Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

© А.Г. Иванов

[email protected]

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ЗАДАЧ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ. I1

Ключевые слова: почти периодические функции в смысле Бора и Степанова, аппроксимация мерозначных почти периодических отображений, игольчатая вариация.

Abstract. The main definitions and statements on the measurevalued functions almost periodic in the sense of Stepanov, which are used while studing the problems of almost periodic motions optimal control, are

prezented.

Содержание

Введение ................................................4

1. Элементы теории п.п. функции .......................12

2. Пространство мерозначных п.п. функций...................33

3. Аппроксимационная теорема ..............................54

4. Игольчатые вариации мерозначных п. п. отображений .. 69

..............

...................................

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99^0Ю0454) и Конкурсным центром фундаментального естествознания (грант Е00-1.0-5).

Введение

Задача оптимального управления почти периодическими (п.п.) движениями (кратко говорим ^задача (зар) 6) является естественным обобщением задачи управления периодическими движениями (пишем ^задача (зр) €). На целесообразность изучения задачи ($ар) как задачи, представляющей интерес в приложениях, связанных с оптимизацией колебательных процессов ряда физических систем, теорией магистральных процессов, указано, например, в [1-7]. Отметим, что задаче (зр), в отличие от задачи (зар), в последние десятилетия, начиная, по-видимому, с работы [8], содержащей точную математическую постановку такой задачи и описывающей работу химического реактора, посвящено большое количество публикаций (см., например, [1-27] и приведенную там библиографию, предисловие и комментарии), в которых указаны необходимые, необходимые и достаточные условия оптимальности, исследуется качественное поведение периодических движений и разобрано значительное количество реальных примеров. Вместе с тем, например, в [27-29] обращается внимание на задачи периодической оптимизации, в которых нижняя грань целевого функционала, заданного на множестве Dp допустимых периодических процессов, не достигается, а достигается па допустимом п. п. процессе задачи (зар), отвечающей исходной задаче (зр), либо вообще расширение множества Dp до множества п.п. процессов улучшает значение целевого функционала задачи (зр). В обоих случаях будем говорить, что расширение задачи (зр) до задачи (зар) является эффективным. Продемонстрируем сказанное на примере системы

X = Ax — p(t), t € R (0.1)

с блочно-диагональной матрицей A = diag[A,A], У которой собственные значения матриц € Нот(R2) равны соот-

ветственно, а ± ifti и а ± ifa, где а > 0 (i2 = —1) и числа в, в несоизмеримы. В качестве p(t) € R4, t € R берем конечный тригонометрический полином, удовлетворяющий

условию М{р*(¿)р(£)} ^ 1. Совокупность всех таких полиномов обозначим через р. Выделим также его подмножество Р, состоящее из периодических (всевозможных периодов) тригонометрических полиномов. Отметим, что система (0.1) описывает динамику двух линейных осцилляторов с собственными частотами в, в и параметром, характеризующим потери (трение, сопротивление и т.п.) с гармоническим внешним воздействием р(•) € р. Качественное поведение решений таких систем хорошо известно. В частности, каждому р(•) отвечает единственное решение х(£) = х(£;р(•)), ^ € М, которое будет периодическим, если р(•) € Р, и будет п. п. по Бору, если р(•) содержит, по крайней мере, две несоизмеримые частоты. Стало быть, па р корректно определен функционал [30]

1 Гт

/(ж(-),р(-)) = М{ж*(£)ж(£)} = Нт — ж*(£)ж(£)(Й, (0.2)

Т^<х 1 ,/0

где х(£) = х(£;р(•)). Рассмотрим задачу /(х(•),р(•)) ^ Бир, р{•) € р. Подчеркнем, что это задача п. п. оптимизации, поскольку в качестве управлений рассматриваются тригонометрические N

полиномы р(£) = ^2 а3- соя в^ + Ь^п вN € М, в которых

3=1

N

2^/|а3 |2 + |Ь31

3=1

И относительно частот 0 ^ < ... < ШN, вообще говоря,

не предполагается их соизмеримость. Кроме того, она является расширением периодической (с нефиксированным периодом) задачи /(р(•), х(•)) ^ шр, р(•) € Р, поскольку здесь в качестве

1

N

номы р(£) = ^ аз соя Щг-Ь + bj Щг-Ь, N € М, в которых aj,bj 3=1

удовлетворяют неравенству (0.3). Используя вид решения системы (0.1), отвечающего р(•) € р [30. С. 425], получим, что при

р • € р

N

1{х(-),р(-)) = - (0.4)

3

где С] = а] — 1Ь], Щш3-) = diag[R (ш3)Щ (ш3-)], и где, в свою очередь, ш3) = (А^ — гш3-Е)—. Далее, поскольку

ПЩг(ш)Р <а_2, еслиш^$,

||Щг(ш)|2 = а—, если ш = в,

то из (0.3) и (0.4) можно заключить, что максимальное значение а-2 данной задачи достигается на полиноме

рэ( ¿) = соЦсоб в£, — вт Р\Ь,со&в2Ь, — яш ^1), (0.6)

в в,

р • € Р

неравенство /(ж(•),р(•)) > /(х(0,р(0), т-е- расширение множества Р в задаче /(х(•),р(•)) ^ шр, р(•) € Р до р является эффективным. Отметим, что данное обстоятельство естественно с физической точки зрения.

Используя вышесказанное, приведем пример задачи оптимального управления периодическими движениями, в которой расширение периодических управлений до п. п. эффективно. Рассмотрим систему Х = Ах — и(£), £ € М, с матрицей А (М4),

что и в системе (0.1), а в качестве и(£) берем измеримые периодические функции со значениями в 0| [0] = {х € М4: |х|2 ^2}, и совокупность таких функций (допустимых периодических управлений) обозначим ир. Как уже отмечалось, каждому и(•) € ир отвечает единственное периодическое (того же самого периода, и • х • х • . . . х •

вления. Тем самым па ир корректно определен функционал

и(-) ^ J(x(■),u(■)) = т,М{(жх(£) + ... + ж4(£))2} (0.7)

(напомним, что для всякой Т-периодической функции f R ^ R т

iVíf{/(í)} = í? f f(t)dt). Рассмотрим задачу периодической опти-т

мизации J(x('), и(')) ^ sup, и(0 £ . Поскольку Up является

подмножеством множества S(R, 0|[О]) п.п. по Степанову функций [31;32] и : R ^ 0|[О], то расширением этой задачи будет следующая задача:

J(x(0,и('))^sup, и') € £(R,Of[0]), (0.8)

в которой (см. (0.7)) x(t) = (xi(t)... Xé(t)) — уже п.п. по Бору решение системы x = Ax — u(í), t € R, отвечающее управлению и( 0 € SR, O И)- Поскольку SR,0|[O]) содержится в множестве S, состоящем го ограниченных на R п. п. по Степанову функций и: R ^ R4, для которых M(и*(í)u(í)} ^ 2, то

1 < sup(J(z(О,и(0), U0 € SR,0|[o])} < ¿2, (0.9)

где ¿i = sup J(x('), U0), а ¿2 = sup JX0,и(0)- Далее, U-)€UP m(-)€S

т.к. (см. (0.2)) i2 ^ sup /(ж(0,и')) = ¿з И (здесь см. [29])

U -)€S

¿3 = sup /(Х0, и0), а решением задачи /(ж(0, и(')) ^ sup, U Оер

и0 € P, как показано выше, является п.п. по Бору функция х(') = X') (см. (0.6)), принадлежащая, конечно, SR>0|M), т0 (см. (0.9)) эта функция будет решением задачи (0.8). При этом JX'), Х(')) = а-2. Теперь покажем, что для всех и(') € Up XXО ,Х( ')) < а-2. Допустим противное, т. е. предположим, что найдется Т-периодическое управление и( ') из Up такое, что

i\ = XX0, и(')) = а-2. С другой стороны, пусть P4 — совокуп-

4

НОСТЬ т-перподпческих ПОЛИНОМОВ p(t) = aj cos Щ^-t + bj sin Щ^-t,

j=l

принадлежащих P, т. e. в которых совокупность пар ((aj, bj)}j=1 удовлетворяет неравенству (0.3) при N = 4. Ясно, что такая совокупность пар K4 является компактным множеством. Далее,

т.к. р С P С S и (см. [29]) XX0,и(')) = sир XXО,Х')) = ¿4,

р( -)€Р4

то из (0.9) получаем равенство ц = а-2, из которого, в силу компактности множества K и непрерывности отображения

Xо ^ XXО,Х0), X0 € P4

(см. (0.4) при N = 4 и Uj = Щг ), вытекает существование та-

4 .

кого полинома p(t) = ¿ a,j eos Щ^-t + bj sin Щ^-t, принадлежащего

j т т

множеству P, что XX'),X')) = а-2- Последнее, в силу (0.5), невозможно. Полученное противоречие показывает, что задача (0.8) действительно является эффективным расширением периодической задачи XX'), и(')) ^ sup, и(0 € Up.

Задача (0.8) содержится в следующей задаче:

XX0')) = м(/oNt),-^))} ^ in-f, (X0')) € D, (0.10)

определенной на множестве D С ЩR, G) х SR, U (G — область в Rn, U € comp(Rm)), состоящем из пар (X'), и(0), в которых п.п. по Бору функция X R ^ G является решением системы

ж = /(ж,и(£)), (0.11)

отвечающим п. п. по Степанову управлению и : R ^ Ни огЬ(ж) С G. Эта задача является расширением следующей задачи периодической оптимизации:

XX'),и(')) ^ inf, (X0,и')) € Dp, (0.12)

определенной на множестве Dp — всевозможных периодических X' , и ' , X'

мы (0.11), отвечающее управлению и(') € Up, где Up — множество измеримых периодических функций и: R ^ U.

Заметим, что если в последней задаче вопросов, связанных

Т

одической пары (X'), и(')) € Dp отображение t ^ /o(X(t), и(^)

(мы предполагаем, что функции /о и / непрерывны О х Я) является Т-периодической ограниченной измеримой функцией, а значит, существует среднее

м{/о(х(г),и(г))} = ^ ^ /о(х(г),и(г))<и.

При расширении же множества Вр до В вопрос о существовании среднего значения функции £ ^ /о(ж(£), и(£)) требует, вообще говоря, доказательства, т.к. предполагается, что и(•) € £(М,Я• Во втором разделе работы будет доказано, что для всякой пары (ж(•),и(•)) € В эта функция будет п.п. по Степанову и, стало быть, задача (0.10) поставлена корректно. Сейчас, на примере этой задачи, выделим ряд моментов, присущих также и задачам оптимального управления п.п. движениями в более общей постановке (см., например, [33]), которые отличают ее от задачи (0.12). Так, если для получения необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для Т-периодического процесса (ж(•) , ж(•)) € Вр задачи (0.12) достаточно использовать на [0, Т известную игольчатую вариацию и(•,$,£) для ж(•) (см., [1;34]), то при получении аналогичного условия для оптимального процесса (ж(•), Ж(•)) € В задачи (0.10) нужно варьировать управление ж(•) € £(М, Я) специальным образом, используя при этом п. п. последовательности, и точка $ при построении и(•, в) выбирается также специальным образом.

Требует также исследования ряд свойств линейных п.п. систем управления, отвечающих (ж(•), ж(•)) € В, которые используются при доказательстве теорем существования п. п. по Бору решения системы х = /(ж,и(£, $,е)) и ег0 зависимости от параметра в. Отметим, что непосредственное доказательство необходимых условий оптимальности, помимо свойств п. п. игольчатой вариации и(•,$,£), а также обозначенных выше теорем, требует еще ряда свойств и утверждений, связанных с п. п. функциями.

При получении необходимых условий оптимальности сначала

иж •

нием задачи М(Я(ж(¿),и(£),р(¿))} ^ шр, и(•) € £(М,Я, гДе р(¿) — п. п. по Бору решение системы

Р= —Р/Х (ж( ¿),ж( *)) + /0х( ж( ¿),ж( ¿Ж

а Н(ж,и,р) = р/(ж, и — /о(ж, и) — функция Понтрягина задачи (0.10). Теперь возникает вопрос (в отличие от аналогичной ситуации в периодическом случае) о справедливости при п. в. £ € М

поточечного максимума: тахЯ(ж(¿),и,р(¿)) = Н(ж(¿),Ж(¿),р(£))•

«ея

Поскольку отображение (£, и) ^ Н(ж(¿),и,р(£)) принадлежит пространству ВМ х Я, М), состоящему из функций, которые п. п. по £ € М в смысле Бора равномерно по и € Я, то положительный ответ на поставленный вопрос вытекает из соответствующего утверждения для ляпуновских п.п. задач.

Требуют специального рассмотрения также вопросы, связанные с поточечным максимумом в п.п. случае. Это обусловлено тем, что не для всякой функции д € В(М х Я, М) существуют функции Ж(•) € ^М, Я, обеспечивающие при п. в. £ € М равенство тахд(£,и) = д(£,Ж( £)).

«ея

Таким образом, из вышесказанного следует, что изучение задач оптимального управления в классе п. п. функций предполагает наличие определенного математического аппарата. Основным определениям и свойствам п.п. по Степанову функций, которые необходимы при рассмотрении задач п. п. оптимизации, и посвящена эта работа.

В первом разделе данной работы вводятся основные функциональные пространства, используемые в дальнейшем, приводятся необходимые сведения теории п. п. функций. Достаточно подробно говорится о пространстве £(М х X, ф) (а также его подмножестве £(М, СX, ф)) К состоящем из функций (£, ж) ^ /(£, ж) € ф (ф — сепарабельное метрическое пространство), которые п.п. по £ € М в смысле Степанова равномерно по ж, принадлежащему компактному метрическому пространству X. Это пространство, в частности, включает в себя совокупность непрерывных

отображений / : R х X ^ Y, которые п. п. по t € R в смысле Бора равномерно по x € X.

Далее, обобщенные управления — мерозначные управления, обладающие, по крайней мере, двумя преимуществами перед г'обычнымиб — выпуклостью и слабой компактностью, широко используются как в задачах управления и оптимального управления, так и в игровых задачах (см., например, [35-42] и приведенную там библиографию), и рассматриваются не только в связи с вопросами существования решения, но и служат инструментом качественного исследования в этих задачах. Точно так же и расширение множества п. п. по Степанову управлений до мерозначных п. п. управлений — APM, обусловлено вопросами существования решения в задачах (зар) и облегчает, в известной мере, исследования и доказательства ряда утверждений, связанных с такими задачами, что отчетливо проявляется, например, при варьировании оптимального п.п. процесса (ж(•),Д(•)), построении и в свойствах конуса вариаций. Вопросу расширения п.п. по Степанову функций до пространства APM, а также доказательствам их основных свойств, играющих важную роль при рассмотрении задач (¿ар), посвящен второй раздел работы. Отметим, что мерозначные п.п. функции были введенны в работах [43;44] и использовались в задачах, связанных с п. п. системами управления [29;33;42—53]. Вместе с тем эти функции нашли также применение и при изучении свойств многозначных п. п. отображений [54-56].

В третьем разделе работы доказывается утверждение об аппроксимации мерозначных п. п. функций, которое играет основную роль в вопросе при обосновании корректности расширения (овыпукления) задач (зар) и используется при получении необходимых условий оптимальности допустимого процесса такой задачи.

Четвертый раздел посвящен определению и исследованию п.п. игольчатой вариации Д(•) € APMi.

Последний раздел данной работы посвящен вопросу суще-

ствования п. п. по Степанову сечения отображения

£ ^ N£) = {ж € X: /(£, ж) = 0} € сотр(Х,

отвечающего заданной функции / € £(М, С(X, ф))• Основное утверждение этого раздела играет важную роль при изучении связи п. п. по Бору решений п. п. по Степанову систем управления и дифференциальных включений, а также в вопросах, связанных с поточечным максимумом в почти периодическом случае.

Выражаю свою искреннюю признательность М. В. Чибиревой за помощь при подготовке рукописи к печати.

1. Элементы теории п.п. функций

1. Пусть (ф,Р) — метрическое пространство. Напомним [31], что функция / € С( М, ф) принадлежит пространству В( М, ф) п. п. по Бору функций, если для любого £ > 0 множество

Ев(/,£)={т € М: 8ирр(/г(£),/(£)) < £}

ее £-п. п. относительно плотно (здесь и далее, /т(•)=/(• + т) — сдвиг / па т).

Приведем определение множества £(М,ф) п.п. по Степанову [31] функций / : М ^ С этой целью обозначим через Ь1°с(М, ф) совокупность таких измеримых функций /: М ^ ф, что при некотором (а значит, и любом) фиксированном у € ф отображение £ ^ р(у,/(£)) принадлежит !)°с{М, М). На множестве таких функций при каждом I > 0 определено расстояние (псевдометрика)

1 г ¿+1

^г(/>5)=8 ирт / р(1(8),д(8)) йз, ¡,д£Ь[ос(Ш, 2))

(если I = 1, то полагаем й = й). Отметим, что из неравенств

(/,д < Мг2(/,д, йц(/,д) ^2лк(/,д, ^<^, (1.1)

вытекает топологическая эквивалентность ^-расстояний. По определению [31] функция f € Ll°c{R, Y) принадлежит пространству Si{ R, Y), если для любого е>0 множество

EsAf,e) = {т € R: di(fT,Я < е}

ее е-п. п. относительно плотно. В силу (1.1) далее рассматриваем лишь пространство S(R, Y) = S(R, Y) •

Поскольку пространство Y не предполагается линейным, то п.п. функции f : R ^ Y нельзя поставить в соответствие ряд Фурье. Тем не менее можно определить понятие модуля. Напомним [32. С. 48], что последовательность {TjС R называется f-возвращающей для f € S(R, Y), если lim d(fT., f) = 0

j

(в случае, когда f € B(R, Y), эта последовательность являет-f

lim (supp(fT.(i), f(i))) = 0). Множество Mod(f, состоящее из j^~ ieR

таких A € R, что для каждой f-возвращающей последовательности {Tj}°^х lim exp(iATj) = 1 (г2 = —1), называется модулем j j^^

функции f € S(R, Y) • Имеет место следующая теорема Фава-ра [32. С. 48]: если f,g € S(R, Y), то Mod(f) С Mod(g) в том

f

тельность является g-возвращающей.

В дальнейшем, если не оговорено специально, считаем, что (Y, || ■ ||) — сепарабельное банахово пространство. В этом случае [31;32] для каждой функции f € S(R, Y) существует среднее

= Jim £ Jo f(t) dt GZ) и имеет место соответствие T

f (i) ~ ao + 2 E a(A) cos Ai + 6(A) sin Ai ao = a(0), л

f,

a(A) = M{f(i)cos Ai}, 6(A) = M{f(i)sinAi} — коэффициентами Фурье, суммирование ведется по A € Ля, гДе

Л(Я = {A € R; ||a(A) 11 + I|6(A)II >0}

— множество показателей Фурье этого отображения. Отметим, что, если Л € Л(/), то и —Л € Л(/). Поэтому указанное выше соответствие можно представлять в комплекснозначном виде

я*) ~ ^ с(л)егл*, вде с(л) = ал — *&(л)) с(—Л = ал)+¿ь(л)

ЛеК

если Л € Л(/) и с(Л) = 0, если Л / Л/. Кроме того, множество Л(/) не более чем счетно, и если Мос1(Л(/)) --------модуль множе-

ства Л(/), т. е. [32. С. 46] наименьшая группа по сложению, содержащая Л(/), то Мос1(/) = Мос1(Л(/)) —модуль / € £(М,ф).

