О равномерной аппроксимации почти периодических по Вейлю и почти периодических по Безиковичу функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

© Л.И.Данилов

[email protected]

О РАВНОМЕРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВЕЙЛЮ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВЕЗИКОВИЧУ ФУНКЦИЙ

Ключевые слова: почти периодические функции, равномерная аппроксимация.

Abstract. We suggest a new proof of the theorem on uniform approximation of Weyl almost periodic functions by elementary Weyl almost periodic functions. Analogous result is also obtained for Besicovitch almost periodic functions.

Введение

В работе доказываются теоремы о равномерной аппроксимации почти периодических (п.п.) по Вейлю и п.п. по Безиковичу функций (со значениями в метрическом пространстве) элементарными п.п. функциями. Эти теоремы используются при доказательстве существования п.п. по Вейлю и п.п. по Безиковичу сечений многозначных п.п. отображений [1; 2; 3]. Утверждения о существовании п.п. сечений находят применение при исследовании п.п. решений дифференциальных включений (см. статьи [4; 5], в которых сформулирована соответствующая проблема).

Существование п.п. по Степанову сечений многозначных п.п. по Степанову отображений было впервые доказано в [6] на основе результатов Фришковского [7]. В [8] предложен другой метод доказательства, использующий равномерную аппроксимацию п.п. по Степанову функций элементарными п.п. функциями. Этот метод позволяет доказать существование п.п. по Степанову сечений, удовлетворяющих разнообразным дополнительным условиям [9; 10; 11]. Равномерная аппроксимация элементарными п.п.

функциями используется также при исследовании мерозначных п.п. по Степанову функций [12; 13], а также при доказательстве теорем о суперпозиции п.п. функций и многозначных отображений [14; 15].

Теорема о равномерной аппроксимации п.п. по Вейлю функций элементарными п.п. по Вейлю функциями была доказана в [1; 2]. Предложенное в настоящей работе доказательство проще, чем доказательство из [1; 2]. Приведено также доказательство теоремы о равномерной аппроксимации п.п. по Безиковичу функций элементарными п.п. по Безиковичу функциями.

В § 1 сформулированы некоторые свойства п.п. по Вейлю и п.п. по Безиковичу функций, используемые в дальнейшем. Определение и ряд утверждений о п.п. функциях приведены, например, в [16]. Многие утверждения о п.п. по Вейлю функциях можно найти в [1]. Теоремы о равномерной аппроксимации п.п. по

§§

1. Определения и некоторые свойства почти периодических по Вейлю и по Безиковичу функций

Пусть (и, р) — полное метрическое пространство, А — замыкание множества А СМ, иг( х) = {у еМ: р(х,у) < г} , х € М, г > 0 ; шея — мера Лебега на М . Функция / : М ^ М называется элементарной, если существуют точки х• € М и непересекаю-щиеся измеримые (по Лебегу) множества Т) С М, ^ € N, такие,

что тея М \и Т) = О и /(£) = Х) для всех £ € Т) . Обозначим такую функцию через /(•) = ^х)-Хт.Д•) (где Хт(•) —характе-

Т С М

/) : М ^ М, ] € N определим функцию ^2/Л ОхтД •) : М ^ М,

совпадающую с функцией /•(• ) та множестве Т) , ] € N (обозначение ^ /)(ОхтД •) будет использоваться не только в случае,

)

когда пространство М = (Н, ||.||) нормированное, но и в случае метрического пространства М, однако никаких линейных операций над такими функциями производиться не будет). Функция

f : R ^ U измерима., если для любого е > 0 существует элементарная функция f£\ R ^ U такая, too ess sup p(f(t), f£(t)) < е.

te R

Пусть M(R, U) — это пространство измеримых функций f : R ^ U (функции, совпадающие при почти всех (п.в.) t € R, отождествляются). Пусть Xo € U . Для p ^1 обозначим

£+1

Mp(R,U) = {f € M(R,U) : sup / рp(f(t),Xo)dt< + то}.

