sg )2dCT ]an-1 — [2Sg da dg + Sgg da ]an-2 — dgara-3-

На каждом шаге решение можно записать через интеграл, например, в таком виде:

а

ara(a, С, т ) = й„(С,т) — *[St + 2^g Sg ]-1 J ^„((,С,т )d(,n = 0,1,... (13)

о

Общее решение содержит произвольную функцию ^(^т), не зависящую от а. Для устранения возникающих произволов дифференциальные уравнения для an(^ т) должны быть дополнены краевыми условиями. Обычно в таких случаях из соображений согласования с внешним асимптотическим решением задаются значения некоторых констант в асимптотике на бесконечности. В нашем случае

можно обойтись заданием структуры. А именно: требуется, чтобы асимптотика на бесконечности содержала быстро осциллирующую экспоненту:

ГО

ап(а,С,т) = ехр(-^2г(£,т))ага-1^а"ка-к(£,т),а ^ -то. (14)

к=0

Здесь для определенности условия ставятся при а ^ —то. Они соответствуют требованию согласования с построенным выше внешним асимптотическим решением в области П-. В принципе, коэффициенты а- к(С,т) можно вычислить на основе внешнего разложения и от внутреннего разложения требовать выполнения асимптотики (14) с вполне определенными значениями а- к(С,т). Однако в рассматриваемой задаче для идентификации ап достаточно задать структуру асимптотики, не задавая конкретные значения а- к (С, т). Более того, задание структуры однозначно определяет решение ап(а, С, т) и значения коэффициентов а- к(С,т). Согласование внутреннего и внешнего разложений в промежуточной области вытекает из единственности [1].

Теорема 2. Пусть исходная фаза V(С, т) такова, что на резонансной линии выполнены условия (4), (7) и

(дт + 2^5д?)Б |^= 0, ду£— V) |^= 0. (15)

Тогда: 1) рекуррентная система уравнений для ап(а, т, С) однозначно разрешима в классе гладких функций с быстро осциллирующей асимптотикой (14) на одной из бесконечностей;

2) коэффициенты ап(а, С,т) в асимптотике на другой бесконечности содержат, слагаемые

ГО

ага(а, С, т) = Р„(а,С,т) + ехр(—га2г)ага-1 ^ а-ка+к(С,т),а ^ +то (16)

к=0

в виде Рп(а, С,т) — полиномов по а степени п с коэффициентами, зависящими от С, т, для п = 0,1,...

Доказательство. Условия теоремы обеспечивают отсутствие нулей в знаменателях получаемых асимптотических формул, что гарантирует гладкость по С, т в окрестности резонансной линии. Чтобы избежать излишних повторений, удобно использовать обозначение Мп для класса гладких функций с асимптотиками типа (14), (16). На исходном шаге правая часть Р0 € М1 при отсутствии полинома в асимптотике на плюс бесконечности. В этом случае для представления коэффициента а0 можно использовать несобственный интеграл

7

ао(а,С,т) = — г/(С,т)[Я + 2^?Б?]-1 ^ ехР(—<

-ГО

Из такого представления асимптотика при а ^ ±то получается интегрированием по частям. Так же, как в примере, на одной бесконечности эта функция быстро осциллирует и стремится к нулю:

ао(а,С,т) = —г[Бт + 2^5]-1/(С,т)ехр(—га2г)[-^ + °(а_3)],а ^ —то.

На другой бесконечности обнаруживается полином нулевой степени по а в виде функции, зависящей от £, т :

разом, а0 Є М0, и это решение единственно, поскольку добавление какого-либо решения однородного уравнения в виде а0(£,т) меняет структуру асимптотики на минус бесконечности и нарушает условие (14).

На следующем шаге п =1 правая часть ^\(а, £,т) принадлежит классу М2 с полиномом нулевой степени в асимптотике на плюс бесконечности. Для таких функций интегралы по неограниченному промежутку расходятся, поэтому для представления коэффициента а1 следует использовать интеграл (13) с конечным нижним пределом. Функция йі(£, т) выбирается из требования сохранения соответствующей структуры асимптотики на минус бесконечности. Возможность такого выбора основана на следующей лемме.

Лемма 3. Пусть / (а) Є СГО(Д) и имеет гладкое асимптотическое разложение

Пояснение. Функции и коэффициенты асимптотики могут зависеть от тех или иных параметров, например, от £, т.

Доказательство. Фактически эта лемма является следствием общего утверждения об интегрируемости асимптотического разложения [4]. Наличие быстрой экспоненты вносит в стандартное доказательство некоторую (непринципиальную) специфику, связанную с использованием операции интегрирования по частям. В случае п = 0 константа вычисляется через сходящийся несобственный ин-

а0(а,С,т) = + 2^5] 1/(£,т) —С— + ехр(-г(а2г))[-^ + 0(а 3)]

а ^ +то, с константой С = \72Пехр(здп(г)гп/4), отличной от нуля. Таким об-

ГО

/(а) = ехр(-га2г)а^^ /±а к,а ^±то.

