Равномерная аппроксимация почти периодических по Степанову функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

© Л.И. Данилов

[email protected]

РАВНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО СТЕПАНОВУ ФУНКЦИЙ

Ключевые слова: почти периодические функции, относительный компакт Бора, равномерная аппроксимация.

Abstract. We study uniform approximation of Stepanov almost periodic functions on relative Bohr compacts.

В первой части работы вводятся обозначения, собраны определения и сформулированы основные утверждения о равномерной аппроксимации на вещественной прямой R почти периодических (п.п.) по Степанову функций. Во второй (основной) части равномерная аппроксимация рассматривается на относительных компактах Бора. В последней части работы содержатся обобщения утверждений из первой части для п.п. по Вейлю функций.

1. Введение

Пусть (U, р) - полное метрическое пространство. Через А обозначается замыкание множества A С U, mes - мера Лебега на R. Функция / : R ^ U называется элементарной, если существуют точки Xj € U и непересекающиеся измеримые по Лебегу множества Tj CR, j € N, такие, что mes R\ (Jj Tj = 0 и /(t) = Xj при t € Tj . Такую функцию обозначим /(•) = = Ylj Xj xj •) (где Xt( •) _ характеристическая функция множества T CR). Используемое обозначение формально некорректно, но никаких линейных операций над элементарными функциями производиться не будет. Функция / : R ^ U измерима, если

для любого £ > 0 существует элементарная функция f£ : R ^ U такая, что

ess sup p(f(t),f£(t)) < £. teR

Совокупность измеримых функций f : R ^ U обозначим через M(R, U) (функции, совпадающие при почти всех (п.в.) t € R, отождествляются). На множестве L^(R,U) С M(R, U) измеримых и в существенном ограниченных функций определим метрику

(f,g) = &s sup p(f(t),g(t)) Vf,g € L^(R,U). teR

Фиксируем точку Xq € U . Пусть при p ^1

f i+1

Mp(R,U) = {f € M(R, U):sup / pp(f(t),Xo)dt< + to}.

SeR Л

На множестве Mp(R, U) для всех l > 0 определяются метрики

/ ч / 1 fS + l \ 1 /Р

Dp l(f,g) = (sup - Pp(f(t),g(t))dtJ , f,g € Mp(R,U).

vSeR l J£ J

Если l\ ^ l, to

< D'fiW-a) < (i + it)1/',o“(/.9) •

Поэтому метрики Dpi , l > 0, эквивалентны и существует предел

Dpp(f,g)= ¿irn^ D{ppl(f,g) = inf D(ppl(f,g), f,g € Mp(R, U).

Положим dPP = dP^{ . Если U = (H, || ■ ||) - банахово пространство ( p(x, у) = ||x—y|| , x,y € H ), то для функций f € Mp(R, H), p ^ 1, определены нормы

*i S—^~i i /

\\f\\p,i = (sup у \\f(t)\\pdt) P,l> 0,

vSeR l JS J

и полунорма

II/llp,oo= lim II/||P)i.

+ CO

Множество T CR назывется относительно плотным., если существует число а > 0 такое, что [£,£ + а] П T ф 0 для всех £ € R. Непрерывная функция / € C(R, U) принадлежит пространству CAP{R.,U) п.п. по Бору функций, если для любого £ > 0 множество чисел Т € R, для которых

sup p(/(t),/(t + T)) <£, ieR

относительно плотно. Число т € R называется {£,Dp\) -почти периодом, функции / € Mp(R, U), £ > 0, если

DipPl(/(•)Л• + Т)) < £.

Функция / € Mp(R, U), p ^ 1, принадлежит пространству Sp(R, U) п.п. по Степанову порядка p функций, если для любого £ > 0 относительно ПЛОТНО множество (£, Dp^)-почти периодов функции / . Функция / € Mp(R, U) , p ^ 1, принадлежит пространству Wp(R, U) п.п. по Вейлю порядка p функций, если для любого £ > 0 существует ЧИСЛО l = l(£, /) >0 такое, что множество (£, Dpi) -почти периодов функции / относительно плотно [1]. Имеем CAP(H,U) с Sp(R,U) C Wp(R,U) (относительно свойств п.п. функций см., например, [1; 2]).