£eR £

На множестве Mp( R, U) для вс ex l > 0 определяются метрики

,„s £ +1 ,

Dp j(f,g) = (sup \ f Pp(f(t),g(t))dt) /p, f,g € MP(R,U).

£eR £

Если l\ ^ l, to

поэтому существует предел

(f,g) = г (f,g) = inf Dps(f,g), f,g € Mp(R,U) ,

который является полуметрикой па Mp(R, U) .

Пусть Mp(R,U), p ^ 1, — пространство Марцинкевича, то есть множество таких функций f € M(R,U), что p(f(.),Xo) при______________________________ 6

надлежит L? (R, R) и lim A J рр(f (t), Xq) dt <+ос . Намно-

b^+те _ь

жестве Mp(R, U) вводится полуметрика

DpB\f,g) = ( lim k f Pp(f(t)’9(t))dt)1/P’ f,g€Mp(R,U).

b^+<x _b

Если для функций f,g € Mp(R,U) определить отношение экви-

(Я)

валентности: f ~ g тогда и только тогда, когда Dp (f,g) = О,

(Я)

то фактор-пространство (Mp(R, U) / ~ , Dp ) становится полным метрическим пространством [17]. Справедливо включение

Ыр(М, и С Мр(М, и и бРВ) (/,д) < (/,д) < ^5» (/,д) для

всех функций /,д € Мр(М,и) (и всех I > 0).

Если и = (Н, ||.||) — банахово пространство (обозначаем р(ж,у) = ||ж —у||, ж,у€Н), то на Мр(М,Н) определены нормы

11/11^ = ( шр т / 11Л*)11р<й)1/р, 1 > °>

«ек £

и полунорма ||/||Р^ = Нт ||/Нр3? , / € Мр(М,Н), а на пространстве Мр(М, Н) —полунорма

11/11рБ) = ( ТЙЙГ 4 }\\т\\рМ)1/р, /еМр(^Н).

В случае Н = С (или М) полагаем ||Н|| = |Н| , Н € С. В

дальнейшем (без пояснений) через Н будет обозначаться банахово пространство, при этом удобно считать банахово простран-Н Н, | . |

Н вещественное, то можно рассмотреть его комплексификацию

Н + гН (с нормой ЦН + гНг|| = вир ЦНсоз^1 — ), ото-

р е [0,2п)

Н

Множество Т С М назывется относительно плотным., если существует а > 0 такое, что [£,£ + а] П Т ф 0 для всех £ € М .

(3

Число т € М называется (е, Бр /) -почти периодом функции / € Мр(М,и), где е>0, р ^ 1, если Бр3(/•),/• +т)) < е. Функция / € Мр(М,и) принадлежит пространству £р(М,и) п.п. по Степанову функций порядка р ^ 1, если для любого е > 0 множество (е, Бр^)-почти периодов / относительно плотно.

Функция / € Мр(М,и) принадлежит пространству Шр(М,и) п. п. по Вейлю функций порядка р ^ 1, если для любого е > 0 существует функция /£ € £р(М, и) такая, что Бр^ (/,/£) < е. Функция / € Мр(М, и) принадлежит пространству Вр(М, и)

п. п. по Безиковичу функций порядка p ^ 1, если для любого е > 0 существует функция /£ € Sp(R, U), для которой (/, /е) < е. Имеем Sp(R, U) ^ Wp(R, U) С Bp(R, U)

и Spi (R, U) С Sp2 (R, U), WP1 (R, U) С WP2 (R, U), BP1 (R, U) С BP2(R,U) для всех p ^ p2 ^ 1. Если /, g € Wp(R,U), to DPW(/,^DPB(/,g), p ^1.