2. Пусть далее (X, р) — компактное метрическое пространство. Через ВМ х X, ф), £(М х X, ф) обозначим совокупность всех отображений

(*, ж) ^ /(*, ж) € (*,ж) € М х X, (1.2)

которые п.п. по * € М в смысле Бора, соответственно в смысле Степанова равномерно по ж € X. По аналогии с конечномер-

/

из С(М х X, ф) принадлежит пространству В(М х X, ф), если

для любого £ > 0 множество П Ее(/(■ , ж , £

хеХ

сптельно плотно. Отметим, что отображение (1.2) принадлежит ЩМ х X, ф) в том и только том случае, если /(-,ж) € ВМ, ф) при каждом ж € X и Нпфирш7[/(*, •), X]) = 0, где

7|0

[Л*, •), Щ = шр ||/(*, ж)— Л*>^) II. (1-3)

Х1 >ж2 р(х1 >х2)<7

Определение 1.1. Отображение (1.2) называется п. п. по * € М в смысле Степанова равномерно по ж € X, т. е. / € ВМ х X, ф), если оно удовлетворяет одновременно следующим условиям: при каждом ж € X /(-,ж) € ВМ, ф) и НтА7[/, X] = 0, где

7|0

[/,^ = шр ал•,ж),/(•,^). (1.4)

Ж1 >ж2 Р(Х1,Х.2)< 7

Теорема 1.1. Пусть f € S(R x X, Y • Тогда

1) для любого e > 0 множество

П Es(Л',x),e) (1-5)

x€X

непусто и относительно плотно;

2) имеет место равенство lim(supd(ftf(-,x),f(',x))) = О,

x€X

где /#(t,x) = f(t + $,x), u supd(f( ',x),0) <

x€X

3) равномерно no x € X существует, среднее

1 ¡'T

M{f(t,x)}= lim — / f(t,x)dt;

T^^ T 7o

4) для всякой функции g € S(R x X, Y при любом e > О пересечение множеств П Es(Л',x),e) м П Es(g(-,x),e) не-

x€X x€X

пуст,о и относительно плотно.

Доказательство. Так как f € S( R x X, Y, T0>

e>

7 > 0, too dY[f, X < 2e/3. Пусть точки x • • • xp € X образуют

конечную 7-сеть компакта X. Поскольку f(-,Xj) € S(R, Y ПРИ

и

каждом j = l...p, то [31] множество П Es(f (■ , xj), e/3) непу-

j=i

сто и относительно плотно, кроме того, при каждом j € {1 • • • p} lim d(fh('>Xj), f ■, xj)) = 0 и supd(f( ',x^, 0) < го- Теперь, ис-

x€X

пользуя соответствующим образом неравенства

d(fi(-,x),f(->x)) ^ Л-,x),f(->x^ + dfH->x^, л-,xj)), df -,x),0)) < df(-,x),f(->x^ + df(-,x),0))> (£,x) € R x X,

учитывая выбор константы 7 > 0 и точек x • • • xp € X, получим первое и второе утверждение теоремы 1.1.

Далее, т.к. Л',x) € S(R, Y, т0 ПРИ каждом x € X среднее M{f(i,x)} существует. Для заданного e > 0 возьмем т из относительно плотного множества (здесь см. первое утверждение)

П Es(f■ ,х),е/8), и пусть L — число, входящее в определе-x€X

иие относительной плотности этого множества. Тогда для любых p, q € N, следуя схеме доказательства существования среднего [31], получим следующие соотношения:

I гр+я | гр

II---- f(s,x)ds-----------f(s,x)ds\\ ^

"p + qJo PJo

8L

^ 2supd(fT(-,x),f(-,x)) + —supd(/(-,a;),0) <

x€X p x€X

< ? + —snpd(f(-,x),0),

^ p x€X

из которых, в свою очередь, вытекает третье утверждение.

Приведем, далее, схему доказательства последнего утверждения теоремы 1.1. С этой целью отметим, что, используя первое и второе утверждение этой теоремы, можно показать, что если f € S(R х X, Y, то доя произвольно заданного е > 0 существуют такие числа L, п > 0, что каждый отрезок [а, а+L], а € R содержит подотрезок длины п, все точки которого принадлежат множеству (1.5). Теперь, учитывая указанное свойство, для функций f, g € S(R х X, Y надо практически повторить доказательство

е

S R, R ,

теоремы.

Сейчас определим ряд Фурье для функций из S(R х X, Y • Из теоремы 1.1 получаем, что для любых f € S(R х X, Y ид € B( R, R) отображение (¿,х) ^ g(t)f(t,X принадлежит S(R х X, Y и> следовательно, для каждого Л € R равномерно по х € X существует M|f(i,Xe-iAi} = Е(Л, х), причем отображение ж ^ Е(Л,х), x € X равномерно непрерывно. Теперь рассмотрим множество A(f) = {Л € R: max ||Е(Л, XII > 0} и через

x€X

A(f(■, х)) обозначим множество показателей Фурье отображения f( -,х) € S(R, Y ПРИ фиксированном х € X. Из непрерывности при каждом Л функции х ^ ||Е(Л,х)||, х € X и компактности

пространства X, по теореме Вейерштрасса [58. С. 251], получаем

л(/) = IJA (/(•,*))- (1.6)

х€Х

Используя непрерывность функции х ^ ||Е(А,х)II, можно показать, что для любого не более чем счетного всюду плотного множества {х, х • • • } С X имеет место равенство

Л(/)= [>(/(-,х,-)), (1.7)

3=1

а т. к. множество Л(/(-,х3)) не более чем счетно, то таковым же /•

Определение 1.2. Пусть / € S( R х X, Y) • Тогда ряд в правой части соответствия /(t, х) ~ F(A, х) exp(iAt)

л

/, /

его показателей Фурье, а F(A,x) — коэффициентами Фурье; / • / /•

Далее введем ряд функциональных пространств, а затем укажем некоторые подмножества пространства S(R х X, Y) • Для каждого отрезка T С R обозначим через V (T х X, Y) совокупность отображений /: T х X ^ Y, удовлетворяющих условиям: /(t, •) € C( X, Y ПРИ п-в- t € T, для каждого х € X отображение t ^ /(t, х) € Y измеримо и существует такая функция

0/ € L(T, R), что max||/(t, х)|| ^ 0/(t) при п. в. t € ¥• На

x€X

V(T х X, Y) можно ввести норму (см., например, [36. С. 158])

II/lk(TXX.Y = /та^Н/^х)||dt, / € V(T х X, Y• (1-8)

7т хех

Полученное нормированное пространство изометрически изоморфно банаховому пространству L (T,C(X, Y)) и имеет счетное

всюду плотное множество

N

T(T X X, Y = {Е j о bj (•),

j=l

N G N, flj € CX, Y), bj G CT,R, ¿ = 1...n}. (1.9)

Замечание 1.1. В дальнейшем через V (R х X, Y) обозначаем совокупность отображений f: R х X ^ Y, удовлетворяющих условиям, аналогичным для функций из пространства

V (T х X, Y, в которых надо замепить T па R. Используя свойства пространств L(R, Y) и L(R, R) (см. [36], [59-61]), можно показать, что отображение f ^ У/||Vl(rxx,Y, опРеДеленное равенством (1.8) при T = R, задает норму в V (R х X, Y), и чт0 полученное нормированное пространство сепарабельно и изометрически изоморфно L (R, CX, Y)) •

Далее, через V°c(R х X, Y) обозначим совокупность таких функций f : R х X ^ Y, чт0 f G V(T х X, Y) Для каждого фиксированного отрезка T С R.

Определение 1.3. Функция f G Voc( R х X, Y) удовлетворяет условию А), если для всякого ст>0

lim(sup(mes{s G [t, t + 1]: w7[f (s, •), X ^ ^})) = 0. (1.10)

yIO ieR

Непосредственно из данного определения вытекает следующая

Лемма 1.1. Пусть f G V°c(R х X, Y) удовлетворяет условию А) и

sup ||f (t, XII = k < то. (1.11)

(t,x eRxX

Тогда limdY[f, X] = 0.

yIO

Лемма 1.2. Пусть функция f из V°c(R х X, Y) такова, что при каждом е > 0 м,ножест,во (1.5) относительно плотно. Тогда f принадлежит S(R х X, Y).

Доказательство. Первое условие определения 1.1 здесь, очевидно, выполняется. Далее, по условию для заданного е > 0 множество £(е) = Р|Дд(/(-,ж),е/3) относитель-

хеХ

но плотно. Пусть Ь = Ь(е/3) — число, входящее в определение относительной плотности этого множества. Так как множество Т([0, Ь + 1] х X, ф) (см. (1.9) при Т = [О, Ь + 1]) всюду плотно в пространстве ^([О, Ь + 1] х X, ф), то ИтК( 7) = 0, где

Т|0

г ^+1

К7) = ^7[Лв, О,х]^- (1.12)

7о

Выбираем 7о > 0 такое, что К7) < е/3 для всех 7 € (0,70] и произвольного £ € М фиксируем т € [—£, — £ + Ь] Р| £(е). Откуда для всех € X, удовлетворяющих неравенству р(ж!,жг) ^ 7,

получаем следующие соотношения:

Г ¿+1

УЛ«,х) — ||Й5 <

< 2зир^/г(-,ж),/(-,ж)) + К7) < 2е/3 + е/3,

хеХ

т. е. (см. обозначение (1.4)) Э7[/, X ^ е при всех 7 € (0,70]. Следствие 1.1. Имеет место включение Б(М,С(X, ф)) С Б(М х X, ф)•

Лемма 1.3. Пусть / € 5(М,С(X, ф)). Тогда

/* ¿+1

Нпфир / ш7[/8, •), X]¿з) = 0. (1.13)

т!о tекJt

Доказательство. Так как / € Б( М, С X, ф)), т0

е>

Г ¿+1

/, е/3) = {т € М: Бир / тах||/(8 + т,ж) — /(з,ж)||йз < е/3}

¿еК Л хеХ

относительно плотно. Поэтому существует такое Ь > 0, что при каждом £ € М существует т € [—£, —£ + Ь] Р| Дд(/, е/3) и, следовательно, при каждом £ € М имеем неравенства

[/(в,-)>£]ЖК2! ;||/т(в,я:)-/(в,я:)||£гв + Я7)< —+ К7),

где ^7) задано равенством (1.12). Теперь осталось воспользоваться тем, что Нт^7) = 0.

Т|0

Сл^ств^^ фу нкция /, принадлежа-

щая 5(М, С(X, ф)), удовлетворяет условию А).

Лемма 1.4. Пусть / € Ш]°с(М х X, ф) и удовлетворяет, условиям, А) и (1.11) .Тогда, если /(-,х) € 5( М, ф) при каждом х € X, то / € 5(М, СX, ф)) •

/

творяет условиям А) и (1.11), то для заданного е > 0 найдется 7 > 0, отвечающее а = е/2, что

Теперь рассмотрим конечную 7-сеть {хх-.-Хр} с X компакта X и зафиксируем точку т из относительно плотного множе-

ства , х^-), еа/24р). По теореме о максимуме [62. С. 27]

для каждого £ € М найдется такое измеримое отображение х : [£, £ + 1 ] ^ X, что при п. в. § € [£, £ + 1] выполнено равен-

М/(£) = {8 € [£, £+ 1] : р(х(в),х.,-) < 7}, 3 = 1...Р, и пусть

з-1

Т(£) = М(£), Т(£) = М,(£) \ У Мь(£), 2 ^ 3 ^ р. Тогда (на-

8ир(те8{з € [£, £ + 1]: [/(8, •), X] ^ а/3}) < е/16 к.

ство тах||/т(з,х) — /(5,х)У = У/Л5,х(з)) — /(5,х(з))У. Полагаем

помним, что а = е/2 )

^ 21 теэ^ Є [і, і + 1]: ||/г(з, х(,в)) - /(з, х(,в)) || ^ а} + | ^

р

^ I + 2{!ЁтеФ Є Т^і): ||/г(в,ф)) - /(в,ж(в))|| ^ о-} ^

^ - + 4І8шз('те8І£ Є [¿.і + 11: сілЛ/Чз. •). XI ^ —}) +

+2І^те8{8 Є [і,і + 1]: ||/г(в,ж,) - /(«,ж^)|| > ^

и тем самым лемма 1.4 доказана.

Далее, известно [31], что для каждой п. п. по Степанову функции £ м f[¿](•) £ С(X, существует такая п. п. по Бору функция

Поскольку Ш]°с(М х X, ф) — М°С(М, СX, ф)), т0 соответствующий результат справедлив и при представлении функции из £(М, С(X, ф)) в виде отображения (1.2). Для удобства ссылок приведем это утверждение в виде следующей теоремы.

Теорема 1.2. Для каждой функции (1.2), принадлежащей пространству £(М, С(X, ф)), отвечающее ей при ка-

І+Ь

ждом ¡1 > О отображение (і,х) і—» /(¿, ж; Л,) = ^ / /(з,ж)сІ5 Є 2)

п.п.по1 £ М в смысле Бора равномерно по х £ X м при этом

Г ¿+1

1шфир / тах|/(8,х) — /(«,Х Ч= 0.

^1° ¿еК Л хеХ

Доказательство. В самом деле, т. к. функция / £ 5(М, С(X, ф)), то по лемме 1.3 для заданного е > 0 най-

* ^ їьМ(О Є СX, > 0), что

Ж-1

дется такое 7 > 0, что Бир ш7[/(8, •), X< е/3. По это-

¿ек

му 7 строим конечную 7-сеть хх... хр компакта X. По теореме

о максимуме [62] для каждого £ £ М найдется такое измеримое отображение х : [¿, £ + 1 ] м X, что при п. в. 8 £ [¿, £ + 1]

тах||/(з,х) — /(5,х;Ч)|| = ||/(5,х(з)) — /(5,х(з);Ч) 1|. Полагаем хеХ

М/(£) = £ [¿, ¿ + 1] : р(х(5),х./) < 7}, 3 = 1...Р, и пусть

Тх(£) = Мх(¿), Т(¿) = МЛ¿) \ и ^), 2 ^ ^ р. Тогда

&=1

Г ¿+1

/ тах|/(в,х — / («,хЧ 1И« =

7* хеХ р

= Ё/ 11/(*>Ф)) - Л^Ф);^)llds <

Й ■'ji}

^ S(/ H/(s>x(s))-||ds+ / |/(s,xj-/(s,xjhl|ds +

^ t) 7г^(t)

t+i

|fs,xj h — /(s,x(s);h) llds) ^3sup / w7[/(s, •), X]ds +

teR J

■'YL

/Т^(t) teR t

p p + Х^(Л->xj),/(-,xj h)) < 3e/2 + Ed/(-,xj) > Л-,xj h))> j=l j = l

поскольку

p /•

V/ |/s,xj h — /(s,x(s);h ||ds <

^ Tj( t)

p f 1 /■ s+h

(h w7[/(Cr),X]dC)ds <

j = l ^Tj(^ ^ s

/•*t+l+h 1 /* s /*t+2

</ (7-/ w7[/({, •), X]ds)d{ ^ sup / w7[/(s,-),X]ds.

./t h J s—h teR Л

Для завершения доказательства теоремы 1.2 осталось воспользоваться тем, что при каждом j п. п. по Бору функция /(■, x j h)

является стекловским усреднением для /(^х^-) £ ^М, ф) и, следовательно [31], Нт^(/(^х^-),/(^х^-; ^)) = 0.

^40

3. В этом пункте приведем связь между п.п. функциями и п. п. последовательностями.

Лемма 1.5. Пусть / £ £(М х X, ф). Тогда для любого е > 0 множество

непусто и относительно плотно.

Доказательство. Фиксируем произвольную апериодическую по Ь равномерно по х Є X функцию д, принадлежащую М х X, ф), такую, что д* = тіп ||ді(ж) || > 0,

где Аі(ж) = М{д(і, ж) ехр( — ^р£)}, и покажем, что для произвольного Єї Є (0,2д*) найдется такое 6 = 6(єі,а) > 0, что ( П д( ■ ,ж),Єї)) П(т Є М: |т| < 6 (тосі а)} Ф 0- Действитель-

НО, если Т принадлежит первому МНОЖеству в этом пересечении, то из неравенств

и выбора £\ получаем, что (бш^)) < |зт(|Ц-)|. Откуда, выбирая I £ 2 таким, что |пт/а — п1| ^ п/2, будем иметь неравенство |т — 1а| < 5 = (е1а/4д*), т. е. т принадлежит множеству {т £ М: |т| < 5 (тос1 а)}. Далее, поскольку / £ £(М х X, ф), то, в силу теоремы 1.1, найдется такое п = п(е/2) > 0, что

зир^(Д(^х),/(^,х)) ^ е/2 при |Л,| ^ п. Поэтому для всякого

хеХ

т £ П (/(•,х),е/2) отрезок [т — п,т + п] ^ П Ез(/(^х),е).

хеХ хеХ

Теперь выбираем е\ £ (0, е/2) так, чтобы для функции д отвечающее ему 5 = 5(е1, а принадлежало (0, п). Так как д принадлежит пространству £( М х X, ф), то множество

(1.14)

А* • |е2”т - 1К ІІАі(х)II ' |е"гг - 1| ^ 8\1'рй(дТ{-,х),д{-,х))

жЄХ

относительно плотно. Покажем, что оно содержится в множестве, определенном в (1.14). В самом деле, если т € £(£i), то, как было показано выше, найдется такое l € Z, too |т — la| < а т. к. т < n, то la € П Es( f ■ , х),е). Нужное включение доказано, а

вместе с ним и утверждение леммы 1.5.

Следствие 1.3. Пуст, ь f € S( R, Y - Тогда для любого е > 0 множество aZP|Es(f, е) непусто и относительно плотно.

По аналогии с определением числовой п. п. последовательности [63; 64] скажем, что последовательность {xm}mez банаховою пространства (X, || ■ ||х) п. п., если для любого е > 0 множество

£({Xm}meZ,e) = {n € Z: SUp ||Xm+n —Xm ||x < е} ее е-П. П. ОТНОСИ-

m€Z

тельно плотно. Отметим, что для каждой п. п. последовательно-

q-1

сти {xm}m&z С X существует среднее lim - ^ хт € X, и для

q^~ 9 m=0

любых двух п.п. последовательностей {xm}mez, {ym}mez С X при ВСЯКОМ е > 0 множество £({Жт}т€2,е) П £({Ут}т€2, е) ^ 0 и относительно плотно.

Определение 1.4. Последовательность {fm}mgz отображений

(t,х ^ fm(€ y, (t,x € [о,ax x (i.i5)

называется п. п. равномерно по х € X, если при каждом х € X последовательность {fm(-,х)}mgz содержится в Li([0,a], Y, яв_ ляется п. п. (т. е. для любого е > 0 множество

£({fm(-,х)}meZ,е) = {n € Z: sup / ||fm+n(t, х) — fm(t, х) 11dt < е}

m€Z Jo

относительно плотно) и, кроме того, limd7[{fm}meZ, X = 0, где

7|0

d7[{fm}m€Z, X = sup (sup / ||fm(t,Xi) — fm(t,X2) ||dt).

x,x2m€Z 7o

p(x1,x2 Ky

Лемма 1.6. Пусть последовательность {fm}mez отображений (1.15) п. п. равномерно по x € X. Тогда функция /: R х X ^ Y, определенная при каждом m € Z на множестве [ma, (m + l)a] х X равенством

/(t + ma, x) = fm(t,x), (t,x) € [0, a х X, (1.16)

принадлежит пространству S(R х X, Y) •

Доказательство. Если n € Z и x € X, то (1.16) 2 ra

da{f(- + na,x),f(-,x)) ^ -sup / ||fm+„(s,x) - fm(s,x))||ds.

a meZ 7o

Кроме того, если xi,x2 € X и p(xi,x2) ^ Y, to

da (/(') Xi), /(•, X2)) < ^7[{fm}meZ,X].

Для завершения доказательства воспользуемся (1.1).

Из следствия 1.3 и определения 1.1 вытекает

Лемма 1.7. Пусть функция / € S(RxX, Y)• Тогда последовательность {fm}mez отображений (1.15), определелен-ная при каждом m € Z равенством (1.16), является п. п. равномерно по x € X.