U

р;(х, у) = min {1 ,p(x,y)} Vx,y € U;

(U, p') - полное метрическое пространств о. Для всех /,g из M(R, U) = Mi(R, (U, р')) обозначим

< r\ 1 Г

D\p 1 }(f,g) = sup - p'(f(t),g(t))dt, I > 0,

ieR l Jz

(/,g)= lim /,g); (/,g) = D[p?U,g).

i^ + CO ’

Пусть S(R, U) = Si(R, (U, p')) , W(R, U) = Wi(R, (U, p')) . Справедливы вложения S(R, U) С W(R, U) и Wp(R,U) С W(R, U), p > 1.

Обозначим через (clb U, dist) метрическое пространство непустых замкнутых ограниченных множеств A С U с метрикой Хаусдорфа

dist(A, В) = distp(A, B) = max {sup p(x, B), sup p(x, A)} ,

x€Á x€B

A, В G с lb U ,

где p(x, F) = infyeF p(x, у) - расстояние от точки x G U до непустого множества F С U . Пусть cl U - совокупность непустых замкнутых множеств A С U и distp/ - метрика Хауодорфа на clU, соответствующая метрике p'. Имеем cl U = clb (U,p') . Метрические пространства (clb U, dist) и (cl U, distp/) являются полными. Так как dist ^A, В) = miп[1, dist (A, В)} = distp/(A, В) для всех A,B Gclb U, то вложение (clb U, dist;) С (с 1U, distp/) изометрич-Ho. Пространства S(R, clb U), Sp(R, clb U), p > 1, и W(R, clb U), Wp(R, clb U), P > 1; n-n- no Степанову и п.п. no Вейлю многозначных отображений R Э t ^ F^) G с lb U определяются как соответствующие пространства п.п. функций со значениями в ме-

b U,

S(R,clU) = Si(R, (cl U, distp/)), W(R,clU) = Wi(R, (clU,distp/)). Справедливы вложения

SP(R, сlb U) С Si(R, сlb U) С S(R, сlb U) С S(R, clU)

и

Wp(R, сlb U) С Wi(R,clb U) С W(R, сlb U) С W(R, clU) . Последовательность [tj}jeN С R называется f -возвращающей для функции f G W(R, U), если D(p(f( ■) ,f( ■ + tj)) ^ 0

ПРИ j — • Аналогично определяются /-возвращающие по-

следовательности для функций / из пространств CAP(R.,U), Sp(R,U), S(R, U) и Wp(R, U) (при замене на , D^p ,

и dPP соответствен но). При этом / -возвращающие последовательности не зависят от того, какому именно из рассматри-

/

лежащей (если она принадлежит нескольким из них). Для функций / G W(R, U) (в частности, для функций / G S(R, U)) через /

чисел Л G R таких, что eiXrj — 1 при j — для любой

/-возвращающей последовательности (т,} С R . Если Tj G R, j G N, и eiXrj — 1 при j — для всех Л G Mod/, то последовательность (т, } являете я / -возвращающей для функции / G W(R, U) . В случае банахова пространства U = (H, || ■ ||) мно-/

/ G Wi(R, H).

Если Л j С R - произвольные модули (где индекс j при-

jj

Ai + ■ ■ ■ + Лга для конечного числа модулей Л, , j = 1,... ,и) обозначается наименьший модуль (группа по сложению) в R,

j

S

T С R таких, ч то хт G Si(R, R) .Если T G S(R), то положим ModT = Mod%T .

Для произвольного модуля Л С R обозначим через M ^S(A) множество последовательностей (Tj }jgN непересекающпхсямножеств Tj G S(R) таких, что ModTj С Л и ||Xr,\yN jOlli, 1 — О при N —— .