На пространстве U определим еще одну метрику p'(x,y) = = min{l,p(x,y)}, x,y € U ; легко проверить, что (U,p;) —полное метрическое пространство. Пусть S(R,U) = S(R, (U, p')),

W(R,U) = W(R, (U,p')) , B(R,U) = B(R, (U,p0) • Справедливы следующие вложения S (R, U) С S(R, U), W (R, U) С W(R, U), B (R, U) С B(R, U) и S(R, U) С W(R, U) С B(R, U). Для всех /,g € M(R,U) = M(R, (U,p')) =M(R, (U,p0) Обозначим

?+1

^г (/>5')= sup т / p'(f(t),g(t))dt, l> О,

5eR £

(/,g)= lim D <S) (/,g),

D(B)(f,g) = lim ^ / P'(f(t),9(t))dt.

Если /, g € W(R,U), to DW(/,g) = DB(/,g).

Последовательность Tj € R, j € N, называется / -возвращающей для функции / € B(R, U), если

DB(/(.),/(•+ t,-)) (i.i)

при j ^ . Если функция / € B(R, U) принадлежит какому-

либо из рассматриваемых пространств п.п. функций Sp(R, U), Wp( R, U), Bp( R, U), S( R, U) ил и W (R, U), то /-возвращающие последовательности — это те и только те последовательности Tj € R, j € N, для которых выполняется (1.1) при замене по-

луметрпкп на (полу)метрику DpS (для любо го l >0),

dPW , dPB , D^S (также для любого l > 0) или DW) соответственно.

Для функций / € B(R, U) через Mod/ обозначается множество чисел Л € R таких, что eiArj ^ 1 (где г2 = — 1) при j ^ для люб ой /-возвращающей последовательно-

сти Tj € R. Если DB(/(■),y(-)) ф О для всех постоянных функций y(t) = y € U, t € R, то Мod/ — счетный модуль (группа по сложению). В противном случае Mod / = {0} . Если / € B(R, U) и Tj € R, j € N, — такая последовательность, что ДЛЯ ВСеХ Л € Mod/ Имеем eiATj ^ 1 ПрИ j ^ +ТО, ТО Tj — /

Для любой функции / € B (R, H) и чпсла Л € R суще-

b

ствует среднее значение M(e~lXtf) = lim i Г e~lXtf(t)dt.

b^+x -b

{/}

/ € B (R, H), то есть множество тех чисел Л € R, для которых М (e-iAt/) ^ 0 . Для функции / € B (R, H) множество (модуль) / Л € {/}

R

{/}

Если / € W(R,R) и /(t) ^ 0 при п.в. t € R, то справедливо равенство М(/) = У/|^W . Аналогично, если / € Bx(R, R) и /t) ^ 0 при п.в. t € R, то М(/) = ||/||[Б) .

j С R j

надлежать любому непустому индексному множеству), то через Л? (или через Л! + ••• + Лга для конечного числа модулей Aj , j = 1, ■■■,«) обозначается сумма модулей, определяемая

Rj Пусть / € B(R, U, /j € B(R, Uj), j € N, где Uj — (пол/ С /j

j

/j

j € N последовательность Tk € R, k € N, является / -возвращающей. В частности, если /j € B(R,Uj), j = 1, 2 , то вклю-/ С /

всякая /2 -возвращающая последовательность T& € R, k € N, /

Если /, /j € B(R,U), j € N, и DB(/, /. ,) — 0 при j —— ,

to Mod / С £ Mod / .

j

Для любой функции / € Wp(R,U) , p ^ 1, и любого е > О существует функция /£ € S (R, U) П Lx(R, U) С Sp(R, U) такая, что dPW(/,/е) < е и Mod/£ С Mod/. Аналогично, если / € Bp( R, U), то для люб ого е > 0 найдется функция /£ из Si(R,U) П Lx(R,U С Sp(R,U) такая, что dPB(/,/e) < е и

Mod /£ С Mod / . Следующая лемма является следствием последних утверждений и аналогичной леммы (см., напр., [8]) для п.п. по Степанову функций.

Лемма 1.1. Пусть (U, p) и (V,py) — {полные) метрические пространства и F : U — V — такая функция, что для некоторой константы C > 0 и всех u, U € U справедливо неравенство pv(F(и),F(«2)) ^ Cp(«i,«2)- Тогда для любой функции / € B(R,U) имеем F(/(■)) € B(R, V) и ModF(/(■)) С Mod/(■). Если / € Bp(R, U), то F(/(■)) € Bp(R, V) . Аналогично для любой функции / € W(R, U) имеем, F(/(■)) € W(R, V) . Если / € Wp(R, U), шо F(/(■)) € Wp(R, V) .