Теперь из лемм 1.5-1.7 и теоремы 1.1 получаем

Следствие 1.4. Функция / € S( R х X, Y) в том и

только в том случае, если последовательность {fm}mez отображений (1.15), определенная при каждом m € Z равенством . , x € X.

Следствие 1.5. Пусть последовательность функций (1.15) п. п. равномерно по x € X. Тогда при каждом е > О множество

П E({fm(-,x)}mez,e) (1.17)

xeX

a

относительно плотно и sup(sup f ||fm(t,x)||dt) < to.

xeX meZ 0

Лемма 1.8. Пусть последовательность {|т}тєг отображений, принадлежащая Ші([0,а] х X, ф), такова, что для любого є > 0 множество (1.17) непусто и относительно плотно. Тогда эт,а последовательность п. п. равномерно по х Є X.

Доказательство. Рассмотрим, заданное равенством (1.16) отображение / : МхX ^ Несложно показать, что / Є Ш]°с(М х X, ф) и ПРИ каждом є > 0 множество (1.5) непусто и относительно плотно. Поэтому по лемме 1.2 / Є ^М х X, ф), а в силу леммы 1.7 отвечающая ей последовательность {|т}тег будет п. п. равномерно по х Є X.

Следствие 1.6. Пусть последовательность отображений {|т }тег из Ьі ([0, а], ф)) п.п. Тогда она является п. п. равномерно по х Є X.

Приведем сейчас связь множества показателей Фурье п. п. функции и отвечающей ей п.п. последовательности.

Лемма 1.9. Если последовательность

п. п., то найдется последовательность }^, Нт эд = то т,а-

I

кая, что для п. в. £ € [0, а] существует предел

Доказательство. Так как последовательность {Іт}тє2 из ¿і([0, а], ф) является п. п., то существует

От}тЄ2 С £і([0, а], ф)

(1.18)

Откуда вытекает, что последовательность отображений

1 9-1

і |—*’ — |т{і) Є 2), і Є [0, а]

^ п

т

является фундаментальной по мере, а значит, по теореме Рисса [36. С. 86], найдется такая последовательность {q}^ С N, что lim q = œ и для п. в. t € [0, а] существует предел (1.18).

Следствие 1.7. Пусть последовательность

{fm}mez С М[0,а, Y)

п. п. Тогда для каждого Л € R найдется такая последовательность {q}^х, Hm q = œ, что для п. в. t € [0, а] существует

-, 9Í —

lim- VUí)e-íb = fA(í). (1.19)

1 ^® m=í»

Доказательство. При каждом Л € R числовая последовательность {e-iAm}mez является п. п. и следовательно последовательность {fme-iAm}meZ будет п.п. Сейчас осталось воспользоваться утверждением леммы 1.9.

Определение 1.5. Пусть последовательность

{fm}m€Z С М[0, а]) Y)

является п. п. Тогда множество A({fm}mez), состоящее из таких Л € R, что для п. в. t € [0,а] ||Fa(t) || > 0 называется множе-

ством показателей Фурье этой последовательности, а множество Mod({fm}mez) = ^d(A({fm}mez)) — ее модулем.

Далее приведем практически элементарное доказательство следующей теоремы И. Я. Шнейберга [65].

Теорема 1.3. Имеет место равенство

A({fmW) = aA(/) + 2nZ, (1.20)

где п.п. последовательность {fm}mgz С Li([0, а], Y) отвечает функции / € S R, Y) •

гда (см. (1.19)) при каждом к € Z

Доказательство. Пусть /(t) £A(À)eiAi. То-

л

/А + 2кк\ = Ит ±_9у Г гХте_г^е_г^м =

Va a / ' /п

,a a / q«a '7 о

m=0

= - f Jrx(t)e~late~l^tdt, a

т. e. число A(a + ^г) совпадает с к-м коэффициентом Фурье отображения (см. (1.19)) 11—>■ JFA(i)e_tâi. Кроме того,

21= |j{AeR: ¿(- + —) ф о} = аЛ(/) + 2vrZ.

fceZ a a

Поэтому для доказательства равенства (1.20) достаточно показать, что A({fm}meZ) = A. Для доказательства последнего равенства заметим сначала, что FA(t) = 0 для п. в. t € [0, a] в том и только в том случае, когда ^-"л(^)е_г“* = 0 при п. в. t € [0, a. Теперь из определения 1.5 и доказанного выше равенства

А(а + ^г) = ¿/^л(^)е_г“*е_г1?*^ получаем: A({fm}meZ) С 21.

о

Далее, если À те принадлежит множеству A({fm}meZ), то для п.в. i £ [0,а] ^(¿)е_г“* = 0. Следовательно, по теореме о единственности разложения функций в ряд Фурье [61. С. 419] А(а + = 0 для всех к ez. Поэтому A({fm}meZ) = 21.

Рассмотрим, далее, п. п. равномерно по x € X последовательность отображений (1.15). По определению 1.4 при каждом x € X последовательность {fm(-,x)}meZ С ¿i([0, a], Y) является п.п. Обозначим (см. определение 1.5) через A({fm(-,x)}mgZ) множество ее показателей Фурье.

Определение 1.6. Пусть задана последовательность {fm}meZ функций (1.15) п.п. равномерно относительно

х € X. Тогда множество

Л(От}те2) = У Л(^(->Х 1т€2) (1.21)

называется множеством показателей Фурье этой последовательности.

Теорема 1.4. Пусть функция / € £(М х X, ф) и 0т}те2 — отвечающая ей п. п. равномерно по х € X последовательность отображений, определенных при каждом, т € Ъ равенством (1.16). Тогда множество Л({|т}те2) показателей

/

показателей Фурье функции / равенством, (1.20).

Доказательство. Утверждение теоремы 1.3 вытекает из следующей цепочки равенств:

Л({Ытй) ( =1:1 ^({Ы-,Х}т«) ( =0)

|^) (аЛ(/(■, х)) + 2пЪ) = а |^) Л(/(■, х)) + 2пЪ) ^1==^ аЛ(/) + 2пЪ.

Следствие 1.8. Пусть последовательность отображений (1.15) является п. п. равномерно по х € X. Тогда множество Л({|т}тег) не более чем, счет,но и для любого фиксированного счетного всюду плотного в X множества

СО

{х1,х2,... } точек и,3 X Л({|т}т,€2) — и Л({1"та( ',хз) }т€х).

3=1

Доказательство. Рассмотрим отвечающую нашей последовательности (см. равенство (1.16) леммы 1.6) функцию / € £( М х X, ф). Теперь из соотношений

ОО

и Л({Ы", х3)}теХ (Х=0) ^Л(/(-,хз)) + 2пЪ(=7)

3=1 3=1

(1=7) аЛ(/) + 2пЪ = Л}те2)

получаем нужное равенство, и т.к. по теореме 1.3 при каждом j € N множество A({fm(-,Xj)}mgZ) не более чем счетно, то и множество A({fm}mez) не более чем счетно.

4. В дальнейшем нам понадобится следующая

Теорема 1.5. Пусть заданы функция f € S(R, Y) и отвечающая ей п. п. последовательность

{fm}m€Z с Li([0,a], Y), fm( ¿) = fma(í), t € [0 ,«]•

Пусть также задан сходящийся числовой ряд afc, г<^е afc > 0-

fc=o

Тогда из любого неограниченного множества Q с N можно выделить такую последовательность {q»}^!, lim q» = то, что из

г—<^

всякой заданной последовательности {nj}?^ СО, a], lim nj = 0,

можно извлечь такую подпоследовательность {n-}j=i, что для п. в. $ € [0, а] будут выполнены равенства:

1 qi—1 i т

lim (lim — У2~ \\fm(t + tf) - fm(&)\\dt) = 0, (1.22)

n 7o

i ^ p nj

lim (lim -----------------У2У2~ llfm+fc(í + tf)-fm+fc(tf)||ífó) = o. (1.23)

Доказательство. Для каждого k € Z+ рассмотрим последовательность функций |gm+fc}mgz С (L, || ■ ||l), L = Li([0, a], ^([0, a, R), определенную при всяком m € Z равенством

gm+fc( $,n)= / llfm+fc( i + $) - fm+fc( $) || dt, ^ a.

7o

Поскольку при всех k € Z+ и n € Z

sup ||gm+fc+n - gm+fc ||l = m€Z

= sup f max ||gm+fc+n($,n) - gm+fc($,n) ||dtf ^ meW ПФ>«]

^3sup f ||fm+n(t) - fm(t)lldt,

meZ Jo

то последовательность |gm+fc}mez является равностепенно п. п. относительно k € Z+, и для любого £ > О

£(fm}m€Z,£/3) С f') £({gm+fc}m€Z,£)-

Поэтому из определения этой последовательности, следуя схеме доказательства соответствующего утверждения для числовых п. п. последовательностей [63. С.178], можно показать, что для каждого £ > 0 найдется такое l = l(£) € N, что при всех j € N

j+fc-i j-i £ sup II V gm ~ V gm\\c < 4a2IF + -j,

keZ+ m=fc m=0

где F = SUp^ J*+a ||/(s)||ds. В свою очередь, последнее неравен-teR

ство, позволяет доказать, что при всех q € N, для последовательности функций {cq}qeN С L, в которой

1 9-1 Сд(0,»7) = —

qa m=0

имеет место следующее неравенство:

£ 8a2 IF

sup ||cg+fc - CfclU ^ - +--------•

fcez+ ^ q

Стало быть, последовательность {cq}qeN С L является фундаментальной. Поэтому в силу полноты пространства (L, || ■ ||l) найдется такая функция c € L, что будет выполнено равенство

lim ||c„ - c|l =

= lim f max ||cq($,n) - c($,n) ||d$ = 0, (1-24)

q^^Jo пф,«]

и т.к. lim ( sup ||c„+fc - Cq ||l) = 0, TO lim ( sup ||Cq+fc - c||l) = 0.

q^ro fcez+ q^ro fcez+

Поэтому, полагая

ГО ГО

A = Е afc, bq(tf, П = ^2 afcCq+fc(tf, n), q € Q С N, 0 ^ tf, n ^ a, fc=o fc=o

получаем равенство lim ||bq — Ac||l = 0. Теперь, учитывая опре-

q^-ro

деление || ■ ||l, из (1.24) и последнего предельного равенства получаем, что найдется такая последовательность {qi}roi С Q, lim qi = то, для которой при п. в. tf € [0, a] будут иметь место

г^го

при i ^ то следующие предельные соотношения: f qi-i

qia Е gmtf,n) ^ c(tf>n)>

qj-O ro ’“] (1-25)

¿E E afcUfe№4) =* Ac(tf,r?).

m=0 fc=0 n€[0>a]

Рассмотрим далее множество функций {Zn, n € (0, a]} из

Li([0,a],R), где Cj?(^) = |c($> ri)i $€[0,a]. Покажем, что

lim f = 0. (1.26)

n|0 J0

Действительно, при каждом n € (0, a] имеем следующие соотношения:

ia Ci 1 Гa 1 /• П

= - / (lim — V ||Ui + tf)-Utf)||di)dtf =

Jo n Jo qia

i i qi__1 /• a /• n

= - lim — V (/ ||fm(i + tf) -fm(tf)||di)dtf =

n г^го qia ^ Л

i i qi_ /* П /* a

= - lim — V] (/ ||fm(i + 1?) - fm(tf)||dtf)di ^ sup da(ft,f). n г^го qia ^0Jo Jo ie[o,n]

Откуда, принимая во внимание, что lim( sup da(ft, f)) = 0, no-

ni° te[o

лучаем равенство (1.26), из которого, в свою очередь, вытекает, что из любой, стремящейся к пулю при j ^ то последовательности {nj}j^! С (0, а] можно выделить такую подпоследовательность (n, }°^х, что для п. в. $ € [0, а] lim (n, ($) = 0. Теперь из

(1.25) получаем нужные равенства (1.22), (1.23).

2. Пространство мерозначных п. п.функций

1. В этом пункте приведем необходимые для дальнейшего определения и обозначения.

Для фиксированного U € comp(Rm) определим следующие множества

frm(U) = (v € frm(Rm): supp(v) С U}, rpm(U) = (v € rpm(Rm): supp(v) С U},

где frm(Rm) — линейное пространство мер Радона на Rm и rpm(Rm) — его подмножество, состоящее из вероятностных мер Радона, supp(v) — носитель меры v. Через DIRU) обозначим совокупность мер Дирака , сосредоточенных в точках u € U.

В дальнейшем в силу теоремы Рисса [36. С.138] каждую меру v € U

с(-)m-(v, c(u)) = i c(u)v(du), c(•) € CU, R),

J U

принадлежащее (C( U, R)) *, и в связи с этим ее вар нацию |v |( U) определяем равенством |v|(U) = sup |(v, c(u))|. На множе-

llcllc(U,R)

U

2_j

\v\w = ¿2 1 ■ п. II------^ сЛи))> и G frm(H),

^ 1 + llcj IIc(h,r)

где функции с,-, ] € N принадлежат счетному всюду плотному в С( и, М) множест ву С(Я, М) С С( и, М) • Полученное нормированное пространство (£гт(Я), | ■ |ад) сепарабельно, и если

р™(^,Ы = И - ^2к,

то метрическое пространство (грт(Я) , рад) компактно. Отметим также, что отображение и ^ € ^Т"Я(и С (грт(Я), рад), и € Я

является гомеоморфизмом.

Обозначим через М = М(М, £гт(Я)) совокупность таких измеримых отображений у: М ^ (£гт(Я, | ■ |ш), что

||у|| = ^Бир |у(£)|(Я) <

*еж

Можно показать, что у € М в том и только в том случае, если для всякой функции с € С(Я, М), отображение £ ^ (у(£),с(и)), £ € М измеримо. Кроме того, если у € М, то для любой функции V € V = V (М х Я, М) (см. замечание 1.1) отображение

£ ^(^(¿),^(£, и) = / <£(£, и)у(£)((и) (2.1)

Уя

принадлежит Ь\ (М, М). Незначительно изменив схему доказательства теоремы Данфорда-Петтиса [36. С.299] о структуре пространства (V (Т х Я, М)) для случая, когда Т € сотр(М), можно показать, что М = V • Поэтому в дальнейшем каждое у € М рассматриваем как функцию

V ^ (М£),^(£, и) )(И^2=^ 0 <^(£, и)у(£)(^и)) (£, V € V,

Уж Уж ./я

принадлежащую пространству V. Далее, отображение

2— /•

^ ^ 1И«, = У] ГП—и---------------------------------------I ^ 6 •М,

^1 + 11V,11V Уж

где {<£ 1,(^2,... } С V — счетное всюду плотное множество в V, задает норм у в M. Полученное нормированное пространство (M, || ■ ||w) является сепарабельным, и два его подмножества Mi = M(R, rpm(Я)), S = {м € M: ||м|| ^ 1} компактны, причем если Mj, м € S, j € N, то lim ||m — M|w = 0 в том и только

в том случае, если для каждой функции ip € V справедливо равенство

lim / (jt),^(t, и))dt = I (Mt),^(t, и))dt. (2.2)

Пусть, далее, M^ = {м € Mi : Mt) = ПРИ п-в-

t € R и некотором и : R ^ U} и U — совокупность всех измеримых отображений и : R ^ U. Тогда, во-первых, если М0 = 0 € M^, то и(0 € U, а во-вторых, отображение

и(0 ^ ¿«(0 € M^, и(0 € U биективно. Следовательно, каждое

и(•) € U можно рассматривать как элемент из M^ С Mi, отождествляя его с отображением t ^ ¿ф), t € R.

2. Введем далее понятие мерозначной п.п. функции.

О п р е д е л е н и е 2.1. Отображение М 0, принадлежащее M = M(R,frm(U), называется п.п. по Степанову, если для любой функции c € C(U R), отображение t ^ (Mt),c(u)) принадлежит пространству S(R, R).

M

значим APM = APM(U, и через APMi = APMi (U обозначим множество APM Р| Mi.

Сделаем ряд замечаний по поводу определения 2.1.

Замечание 2.1. Несложно показать, что м € APM в том и только в том случае, если для каждой функции c € £(Н, R) (напомним, что £(Я, R) — счетное, всюду плотное в C(U R) множество функций из C(U R)) отображение t ^ (Mt),c(u)), далее пишем просто (М0, с(и)), принадлежит $(R, R).

Замечание 2.2. Аналогично определению 2.1 можно задать почти периодичность функций из пространства М и в другом смысле, например в смысле Вейля или Безиковича [31]. В частности, отображение м € С(М, (£гт(Я), | ■ |ад)) называется п.п. по Бору (пишем м € В(М, £гт(Я)), если для каждой функции с € С(Я, М) (или с € С(Я, М)) отображение (М '), с(и)) принадлежит в м, м) .

Замечание 2.3. Поскольку / = / )”=1 € 5( М, М”) в том и только в том случае, если при каждом ] = 1... п / € £(М, М), и т. к. интегрирование функций из С(Я, М”) по мере м(^) € £гт(Я покоординатное, то м € АРМ в том и только в том случае, если для каждой функции с € С(Я, М”) отображение

пространства М = М(М, (£гт(Я, | ■ |ад)) следует возможность задания на нем ^Рго -расстояния

Поэтому почти периодичность М ИЗ М можно определить в смысле пространства £(М, £гт(Я), т. е. (см. п. 1 из первого раздела) М € £(М, £гт(Я)), если для любого е > 0 множество

относительно плотно.

Лемма 2.1. Отображение М € £(М, £гт(Я)) в том и только в том случае, если оно п. п. по Степанову в смысле опре..

Доказательство. Если м € АРМ, то, используя неравенство

(М•),с(и)) € ВМ, М”).

1М5) — К«)|ш^«, М,^ € М. (2.3)

ЕрМ,е) = {т € М: ^(Мт,М < е}

да

/*£+1 °°

хэир / КМ«) - М«),с? (и) ^ + уму У 2--74-1,

¿ек У *

.?—Л)+1

где ^ € М, и замечание 2.1, несложно показать, что м принадлежит ВМ, £гт(Я))• И наоборот, если м € £(М, £гт(Я)), то для доказательства того, что м € АРМ, надо воспользоваться неравенством

г £+1

Бир / |(Мт(«) — М5),с(и))^5 ^

£€К Л

ЦМ! ■ Ус — ||с(я,к) + 2-70(1 + ||||с(яд))^р-ш(^т,М,

справедливого для всякой функции с € С Я, М), любом фиксированном _7о € N и каждом т € М.

Таким образом, почти периодичность отображения м € М в смысле определения 2.1 равносильна его почти периодичности в смысле пространства £(М, £гт(Я)• Однако при исследовании структуры пространства мерозначных п. п. отображений удобнее пользоваться определением 2.1. Отметим также, что доказанная лемма 2.1 обосновывает некоторые определения пространства АРМ. В частности, теперь естественно следующее

Определение 2.2. Множество А С АРМ называется равностепенно п. п., если для каждой функции с € С(Я, М) подмножество |(М•), с(и)), М') € А} из £(М, М) является равностепенно п. п.

Пусть, далее,

АРМХ(1) = {м € АРМ: М(*) = <*«(£) при п. в. £ € М и некотором и: М ^ Я}. (2-4)

Лемма 2.2. Функция и(•) € £(М,Я) в том и только в том случае, если отображение 5ад(.) € АРМ^.