к=0

Тогда интеграл

о

имеет похожее разложение:

ГО

I(а) = 1± + ехр(-га2г)ага 1 а к, а ^ ±то,

к=0

которое может содержать неосциллирующее слагаемое 1±.

теграл

о

□

Исходя из этой леммы можно понять, что коэффициент а^а, т, £) при подходящем выборе а1 (т, £) имеет в асимптотике на минус бесконечности только осциллирующие слагаемые. В асимптотике на плюс бесконечности интеграл от Р1(а, т, £) дает полином первой степени по а. Осциллирующие слагаемые в асимптотике содержат множители ат, т > 0. Таким образом, а1 € М1. Доказательство теоремы на общем шаге п проводится по индукции. □

Этим заканчивается построение асимптотического решения (11), (12) в резонансном слое.

5. Внешнее разложение за резонансной линией

Ввиду анзатца (11) и полученной асимптотики для амплитуды (16) на выходе из резонансного слоя в асимптотике рассматриваемого решения обнаруживаются осциллирующие слагаемые с разными фазами V(£,т) и <^(£,т). Поэтому для внешнего разложения в соответствующей области П+ берется анзатц в виде суммы

«(£, т, е) = А(£, т, е) ехр(^(£, т)/е) + В(£, т, е) ехр(^(£ т)/е).

Для амплитуды вынужденных колебаний А(£, т, е) асимптотика была вычислена. Для амплитуды собственных колебаний В(£, т, е) получается однородное уравнение

—В[^т + (^)2 — ^(£, т)] + ге[Вг + 2^В^ + В^^^] + е2В^ = 0, (£, т) € П+.

Дополнительные условия ставятся на линии Ь из соображений согласования с той частью внутреннего разложения, которая содержит собственную фазу <^(£, т) :

ГО

В(£,т,е) |£= е_1/2£ еп/2Рп(0,£,т) |£ .

п=0

Здесь Рп(0,£,т) — коэффициенты при нулевой степени а в соответ-

ствующих полиномах. В частности, для главного члена асимптотики Р0(0,£,т) = — г[£т + 2^5^]-^у/2л ехр^п(г)гп/4)/у/2 | г |. Такая структура начальных данных диктует выбор анзатца для амплитуды:

ГО

В(£,т,е) = е-1/2Х; е“/2В„(£,г).

п=0

Дальнейшие построения хорошо известны [3]. Для коэффициентов Вп(£,т) записывается реккурентная система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, которые принято называть уравнениями переноса. Уравнения дополняются начальными условиями

5тВ„ + 2^?дВ„ + В„ = -Р„(£,т),Вп(£,т) |ь= РП(0,£,т) |ь .

Правые части определяются по реккурентным формулам Р0 = 0, = 0,

Рп = *д|Вга_2. Система задач для Вп(£,т) разрешима в классе гладких функций. Этим заканчивается построение формального асимптотического решения в области П. Обоснование асимптотики сводится к доказательству теоремы существования в соответствующей задаче для остатка и приведено в [3].

Список литературы

1. Ильин, А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин. — М. : Наука, 1989. — 336 с.

2. Маслов, В. П. Асимптотические методы и теория возмущений / В. П. Маслов. — М. : Наука, 1988. — 312 с.

3. Маслов, В. П. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики / В. П. Маслов, М. В. Федорюк. — М. : Наука, 1976. — 292 с.

4. Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. / Ф. Олвер. — М. : Наука, 1978.— 376 с.

5. Федорюк, М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М. В. Федорюк. — М. : Наука, 1980. — 352 с.

6. Федорюк, М. В. Асимптотика, интегралы и ряды / М. В. Федорюк. — М. : Наука, 1987.— 544 с.

7. Kevorkian, J. Passage through resonanse for a one-dimensional oscillator with slowly varying frequency / J. Kevorkian // SIAM J. Appl.Math. — 1971. — Vol. 20. — P. 364374.

8. Доброхотов, С. Ю. Нелокальные нелинейные уравнения ветровых волн над неровным дном / С. Ю. Доброхотов, П. Н. Жевандров, В. М. Кузьмина // Приклад. математика и механика. — 1987. — Т. 51, № 5. — С. 798-806.

9. Neu, J. C. Resonantly interacting waves / J. C. Neu // SIAM J. Appl.Math. — 1983. — Vol. 43, № 1. — P. 141-156.

10. Калякин, Л. А. Локальный резонанс в слабонелинейной задаче / Л. А. Каля-кин // Мат. заметки. — 1988. — Т. 44, вып. 5. — С. 697-699.

11. Калякин, Л. А. Метод ВКБ в слабонелинейной задаче с локальным резонансом / Л. А. Калякин // Методы решения задач матфизики : сборник. — Уфа, 1989. — С. 56-69.

12. Улин, В. В. О применении метода согласования асимптотических разложений для задачи Коши с фазовым вырождением в начальных данных / В. В. Улин // Свойства решений дифференц. уравнений : сборник. — Уфа, 1988. — C. 103-114.