Следствие 1.1. Пусть / € B( R, U); ж € U. Го-гда pf/O^x) € B(R, R) и, Modp/^x) С Mod/M . Велм / € W(R, U), шо p(/(0,z) € W(R, R).

Для банахова пространства (H, ((■И) и чисел а > 0 определим

1 / j п- ! i\ ( h, если IlhN ^ а, _

функции H Э h — (a;h) = | a|h|-h, если ||h|| > а, Дл*

всех hx,h2 € H имеем ||Fh(a; hi) — Fh(а^)II ^ 2||hi — hII,

поэтому лемма 1.2 непосредственно вытекает из леммы 1.1.

Лемма 1.2. Если / € B(R, H), то дм любого a > О функция Fh(a / (■)) принадлежит множеству

B(R, H) n Lx(R, H с B(R, H) и ModFH(С Mod/(0 . Ясли / € W(R,H), mo FH/■)) € w(R, H n Lx(R, H с W(R, H.

Для измеримого множества T С R используем обозначения МT) = IIXTllP} , KW(T) = ||xt0 < kb(T) < kw(T) O-

„ , ^,11 и, , f ||h||_1h, если^^О,

h € H, | ■ | h

v mi и/ о ^ 0, если h = 0■

Лемма 1.3. Пусть / € B(R, H) . Предположим, что kb({t € R : ||/(t)|| < 5}) — 0 при 5 — +0. Тогда справедливы / ■ € B R, H / ■ С / ■

того, кБ({t € R : /(t) = 0}) = 0). Ясли э/се / € W(R,H) и «w({t € R : ||/(t) || < 5}) — 0 при 5 — +0, шо справедливо включение sgn /(■) € W(R, H (u Kff({t € R : /(t) = 0}) = 0 ).

Доказательство. Пусть / € B( R, H) (для функций / € W(R,H) доказательство проводится аналогично). Для всех j € N положим /j(t) = jFHj-1; /(t)) ; t € R. В силу

леммы 1.2 /j € Bi(R,H и Mod/j С Mod/. С другой стороны, из условия леммы получаем, что k_b({t € R : /(t) = 0}) = 0

/ D\

и ||sgn/(■) — j■) ||^ — 0 при j — . Поэтому справедливо

sgn/(0 € B(R,H и Mod sgn/(0 С ^Mod/j(О С Mod/Q . □

j

Для функций /, /2 € B(R, H имеем /i + /2 € B(R, H) и Mod (/ + /2) С Mod Д + Mod /2 . Если же Д, / € W(R, H), то

/1 + /2 € W(R, H ■ Для функций / € B(R, H) > g € B(R, C) справедливо g/ € B(R, H), при этом Mod g/ С Mod / + Mod g . Если / € W(R, H), g € W(R, C) ) T0 g/ € W(R, H . Последние утверждения означают, что пространства B(R, H) и W(R, H) являются соответственно B(R, С)-и W(R, C)-модулями.

Следующая лемма вытекает из определения п.п. по Вейлю и п.п. по Безиковичу функций (и соответствующего утверждения для п.п. по Степанову функций [8]).

Лемма 1.4. Пусть f € Ш(М, Н) (соответственно

f € В(М,Н) )• Тогда для любых е, 5 > О найдется конечное множество точек х- € и, j = 1,..., N, таких, что

N

кж((* € м : Я*) / и х-)}) < е

-=1

N

(соответственно кд((г € М : Я*) / и х-)}) < е).

-=1

Следствие 1.2. Пусть Я € Ш( М, Н) {соответственно Я'€ЩМ,Н)). Найдутся точки х- €и, j €М; т,акие, что

(1) тея {£ € М : /(г) ^ и ж,} = О ,

-ем

(2) для любого 5 > О при N ^

N

кж((г € м : я*) / и илх-}) ^0 (1.2)

-=1

N

(■соответственно к_в((* € М : Я*) / и х-)}) ^0).