Доказательство. Пусть 5^.) € АРМ^. Так как АРМ^ С , то функция и : М ^ Я измерима и

(см.замечание 2.3) отображение (¿и•), с(и)) = с(и(0) принадлежит S(R, Rm) для каждой функции с( •) € C(U, Rm) • Взяв с(и) = и, получаем, что и(0 € SR, U) • Пусть теперь функция и(0 € SR, U) • Покажем, что ¿и•) € APM^. Действительно, т.к. U € comp(Rm), то каждая функция с € C(U,R) равномерно непрерывна. Следовательно, если c € C(U, R), то для произвольного е > 0 найдется такое 5 = 5(е), чт0 Ни — с(и2)| < е/2, если |ui — и2| ^ 5, и, U € U. Докажем, что относительно плотное множество Ери,5е/47), 7= ||c||c(u,r), содержится в Ep с о и, е). Пусть т € Ер и, 5е/47) и F( t) = Is € [t,t+l]: |uT (s) — u(s) | > ¿}, t € R. Тогда из следующих соотношений

d(c о ит, сои) ^ sup | c(u(s + г)) — c(u(s))\ds + ^ ^

i€R ./F(i) 2

2 Y

^ —d(uT, и) + e/2 ^ e/2 + e/2 = e

5

получаем нужное включение. Для завершения доказательства осталось воспользоваться равенством (¿и•), с(и)) = с(и(0) И определением 2.1.

Таким образом, лемма 2.2 показывает, что существует взаимно однозначное соответствие между S(R, U) и APM^. Поэтому каждую функцию и{•) € S(R,U) будем рассматривать так же, как элемент множества APM^ С APMi, отождествляя его с отображением ¿и•) • В этом смысле S(R, U) вкладывается в APM С APM.

Далее, для компактного метрического пространства (X, р) и сепарабельного нормированного пространства (frm(U), |-|w) рассмотрим множество S(R х X, frm (U)), состоящее из отображений (t,X ^ Mt, X € frm(U), которые п. п. no t € R в смысле Степанова равномерно по x € X, т. е. (см. определение 1.1 при

Y = frm(U)) каждое м : R х X ^ frm (U) удовл етворяет следующим условиям: для каждого x € X M^,X € S(R, frm(U)) и limd7[м,X] = 0, где (см. обозначение (2.3))

т|0

d7[м, X = sup|dpw (M^,x),M^,x2)) : xbx2 €X, p(xbx2) ^ y}.

В дальнейшем, если не оговорено специально, ограничимся рассмотрением важного при исследовании задач оптимального управления п. п. движениями подмножества Б(М х X, грт(Я)) множества Б (М х X, £гт(Я) • Согласно определению, это множество состоит из отображений ц: М х X ^ грт (Я, удовлечворяющих следующим условиям: при каждом х € X ц(^,х) € Б(М, грт(Я)) и Нт37[ц, X] = 0.

7|0

Лемма 2.3. Для того чтобы ц € Б( 1x1^111 (Я), необходимо и достаточно, чтобы для каждой функции с € С(Я, М) отображение

(¿,х) ^ (ц(£, х), с(и)) = / с(«)ц(£, х)(^и)

./я

принадлежало пространству Б(М х X, М) •

Доказательство. Пусть ц € Б (М х X, грт (Я) • Тогда для каждой функции с € С( Я, М), в силу леммы 2.2 и определения 2.1, отображение

£ ^ /с(£, х) = (ц(£, х), с(и)), х € X

принадлежит БМ, М). Далее, из неравенства (см. (2.3), (1.4) и определение нормы | • |ш )

^7[/с, ^ ||с — с^, ||с(я,к) + 2-?0 (1 + ||с^яд)) ^7[ц,^, .70 €

учитывая, что € £(Я, М) и Ит07[ц, X = 0, получим, что

7|0

НтЭ7[/с, X = 0. Откуда то определению 1.1 /с € Б(М х X, М)•

7|0

Пусть теперь для каждой функции с из С(Я, М) /с принадлежит БМ х X, М)• Тогда, снова по лемме 2.2 и определению 2.1, получаем, что при каждом х € X ц(-,х) € Б (М, грт (Я) • Далее, используя неравенство

ю 2—

з>,г] 5:5] —г-,----о,[Л,аг] + ]Г 2~>+\ * € N

+ »сю 11с(яд)

и определение 1.1, получим, что НтЭ7 [ц, X = ^

7|0

3. В этом пункте определим ряд Фурье для мерозначного п. п. отображения.

Пусть ц € АРМ^ Тогда по определению 2.1 для каждой функции с € С(Я, М) отображение (ц(•), с(и)) € БМ, М) и, следовательно, имеет место следующее соответствие:

(ц(£), с(и)) ~ Ам[с^2 ^ Ам[с, А] соя М + Вм[с, А] ят А£,

л

в котором

[с,А] = М{(ц(£),с(и)^об А£}

|вм[с, А = М{(ц(£), с(и)С11 А£},

А,

Л(ц, с) = {А € М: |ЛМ[с, А1 + |®м[с, АI > 0}

показателей Фурье этого отображения. Далее, т.к. ц € М, то из (2.5) получаем, что Ам[-,А], Вм[•, А € (С(Я, М))* при каждом А € М^ Поэтому, по теореме Рисса [36. С.138], еуществуют такие меры ал, вл € Ггт(Я, что для всех с € С(Я, Я)

Лм[с, А] = (ал, с(и)), Вм[с, А] = (вл, с(и))• (2-6)

Теперь рассмотрим множество

Л(ц) = {А € М: |ал|(Я) + |вл|(Я)I > 0}• (2.7)

ц ц, с ,

вытекает равенство

лы= и л(ц,^^ (2-8)

с€С( я,К)

ц

для любого фиксированного счетного, всюду плотного в С(Я, М) множества С(Я, М) С С(Я, М)

ц ц, с •

(2.9)

сее(яд)

Доказательство. Включение

(^) Л(ц,с) = А С Л(ц)

сее(яд)

очевидно. Теперь если А / А, то в силу (2.6) (ал,с(и)) = О, (вл,с(и)) = 0 для всех с € С(Я, М)• Откуда по теореме Хана-Банаха [61] получаем, что |ал|( Я = |вл |( Я | = 0 и, значит, А ц • ц, с

— не более чем счетное множество, то в силу этого равенства ц

Теперь естественно следующее (см. (2.6)-(2.9))

Определение 2.3. Пусть ц € АРМ^ Тогда ряд в правой части следующего соответствия

называется рядом Фурье отображения ц, меры ал,вл € Ггт(Я)

— коэффициентами Фурье и не более чем счетное множество ц

Замечание 2.5. В дальнейшем соответствие (2.10) для ц € АРМ записываем в комплексном виде

где ^л = ал — ¿вл, ^_л = ал + ¿вл, если А € Л(ц), и считаем меры ^нулевыми, е ели А / Л(ц)^

ц(*) ^ ао ^ ^ ^ ал соб А£ + вл А^ (2.10)

л

Далее, если ц € АРМ, то Мос1(ц) = Мос1(Л(ц)) — модуль отображения ц Из этого определения и равенства (2.8) вытекает

Лемма 2.5. Пусть ц, V € АРМ и для всеж с € С(Я, М) Мос1(Л(ц,с)) С Мос1(Л(v, с)^ Тогда Мос1(ц) С Мо

Рассмотрим далее ц € М х X, грт(Я) • По лемме 2.3 при каждом х € X отображение ц(-,х) € АРМЬ Поэтому если Л(ц(-,х),с) — множество показателей Фурье п.п. по Степанову функции £ м (ц(£,х),с(и)), т0

Л(ц(-,х) ) = и Л(ц( ^х),^ (2-11)

сеС( я,К)

Теперь, принимая во внимание, что £(МхХ^т(Я)) содержится в Б(М х Х,£гт(Я)) и определение 1.2 при ф = &т(Я) (см. также равенство (1.6) при / = ц), множество

Л(ц) = иЛ(Ц',Х) ^ У У Л(Ц',Х,с) (2-12)

жех жех с€С(я,К)

() ц Б (М х X, грт(Я) •

Отметим, что множество Л(ц) для ц € Б(М х X, грт(Я)) не более чем счетно. Это вытекает из равенства

ГО

Л(ц)= и и л(ц',х^,сЬ

^1сеСя,в)

где множество {х, X, • • • } С X является счетным, всюду плот-

Х,

женпй ц(-,х) и (£,х) м /(¿,х) = (ц(£,х),с(и)) соответственно.

В дальнейшем важную роль будут играть п. п. последовательности {^}т€2 го (грт(Я), рад), которые удобно записывать в виде ^(ш) }тег• В соответствии со сказанным в п.З первого

раздела последовательность {V(m) }mez С (rpm(Я) , pw) является п.п., если для любого £ > 0 множество

£({v(m)}meZ,£) = (nG Z: sup |v(m, + n) - v(m)|w ^ £},

m€Z

£

ствия 1.3 и 1.4, легко видеть, что последовательность (v(m) }mgz С rpm (Я) п. п. в том и только в том случае, если для любой функции с € С(Я, R) (или, что равносильно (см. замечание 2.1) для любой функции с € £(Я, R)) числовая последовательность {(v(m),c(u))}mgz является п.п. Следовательно, если (v(m)}mez — п.п. последовательность, то для каждой функции с € С(Я, R) определено множество

1 9-1

Л({(г/(т), c(«))}meZ) = {Л € R: lim - V] (z/(m), с(-и))е_гЛт ф 0},

т=0

которое называем множеством показателей Фурье числовой п. п. последовательности {(v(m),c(u))}mgz• При этом если рассмотреть функцию v •. R ^ rpm(Я) отвечающую п. п. последовательности (v(m) }meZ С rpm (Я), т. е. такую, что v(t) = v(m) при всех t € [ша, (ш + 1)а] (а > 0), то по теореме 1.3 для каждой функции с € С(Я, R) имеет место равенство

Л({(^(ш), с(и))}m£^ aA(v, с) + 2nZ,

где A(v, с) — множество показателей Фурье п.п. по Степанову отображения t ^ (v(t), с(и))• Откуда по лемме 2.4 получаем, что

Л({^(ш) } m€Z ) = U Л({(КШ,^и ) } m€Z ) = аЛ(^) +

ceC(U,R)

и в дальнейшем так определенное (не более чем счетное) множество Л(Мш)}meZ) называем множеством показателей Фурье п. п. последовательности {^(ш) }mez• Отметим, что из данного определения вытекает, что если — принадлежит заданному

Mod(A), A С R, то

Mod({v(m)= №d(A({v(m)}me^ С aMod(A)

в том и только в том случае, если Mod(v) = Mod(A(v)) содержится в Mod(A).

4. В этом пункте покажем, что каждое ^ € APM можно проаппроксимпровать мерозначным тригонометрическим полиномом.

Пусть ^ € APM и ^(t) ~ Е vAexp(¿At) (см. замечание 2.5).

AeR

В множестве Л(^) фиксируем рациональный базис {ti,t2}, и при каждом m € N рассмотрим меру

0m; ti ...rm( ¿) — ГК1

|k

j I

777,1)2 / -1Г1+...+^Гт

|крК(т!)2 1 — 1

р=1. ..т

/ • / ^1 кт \ \

хехр(г(—-п +-------1---тЪтт, £ € М,

т! т!

которая является мерозначным тригонометрическим полиномом. Нам понадобятся также функции £ ^Кт;Г1...гт(£) € [0, то], определенные равенством

Кт-Х1..Лгп{1) = К(т<у2 ....ЕГ(т!)2 (^Т^) =

= ^ П ехР(-*(-^ТГ1 + •" +

^ л х± \ (т!г/ т! т!

|кРК(т!)2 1=1 4 к /

р=1. ..т

где Кр(•) — ядро Фейера порядка р [32. С. 33].

Из равенств (2.6) (см. также замечание 2.5) получаем, что для каждой функции с € С(Я, М) имеет место равенство

(и!^Х1 + ...+ Ьт.Хгп>С(и)) =

т! А 1 т! т

к к

= М{(//(г),с(«))ехр(-г(—и Н---------Ь -^хт)^}.

тт

Поэтому

(am; r ...rm{ ¿),с(и) ) =

= li (ß{t + t),c{u))Km.Xl...Xm(Od£, te R. (2.13)

TT Jo

Из (2.13) в силу свойств функции Km;Xl ...Xm(•) следует, что для всякой функции c € C(U, М) и произвольного т € М справедливо неравенство

г t+1

sup / |(^m^...xm(s + т) - xi...xm(s),c(u))l ds ^

teR Jt

г t+1

^ sup / |(^r(s) — Ms),c(u))|ds, (2-14)

teR 7t

и, значит, по определению 2.2 множество {<rm;Xl...Xm }mez равностепенно п.п. (по Степанову).

Теорема 2.1. Для каждой функции c € C( U, М) шие-ет место равенство

Г t+1

lim (sup / |(ф) — CTm;r...xm(s),c(u))|d^^ = 0. (2.15)

m^TO teR 71

c

CU, М) имеем соответствие (^(t),c(u))

E(va,c(u) )exP (*^)-

A

Используя равенство (2.13), следуя схеме доказательства соответствующего утверждения для п. п. по Бору функций [29. С. 48], получим, что

lim M{|(ф) — am;xi...Xm{s),c(«))|} = 0. (2.16)

Покажем, что последнее равенство влечет (2.15). Допустим противное. Тогда найдутся константа а > 0 и последовательности {tj}j=i, {mj}°^х такие, что при каждом j € N Jttj+Vmj(s)ds >а,

где /.в) = |(д^) — ;г...Гт. (в),с(и))1- в СИЛУ (2-14) после-

довательность {/т. }°°1 С Б М, М) равностепенно п.п., поэтому найдется такое 1 > 0, что в каждом отрезке [к — ¿у, к1 — £ у + 1],

°°

1 = 1 + 1 существует тку € П Ер/тр, а/2). Поэтому, в силу

р=1

предыдущих неравенств, получаем, что /.+ /т. ( 8 + Ту) ^ > а/2

при каждом j € М, а т.к. к ^ ¿у + тку < ¿у + тку + 1 ^ Ы + 1, то при каждом д € N и всех j € N

Следовательно, lim M{/m,(s)} ^ а/21, что противоречит (2.16).

Следствие 2.1. Еслм ß € APM, то соответствие (2.10) однозначно.

5. Известно (см., например, [30; 57; 66]), что если отображение g € ЩR х U, R), то для любой функции и € ЩR, U) отображение t м g(t, u(t)) принадлежит пространству ЩR, R). Следующая теорема обобщает данное утверждение.

Теорема 2.2. Пусть (X, р) — компактное метрическое пространство и м,ножест,во

A = {ß(■, ж) € APM, ж € X: sup ||ß(■, ж)У ^ {} ({ > 0)

равностепенно п. п. Тогда для любой функции g € S(R, CU, R)) совокупность отображений t м /(t, ж) = (ß(t, ж), g(t, и)), ж € X, где

(ß(t, x),g(t,u))= / g(t, u)ß(t, x)(du), (t,X € R х X, (2.17)

JU

равностепенно п. п. по Степанову. Кроме того, если функция ß € S(R х X, rpm(U)), /

ству S(R х X, R) и ее модуль содержится в Mod(A(ß) U Л(g)).

Доказательство. Так как g € S (R, C( U, R)), то

по лемме 1.3 для заданного е > 0 найдется такое 7 > 0, что

SUPIt+1 Пусть, далее, U\.. .Up — открытое

teR

покрытие компакта U такое, что diam Uj ^ 7, j = 1... p, и через {aj}p=1 обозначим непрерывное разбиение единицы, подчиненное этому покрытию. Теперь для каждого j = 1... p фиксируем точку Uj € un Uj, в которой аДп?) > 0, и рассмотрим семейство отображений t ^ АДt,X = (Mt X,c(n))€ R t € R, ж € X. Поскольку множество A С APM и равностепенно п. п., то при каждом j = l...p множество (см. определение 2.2) {АД-,X, ж € X} С S(R,R) и равностепенно п.п. Кроме того, p

Е АДt, ж) = Mt, X (U), (t, ж) € R x X и, следовательно, j

p

|АДt, X | ^ С, (t, X € R x X.

j

Рассмотрим, далее, семейство отображений

p

t ^ A(t, X = ^ АДt, X^uj € rpm(U), ж € X,

j

принадлежащее APM. Для (т, X € R x X положим

г i-fl

/(t,X=suP / |(^(s + T,X,g(s + т,П) — (A(s,X,g(s,n))| ds,

ieR Jt

и для каждой функции g(-,nj) € S(R,R), j = l...p, возьмем

такую функцию gj € S(R,R), что при всех j = l...p (здесь

см.[53.С. 231]) esssup|gj(t)| = kj < то и d(g(',4?),gj(•)) < e/18p{. teR

Сейчас, полагая max kj = k, при всех (т, X € R x X, имеем i^:Kp

следующие соотношения: f tp

/(т, X ^ SUP / У~]|АДs + т, X — АДs,X|'|g(s,nj)|ds+

teR •/1

ft+1 г

+ sup / s + т, XM$(s + т,Uj) — g(s,Uj)|ds ^

teR Л

p /-m p

СУ^(#(•jU^, flj(0)+sup / У^А(в + т,х) —

^ teR У t jri

/■ t+1 є

—Aj(s, ж)| • |flj(s)|ds + {sup max \g(s + r, u) — g(s, u)\ds < -

teR Л ueU 9

+l^supd(Aj(• + т, X, Aj(•jx))

j=1®e£

Г t+1

+^sup / max ^(s+т, u) — g(s,u)|ds, teR Уt ueU

т,

множеству2

E = (П EPP-,u), y)) П(П П Es(АЛ•jX, У)),

«eu жехj=i

где y = miп{є/9{,є/9kp}, получаем неравенство sup Дт, X ^ є/3.

жеХ

Теперь если т Є E, то при всех X Є X имеем

d(/r(•,X, Л-,x)) <

t

t

^2sup / |(^(s,X — ^ (S,X,PS,U )|ds + 8ир/(т, X ^

teR Jt xeX

г ^1 p ^ є

:2sup \{/j,(s,x),g(s,u)) - ')T\j{s,x)g{s,uj)\ds + - ^ teR У t “f 3

2 Здесь мы пользуемся следующим несложно доказываемым утверждением: если множества , а € А}, , в € В} С 5(К,К) и равностепенно п.п.,

то для любого £ > 0 множество ( П Ев(^,£))П( п Ев(^,£)) не пусто и

аеА ее®

относительно плотно.

/*¿+1 p ^ г ^

^2sup ctj(u)\g(s,u) — g(s,v,j)\ ■ \n(s,x)\(du))ds + - ^

teR Л j=1 Умея 3

/■i+1 £

^2{sup/ w7[#(s,-),H]ds + - < e,

t€RJ t <5

т.е. т € П Ep/(■ , x),e), тем самым первое утверждение теоре-жеХ

мы 2.2 доказано.

Пусть теперь ^ € 5(R х X, rpm(Я))• Тогда по лемме 2.2 функция Aj € 5(RxX, R), j = 1 • • • p и, следовательно, найдется такое 7 € (О, X, чт0 ПРИ всех в € (0,7) de[Aj, X < 2e/9p! При этих в получаем, что

{' ¿+1

de/, X ^2sup/ w7 [g(s, 0, U]ds +

teR ./t

p p +2 £ ■, j, j •)) +k £ de [Aj,X <£,

jj откуда в силу определения 1.1 вытекает, что / € 5(R х X, R) • Далее, при каждом x € X имеем следующие соотношения:

MJ(-,х)) с Mod(AJ( ,х))) с

сМоd((U''(g•,«))) UU U'V(АЛ■>“)))) с

мея жеХj=l

с моd(A(g) UU UAM',x),c))) ^ Mod(A(g UA

жеХ жеХ

Следовательно,

Mod(J) =Mod( U Л(J(•,x)) с Mod(A(g) U A(^)),

xeX

и тем самым теорема 2.2 доказана.

Замечание 2.6. Аналогичное теореме 2.2 утверждение при условии, равностепенной почти периодичности множества A = {ц(-,х),х€X} С APMi доказано в [44] (см. также [67]).

Имеет место следующая

Лемма 2.6. Функция u € S(R х X,Я) в том и только в том случае, если отображение (t, х) ^ ¿u(t,x) принадлежит, S(R х X, rpm(Я)) и их модули совпадают,.