Лемма 1.1 ([3;4]). Пусть (Tj} G MS(R) и Xj G U,

jG

Y^XjXTj{•) G S(R,U)

j

и

Mod £ xjXTj( •) С £ Tj .

jj

Доказательство следующей теоремы (о равномерной аппроксимации п.п. по Степанову функций) приведено в [4; 5; 6].

/ G S , U

е> 0 существуют последовательность (Tj} G MS(Mod/) и точки Xj G U, j G N, т,акие, чmo p(/(t),Xj) < e для всех t G Tj , j G N

u (/(t) : t G Tj} С U, j GN, - предкомпактные

множества.

Теорема 1.1 используется при доказательстве существования п.п. по Степанову сечений многозначных п.п. по Степанову отображений. Первые результаты о п.п. по Степанову сечениях были получены А.М. Долбиловым и И.Я. Шнейбергом [7] на основе результатов Фришковского [8] (см. также [9]). В работах [4 - 6; 10

- 15] на основе теоремы 1.1 доказывалось существование п.п. по Степанову сечений, удовлетворяющих разнообразным дополнительным условиям. В частности, в [15] в случае компактного метрического пространства (U, р) доказано, что многозначное отображение F : R — с 1Ь U принадлежит пространству Si(R, с lb U)

/j G S , U

j G N, такие, что (j.) }jgN _ предкомпактное семейство в Loo(R, U) и F(t) = (Jj /j(t) при п.в. t G R (при этом для многозначного отображения F G Si(R, сlb U) функции /j G Si(R, U) , j G /j С F

ведены еще две теоремы о п.п. по Степанову сечениях.

Пусть N - множество неубывающих функций [0, + то) Э t —

— n{t) G [0, + то) , для которых n{t) > 0 при t > 0. Для непустого множества A С U обозначим As = (x G U : p(x,A) < ¿} , 5>0.

U, р

ское пространство, F G S(R, clU), g G S(R, U) . Тогда для любой функции п G N существует функция / G S(R, U) такая,

что Mod/ С ModF + Modg; f(t) € F(t) п.в. (почти всюду) u p(/(t),g(t)) ^ p(g(t),F(t)) + il(p(g(t), F(t))) п.в. Если, кроме того, F € SP(R, сlb U) для некоторого p ^ 1, mо / € SP(R, U) .

Теорема 1.2 при n(0) > 0 доказана в [4; 5]. Если п(0) = 0, то /

g при п.в. t € R, для которых g(t) € F(t) .

Теорема 1.3 ([16]). Пусть (U, р) - полное метрическое прост,ранет,во, F € S(R, clU), e > 0; § > 0; n € N; gj € S(R, U), j = 1,... ,n. Предположим, что при п.в. t € R множество точек Xj(t) = gj(t), для которых gj(t) € Fá(t), можно дополнить (если оно состоит из меньшего числа точек) до n точек Xj( t) € F¿( t), j = l,...,n, образующих e -сеть для множества F(t) . Тогда для любого £' > £ + § слу-

/j € S , U j , . . . , n

Modfj С ModF + ЕП=1Моdg^ jt) € F(t) п.в., jt) = gj(t) при п.в. t € {т € R : gj(r) € F(r)} и множество точек fi(t),, fn{t) при п.в. t € R образуem £ -сеть для множества Ft

Частные случаи теоремы 1.3 приводились в [5; 14].

В [17] теорема 1.1 применяется при доказательстве следующей теоремы (являющейся почти периодическим вариантом теоремы Лузина).

Теорема 1.4. Пусть U = (H, || ■ ||) - банахово пространство, f € S(R, H) . Тогда для любого § > 0 существуют множество T € S(R) и функция F € CAP(R,, H) т,акие, что ModT С Modf; ModF С Modf, ||xR\т(-)||iд <§ и f(t) = F(t) при всех t € T (если Mod f ф {0} , то множесmeo T С R можно считать замкнутым).

Теорема 1.4 (в свою очередь) позволяет (для банахова пространства U = (H, || ■ ||)) получить усиленный вариант теоремы

1.1.