-=1

2. Равномерная аппроксимация почти периодических по Вейлю функций

Пусть W (R) — множество измеримых подмножеств T С R, для которых хт € W (R, R) • Для множеств T € W(R) положим ModT = Mod%T . Если T € W(R), то также R \T € W(R) R \T T / , /

W(R,C) имеем /i/2 € W(R,C) и Mod/i/2 С Mod/i + Mod/2 , то справедлива следующая лемма.

Лемма 2.1. Если T, T2 € W(R), то T U T2 € W(R), T П T2 € W(R), T\T € W(R) и все модули ModT U T2 , ModT П T2 ; ModT\T содержатся в ModTi + ModT2.

Если T € W(R), то kw(T) = kb(T) .

Для произвольного модуля Л С R обозначим через M ^W(A) совокупность последовательностей {Tj }jSN непересекающихся

Tj W R j N

торых ModTj С Л, mes R\ (J Tj = 0 и kw(R\ (J Tj) — 0

jeN j^ra

при n — . Можно также считать, что в M ^W(A) содержат-

ся соответствующие конечные последовательности {Tj }j=l)...)N ! которые всегда можно дополнить до счетных последовательностей, добавляя пустые множества.

{ Tj }jeN € M <W(A) и J С N — произвольное непустое Tj W R Tj С Tj

je J je J je J кроме того, kw(Tj) = 0 для вcex j € J, то kw( IJ Tj) = 0 .

jeJ

Лемма 2.2. Пусть {Tj} € M W(R) и /j € W(R,U), j € П. Тогда E j Oxj 0 € W( R, U) и

Mod E jОхтДО С EMod/j + EModTj ■ (2Л)

j j j

Лемма 2.2 вытекает из того, что пространство W(R, H) есть W(R, C) - модуль, и из теоремы Фреше (об изометрическом вложении метрического пространства в банахово пространство).

Замечание 2.1. В условиях леммы 2.2 для индексов j , для которых kw(Tj) = 0 (в этом случае ModTj = {0} ), можно выбирать произвольные функции /j € M(R, U) и исключить эти индексы при суммировании в правой части (2.1).

Если {T?} € MW (R) и ж? € U, j € N , то (в силу леммы 2.2) Eж?Хт.Д■) € W(R,U) (и Мod Eж?XTj(О С EModTj). Функция j j j Еж?XTj(■) называется элементарной п.п. по Вейлю функцией. j

Теорема 2.1. Пусть / € W(R,U) . Для любого е>0 найдутся последовательность {T? }?eN €M ^W(Mod/) и точки ж? € U; j € N, т,акие, что p(/(t),x?) < е для всех t € T? .

Доказательство теоремы 2.1 (о равномерной аппроксимации п.п. по Вейлю функций элементарными п.п. по Вейлю функци-

ями) приведено в конце этого параграфа. При доказательстве этого утверждения важную роль играет теорема 2.2.

/ W R, R

не более чем счетное множество Yf С R такое, что для всех Л € R\Yf справедливо kw({t € R : /(t) = Л}) = 0, {t € R : /(t) > Л} € W(R) и Mоd {t € R : /(t) > Л}С Mod / (кроме того, {t R / t < Л} W R {t R / t < Л} С /

Другое (более сложное) доказательство теоремы 2.1 было получено в [1; 2]. Оно опирается на следующую теорему 2.3 (см. [18; 1; 2]). Обозначим через A совокупность таких семейств F функций / € W(R, R), что для любого е > 0 можно найти числа I = 1(е,F) > 0 и то = то(е,F) > 0 такие, что

sup sup (/(■),/(■+ т)) <е-

f e F т e[0,т0]

Теорема 2.3. Зафиксируем F € AД>0; T>0, е € (0,1] . Тогда существует периодическая с периодом, T функция $(■) € C(R, R) ; зависящая от F, Д, T, но не от числа е, для которой ||д||ь“(R,R) < и числа 5 = 5(е, Д) > 0 и