Доказательство леммы 2.6 вытекает из определения 1.1, утверждения лемм 2.2 и 2.3, а также из неравенства (см. обозначение (1.4))

Г ¿+1

sup (sup / |c(u(s,Xi)) — c(u(s,X2))|ds) ^

X1,x2 ex teR Jt P(X XKy

2

< -|lcllc(ii,R)d7[M,X] +

справедливого для каждой функции c € С(Я, R) и фиксированных констант ст, y > 0^

Из лемм 2.6 и теоремы 2.2 вытекает

Следствие 2.2. Пусть g € S( R, С (Я, R)) • Тогда для всякого u € S(R х X,Я) отображение (t, х) ^ g(t, u(t, х)) принадлежит пространств у S( RxX, R) м его модуль содержится в Mod(A(g)UA(u))-

Следствие 2.3. Пусть g : R х Я ^ R принадлежит либо пространству S(R, С(Я, R)), либо B(R х Я, R)• Тогда для всякого ц € APMi и любого u € БR, Я) отображения t ^ (^(t),g(t, u)), t ^ g(t,u(t)) принадлежат ппост,ран-ству S(R, R), и их модули содержатся в Mod(A(^)U A(g)) и gu

В дальнейшем нам понадобится еще ряд утверждений и определений, связанных с мерозначными п. п. функциями.

6. Имеет место следующая

Теорема 2.3. Пусть (X, р) — компактное метрическое пространство, множество отображений A = {М-,ж),ж€X} из APМ\ равностепенно п. п. и lim||M-,ж) —М',x)||w = 0. Тогда

для всякой функции g € БR, CU, R)) имеют место равенства

Г t+1

lim(sup| / (Ms,ж) — Ms,Ж ,g(s,u) )ds|) = 0, (2.18)

x^x teR Jt

lim M{(Mt, x),g(t,u))} = M{(Mt,t),g(t,u))}. (2.19)

ж^-ж

Доказательство. Равенство (2.19) вытекает из равенства (2.18), которое докажем методом от противного. В этом случае найдутся такая константа а > 0 и последовательности {xj }^=i С X, lim Xj = ж, {tj}°^i С R, что при всех j € N будет выполнено неравенСТБ0 |/ (/j( s) — /(^)ds|>aî (2-20) tj

где js) = (Ms,j,g(s,u)), j € N, /(s) = (Ms,Ж),g(s,u)), s € R. По теореме 2.2 множество функций (здесь см. (2.17)) {t ^ /(t,ж) = (Mt,X,g(t,u)), x € X} равностепенно п.п. Поэтому найдется такое 1 > 0, что при каждом j € N существует точка Tj € [—tj, —tj + 1]П(П Ep/(-,ж),а/16)). Так как по-

æ€X

следовательность {tj + Tj}°^х С [0, 1], то без ограничения общности можно считать, что lim (tj + j = t € [0,1]. Далее,

j^œ

т.к. g € S R, C(U, R)) (см. п. 1 из первого раздела), то отображение t ^ g t) = max|g(t, u) | ^^^щлежпт ^([0,1 + 2], R.

Поэтому в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега [36, с. 101] для константы а/24 найдется такое ö > 0, что для всякого измеримого множества E С [0,1 + 2] будет выполнено неравенство j Je g^dt| < а/24, если mesE ^ ö, a поскольку yj = (tj + Tj — Ж ^ 0 при j ^ œ, то найдется такое j € N, что при всех j ^ j | y j | ^ ö. Следовательно,

при этих j | j|+ y gs)ds| < a/24, | J^1+4j gs)ds| < a/24. Далее, поскольку lim ||M•, j — M•j®) II w = О, т0 существует такое j € N, что при всех k,j ^ j2 будет выполнено неравенство | J|+1(/fc(s) — /j(s))ds| < Ц, и для всякого фиксированного j € N существует та кое k(j) € N, начиная с которого |///+1(/(s) - fk(s))ds\ < §. Теперь при j ^ j0 = max(jbj2) и k ^ max(k(j), jo), учитывая выбор точек Tj, получаем следующие соотношения:

. /• ______ .

./ (/(s) — js))ds| <

Jtj

< . [ (/(s) — Л(s))ds| + d(A(• + j> Л(•)) +

Jtj

rt /.¿^1

+2 • ./ gsJds. + .Z (/fc(s) — js))ds.+

7i+yj 7 t

/* ¿+i+4j

+2 • . / g s) ds| + d(j • + Tj), j •)) < a/2.

Л+i

Отсюда получаем противоречие с неравенствами (2.20), и тем самым равенство (2.18) доказано.

7. Введем для отображения М 0 € APMi при фиксированном h > 0 его стекловское усреднение. С этой целью при каждом t € R рассмотрим функционал

1 г t+h

с(-) ^ ^ у (М«)> c(u)> ds, с(-) € C(il, R),

который, как легко видеть, принадлежит (C(U, М)) *. Поэтому по теореме Рисса [36], с учетом того, что М0 € APMi С , вытекает существование меры Mt, h) € rpm(U) такой, что для каждой функции с(•) € C(U, R) будет выполняться равенство

^ г t+h

{¡j,(t,h),c(u)) = — {¡j,(s),c(u))ds, t € R. (2.21)

ht

Определение 2.4. Пусть М0 € APMi- Тогда непрерывное отображение t ^ М^, h) € грт(Я), удовлетворяющее при каждом t € К и всякой функции с( •) € С(Я, К) равенству (2.21), называется стекловским усреднением для М0•

Лемма 2.7. Пусть М0 € APMi- Тогда при каждом h € (0,1] отображение М^,h) € B(К, rpm(Я)) м его модуль Mod(M^h)) содержится в Mod(M0)• Кроме того, м,пожест,во F = {М•jh), h € (О, 1]} равностепенно п. п. по Степанову и

НтИ0- М^) IU = 0. (2.22)

hj.0

Доказательство. При каждом т € К и любой функции с € С(Я, К) из (2.21) вытекает неравенство

sup |/(t + т, h; с) - ft, h; с) | < dfc( /( • + т; с), /(S c)),

ieR

где /(t;c) = (М^),с(и)), /(t,h;c) = (М^),с(и)), t € К, из которого (см. определения 2.1, лемму 2.5, равенство (2.8) и замечание 2.2) получаем, что М^h) € B(К, rpm(Я)), и его модуль содержится в Mod^)- Непосредственно из определений 2.1 и 2.4

/ •, h с

ским усреднением [31. С. 206] для /(•; с) € S(К, К• Поэтому [31. С. 206, 207] для каждой функции с(•) € С(Я, К)

limd(/( ^;с),/( S с))=0, (2.23)

h|0

и для всякого у € К имеет место следующее неравенство:

sup d(/(• + У, h; с), Л•, h с)) <2d(/(• + У с), /(- с)), h€( 0,1]

из которого вытекает равностепенная п.п. множества F. В свою очередь, из предельного равенства (2.23), определения ||-||ш, учитывая, что при каждом T € сотр(К) множество Т(Т х Я, К) (см.

(1.9)) всюду плотно в V(T х Я, К, получаем равенство (2.22). Из теоремы 2.3 и леммы 2.7 вытекает

Теорема 2.4. Пусть отображение М•) Є APMi и М-,h) Є B(R,rpm(U)) — его стекловское усреднение. Тогда для всякой функции g Є S(R, C(U, R))

r t+1

lim(sup | / (ß(s,h) — Ms),g(s,u))ds|) = 0, (2.24)

hi° teR Jt

и, следовательно, limM{(ß(t, h), g(t, u))} = M{(ß(i),g(i,u))}• h|0

3. Аппроксимационная теорема

1. В этом разделе доказывается следующая — аппроксимационная теорема в почти периодическом случае.

Теорема 3.1. Пусть (X, р) — компактное метрическое пространство. Тогда для каждого отображения М•), принадлежащего S(RxX, rpm(U)) существует такая последовательность функций {uj }°^х из прост,ранет,ва S(R x X, U), что для всех j Є N Mod(-Uj) С Mod(ß) и обладающая также следующими свойствами:

1) имеет мест,о равенство

lim (sup ||ß( •, ж) — á j ;x) llw) = 0; (3.1)

2) при каждом j Є N

lim( sup (sup í |áj— ájs,x2)|(U) ds))=0; (3.2)

Y¿0 V XÍ¡X2£ї 't<SR Jt ' '

p(xi,x2)

g Є S R, C U, R

sup|/tt+1 (Ms,x — ájs,x) ds| ^ 0 при j ^ то, t€M жЄХ /0

m{g(t, uj(t, ж))} ^ m{(Mt,x),g(t, u))} nPuj ^ то.

хЄЇ

Доказательство. Для каждого ] € N строим

(?) (?)

такое открытое покрытие Ц ... Црз. ком пак та Я, что тах{сНат , к = 1... р^-} ^ -

и через }рз=1 обозначим непрерывное разбиение единицы,

подчиненное этому покрытию. Теперь для каждого к = 1... р? зафиксируем точку и? € ЯПЦ?, в которой а?(и?) > 0, и рассмотрим отображение

(¿, X ^ А? (¿, Х = (^(¿,ж),а? (и) € [О,1], (¿,Х € М х X. (3.4) Поскольку ^ € £(М х X, грт(Я), то по лемме 2.3 для всех к = 1... рл А? € ^М х X, М), и при этом Рз

]ТЛЛ(¿,ж) = 1, (¿,ж) € М х X. (3.5)

¿¡=1

Выбираем, далее, число а > 0 таким, чтобы ^ £ Мос1(/х),

и отрезок [0,а] разбиваем на 3 отрезков 1^ = ~ра>]а ,

(?)

I = 1... ^. В свою очередь, каждый отрезок Ц разбиваем на р?

подотрезков 1^?(£,Х, к = 1.. .р?, (£,Х € М х X, определенных равенствами

= кТа + [°> / А^^ + ^ж)^],

з

21

1^{^х) = 1^а+[ Е /А^}(^+С,ж)^, Е /А^}^+{,ж)^], (3-6)

«=М л «=1 .(л

1 1г

^ 2 ^ к ^ р?.

Из (3.6) следует, что отрезки 1? (^, X - - -1/1? (£,Х примыкают

1 рз

друг к другу, и при каждом I = 1... ] в силу (3.5)

Рз

/Л) = и1/?(£,Х € М х X. (3.7)

к=1

Рассмотрим далее при каждом ] € N последовательность отображений ш? : [0, а х X ^ Я, т € Ъ, определенную для всякого т € Ъ равенством

. ? Р з

(¿,х) = £%/(л (*)£*/(лГтаХ(^и1Л), (¿,х) € [°,а х ^ (3-8)

I Ь, V ’ '

1=1 1 !=1 1к

где 1?(та,х), к = ^..р?, задаются равенством (3.6) при £ = та.

Лемма 3.1. Дрм каждом ] € N последовательность }те2 отображений, заданная равенством (3.8), является п. п. равномерно по X € X м справедливо включение

Мо^ш?}тег) с аМосЦМ + 2пЪ. (3.9)

Доказательство. Поскольку совокупность функций {А? }кЗх С £(М х X, М), то по теореме 1.1 и по лемме 1.5 для заданного е > 0 множество

Рз

аЪ^(р| р|Е^ЛА!?0(-,хМ),

ж€Х !=1

где £ = е/27ар?, 7 = тахЫ, не пусто и относительно плотно.

? «ея

Пусть па принадлежит этому множеству. Тогда для всех х € X Г “ ? ? (3.8)

Бир / |ш^п(¿,х) — Ш? (¿,х) I ^ ^

те! Уо

? Рз ,

^ ^те! ^ ^ У/'лхзп“,х ^ (т“>х^^ ^

? Р з .

^ 7 Бир ЕЕ те8(/? ((т + п)а, X △ 1? (та, х)) ^

те2 г=1 ^ к к

Pj j ,

^2 ,, 1 ASj) (i + (m + n) a, X — A j (t + ma, X |dt ^

m^Z

Pj «(m+l)a

О YPj E sup / |A<j (t + na, X — A j (i, X |dt ^

s=2_ m€Z J ma Pj

^2 YPj a E'« A®(- + na,X, A j(-,x)) < £,

8=1

T.e. n € f| ^{wi^ }mez,X- Следовательно, если {Ajm}m€Z —

ж€Х ’

п. п. равномерно по X € X последовательность отображений, отвечающая функции Aj € 5(R х X, R) (см. следствие 1.4), то имеем включение

Pj

П П ^{Afcjm->X}meZ,5) с р| £({^} (',X}meZ,e)- (3.10)

k=lx€X x€X

Аналогично показываем, что при каждом r >0

Pj

d-[{wmm} }meZ, X ^ 2YPj ^(a) Ed-[ASj). X,

s = l

где (см. неравенства (1.1))

il, если a < 1,

£(a) = \ 0 , (3-П)

a, a > .

Отсюда получаем, что limdr[{w^^ }meZ, X = 0- Таким образом

-|0

по определению 1.4 последовательность {w^^}mez является п.п. X€ X.

Из (3.4) и (2.12) следует, что

Pj

UA(Aj)) сЛЫ- (3.12)

fc=i

Наконец, в силу (3.10), а также теоремы 1.3 и равенства (1.6),

(?)

примененных к функциям Ад, , к = 1... р?, получаем

Моа^-Ш? }тех) = Моа (Л ({-Ш? }тех) ) =

= моа(ул({ш?(-,Х}те^) с

Р] Р]

с Моё(0 и Л({Ак?т(-,ж)}т«)) = Моё(0 Л({Ак?т}т€2)) =

&=1ж€Х &=1

Р]

= Мос1(а У Л(А?}) + 2^) с аМос1(Л(М) + 2^.

й=1

Теперь при каждом ] € N то последовательности {ш? }те2 отображений (3.8) строим функцию и?: М х X ^ Я, которая на каждом множестве [ша, (ш + 1)а] х X, т € задается следующим образом:

и?(Нша, X = (¿,Х, (¿, X € [0, а х X. (3.13)

Из лемм 3.1 и 1.6 получаем, что {и?}°^х с 5(М х X,Я• Кроме того, при каждом ] € N Мос1(из) с Мос1 (^). В самом деле, учитывая выбор числа а > 0 и включение (3.9), имеем следующие соотношения:

МосЦи?) = а-1 Мо<!({«$ }тег) + 2па-1Z с с а-(аМос1(^) + 2^) + 2па-1 ^ ^ Мос1(^) + 4па-1^ ^ Мо<!(^).

Покажем, что построенная последовательность функций {и}"^ является искомой. Для этого нам понадобится еще последовательность {Д?}°^х, состоящая из отображений (см.(3.4), (3.5))

. Р]

(¿,Х ^ аз (*>х) = а£?} (¿,Х^и^ (Я, (3-14)

к=1 к

определенных на М х X.

Лемма 3.2. При каждом ] € N € £(М х X, грт(Я)) и МосЦД., ) С Мос1 (М-

Доказательство. Пусть с € С(Я, М), к = ||с||с(цд)

и при каждом ] полагаем /С^(¿,ж) = (Д3(¿,ж),с(м)),(^ X €М х X. Тогда из (3.14) вытекают неравенства:

/0) (' + т,ж)/} (',ж)) <

Рз

^ (' + т,ж), А^(',ж)), т € М, ж € X,

k=i

Pj

d7[/cj), X < «£d7[Aj), X] fc=i

Используя эти неравенства, а также лемму 2.3 и включение (А^ }кз=1 С £(М х X, М), получим, что (Д,}°^х С £(М х Х^т(Я). Далее, используя первое из указанных неравенств, показываем, что для каждой функции с € С(Я, М) и всяком ж € X

j

Mod(/cj(-,ж)) С Mod(U U A(Aj)(-,ж))) =

Pj

U

k=lж€£

Pj f3 12)

Mod (U A(Aj})) С Mod(M, k

откуда по лемме 2.5 Mod(Aj(-,ж)) С Mod(м), ж € X, и, следовательно, Mod(Aj) = Mod( U Д3(-,ж)) С Mod(м).

Лемма 3.3. Имеет, мест,о равенство

lim (sup ||m(■, ж) — Д^■, ж)||w) = 0. xeX

Доказательство. Покажем, что для каждой функции припадлежащей V = VR х U, R) (см. (2.17)),

|/ (Д3(t, ж) — Mt, ж),^(£, U) dt| ^ 0 при j —— то. (3.15)

Jr жех

i f Л3.15)

| / (Aj(t, X — Mt,X,^(t,u)) dt| ^

./r

Так как t£> € 2Ji, то для п. в. i G R ui [<p(t, -),Н] j 0 при j —>■ oo

j

и, кроме того, |wi[c£>(t, *),iX]| ^ 2tpip(t), где W(') G Li(M,M). По-

j

этому по теореме Лебега о предельном переходе под знак интеграла [36. С. 112] lim Lu)i[(p(t,-),il)dt = 0 и, следовательно, в

j—> ОС Ж j

сил^ ПрИведенных выше соотношени^^ справедлив0 Предельн()е

соотношение (3.15), откуда, в свою очередь (см. п.1 из второго раздела), получаем утверждение леммы 3.3.

Лемма 3.4. Имеет место равенство

lim (sup УД ¿( •, X — £ j •,*)IU) = °-

жех

Доказательство. Полагаем

ji,X = ААt,X — £ j;Х) > (t,x G R x X-

Поскольку ||nj(t,XУ ^ 2, (t,X G R x X, то для произвольно фиксированной функции ip G V и заданно го е > 0 найдется такое n = n(e) G N, что для всех j G N

Г /" (3-4)

^ (t,X^t,ukj) — I ^(t,u)Mt,X(du)| dt ^

7r ^_qJU

Покажем далее, что

lim (supl / jt,X,<P(t,u)) dtl J = 0. (3.17)

V -na '

Отметим, что т.к. множество Т([—na, na] x U, R) (cm. (1.9)) всюду плотно в пространстве V([—na,na] x U,R), то для доказательства равенства (3.17) достаточно показать, что для любых g G C([—na, n^, R) и c G CU, R)

lim (su.pl/ g(t) j t,X,c(u)) dtl ) = 0. (3.18)

-na '

В свою очередь, и для доказательства равенства (3.18), и в дальнейшем нам понадобится

(Я (Я

Лемма 3.5. Пусть точки t G I =

M^a, ta

I = 1... ] и функция М х Я, М). Тогда для всех точек

(ш, X € Ъ х X имеет место равенство

р (пО'(£ + ша, X, ^(¿Р + та, и)) = 0. (3.19)

'-1 Ь3

Доказательство. Из равенства (3.7), а также определения отображения (¿, ж) ^ ПО'(¿,ж) (см. (3.8), (3.13) и

(3.14)) получаем при каждом ж € X следующую цепочку равенств:

/ (nj(t + ma, X, ^(tj + ma, U )dt

i=i

(j)

i

r Pj

У]( I ^ (t + ma, X^(tj + ma, ) dt —

Pj r j Pj ,■

Y / j + ma>4j))dt) = Y Y4 (t + ma, Xdt —

— mes/j (ma, ж))^(tj + ma,uj) 0.

Используя лемму 3.5 для <^(t, и) = $(t)c(u), получаем

na n— j-

#(t) j t,x),c(u) )dt = E g(t + ma (j t + ma, X, c(u) )dt =

m=0

n— 1 j „

j (g(t + ma — $(tj + m^)(nj(t + ma, X, c(u))dt.

m=0 ¿=1 1

Отсюда, принимая во внимание, что mes/j = a/j и функция g € С([—na, na], R) (а значит, ее колебание Wî [g, [0, na]] на [0, na] стремится к нулю при j ^ то ), вытекает, что

rna

sup| / g(t) (nj(t,x),c(u))dt| ^

æ€X ./О

< 2НН1с(яд) • [0,na]] | 0 при j -»■ то.

Таким образом,

lim (supl / g(t)(nj(t,x),c(u)) dt| ) = 0. j^^xeX Уо

Аналогично показываем, что lim (sup1 j

lim (supl / g(t)(nj(t, x),c(u))dth = 0.