Теорема 1.5 ([17]). Пусть и = (Н, || ■ ||) - банахово прост,ранет,во, f € 5(11, Н) . Тогда для любого £ > 0 существуют последовательность {Т]} € М^(Мос!^^; точки х, € и и функции Т, € СЛР(Щ,, Н) , ,] € N, такие, что МоёТ, С С Мос! ^ П^ = Т}(¿) при £ € Т, , j € N , и р(Т,(^, х,) < £ <9ля всеж £ € И и j € N .

В следующем разделе работы теоремы 1.4 и 1.5 переносятся на относительные компакты Бора.

2. Равномерная аппроксимация почти периодических по Степанову функций на относительных компактах Бора

В этом разделе будем предполагать, что и = (Н, || ■ ||) - банахово пространство ( р(х, у) = ||х — уЦ,х,у € Н ) и Л = {Л,},^ - некоторый фиксированный счетный плотный в И модуль (с выбранной нумерацией чисел Л € Л). Пусть СЛРА(И, Н), 5^(1*,, Н), р ^ 1, и £Л(11, Н) - пространства функций ^ из СЛР(И, Н), £р(11,Н) и 5(11,Н) соответственно, для которых Modf С Л. Определим относительный компакт Бора (см., например,

[18, гл. 1]), отвечающий счетному (плотному в И) модулю Л, как пополнение метрического пространства (И, рл), где

Ра{(, П = ^ 2-' |е^« — е^п|, € И

j€N

(метрика рл зависит от нумерации чисел Л € Л, но при разных нумерациях получаются эквивалентные между собой метрики). Полное метрическое пространство (И^ , Ра) является компактным, при этом с вещественной прямой И на (по непрерывности) переносится операция сложения, превращающая относительный компакт Бора в компактную абелеву группу. Пусть - нормированная мера Ха ара на (инвари-

антная относительно сдвигов и взятия противоположных элементов), ^д(И) = 0. Функция f : И ^ Н принадлежит про-СЛР , Н

(R,Pa) Э t ^ f(t) € H равномерно непрерывна и, следовательно, продолжается до непрерывной функции fA на относительный компакт Бора . Если f € CAPa(R, H) , то (см., например, [18])

[ fA(x)d/j,A(x) = lim -1- [ f(t) dt.

J a^+oo 2a J-a

Существует естественное непрерывное инъективное отображение (5Л^, Н),0^) Э f ^ fA в метрическое пространство (М^В , Н), й) измеримых (относительно меры Хаара ) функций Т: RB ^ Н с метрикой

й( Т, Я) = Утт{1, ||Т( х) — Я( х) 11} йц^{х) УТ, Я € М(иВ , Н) ,

ставящее в соответствие функциям f € СЛРл^, Н) их непрерывные продолжения на RB (и продолженное по непрерывности из (£Л^,Н),Ор) в (М^В ,Н), й)). Рассматриваемое отображение также непрерывно из (5^^,Н),ОрР) в Ьр(ИВ , Н)р ^ 1, где Ьр(ИВ , Н) - банахово пространство измеримых функций Т : RB ^ Н , для которых

||ТНьр(н£ ,Ю = ( / |Тх||Рй^(^ /Р < +•

Т?Л

лв

Пространства (М^Д , Н), й) и , Н), р ^ 1, изометричны

соответствующим пространствам п.п. функций Безиковича [18] (см. также [16]), отвечающим счетному плотному в R модулю Л .

Пусть (М([0,1],Н),0?1]) - метрическое пространство измеримых функций ^ [ОД] ^ Н с метрикой Г1

Dm] f,9) = I min{1’||л^ - ||} dt f H).

Лемма 2.1 ([16]). Функция Т € М^Д, Н) тогда и только тогда является образом ^ некоторой функции f из ,Н

(в.£ ,рА) Э х ^ дод] Э г ^ т(х + г)} € (мцод],н),б^)

непрерывна (совпадает при п. в. х € ИД с непрерывной функцией).