I = 1(е, Д, F) > 0 такие, что для всех Л € R и всех / € F

sup mes {t € [£,£ + l : |/(t)+g(t) — Л| <5 } < е1 ■

SeR

Аналогичное теореме 2.3 утверждение для п.п. по Безиковичу функций приведено в [3]. В следующем параграфе для п.п. по Безиковичу функций сформулированы также аналоги теорем 2.1 и 2.2 (доказательства которых непосредственно переносятся и на этот случай). Отметим, что аналога теоремы 2.2 для п.п. по Степанову функций не существует. В [8] содержится пример п.п. по Бору функции / : R — (—1,1) такой, что для всех Л € (—1,1) имеем sgn(/(^ — Л) / S(R, R) и при этом для каждого b > 0 множество {t € [—b, b] : /(t) = Л} конечно.

Для п.п. по Степанову функций утверждение о равномерной аппроксимации элементарными п.п. по Степанову функциями получено в [8; 10]. Более сильные утверждения (в том числе

п.п. вариант теоремы Лузина) содержатся в [15; 19; 20] (в двух последних работах п.п. по Степанову функции рассматриваются также на относительных компактах Бора).

Лемма 2.3 необходима при доказательстве теоремы 2.2.

Лемма 2.3. Пусть f € М, М) . Тогда множество

чисел Л € М, для которых

не более чем счетно.

Доказательство. Для всех Л € М и 5 > 0 обозначим Т(Л;5) = {£ € М : Д(£) — Л| < 5} . Так как функция

(0, + го) Э 5 ^ (Т(Л; 5)) € [0,1] не убывает, то существует число 6^( Л; Л) ^ 0 такое, что (Т(Л;5)) I 6^( Д Л) при 5 ^ +0 .

Выберем произвольные числа в, 7 > 0 .Пусть Л^-, 3 = 1,..., N, — (какие-либо) разные числа из отрезка [—в, в] > Для которых Ь\у(/; А?) ^ 7. Положим в = тт {Ь , \ тт | — А | } и опреде-

Из леммы 1.1 следует, что д.,(.) = С(Д.) — Л?) € (М, М),

3 = 1,..., N. Поэтому существует среднее значение М(д.,-) и

7 < Д;Л?) ^ к№(Т(Л,-; е)) ^ Мд^> 3 = 1,..., N . С другой

стороны, Е Мд?) ^ к^({£ € М : Д(£)| ^ в + 1}) ^ 1. Следо-

вательно, N ^ 7-1 . Выбирая теперь числа в = п и 7 = п-1, п € N, получаем, что та каждом отрезке [—п, п] существует не более п чисел Л, для которых 6^( Л Л ^ п-1 . Отсюда следует, что существует не более чем счетное множество чисел Л € М, для которых 6^ (Л Л > 0.

Доказательство теоремы 2.2. Пусть У/ — множество чисел Л € М, для которых выполняется неравенство (2.2).

Нт ({£ € М : Д (£) — Л| < 5}) > 0 ,

.

лим функцию

N

В силу леммы 2.3 это множество не более чем счетно. Из леммы 1.3 следует, что для всех Л € М \У^ справедливо включение 8^Д(.) — Л € Щ(М, М) и Моё — Л ^ Мос1Л(.).

Более того, к№({г € М : л(г) = Л}) = 0. Определим функцию

г) = 1 — |^ —1|, если о < г < 2, и г) = о при г € м \[о, 2].