V-na '

Из последних двух равенств получаем равенство (3.18), а стало быть, как отмечалось, и (3.17). Теперь из (3.17) и неравенства

(3.16) вытекает, что при всех j, начиная с некоторого, sup| / (nj(t, X,^(t, и)) dt I ^ е.

ж€Х jR

Следовательно, доказано, что для каждой функции ^ € Vi

lim (supI (nj(t,X,^(t,u)) dt| ) = 0,

что и завершает доказательство леммы 3.4.

Из доказанных лемм 3.3 и 3.4 вытекает равенство (3.1).

2. Для доказательства равенства (3.2), для всех (j, ш) € N х Z и x,X € X, введем в рассмотрение измеримые множества

X, х) = {t € [0, а]: |uj(t + ша, х) — Uj(t + ша, х)| > 0},

совпадающие с {£ € [0,а] : 1^. - ^(¿+та,*2) |(Я > 0}-

Имеем далее, при всех X, X € X, удовлетворяющих неравенству

р(ж,х) ^ 7 и ш € Ъ,

4т)/ \ ST' r(i

mes^j ;(х,Х) = / „ mes(^j (х,Х) П / ) ^

1=1

j Pj

(3.6)

ЕЕ mes(/j(ша, х)△/j(ша, х)) ^

z=i fc=i j Pj ,

^2Pj££ hi) |Aj(s + ша, x) — Aj(s + ша, x)|ds ^

Ы k=l V

p^ , r t+a ,

^2pj^( sup (sup/ |Akj ^ + ша,х) — Akj ^ + ша,х)|ds)).

' xi .xofX tgR 1+ '

xl,x2fX i€R./i

Л p(xlX Ky

Поэтому в силу неравенств (1.1) и обозначения (3.11) при каждом j € N получаем, что

( SUp (sup f Hm«,x) ^«7'(Hma,4) KU)dsl ^

V xbx2ex teR Л /

р{хг,х2 )4y

dY[Afcj) > X]

fc=l

Теперь равенство (3.2) вытекает из эквивалентности -расстояний и включения {А^ }к^1 С £(М х X, М).

3. Фиксируем произвольную функцию д € £(М, С(И,

Лемма 3.6. Имеет место следующее предельное соотношение:

г t+1

sup/ |(Ms,X — Aj(s,x),g(s,-u))l ds ^ 0 при j —— то. (3.20)

teR^t ж€Х

Доказательство. Поскольку x) £ rpm(U) при (t, X £ R x X, то для всех x £ X

/•t+i (3.14)

sup / |(ju(s,x) — Aj(s,x),g(s,u))|ds ^

teR Jt

Г t+l , Pj f 4

sup / («)b(s,uj) — g(s,u)|Ms,X(dU)ds ^

teR Jt Ju J

Г t+1

^ sup ui[g(s,-),il]ds, i€R Jt j

откуда, используя равенство (1.13) леммы 1.3, получаем соотношение (3.20).

Лемма 3.7. Имеет место следующее предельное соотношение:

г (т+1)а

эир| / (Д^(X)^5| ^ 0 при ] ^ то. (3.21)

т€2 7та ж€Х

Доказательство. Положим при каждом ] € N П/(¿,ж) = 5,х) — , (^,ж) € М х X и зафиксируем точ-

ки

tj £ , ¿ = l...j. Докажем сначала соотношение (3.21)

в предположении, что д € ЩК х Я, К). В самом деле, используя равенство (3.19) леммы 3.5 и неравенство |п(¿,ж)|(Я) ^ 2, (¿, X € К х X, получаем, что при каждом ] € N и всех (ш, ж) из Z х X имеют место следующие соотношения:

где д;, = зир{\д(11,и)-д(12,и)\, (Ь,и), {г2,и) € МхЯ, - ¿2| ^ у}-Теперь соотношение (3.22) в случае, когда д € ЩК х Я, К, вытекает из того, что ду ^ 0 при ] ^ то.

Далее, для доказательства соотношения (3.22) в случае, когда функция д принадлежит £( К, С Я, К)), рассмотрим при каждом Н > 0 ее стекловское усреднение, т. е. отображение

которое принадлежит пространству ЩК х Я, К, следовательно,

д^и)^, (¿, и) € К х Я, (3.22)

д(Н) = Биргетит |д(£, и; Н) | < то.

(4,м) еКхЯ

(3.23)

Кроме ТОГО, по теореме 1.2 ДЛЯ всякого I > О Н-г

Нпфир - тах\д(з,и) — д(8,и;1г)\с18) = 0. (3.24)

4ек /у «ея

£

Сейчас из неравенства

(^•^ж^д^и)) ^| ^ шр | / (^у(8,ж),д(8,и;Н))^| +

эир

те!

те! <7та

та

t-f~a

+2 sup / max|g(s,u) — I ds,

teRJ ueU t

включения g(■, •; h) € B(R x U, R) и равенства (3.24) получаем утверждение леммы 3.7.

Лемма 3.8. Справедливо следующее предельное соотношение:

t~j~tt

sup| / (Д j(s,X — ,g(s,u) ) ds| ^ 0 при j ^ to. (3.25)

teR J *ex

t

Доказательство. Докажем сначала соотношение (3.25) в предположении, что

g = ess sup (max |g(t, и) |) < to. (3.26)

tgR ueU

Допустим противное. Тогда найдутся такая константа а > О и последовательности {jk}^х С N, {tk}£11 С R, }£11 С X,

что при всех k € N будет выполнено неравенство

Г t^+a

^ /jfc(s,xfc) ds| ^ а, (3.27)

Jtk

где js,xfc) = js,xfc),^s,u), js,x = js,x — ¿j(s,xO• Далее, каждое tk, k € N представим в виде tk = mka + a, mfc € Z, € [0,1) и будем считать, чтобы не осложнять обо-

значений, что ^ 0 € [0,1] при k ^ to. Полагаем далее £fc = |$fc — $| и рассмотрим отображения

(t, u ^ gz(t, U = t)g(t, u, (t, U € R x U, l = 1,2,

где

= X) W[êa,a] W, ^) = E Xma+[0,éa] W, t € R-

meZ meZ

Поскольку отображение g € S(R, C(U, R)), a измеримые функции ^ : R ^ [0,1], l = 1,2 являются a—периодическими, то отображения gi € S(R, C(U, R)) и, стало быть, по лемме 3.7

г (m+l)a

lim (sup (sup \ (njfc(s,x),gi(s,u)) ds\)) = 0, l = l,2. (3.28)

xeX mëZ Jma

Далее, принимая во внимание принятые обозначения, имеем следующие соотношения:

/*tfc+a /*mk a+#a+a

\ /jfc(s,x^ds\ ^4{fcg + \ ~ /jfc(s,x^ds\ <

a+#a

2 /* (m+l)a

^Ckg + £(sup(sup \ (js,x),gi(s,u) ds\)),

l_-^ x€X meZ Jma

из которых, учитывая (3.28) и то, что £fc ^ 0 при к ^ то, вытекает равенство

Г ^ +a

lim \ /jk(s,x^ ds\ = 0. (3.29)

Jtk

Последнее противоречит неравенству (3.27). Тем самым соотношение (3.25) доказано, если выполнено условие (3.25). В случае,

g

h > 0, рассмотрим ее стекловское усреднение (3.22), указанные свойства (3.23), (3.24) которого позволяют свести доказательство соотношения (3.25) в общем случае к рассмотренному выше.

Лемма 3.9. Справедливо следующее предельное соотношение:

Г t+1

sup\ / (Дj(s,x) — 5„.(S)X),g(s,u) ds\ ^0 npnj ^ то. (3.30)

teR Jt xeX

Доказательство. Как отмечалось в конце доказательства леммы 3.8, достаточно рассматривать случай, когда

функция д удовлетворяет условию (3.25). Докажем соотношение (3.30) также методом от противного. В этом случае найдется константа а > 0 и последовательности }^х С М, {¿к}^х С М, (ж&}д^1 С X такие, что будет выполнено неравенство (3.27) при а = 1. Представим, далее, каждое ¿к в виде ¿к = ш^а + 0^а, шк € 0к € [0,1), к € N и 0к ^ 0 при к ^ то. Полагаем

= 0 — 0| и вводим (см. доказательство леммы 3.8) функции ^2,д2- Кроме того, пусть 1 = ш'а + 0'а, ш' € , 0' € [0,1)

и считаем для определенности, что ш' ^1 и 0 + 0' € [0,1) (в остальных возможных случаях доказательство аналогично).

а—

функцию

и рассмотрим также отображение (¿, и) ^ дз(£,и) = ^з(^)д(£,и, принадлежащее пространству £(М, С(Н, М)). Теперь, обозначив шк = ш& + ш', имеем следующие соотношения:

■ а

[

'и

(тк + 1 )а+ва

+

(тк + 1)«

{■т'к а+(в+в') а

3

из которых, в силу леммы 3.8, примененной последовательно к функциям д,д2,дз € £(М, С(Я, М)), и того, что ^0 при к ^ то, получаем равенство (3.29) при а = 1. Последнее противоречит сделанному предположению.

Из доказанных лемм 3.6 и 3.9 вытекает предельное соотношение (3.3), из которого, в свою очередь (см. теорему 2.2 и следствие 2.2), получаем последнее предельное соотношение в утверждении теоремы 3.1.

Замечание 3.1. Из приведенного доказательства леммы 3.9 видно, что соотношение (3.30) будет иметь место, если 1 заменить на любое фиксированное число I > 0. Этот факт, в силу топологической эквивалентности, имеет место и для соотношения (3.20) леммы 3.6. Таким образом, соотношение (3.3) справедливо, если вместо единицы взять любое фиксированное число I > 0.

4. Игольчатые вариации мерозначных п.п. отображений

СМ

ОТ(Д) = (д € АРМ1 = АРМ (Я): Мо с1(д) С Мос1(Д)} (4.1)

(ясно, что ОТ(М) = АРМх ). Фиксируем также такую константу а > 0, что ^ € Мос1(Д), число N € N и произвольный набор точек 0^ $1 < ••• < $^ < а, который отождествляем с вектором $ = ($г)^х. В дальнейшем для каждого р € N полагаем

(грт(Я) )р = (Д = (д,)р=1, Д € грт(Я, $ = 1.. .р}

и последовательность (¡1{ш)}тег, принадлежащую (грт(Я))р , Д(ш) = (д^ш))р=1, ш € называем п.п., если при каждом ] = 1... р последовательность {д (ш) }те^ го грт(Я) является п.п., т.е. (см. п.З из второго раздела) при каждом е > 0 множество £({Д;( ш) }тег , е) = (п € эир |д( ш + и) — д( ш) |ад ^ е}

е

специально, рассматриваем лишь такие п. п. последовательности (Д(ш)}те2 С (грт(Я)р, Д(ш) = (дДш)р=1, ш € Ъ, что при каждом ] = 1.. .р Мо(ЩдДш)}те^ С аМос1(Д) и называем их допустимыми п. п. последовательностями.

Сейчас каждому г € {1 ...Ж} поставим в соответствие число к € N и тру (Д^, {%(ш)}тег), в которой = (вг?)^! > вг? ^ О, ; = 1... кг, а {%(ш)}те^ %(ш) = (^(ш))^г > ш € Ъ суть допустимая п. п. последовательность из (грт(Я)кг. В дальнейшем |вкг | = Е вг? и! если ?=1

врр = (вр-&1, ^ш) = (^-(ш))¡=1, ш € Ъ, р = 1, 2,

то полагаем

|(/%,в|) = (вА ...0^г^ ...в^г) ^

| (^1 (шК ^2 (ш)) = (^1 (ш) . . . ^1 (ш К^г! (ш) . . . ^2 (шЖ

\ г г г г

где ш € Ъ и, следовательно, если {г?^р(ш) }тег — допустимые

п.п. последовательности из (грт(Я); р = 1,2, то последовательность {(¿¿д (ш),^ (ш)) }ше2 является допустимой п.п. пог г

следовательпостью из (грт(Я)¡г.

Введем в рассмотрение множество

V = {кРкг, Нг(ш)}тег)}г^1 = (4.3)

= {(4, {% (ш) }тех)... (вк^ , {^ (ш) }ш€^ }, к ... км € N|

и полагаем: если 1 = {(Дкг, {г4г(ш) }ше^ }^1 € V , то для всякого действительного числа А > О

А1 = {(АД^, {^кДш)}тех)КМ1 (ААг = ), (4.4)

и, если ¿р = {(ekP, {VkP(m)}mez)}^1 G V, P = 1,2; то (см. (4.2))

г г

¿1 +¿2 = {((вкг ,Д;|), {(Vfc| (m),Vfc2| (m))}meZ)}N!l, (4.5)

т. e. V — конус, называемый конусом п. п. иголок.

Пусть далее

Vk+m = {Г= (¿/^ И • • • i|+m G V}, (4.6)

tf+m = {y=(9^^m, ^ ••• 9Hm G [0,P}, p>0, (4.7)

и для любых 1G V®+m, y g Пe+m полагаем

tK = Ух ¿х + ^Ч- Уе+mli+m- (4-8)

Поэтому если iq = {( ekq, {Vkq ( m) }meZ) Hi > 4 = 1 • • • Нш,тоиз

г г

(4.2)-(4.5) вытекает, что y ГG V и при этом

У Г= {(fol Дк|, • • • y^m^M-rn),{(Vfc| (m) • • • ^m))Wz) } ,= 1 • (4-9)

Далее, с каждой иголкой i = {(вкг, {%(m)}mez)Hi G V, та-

N

КОЙ, ЧТО e(i) = Е |вкг | > 0, свяжем положительное число

г=1

e(i) = min ($j+i—$г)/в(1), $w+i = а,ппрп (е, m) го (0,e(i)] xZ

рассмотрим для каждого i = 1 • • • N дизъюнктную, примыкающую друг к другу систему полуинтервалов

ma + [tfj, + евл),

m’+е,^ ^ ma+ [$* + е ^ вггА + е Е вгг), j^&*• ^

z=i г=1

Из (4.10) следует, что mes Tm)i+(е, ¿) = ев+ и при каждом i = 1 • • • N имеют место соотношения

k

У Tm,i+(е, ¿) = ma + #г + [0, е|вкг |) С ma + [^¿, $¿+1]• +

Теперь, если рассматривается иголка (см. (4.9)) у Г Є V такая,

что

N е+ю

в(о = ЕЕ Й I >°, (4-11)

¿=1 ч=1

то с ней свяжем положительное число

£(Р) 1) = т1п ($г+1 — $г)/рв(1), $N+1 = а. (4.12)

Для такой иголки из (4.9) и (4.10) получаем, что при каждом

г € {1... N} и всех (е, ш) € (0, е(р, Г) ]

„ , _|Тт,г,Ле^’М, 1 ^ 3 ^ к1, /'/110',

т,г’^' ’У 1е(У1 |4\ ^--- + Уч-1 |) + Тт,г,.7'(еУч’^)’

если

к?

г

Тт,г,?(Є, У О = У Тт,і,АЄ, У О, (4-14)

І=1

где т Є ^і ^ Ч ^ к + ш,то так определенная

система полуинтервалов {Тт;і;?(є, у Г) }?=Ю дизъюнктна,

те8Тт,і,?( є, У О = єу?|в?? |, Ч = 1... 1 + ш, (4.15)

и, кроме того, для любых т Є і = 1... N

е+ю Ню

У Тт>м(є,У Г) = та + * + [0,є£У?|в?|)Ста+[^,$т]. (4.16)

ч=і 4=1

2. Сейчас введем игольчатые вариации для элементов множества М(Д), определенного равенством (4.1).

Определение 4.1. Пусть иголка

1 = Л^ ’ Нг (ш) }тех) }^1 € V

такая, что /(1) > 0, и пусть е € [0,е(1)). Тогда отображение £ ^ д(£; е, ¿) € грт(Я ; £ € М, определенное равенством

{к к

Я€ У ([ша,(ш+1)а]\ 0 и Тт,м(,, 17Ч тех ¿=1.7=1 (4.17)

^( ш,£ € Тт,^^), ш € ^ г ^ ^ 1 ^ 3 ^ кг,

называется игольчатой вариацией отображения Я € М(Д), отвечающей иголке 1.

Замечание 4.1. При е = 0 считаем д(£;0,1) = Ж £) при всех 1 € V -

Замечание 4.2. Игольчатая вариация отображения Ж € М(Д), отвечающая иголке 1 = {(, {%(ш)}тех)}£х € V, определена, вообще говоря, в предположении, что в зафиксированном наборе $ = ($г)^ 1 точки $г € [0, а], г = 1... N удовлетворяют условию 0 ^ $!<...< $^ < а.

Определим сейчас игольчатую вариацию отображения Ж •) для набора $ = ($г)^ х, в котором 0^ $1 ^ ... ^ $^ <а. В

этом случае выделяем набор $' = ($9^!, N' ^ N такой, что

0 ^ $' < ... < $^у/ < а, где

$' = $! = ... = $1+р1 , $' = $2+Р1 = . . . = $2+р1+р2, . .

$М/ = $^/+рх+...+Р^/ — 1 = . . . = $N4^1+...+рм/— !+р^/,

и иголке поставим в соответствие иголку

1' = Л/%/, К / (Ш) }теХ }г-Ь

г г

в которой (здесь см. (4.2))

/ / ( (в&4+Р1 + ...+Р4 — , . . вк +Р1+...+Рг — 1 ”Ь Рг ) , вСЛИ р >0

4 |Дг^+..^рг- ^И 0,

V у (Ш —+^^..^Рг — (Ш) . . . +Р1+...+Рг— 1+Рг (ш)), вСЛИ рг >0

У +^..^рг— (ш), если Рг = 0, (ш € Ъ).

Отметим, что /(0 = в (О. Теперь по набору V' = (V') ^ и иголке 1' строим аналогично (4.10) при каждом ш € Ъ и г = 1... N

ДИЗЪЮНКТН^Ю систему п0луинтервал0в {Тт,г^(е,1')}^г_1 , содер™ жащуюся в ша + [$', $'+1] , е € (0, е(1')], и определим аналогично

(4.17) игольчатую вариацию Д'> е,0 отображения Д которую и будем считать игольчатой вариацией Д, отвечающей иголке 1 и набору $ = ($г)^х , в котором 0 ^ ^ ... ^ $^ < а.

Таким образом, согласно данному определению, при исследовании свойств игольчатых вариаций элементов множества М(Д), достаточно ограничиться рассмотрением случая, когда фиксируется такой набор $ = ($г)^ х, что 0 ^ $<...< $^ < а.

Замечание 4.3. В случае, если отображение Д( •) из является а-периодическим, то рассмотрев д(£;е,1), определенное равенством (4.17) с иголкой 1 = {(/у, {г4г(ш) }тег) }^1, в которой при каждом г = 1... N последовательности

{%(ш)}теХ с (грт(Н))У, $сг(ш) = (^(ш))

(т. е. ^( ш + а) = ^( ш) , ш € Ъ, 3 = 1...кг), аа дпческого отображения Д( •) € .

Рассмотрим иголку у$ € V такую, что /(О > 0 (см. (4.11)). В этом случае из равенств (4.9), (4.13) и (4.14), а также определения 4.1 вытекает

Лемма 4.1. Пусть Д € М(Д), у$ € V и /(О > 0. Тогда при е € [0,е(р,1)) м всеж £ € М имеет место равенство

д(£;е,у1)= (4.18)

к е+ш

Ж¿), £ € и ([ша,(ш + 1)а]\ и и Тт,г,ч(е,уГ),

теХ г=1 4=1

^.(ш), £ € Тт,г,Ле,у1),

где m € Z, 1^ i ^ Ж, 1^ q ^ I + m; j ^ кгч.