Лемма 2.2 ([16]). Функция Т € ЬР(ИВ ,Н), р ^ 1, тогда и только тогда является образом fA некоторой функции f € £^(11,Н) , когда функция

(в£ ,^) Э х ^дод] Э г ^т(х + г)} € ьр([од],н)

непрерывна (совпадает при п. в. х € ИД с непрерывной функцией).

В следующем примере строится функция Т € Ьоо(ИД , Н) С С М(ИВ , Н) такая, что она не совпадает ни с одной из функций ^ € М(11£ , Н),где f € 5Л(11, Н).

£>

сколь угодно большие числа С € И, для которых рл(0,С) < £, то можно выбрать последовательность непересекающихся отрезков [С, , С, + 1 ] С И С ИД , имеющих некоторые непересекающиеся (между собой) открытые (в ИД ) ОКреСТНОСТИ О, Э [С, , С, + 1], ] € N, и таких, что рл(0,С,) ^ 0 при ] ^ (следовательно, [ОД] П О^ 0 для всех j € N). Фиксируем некоторый вектор е € Н : ||е|| = 1, обозначим О = О, и положим

\ / е, если х € О ,

Тх ~ \0 если х €В.£\О •

Тогда Т € Ь00(ИД , Н) и при этом для всех х € ИД из достаточно малых окрестностей (в ИД ) элементов С, € И С ИД имеем

Т(х + г) = е, г € [о, 1], если j € ^, и т(х + г) = о, г € [о, 1],

если j € ^ — 1. Последнее означает, что функция

(В.Д ,рх) Э х ^ ДОд] Э г ^ т(х + г)} € (мцо, 1],Н),0^)

не может (так как рл(0, С,) ^ 0 при j ^ ) при п.в. х € ИД

совпадать с непрерывной функцией и, следовательно (в силу леммы 2.1), функция Т не совпадает (п.в.) ни с одной из функций fA,mef € 5Л(11,Н). □

Приведенный пример показывает, что вложения

(Дл € М(11£ , Н) : f € ^И, Н)} С М(НД , Н)

и

(,/Л € Ьр(11£ ,Н) : f € ^(Л,Н)} С Ьр(11£ ,Н) , р ^ ,

являются строгими (см. соответствующую проблему, сформулированную в конце главы 1 книги [18]).

Обозначим через СД и СД множества соответственно открытых и замкнутых подмножеств О С ИД , для которых отображение

(иД ,рА) э х ^ до, 1] э г ^ хс{х + г)} € ьдод],!*,) непрерывно ( хо - характеристическая функция множества О ), СД(£) = (О € СД : тея (г € [0, 1] : х + г € О} < £ Vх € ИД} , £ ^ 0 • Если О € СД (£), то рЛ(О) < £ •

Теорема 2.1 ([16]). Пусть (Н, || ■ ||) - банахово пространство, f € £Л(11, Н) . Тогда для всех j € N найдутся множества О, € СД(2--7') и функции Т, € 0(11^ , Н) такие, что

О,-+1 С О, , ИД \ О, - замыкания (в ИД ) множеств Г1\О, , (х) = Т,(х) при всех х € ИД \ О, и Т,(г) = Дг) при всех

t € R\Oj . Если f € Sp(R, H), p ^ 1, то функции Fj можно, кром,е того, выбрать так, что

llj x + t)\\pdt ^sup f ||f(£ + t) Hp dt

JeR JO u

sup i ||Fj(x + t)\pdt ^2-j sup i ||f(£ + t)||pdt.

iceRB Jt e[0 ,l]:x+t eOj JeR Jo

В условиях теоремы 2.1 определена функция

H-B \ П Ok Э x ^ F(X € H,

k

совпадающая с функцией Fj(x) при x € RB \ Oj ;

м (f| Ok) = 0

k

и F(t) = Л^) при п.в. t € R . При этом (при п.в. x € RB) F(x) = = fA{x) (в следующей теореме 2.2 функция fA € M(RB , H (для функции f € Sa(R, H)) будет выбираться именно таким образом). Теорема 2.1 является обобщением п.п. варианта теоре-