Из леммы 1.1 получаем, что (Л(0 — Л)) € Щ(М, М) и

Мос! ^( ± (Л(0 — Л)) - Мос! Л(.) . Поэтому

{г € м : л (г) > Л} € Щ М, мо а {г € м : л (г) > Л} - мо а л •) и {г € м : л (г) < Л} € щ (м), мо а {г € м : л (г) < Л} - мо а л.) •

Доказательство теоремы 2.1. Пусть ж? € и, 3 € N , — точки, определяемые в следствии 1.2 для функции л € Щ(М, и) . Для всех 3 € N в силу следствия 1.1 имеем рл(.),ж?) € ЩМ, М) и Моа^лО,ж^ — Моа л .)• Из теоремы 2.2 получаем. что можно выбрать числа е? € [е/2,е], 3 € N, так, что Т? = {г € М :

рШгКж) < е?} € щ(м) и м0аТ/ — моарл(.),ж?) — моа л.) •

Положим Т = Т/ и Т? = Т? \ У Тк при 3 ^ 2 . Множества

Т? , 3 € N не пересекаются и и Т? = и Т? для всех N € N .

В силу леммы 2.1 Т € Щ М) , Мо аТ? — Мо ал. Кроме того, Рл(г),ж;?) < е? ^ е для всех г € Т? , 3 € N и для каждого N € N и п.в. г € М\ У Т имеем рл(г),ж?) ^ е? ^ е/2 для всех

3 = 1,..., N . Следовательно (см. следствие 1.2), тея М \ У Т? =0

?ен

и (см. (1.2) при 5 = е/2) (М \ У Т?) ^ 0 при N ^ +го, то

есть {Т?} €М(ж)(Моал).

3. Равномерная аппроксимация почти

периодических по Безиковичу функций

В параграфе приведены утверждения для п.п. по Безиковичу функций, аналогичные соответствующим утверждениям из предыдущего параграфа. Приведенные в § 2 доказательства непосре-

дственно переносятся и на случай п.п. по Безиковичу функций, при этом при доказательстве нужно использовать те же самые леммы из § 1, утверждения которых сформулированы параллельно как для п.п. по Вейлю, так и для п.п. по Безиковичу функций.

Обозначим через Щ R) множество измеримых подмножеств T С R, для которых хт € Щ (R, R) • Для множеств T € ЩR) (как и для множеств T € W (R)) положим Mod T = Mod хт .

Лемма 3.1. Если Ti,T2 € ЩT U T2 € BR), T П T2 € ЩR), T \T2 € ЩR) и модули ModTi U T2 ; ModTi П T2 и ModTi\T2 содержатся в ModTx + ModT2 .

Пусть Л С R — произвольный модуль и M ^В(Л) — совокупность последовательностей {Tj }j€N непересекающпхся множеств Tj € ЩR) таких, что Mod Tj С Л, mes R \ (J Tj = 0 и

j€N

кв(R \ U Tj) — 0 при n —— .

j<™

Если {Tj}jSN € M^В(Л) и J С N J 7^ 0, то U Tj € ЩR)

j€ J

и Mod U Tj С Е МodTj . Если, кроме того, кв(Tj) = 0 для j € J j € J

всех j € J, то также кв( U Tj) = 0 .

j€ J

Следующая лемма аналогична лемме 2.2.

Лемма 3.2. Пусть {Tj} € M(R) и fj € 5(R,U), j € N. ТогА* E j Oxj 0 € Щ R, U) и

j

Mod E fj( Oxj О С EMo dfj + EMo dTj • (3.1)

j j j

В условиях леммы 3.2 для индексов j : к_в(Tj) = 0 можно выбирать произвольные функции fj € M(R, U) (и при суммировании в правой части (3.1) эти индексы исключаются).

Функция Ej Xjxj0 ; гДе Xj € U, j € N , и {Tj } € M (R), называется элементарной п.п. по Безиковичу функцией.

Теорема 3.1. Пусть f € ЩR,U) . Тогда для любо-

го е > 0 найдется элементарная п.п. по Безиковичу функция fe(•) = Ej Xjxj •) такая, что {Tj} €M (B(Modf) и

ess sup p(f(t),f£(t)) < e.

t€R

Теорема 3.1 доказывается аналогично теореме 2.1. При этом при доказательстве используется теорема 3.2, доказательство которой в свою очередь аналогично доказательству теоремы 2.2 и опирается на лемму 3.3

Теорема 3.2. Пусть f € ЩR, R). Тогда найдется

не более чем, счетное м,н,ожест,во У/ С R такое, что для всех

Л € R\У/ имеем, кв({t € R : f (t) = А}) = 0,

{t € R: f (t) > Л} € ЩR), {t € R : f (t) < Л} € ЩR),

Mod {t € R : f (t) > Л} С Mod f , Mod {t € R : f (t) < Л} С Mod f.