Теорема 4.1. Пусть 1 = (¿ч)^=т € Ve+m; г<9е ¿q =

= ((Д?я, {v qq (m)}meZ) }Ii > q = 1 • • • ^ + m u в(0 > 0. ^ог<?а для

г г

каждой функции Д(•)€М(Д) множество

A = (Ж•; г,у 1), (г, У) €X}, X = [0,г(р,Г)] х Пе+т,

содержится в множестве М(Д), является равностепенно п. п. и

lim( sup ||Ж•; г, У1) - Д(0|U) = 0. (4.19)

у£П«+т

Кроме того, для каждой функции g € S(R, C(U, R))

limw( ^0, (4.20)

7J.0

где

t+i

№(7) = supremum (sup /^(s^y ;1) — Ms;e",y "l^g^u))|ds).

(е'.У' ),(£",?" )ex teR J

\s' —s//^|tf/ — У/7|^7 t

Доказательство. Фиксируем произвольную функцию c € C(U, R) и рассмотрим отображения

t ^/(^ = (Ж i)>c(u) b

t^/(¿,г,У) = (д(^г, y 1),c(u)) = / c(u)Mt, г, y 1)(rfu), (г,у) € X,

Ju

определенные на t € R, а также отвечающие им последовательности (f-,m) }mg^ (f( •, m, г, y )}meZ c^i([0,a], R_), определенные при каждом m € Z равенствами f(t,m) = /(t + ma), f(t, m, г, y ) = /(t + ma, г, y ), t € [0, a] , соответственно. Поскольку Д € М(Д), то / € S(R, R) и значит последовательность

(К-,ш)}те2 является п.п. Кроме того, т.к. ¿ч € V, то при всех г = 1...Ж, ^ = 1... I + т и _?' = 1... кгч числовые последовательности ( .ш)}тег ; вде .ш) = (^.(ш),с(и)) ; будут также п.п. Поэтому для каждого е > О множество

N е+ш Щ

Е(а) = Е(0(',ш)}т€2>^)П(П П Ш}те2>^)> (4-21)

¿=1 4=1 .=1

где а = тт(е/2, е/2а) , не пусто и относительно плотно. Покажем, что это множество содержится в множестве

£(е) = р| £(0(■, ш, е, у )}те2,а).

(е,Ч) ех

Действительно, если п прпнадлежит £(а), то, обозначив N Нш

Ат(е,У) = УАт,Дв,У), Ат,г(е,У) =у Тт,г,ч(£,УО> (4.22)

¿=1 4=1

где ш € ^, получаем следующие соотношения:

(4.18)

га (лля,

Бир / |К ш + п, е, у) — К ш,е, у) | ^ = те^ Уо

= Бир (I |К¿,ш + п) — К¿,ш)

те2 Л0,а1\А(е,Я)

те2 ./[0,а]\А(е,У)

N кг ^

Е Е Е 1 ^ш + П — .Ш1 ' тейТтА.(е,У О) <

¿=1 ч=1 .=1

^ шр ( / |Кш + п) — Кш)|^^ +

те^ Уо

(4-21)

+а тах (бир |Шш + п) — Шш)||) ^ е.

те% . .

1<Я<{+т теА 4

Отсюда следует, что множество последовательностей P = {{f(',т,е,у )}meZ, (е,У) € X}

равностепенно п. п. и для всех (е, y ) € X справедливо включение Mod({f(-,т,е,у)}mez) С

N Hm

CMod(A({?(-,m) W)U(U U U A({fj m W))) . (4.23)

j=l q=l j = l

В свою очередь, из равностепенной п. п. множества P вытекает равностепенная п.п. множества функций {/(-,е, у ), (е, y) € X}. Отсюда в силу произвольности выбора функции c € C(U, R), получаем (см. определение 2.2), что множество A равностепенно п.п. Далее, из (4.23) и теоремы 1.2, принимая во внимание, что Д € ОТ(Д) и ¿q € V (а значит, Mod({fj(m)}meZ) С aMod(A)), получаем, что при всех (е, у) из X Mod({f(-,т,е, y)}mgz) содержится в aMod(A) + 2nZ. Следовательно, учитывая, что точка ^ принадлежит Mod(A), имеем следующие соотношения:

1 2П

Mod(/(-, е, у )) С -(aMod(A) + 27rZ) Н---Z с Mod(A).

Теперь из леммы 2.4 следует, что Mod(^(-,е, уГ)) С Mod(A), (е, У) € X. Тем самым первое утверждение теоремы 4.1 доказано.

Далее, фиксируем произвольную функцию р € V (R х U, R) и пусть (см. замечание 1.1) функция € L (R, R+) такая, что при п. в. t € R max|p(t,u)| ^ Фш(t)- Поскольку (см. (4.7), (4.11)

и (4.16)) sup Am(е, У) ^ ерв(1), то по теореме Лебега об абсолют-

m€Z

ной непрерывности интеграла [36] получаем, что

sup / ф^(t)dt ^0 при е j 0.

m€Z./Am( £,5) 5еП{+т

Отсюда (см. (4.18) и (4.22)), в силу неравенства

г (m+l)a /•

sup / | {^(t, е, y 1) — Д(t),p(t,u))|dt ^ 2 sup / ф^(t)dt,

m€Z 7ma m€Z 7Ame>5)

вытекает, что

г t-fa

sup / KMt, e, У Г) — Д(t),^(t,u))|dt ^ 0 при e ¿0.

teR Л ¡jell l+m

В свою очередь, принимая во внимание, что € L (R, R) и при

любом q € N

| / (u(s,e,iy) — Д(s),^(s,u))ds| ^2 / ф^(s)ds +

./R -/R\[—qa,qa]

r t+a

+2qsup / |(^(t,e,yr) — Д(£),^(t,u))|dt,

teR Jt

получаем следующее предельное равенство:

lim( sup | / (^(t, e, УГ) — д(t),^(t,u))dt|) = 0,

£¿0 уеП *+m Jr

которое по определению нормы ||-||w (см. п.1 из второго раздела)

влечет равенство (4.19).

Докажем теперь предельное равенство (4.20), считая, что

А = sup ||g(t, -)||с(ж (в общем случае для функции g рас-teR

смотрим ее стекловское усреднение). Заметим (здесь см. (4.18)), что если

N

t € У [ma, (т + 1)а] \ (|J (^г U >

meZ г=1

где

Ат,г Am,i(е , у ), Ат,г Am,i(е , у ),

то ^(t; е', У ' Г) = ^(t; е", у '' Г) = Д(t) и в случае, если точка t € Tm,ij(e'i У ' Г ) f^) Tm,ij(е") у '' О)

то = т). Поэтому прн каждом т

из Ъ имеют место соотношения:

/* (т+1)а

/ |<ф;£/,у/г) - М«;£//,у//0,#(«,и) )1^ =

л та

^ г с4-1«)

= Е/ |<Ф;в/>"/0 - М^е//,у//0,^«,и^ <

^ -^т,* иАт,*

N Нго Ч

« ^ЕЕ *?Е |£ V -е'V'|-1вк!!.

¿=1 ч=1 1=1 *

из которых вытекает равенство (4.20).

Следствие 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 4.1. Тогда отображение (£,£,") ^ Ж^е,"Г) принадлежит пространству £(М х X, грт(Я)) (где X = [0,в(р, Г)] х Пе+т) и для любой функции д € £(М, С(Я, М))

г ¿4-1

у(е,") = вир / |<Ж^е,"0 — Ж^),д(5,и))1^5 ^ 0 (4.24)

*€« Л Й€П{+т

^¿4-1

|<Ф;е>"0 -Жв),д(в,и))1^

Йеп 1+т

при в| 0.

3. В дальнейшем нам понадобится еще одно свойство элементов множества V , которое вытекает из следующего утверждения.

Лемма 4.2. Допустим, что последовательность непрерывных отображений (¿,и) ^ |т(¿,и); (¿,и) € [0,а] х Я, т € Ъ является п. п. равномерно по и € Я3. Тогда для любой п.п. последовательности {^(т)}тег С грт(Я) последовательность (Мт), ^',и)}тег С С([0,а],М) будет, п.п.

3Т. е. ДЛЯ любого е > 0 множество П £({|т(•>"“)}тб2,е), гДв

ибЯ

£({Ы•>■“)}тб2,е = {П € Ъ : тах | |т+п(£,и) - |т(£,и) 1 < е} , относитель-

£Е[0 ,а]

НО ПЛОТНО.

Доказательство. Так как последовательность отображений {fm}meZ из C([0,a] х U,R) п.п. равномерно по u € U, то sup ||fm||c(ro,alхЯ,Ю = k < то и для заданного £ > О

meZ

найдется такое 7 > 0, что sup w7[fm(t, •),iX] < |. Пусть,

e[o xz

далее, U ... Up — открытое покрытие компакта U такое, что diam Uj ^ 7, j = l...p, и через {aj }Р=1 обозначим непрерывное разбиение единицы, подчиненное этому покрытию. Теперь для каждого j = 1... p фиксируем точку Uj € U Р| Uj , в которой aj(Uj) > 0 , и рассмотрим числовую п. п. последовательность {АЛm}meZ , где

Aj( m) = (Km), a A U) € [0 , 1], m € Z, j = 1.. .p. p

Поскольку E Aj (m) = 1 при всех m € Z, то последователь-j

.p

НОСТЬ {Д (m)}m£Z ; ГДв Д(ш) = A^m)^u ■ > m € Z, СОДврЖИТСЯ

j

в rpm(U) и является п. п. Сейчас для любого n, принадлежащего относительно плотному множеству

£( У = (П £({fm }m€Zj У )П(П ^{АЛm, У),

м€Я j = l

у = min(|p, |), имеем (см. доказательство теоремы 2.2) следующие соотношения:

sup(max |(^(m + n), fm+Лt,u)) — Mm) > ы)d <

meZ ¿€[0,«]

^ 2 sup i(^m —д(m,fm(t>u))| +

(t,m e[o ,a xz

p

+k^sup|Aj(m + n) — Aj(m^ ^^(max |fm+n(t,u) — fmt, UI) ^

~^meZ meZ te[0>«]

^ 2 sup w7[fm(i, -),^] + (pt + 1)У ' 2 • + •

(t,m e[o ,a xz о о 0

ИЗ которых вытекает, ЧТО £(У С £({(v(m), fm(•jU)}m€Z, £)•

Следствие 4.2. Пусть функция f € B( R х U, R). Тогда для любой иголки i = {(ß^, {¿4.(m)}me^}Ni каждом t € [0, а] существуют пределы,

1 9-1

lim — ^ ßij(vij(m), f(t + та, и)), i = 1... N, j = 1... hi.

9 qa m=0

5. Лемма Филиппова для п. п. отображений

1. Пусть (X, р) — компактное метрическое пространство, X = diamX и (Y, || • ||) — сепарабельное банаховое пространство, comp(X) — совокупность всех непустых компактных подмножеств из X с метрикой Хаусдорфа distp . Отметим [68], что (comp(X) , distp) — компактное метрическое пространство. Далее, на множестве R, comp(X)) (см. п. 1 из первого раздела)

зададим ^stp -расстояние

Г t+1

ddistp( Fi,F2) = sup/ distp( Fi(s),F2(s))ds, (5.1) teR Jt

где FbF2 € Ll°\R, comp(X)), и рассмотрим метрическое пространствометрическое S(R, (comp(X),ddistP))• Напомним, что если F € S(R, comp(X)), to Mod(F) состоит го таких точек A € R, что lim expiA, = 1 (i2 = — 1) для всякой F -возвращающей

последовательности {т, },gz •

Рассмотрим далее такую функцию f € R х X, Y), что при каждом x из X f(^,x) € S(R, Y), и Для нее построим отображение

t м N( t) = {x € X : ft, x) = 0}, t € R. (5.2)

Если N(t) Ф 0, то N(t) € comp(X) и, кроме того [36; 68], отображение t м N(t), t € R измеримо, и существует такая измеримая функция x : R м X, что x(t) € N(t) для п. в. t € R.

Но эта функция может не принадлежать пространству S(R, X) . Чтобы показать это, приведем сначала пример (см. [69]) такой функции f € B( R, R), чт0 множество те нулей сов падает с Z и для которой отображение t ^ sign f ( t) (считаем sign 0 = 0 ) не принадлежит пространству S(R, R) .

Пример 5.1. Для каждого j € Z+ рассмотрим множества

Aj = {z € Z : z = ^-((—2)J — 1)( mod 2J+1)}, Bj = 2j + Aj,

3

из определения которых вытекает, что Akf) Aj = 0 при к ф j,

СО

Bj = Aj+i (J Bj+i для всякого j € Z+ и Z = |J Aj . Далее,

j=o

фиксируем функцию ф € C(R, IP, Ф такую, что ^(t) € (0,1] при t € (0, 1) и ^(t) = 0 при t € R \ (0, 1), и полагаем

j^ = (—2)-j Е ^t — *)> t € R> j € Z+•

Поскольку fj — непрерывная 2j+1 -периодическая функция и

max|/j(t) | ^2-j, j € Z+, то функция teR

f(t) = Ejt), t € R (5.3)

j

принадлежит B(R, R) и sup | f( t) | ^ 1. Кроме того, множество

teR

нулей этой функции совпадает с Z. Покажем теперь, что отображение t ^ signf(t) те принадлежит S(R, R) • Действительно,

fc-i

пусть m € Z+ и k > m. Тогда Z = (J A^ Bk_i . Далее, берем

1=0

ai € Ak и й2 € Ak_i. Отметим здесь, что Ak с Bk_ и Ak+i с Bfc с Bfc_i . Для этих чисел найдется такое l € {0... к — 1}, что ai + 2fc — 2m € Ai и a2 + 2fc — 2m € Aj . Теперь имеем следующие

соотношения

г t+1

sup / |signf( s + 2m) — signf( s + 2fc)|ds ^

teR Jt

signf s + a* + 2fc — 2m - signf(s + a*)| ds} = 2,

из которых следует, что множество функций {signf( • + 2J) }°^0 не имеет конечной (относительно метрики d) 2-сети и, значит, (см. [31. С. 219]), функция t м sign f( t) не принадлежит пространству SR, R) ■ Отметим, что пример функции f € B(R, R), обращающейся в пуль на счетном множестве точек из R и для которой отображение signf € S(R, R), приведен также в работе [55].

Пример 5.2. Рассмотрим функцию f из примера 5.1 и по ней построим отображение (t,x) м ft, x) = | f( t) | — f( t)x, (t,x) € R x [—1,1], которое принадлежит B(R x [—1,1], R) . Для этого отображения N(t) = {sign f( t)}, t € R \ Z (здесь см. (5.2) при X = [—1,1], Y = R)> а т-к- sigiif / SR,R), т0 не существует функции x € S(R, [—1,1]), удовлетворяющей при п. в. t € R равенству /(t,x(t))=0.

В связи со сказанным возникает вопрос о существовании таких функций ж € SR, X), что x(t) € N(t) при п. в. t € R. Для приведения достаточных условий существования таких функций предполагаем далее, что N(t) ф 0 при п. в. t € R, и введем в рассмотрение следующее измеримое отображение (а > 0):

t м Wt, а) = {ж € X ||/(t, ж)У ^ а} € comp(X), t € R. (5.4)

t+1

Отметим, что lim f dist„( W( s, а, N s))ds = 0 при каждом t € R .

«¿0 t

Теорема 5.1. Пусть функция / € V]°c(R x X, Y) удовлетворяет 4 условию А) и /(-,x) € S(R, Y) nPu каждом

4См. определение 1.5.

^ max{ / ¿=1,2 /n

x € X. Тогда, если

limddist^ W(-,a), N(')) = O, (5.5)

a|0

mo N € S(R, comp(X)) и Mod(N) С Mod( (J Л(/(-,x))) • Кроме

того, существует такая функция x € S(R, X, что x(t) € N(t) при п. в. t € R и Mod(x) С Mod(N) .

Доказательство. Для ti,t2 € R полагаем

Aa(^,^ = mах{ max p(x,W(t2,a)), max p(x,W(ti, a))}• x&N(ti) ®€N(Í2)

Поскольку p(x,A) ^ p(x, B) + distp(A, В) для любых x € X и A, В € comp(X), то го определенпя Да( ti,t2) получаем, что при всех ti, t2 € R

А«(tbt2) ^ dist^N(ti),N(t2)) -—distp( W ti, a), N( ti)) — distp( W t2, a, N( t2)).

Откуда вытекает, что для каждого т € R справедливо неравенство

ddistp (Nt(0 > N(')) ^ (5-6)

Г Í+1

^2ddistp(W',a),N(-))+sup / Д«( s,s + T)ds.

teR 71

Далее для заданного e > 0 в силу (5.5) найдется такое a из (0,e), что

<кыр(Щ;<*),Щ-)) < (5-7)

a,

раем y > 0 таким, что

a e

sup(mes{s € [t, t + 1]: w7[/(s, •), X] ^ —}) < —. (5.8)

teR ¿ o?

По этому 7 строим конечную 7-сеть {ж1,...,жр} С X компакта X и фиксируем произвольное т, принадлежащее плотному множеству

р 2

(5-9)

Кроме того, для каждого £ € М та [£, £ + 1] фиксируем такое измеримое отображение 8 ^ ж(з) € Nчто для п. в. § € [£, £ + 1]

тах р(ж, ^(^ + т, а)) = р(ж(з), ^(^ + т, а),

жеЖ(«)

и полагаем

т £, а = {8 € [£, £+1]: ^+т, а }•

В силу (5.4) очевидно, что

[М + 1] \ Та) = {8 € [£,£ + 1] : ||/($-|-т, ж($)) || > а}•

Введем, наконец, в рассмотрение множества

£) = {й € [М + 1] : р(ж,,ж(в)) < 7}, 2 = 1,... ,р, и по ним построим дизъюнктную систему множеств

.7-1

Т(£) = МИ, 7£) = М(£) ^ МЛ(£), 2 = 2,... ,р,

Й=1

объединение которых есть [£, £ + 1] .

Теперь, принимая во внимание, что ж(з) € М(^, а значит, /(з,ж(з)) = 0, 8 € [£, £+1], неравенство (5.8) и выбор т, получаем следующие соотношения:

/*¿+1 Г ¿+1

/ тах р(ж, ^(^ + т, а))^з = / р(ж(з), ^(з + т, а))^з =

Л хеЖ( «) Л

= / p(x(s), Ws + т, a))ds ^ ^ mes([t, t + 1] \ T(t, a)) ^

J[t,t+ 1]\T( *,a)

P

^ ?£mes{s € T^) : Hfs,^) - Л^Ф)) У +

j=i

+ ||/(s + r,x-) - /(s,x) У + ||/(s + r,x(s)) - /(s + r,x-) || > a} ^ p

<?£(mes{e eTj(i) : w7[/(s + r, •),£] ^ |} +

j=i

q;

+ mes{s € Tj(t) : ||/(s + T,Xj) - f(s,Xj)\\ > -} +

Oi

+ mes{s € Tj{t) : w7[/(s,-),X] ^ -}) ^

Oi

^ 2j:sup(mes{s € [t, t + 1] : w7/(s, •), X] ^ — }) + teR &

3? и <■< s <■< \s ^ e 3px a e a e

+ J £>(■ + T,X,), H;Xj)) <2,.-+f. — = J+ i<-.

Отсюда, в силу произвольности выбора точки t € R получаем следующее неравенство:

[ t+1 e

sup max p(x,W(s + r,a))ds ^

teR Jt xeN(s) 2

ft+i it

Аналогично доказывается, что t

/ e

sup max p(x,W(s,a)) ds ^

teR Л xeN(s+T) 2

Из последних двух неравенств получаем, что

t

sup

teR

te J Aa(s,s + T)ds ^

Поэтому, в силу неравенств (5.6) и (5.7), ^¡¡¡¡^(М-(•), М(^)) < е. Таким образом, доказано, что для каждого е > 0 относительно

плотное множество (5.9) содержится В Дд(М, е), т. е. N принадлежит пространству £(М, сотр(Х)) и при этом

р

Мос1(.М) С Мос1(|^) Л(/(^ж,))) С Мос1( |^) Л(/(•,£))).