B

f

модуль) непосредственно следует из теоремы 2.1 , так как для любого множества O € СД множество O П R является открытым на вещественной прямой R, OnR € S(R) и Мod OnR С Л . Кроме того, ограничение F(^|r) любой функции F € C(RB , H) па R принадлежит пространству CAPa(R, H), а для любого множества O € СД(е), е > 0, имеем Uxo^r.(OHi, i < е ■

В следующей теореме утверждение о равномерной аппроксимации п.п. по Степанову функций приведено для относительного B

Теорема 2.2 ([16]). Пусть (H, Ц • Ц) - банахово пространство, f € SA(R, H) . Тогда для любого е > 0 найдутся точки yj € H, непересекающиеся множества Oj € CcA и функции Fj € C(R B , H , j € N , такие, что RB \UjSJ Oj есo(е,,). где eJ ^ 0 при N9 J ^ , ||Fj(x) — yjЦ < е для всех x € R-B

и fA(x) = Fj(x) для всех x € Oj ; j € N .

Из теоремы 2.2 вытекает теорема 1.5. Более того, если в условиях теоремы 1.5 имеем Mod f ф {0} , то (как следует из теоремы

2.2, при этом отдельно рассматривается случай, когда функция f является периодической) все множества Tj , j € N, можно считать замкнутыми.

3. Равномерная аппроксимация почти периодических по Вейлю функций

Пусть W(R) - совокупность измеримых (по Лебегу) множеств T С R таких, что Хт € W (R, R) • Имеем S(R) С W(R) . Для

множеств T € W(R) положим Mod T = Mod xT •

Для произвольного модуля Л С R обозначим через M ^W(A) совокупность последовательностей {Tj }jeN непересекающпхся Tj € W Tj С \ j Tj

= 0 и Uxr\j Tj(^Н1>°° ПРи N ^+^-

Лемма 3.1 ([19]). Пусть {Tj} € MW(R) и xj € U,

j€

Exj Xj •)€ W(R,U)

j

и

Mod £ xjХтД •) С £ Tj .

jj

Теорема 3.1 ([19]). Пусть f € W(R, U) . Тогда для

е>

{Tj} € MW)(Modf)

и точки xj € U, j € N, т,акие, что p(f(t),xj) < е для всех t € Tj , j € N .

Теорема 3.1, являющаяся теоремой о равномерной аппроксимации п.п. по Вейлю функций (элементарными п.п. по Вейлю функциями), применяется при доказательстве существования п.п. по Вейлю сечений многозначных отображений. Следующая теорема (аналогичная теореме 1.2) доказывается с помощью теоремы 3.1.

Теорема 3.2 ([19]). Пусть (U, р) - полное метрическое пространство, F € W(R, cl U) ug € W(R, U) . Тогда для любой функции п € N (для которой можно считать, что п(0) = 0) существует функция f € W(R, U) такая, что Modf С ModF + Modg, f(t) € F(t) п.в. и

р{Я^,д^)) < р(д^),F(t)) + п{рШ),Fit))) п.в.

Если, кром,е того, F € WP(R, с 1ь U) С W(R, clU) для некоторого p ^ 1, то f € WP(R, U) .

U, р

F € W , U fj € W , U j € fj С F

F t j fj t t €

Доказательство. Выберем счетное всюду плотное множество точек xk € U, k €N,hb соответствии с теоремой 3.2 (в которой выбираем функции n(t) = 2-n, t € [0, + то) , n € N и g(t) = xk 1 t € R, k € N) для всех k,n € N найдем такие функции fk,n € W(R, U), что Modfk>n С Mo dF, fk,n(t) € F(t) п.в. и p(fk,n{t),xk) < p(xk ,F(t)) + 2-n п.в. Осталось перенумеровать функции fk,n(•) с помощью одного индекса j€

Если в условиях следствия 3.1 F € WP(R, сlb U) С W(R, cl U), p ^ 1, то все фупкции fj, j € N, принадлежат пространству Wp(R,U) [19].