Лемма 3.3. Пусть f € ЩR, R) . Тогда м,н,ожест,во

чисел Л € R, для которых lim кв({t € R : |f(t) — Л| < > О,

<5^+0

не более чем, счетмо.

Список литературы

1. Данилов J1.И. О почти периодических по Вейлю сечениях многозначных отображений. Ижевск: ФТИ УрО РАН, 2004. 104 с. Деп. в ВИНИТИ 09.06.04,1" 981-В2004.

2. Danilov L.I. On Weyl almost periodic selections of multivalued maps // J. Math. Anal. Appl. 2006. V. 316, i" 1. P. 110-127.

3. Danilov L.I. On Besicovitch almost periodic selections of multivalued maps. Preprint arXiv: math.CA/0503293, 2005.

4. Andres J. Bounded, almost-periodic and periodic solutions of quasi-linear differential inclusions // Differential Inclusions and Optimal Control / ed. by J. Andres, L. Gorniewicz and P. Nistri, LN in Nonlin. Anal. 1998. V. 2. P. 35-50.

5. Andres J., Bersani A.M., Lesniak K. On some almost-periodicity problems in various metrics//Acta Appl. Math. 2001. V. 65, Г11-3. P. 35-57.

6. Долбилов A.M., Шнейберг II.Я. Почти периодические многозначные отображения и их сечения // Сиб. матем. журн. 1991. Т. 32, I" 2. С. 172-175.

7. Fryszkowski A. Continuous selections for a class of non-convex multivalued maps // Studia Math. 1983. V. 76, Г1 2. P. 163-174.

8. Данилов .1.11. Почти периодические сечения многозначных отображений // Известия отдела математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1993. Вып. 1. С. 16-78.

9. Данилов Л.И. О многозначных почти периодических отображениях, зависящих от параметра//Вестн. Удм. ун-та. 1994. Г1 2. С. 29-44.

10. Данилов Л.И. Мерозначные почти периодические функции и почти периодические сечения многозначных отображений // Матем. сборник. 1997. Т. 188, I" 10. С. 3-24.

11. Данилов Л.И. О почти периодических многозначных отображениях // Матем. заметки. 2000. Т. 68, i" 1. С. 82-90.

12. Данилов Л.И. Мерозначные почти периодические функции // Матем. заметки. 1997. Т. 61, Г1 1. С. 57-68.

13. Данилов Л.И. О почти периодических мерозначных функциях // Матем. сборник. 2000. Т. 191, I" 12. С. 27-50.

14. Данилов Л.И. О суперпозиции почти периодических многозначных отображений и функций. Ижевск: ФТИ УрО РАН, 1995. 31 с. Деп. в ВИНИТИ 31.01.95,1" 262-В95.

15. Данилов Л.И. О равномерной аппроксимации почти периодических по Степанову функций//Изв. вузов. Математика. 1998.1^5. С. 10-18.

16. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953.

17. Marcinkiewicz J. Une remarque sur les espaces de M. Besicowitch // C. R. Acad. Sc. Paris. 1939. V. 208. P. 157-159.

18. Danilov L.I. On equi-Weyl almost periodic selections of multivalued maps. Preprint arXiv: math.CA/0310010, 2003.

19. Данилов .1.11. Равномерная аппроксимация почти периодических по Степанову функций и почти периодические сечения многозначных отображений. Ижевск: ФТИ УрО РАН, 2003. 70 с. Деп. в ВИНИТИ 21.02.03, i" 354-В2003.

20. Данилов Л.И. Равномерная аппроксимация почти периодических по Степанову функций // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2004. Вып. 1 (29). С. 33-48.