Теорема 3.2 находит применение при исследовании почти периодических по Вейлю дифференциальных включений [20; 21].

Список литературы

1. Левитан Б.М. Иочти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953. 396 с.

2. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. 205 с.

3. Данилов Л.И. Многозначные почти периодические отображения и их сечения. Ижевск: ФТИ УрО РАН, 1993. 36 с. Деп. в ВИНИТИ 24.09.93, Г12465-В93.

4. Данилов Л.И. Почти периодические сечения многозначных отображений / / Известия отдела математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1993. Вып. 1. С. 16-78.

5. Данилов Л.И. О сечениях многозначных почти периодических отображений. Новосибирск: Ред. г"Сиб. матем. журн.6, 1995. 39 с. Деп. в ВИНИТИ 31.07.95, Г12340-В95.

6. Данилов Л.И. Мерозначные почти периодические функции и почти периодические сечения многозначных отображений // Матем. сб. 1997. Т. 188, Г110. С. 3-24.

7. Долбилов А.М., Шнейберг И.Я. Почти периодические многозначные отображения и их сечения // Сиб. матем. журн. 1991. Т. 32, Г 2. С. 172-175.

8. Fryszkowski A. Continuous selections for a class of non-convex multivalued maps // Studia Math. 1983. Vol. 76, Г12. P. 163-174.

9. Bressan A., Colombo G. Extensions and selections of maps with decomposable values // Studia Math. 1988. Vol. 90. P. 69-86.

10. Данилов .1.11.. Иванов А.Г. К теореме о поточечном максимуме в почти периодическом случае // Изв. вузов. Математика. 1994. Г16. С. 50-59.

11. Данилов Л.И. О многозначных почти периодических отображениях, зависящих от параметра // Вести. Удм. ун-та. Ижевск, 1994. Г 2. С. 29-44.

12. Данилов Л.И. О суперпозиции почти периодических многозначных отображений и функций. Ижевск: ФТИ УрО РАН, 1995. - 31с. Деп. в ВИНИТИ 31.01.95, Г1262-В95.

13. Данилов Л.И. О почти периодических мерозначных функциях. I. Ижевск: ФТИ УрО РАН, 1996. 72 с. Деп. в ВИНИТИ 05.05.96, 11434-В96.

14. Данилов Л.И. Об операторах суперпозиции, сохраняющих почти периодичность. Ижевск: ФТИ УрО РАН, 1998. 64 с. Деп. в ВИНИТИ 26.05.98,1" 1589-В98.

15. Данилов Л.И. О почти периодических многозначных отображениях // Матем. заметки. 2000. Т. 68, fl. С. 82-90.

16. Данилов Л.И. Равномерная аппроксимация почти периодических по Степанову функций и почти периодические сечения многозначных отображений. Ижевск: ФТИ УрО РАН, 2003. - 70 с. Деп. в ВИНИТИ 21.02.03, Г1354-В2003.

17. Данилов Л.И. О равномерной аппроксимации почти периодических по Степанову функций // Изв. вузов. Математика. 1998. 1^5. С. 10-18.

18. Панков А.А. Ограниченные и почти периодические решения нелинейных дифференциально-операторных уравнений. Киев: Наук, думка, 1985.

19. Danilov L.I. On equi-Weyl almost periodic selections of multivalued maps. Preprint arXiv: math.CA/0310010, 2003.

20. Andres J. Bounded, almost-periodic and periodic solutions of quasilinear differential inclusions. Differential Inclusions and Optimal Control (ed. by J.Andres, L.Gorniewicz and P.Nistri), LN in Nonlin. Anal. 1998. Vol. 2. P. 35-50.

21. Andres J., Bersani A.M., Lesniak K. On some almost-periodicity problems in various metrics // Acta Appl. Math. 2001. Vol. 65, Г1 1-3. P. 35-57.