.7 = 1 ж€Х

Первое утверждение теоремы 5.1 доказано. Второе утверждение есть следствие первого утверждения и результатов работ [65; 55].

Замечание 5.1. Рассматриваем в дальнейшем каждое множество Я € сотр(грт(Я)) как подпространство компактного метрического пространства (грт(Я), рад) и сотр(Я) будем считать, соответственно, подпространством метрического пространства (сотр(грт(Я))^), где с1 = с11 . Ана-

логично множество Я € сотр(Мт) будем рассматривать как компактное метрическое пространство (Я, рт) и (сотр(Я),dist)

— подпространство метрического пространства (сотр(Мт), dist), в котором dist = сН . С учетом сказанного рассматриваем также и множества £(М, Я С £(М, (сотр(грт(Я)), ¿ШвО) и 5(М,сотр(Я)) С 5(М, (сотр(Мт),^)).

Теперь для удобства ссылок приведем в виде следствий теорему 5.1 при конкретном выборе X.

Следствие 5.1. Пусть функция А € £( М, С(Я, М™)), Я € сотр(грт(Я)) и

М(¿) = М(Ц Я = {V € Я: (V, А(Ц, и)) = 0}, (5.10)

¿,а) = ^(Ц, а Я = {V € Я: |(V, АЦ, и))| ^ а}, (5.11)

где Ц € М, а > 0. Тогда если М(¿) ^ 0 при п. в. Ц € М м

Нт^в1;р^(^,а), М(^)) = 0, то N € £(М,Я, существует, та-

а|0

кое ^ € АРМ, что ^(¿) € М(¿) для п. в. Ц € М м выполняются включения Мос1(^) С Мос1(.М) С Мос1(й) .

Доказательство. Рассмотрим отображение (£, V) ^ /(Ц, V) = (V, А¿,и)), (Ц V) € М х Я. Так как функция

fl € S(R, C(U, Rn)), то из неравенства Г

sup / max|/(s + t, v) — /(s,v) | ds ^

teR Л veK

Г t+1

^ sup / max | g(s + т, u) — fl(s,u)I ds, (t € R)

teR Л ueU

вытекает, что f € S(R, CK, Rn)) и (здесь см. следствие 1.1 и

равенство (1.6) при X = K и X = U)

Mod( |J Л(/(■, v))) = Mod(f) с Mod(fl) = Mod( |J A(fl(■, u))).

veK «ея

Кроме того, по следствию 1.2 функция f удовлетворяет условию А). Теперь, взяв в теореме 5.1 (X, р) = (K, pw), Y = Rn и f = /, получим утверждение следствия 5.1.

Следствие 5.2. Пусть g € S( R, C(U, Rn)) и

N(t) = N(t; U) = {u € U: fl(t,u) = 0}> t € R, (5.12)

W(t,a) = {u € U: | g(t, u)I ^ «}, t € R (a > 0). (5.13)

Тогда если N(t) ф 0 при п. в. t € R и limddiSt(W(-,a),N(')) = 0,

a|0

mo N € S(R, comp(U)), существует такая функция u € S(R, U), что u(t) € N(t) для п. в. t € R и выполняются включения Mod(u) ^d (N) С Mod (fl) .

Замечание 5.2. По лемме 2.1 функция u € S( R, U)

N

чае, если ^(•) = .) € APM^ будет сечением отображения

N(-; D/RU)) . Более того, N € S(R, comp(U)) в том и только в том случае, если N(-; D/RU)) € S(R, comp(D/R(U))) . Таким образом, если существует функция u € S(R, U), являющаяся сечением отображения N, то отображение .) € будет

сечением отображения ,^(-;грт(Я)). Следующий пример показывает, что отображение грт(Я)) может иметь сечения, принадлежащие АРМ1, тогда как у Щ( •) может и не быть сечений из £(М, Я) .

Пример 5.3. Пусть Я = {(щ,щ): |иI = 1, И| ^ 1} и А(= и(| К£)|— К£)и2), (£,и) ^ М х Я, где | € ЩМ,М) определяется равенством (5.3) из примера 5.1. Функция А € ЩМ х Я, М) и (см. (5.12)) Щ(£) = {(±1 К¿))} для п.в. £ € М. Посколь-

ку signf € $(М,М), то у Щ(•) нет п.п. по Степанову сечений. С другой стороны, отображение £ ^ N¿;грт(Я)), £ € М содержит, по крайней мере, сечение ^(¿) = |(^М1(*) + йи2(г))> гДе ик(£) = ((—1)к,и^), к = 1,2, £ € М и где, в свою очередь, и(•)

— любая функция из £(М, [—1, 1]) .

Сейчас, используя следствие 5.2, докажем следующее достаточное условие п. п. по Степанову функции signf, эквивалентное а-свойству функции / [70. С. 504].

Лемма 5.1. Пусть функция / € £(М, М) и

то sign / € S(R, R) и Mod(signf) С Mod(f) .

Доказательство. Рассмотрим функцию

g(t,u = |f(t)I — f(t)u, (t,u) € R x [—1,1].

Так как f € S(R, R), то fl € S(R, CU R)) и Mod(fl) ^d(f). Далее для данной функции (см.(5.12), (5.13)) N(t) = {signf( t)} прип.в. t € R, W(t,a) = {u € [—1, 1]: |f(t) |— f(t)u ^ a}, t € R. Следовательно, если ua € W(t,a), T0

m = {t € r if ад i < в} (в>о).

Тогда если

(5.14)

(5.15)

Теперь для заданного е > 0, в силу (5.14), найдется такая

константа в > 0, при которой будет выполнено неравенство

sup(mes([t, t + 1] П 1(Р))) < | • Поэтому teR

Г t+1

sup / |ua( s) — sig n/(s) |ds ^ 2sup(mes([t, t + 1] f| /(в))) +

ieR Jt ieR

+ sup \ua(s) — sign f(s)\ds < ^-+

teR J[t,t+l]\J(0) 2

+ sup / |ua(s) — sign/(s)|ds.

teR 7[t,t+l]\J(0)

Далее, если s € [t, t + 1 ] \ /(в), to l/(s)| > в и; следовательно, в силу (5.15) limua(s) = sign/s) . Поэтому из полученного выше

соотношения вытекает, что при всех достаточно малых а > О

d(ua(•), sign /(•)) < е . Таким образом, limddiSt(W(-,а),Щ(')) = О-

«¿0

По следствию 5.2 отображение t ^ N(t) = {sign /( t)} п.п., а значит, и функция sign /(•) € 5(R, R) .

2. Пусть G — облаеть в Rn, и всюду далее, если не оговорено специально, рассматриваем отображение (t, ж, u) ^ /(t, ж, u) € Rn, (t,x,u) € Rx GxЯ такое, что для любого K € comp(G) функция / € S(R,CK x Я, Rn)).

Лемма 5.2. Для всякого K € comp(G) и ^ € APMi отображение

(t,x) ^(Mt),/(t, x,u)) = / /(t, ж, u)^(t)(du) (5.16)

JU

принадлежит пространству 5(R, CK, Rn)). Кроме того, для всякой функции х € B(R, G), такой, что огЬ(ж) С G, отображение t ^ (^(t),/(t,x(t),u)) € Rn п.п. по Степанову.

/

при каждом h > 0 ее стекловское усреднение

^ /* t+h

(t,x,u) ^ fh{t,x,u) = — f(s,x,u)dsG R™,

h J t

принадлежащее пространству B(R х K х U, Rn) и, стало быть, ограниченное на множестве R х K х U. Полагаем далее

fh(t, X = (Mt), /h(t, x, u), (t, X G R х K.

Поскольку при всяком a > О

sup(mes{s G [t, t + 1]: w7[fh(s, •), K] > a}) < teR

^ /*t+l r t+1

< — sup Uj[fh(s, ■), К}ds ^ sup u1[f(s,-,-),Kxii]ds,

a teR Л teR У*

a / G 5(R,CK х U, Rn)), to (cm. лемму 1.3) ограниченное на R х K отображение (t,X ^ fh(t, X, (t, X G R х K удовлетворяет условию А) и, кроме того, (см. следствие 2.3) при каждом x G K, fh(■, X G 5(R, Rn). Стало быть, по лемме 1.4 при каждом h > О fh G S(R,CK, Rn)) . Пусть далее f(t,x) = (Mt),/(t,x,u)), (t, X G R х K. Поскольку при каждом h > 0 и любом т

Г t+1

sup / max | f( s + т, X — f( s,x) |ds ^

teR Л xeK

Г t+1

^2 sup / max |/(s + T, x,u) — /h(s,X,U|ds +

teR Jt (x,ueKxU

r t+1

+ sup / max|fh(s + т, x) — fh(s,X|ds,

teR Л xeK

то (см. теорему 1.2) из равенства

Г t+1

lim(sup / max |/(s,x,u) — /h(s,x,U|ds) = 0

h!° teR Jt (x,ueKxU

и включения {fh, h > 0} С 5(R,CK, Rn)) получаем первое утверждение леммы 5.2. Далее, т.к. ж € B(R, G), то множество Ä" = orb(x) € comp(G) . По доказанному выше функция (t,U ^ /(t, Xt),u) = /к /(t, X, u)^x(t)(dx) принадлежит пространству 5(R, C(U, Rn)), а значит, по следствию 2.3 функция t ^ (Mt), /(t, Xt), U) п-п- 110 Степанову.

Лемма 5.3. Пусть функция xGB(R,G) и огЬ(ж)сС. Тогда отображения t ^ /(t,Xt),Я), t ^ со/(t,Xt),Я) принадлежат пространствам SR, comp(Rn)) м S(R^v(Rn)) соответственно.

Доказательство. Положим = огЬ(ж). Поскольку x € B(R, G), т0 K € comp(G) и, т.к. / принадлежит SR, C(K хЯ, Rn)), то то лемме 1.3 для заданного е > 0 найдется

такое 7 > 0, что /(7) = sup Jt*+1 w7[/(s, •, •, К х H)]ds < § и мно-

teR

жество Ев(х,Г)) П( П Es(f(-,z,u),t))), где t) = min(§,7),

(z,u) eKxU

относительно плотно. Пусть т принадлежит этому множеству. Теперь для каждого t € R фиксируем такую измеримую функцию и: [t, t + 1 ] ^ Я, что

г ЪД«+Т>Ф+Т)> Я)) =

f€/(s,x(s),U)

= р«( /(s,Xs),u(s)),/(s + ^x(s + х, U) •

Теперь ИЗ соотношений

Г t+1

/ р„(/( s,Xs),UX), /(s + T,x(s + X,U)ds ^

Г ¿+1

^ / |/(s,Xs),u(s)) — /(s + т,Xs + X,UX|ds +

r t+1

+ / |/(^T,XX,U^ — /(s + т,Xs + t),u(s)|ds ^

Г t+1

^ sup / max |/(s + т,Xs + X,Us) — /(s,Xs),u(s))|ds +

teR Jt (x,u6KxU

ее + /(7) < — + — = e

вытекает, что

/* t+i

sup / max pn(^/^ + т, Xs + X,U)ds ^ e.

teR Л fe/(s,x(s),H)

Аналогично показываем, что

г t+l

sup / max pn(f,/(s, x(s),U),U)ds ^ e.

teR Jt fe/(s+r,:r(s+T),H)

Из последних двух неравенств вытекает, что

Г t+l

sup / dist(/(s, Xs),U,/(s + т, X^ + X,U)ds ^ e.

teR Л

Тем самым первая часть леммы 5.3 доказана. Далее из неравенства dist(coA, coB) ^ dist(A, B), A, B € comp(Rn) вытекает второе утверждение этой леммы.

Рассмотрим п. п. по Степанову (см. лемму 5.2) систему дифференциальных уравнений

X = (ju(t),/(t,X,u)), ц(0 € APM, (t,X € R х G (5.17)

и дифференциальное включение

X €co/(t,X,U, (t,X € R х G (5.18)

с п.п. по Бору (см. лемму 5.3) правой частью.

X€ B R, G

решением системы (5.17), отвечающим некоторому ц € APMx и orb(X С G . Тогда она является также и решением, включения . , Xt € / t, Xt , U t € R

Доказательство теоремы 5.2 практически совпадает с доказательством соответствующего утверждения в измеримом случае (см.,например, [36]) и мы его опускаем.

Отметим далее, что, в отличие от измеримого случая, вообще говоря, нельзя утверждать, что если X0 — п-п- 110 Бору решение включения (5.18), то оно будет и решением системы (5.17) при некотором ц € APMi .

Пример 5.4. Пусть /(t,x,u) = x + | f(t) | — f( t)u, при всех (t,x,u) € R x R x [—Д], гДе функция f € BR, R) определена равенством (5.3). Тогда очевидно, что x(t) = 0 есть решение дифференциального включения X € x + | f( t) | — f( t) ■ [—1,1] . С другой стороны, равенство | f( t)| — (u(t), Кt)u) =0 возможно лишь при M(t) = ^signfíí) , а т-к- signf € S R, [—1 , 1]), то по лемме 2.1 и м / APMi .

Введем в рассмотрение множество

га+1 га+1

C = {£ Ц , 0 ^ ^ U € U, ¿ = 1,... ,п + 1, 1},

j=i j=i

принадлежащее conv(rpm(U)) •

Теорема 5.3. Пусть x € RR, G) — такое решение дифференциального включения (5.18), что orb(x) С G и x € SR, Rn) • Пусть отображения t ^ N(t), t ^ W(t,a) определены равенствам,и (5.10) и (5.11) соответственно при K = C м gt, u) = x—/(t, x(t), u) . Тогда если выполнено равенство limddiStro(W(-,a),N(-)) = 0, то существует такое м € APMi,

ai|0

что Д(t) € C для п. в. t € R и x(•) — решение системы уравнений (5.17) при Rt) = Д(t) •

/

пространству ¿>(R, С(К х it, R™)), где _fí = orb(x), то для заданного е > 0 найдется такое y > 0, что (см. принятое при доказательстве леммы 5.3 обозначение) /(y) < е/3 и множество

EB(x,t))f]Es(x,t))f]( р| EB(f(-,z,u),t))), t) = min(|,Y)

(z,u) eK xU

относительно плотно. Далее, т. к. для каждого т из этого множества

г í+1

sup / max | gs + т, u) — gs,U |ds ^ d(xr,x) +

teR Л ueU

Г t+1

+ sup / max |/(s + r, z,u) — /(s,z,u)|ds + /(7) < e,

teR Л (z>u) еххя

то fl € SМ, CU, Rn)) • Теперь утверждение теоремы 5.3 вытекает из следствия 5.1 при K = C .

Рассмотрим далее п. п. по Степанову систему дифференциальных уравнений

X =/(t,x,u(t)), u(•) € S(R,U), (t,x) € R х G (5.19)

и дифференциальное включение

X € ft, x,U), (t,x) € М х G (5.20)

с п.п. по Бору (см. лемму 5.3) правой частью.

Очевидно, что всякое п.п. по Бору решение системы (5.19) является решением включения (5.20). Обратное утверждение (см. пример 5.4), вообще говоря, неверно. В связи с этим приведем следующую теорему, вытекающую из следствия 5.2.

Теорема 5.4. Пусть х(-) € B(R, G) — такое решение дифференциального включения (5.20), что огЬ(ж) С G и Х(•)€SМ,Мп) • Пусть, далее, отображения t^N(t),t ^W(t,a) определены, равенствами (5.12) и (5.13) соответственно при gt,u) = X(t) — /(t,x(t),u). Тогда, если выполнено равенство limddist(W(•,a,N•)) = 0, то существует такое и(•)€£(М,Мп),

а|0

x • .

при u(t) = Ut)-

Список литературы

1. Тонкое Е. Л. Оптимальные периодические движения управляемой системы // Математическая физика. 1977. Вып. 21. С. 45-59.

2. Halanay A. Optimal control of periodic solution // Rev. Roumaine de mat. Pures et appl. 1974. V. 19, Г“ 1. P. 3-16.

3. Панасюк А. И., Панасюк В. И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. Минск: Наука и техника, 1986. 296 с.

4. Панасюк А. И., Панасюк В. И. Оптимальное управление с усредненным вдоль траектории функционалом // ПММ. 1985. Т. 49, Г 4. С. 525-536.

5. Белоусов Л. А., Тонков Е.Л. Некоторые математические задачи,

связанные с одной моделью химического катализа / / Изв. Ин-та матем. и информ./ УдГУ. Ижевск. 1997. 1(9). С. 3-62.

6. Гайцгори В. Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями. М.: Наука, 1991. 224 с.

7. Зубов В. И. Теория колебаний. М.: Высш. шк., 1979. 400 с.

8. Horn J., Lin R. C. Periodic Processes: A Variational Approach // Eng. Chem. Process Desing and Development, 1967. V. 6, Г1 1. P. 21-30.

9. Белоусов Л. A., Тонков Е.Л. Об оптимальном управлении периодическими колебаниями некоторых процессов химического катализа // Нестационарные процессы в катализе: Тр. конф. Новосибирск, 1987. С. 212-225.

10. Дукельский М. С., Цирлин А. М. Условия нестационарности установившегося режима управляемого объекта // Автоматика и телемеханика. 1977, Г1 8. С. 5-12.

11. Петрова В. В., Тонков Е.Л. Допустимость периодических процессов и теоремы существования периодических решений // Изв. вузов. Математика. 1996, Г1 11. С. 65-71.

12. Перов А. И., Тананика А. А. Об одном геометрическом результате в вопросах периодической оптимизации / / Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26,1" 4. С. 718-721.

13. Перов А. И., Белоусова Е.П. Об одной нелинейной задаче периодической оптимизации / Воронеж, ун-т. Воронеж, 1995. 23 с. Деп. в ВИНИТИ 09.08.95,1" 2409-95.

14. Тонков Е. Л. Оптимальные периодические движения управляемой системы // Математическая физика. 1977. Вып. 22. С. 54-64.

15. Тонков Е.Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, Г1 6. С. 1007-1011.

16. Тонкова В. С. Вопросы эффективного расширения задач математического программирования // Методы вычислительного эксперимента в инженерной практике. Ижевск.: ПММ, 1991. Вып. 1. С. 90-99.

17. Троицкий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. Л.: Машиностроение, 1976. 248 с.

18. Цирлин А. М., Балакирев B.C., Дудников Е.Г. Вариационные

методы оптимизации управляемых объектов. М.: Энергия, 1976. 448 с.

19. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

20. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1978. 348 с.

21. Guardabassi G., Locatelli A., Rinaldi S. The status of periodic optimization of dynamic systems // J. Optimization Theory and Appl., 1974. V. 14, I" 1. P. 1-20.

22. Gilbert E. G. Optimal Periodic Control: a General Theory of Necessary Conditions // SIAM J. Contr. Optimisation. 1977. V. 15, Г1 5. P. 717746.

23. Bittanti S., Locatelli A., Guardabassi G. Periodic control: A frequency domain approach // IEEE Trans. Automat. Control. 1973. V.18, Г1 1. P. 33-34.

24. Bittanti S., Locatelli A., Maffezoni C. Second-variation mehhods in periodic optimisation // J. Optim. Theory and Appl. 1974. V. 14, I" 14. P. 31-49.

25. Markus L. Optimal control of limit cycles or what control theory can do to cure a heart attack or to cause one // Lect. Notes Math. 1973. V. 312. P. 108-134.

26. Chang K. S. Necessary and sufficient conditions for optimality. Periodic optimization. New York: Springer-Verlag, 1972. P. 183-217.

27. Иванов А. Г., Тонков E.Л. Задача оптимального управления периодическими процессами и ее расширения // Функц. дифференц. уравнения. Пермь, 1992. С. 35-49.

28. Panasjuk A., Panasjuk V. Die wichtigsten Leitsätze der magistralen asymptotischen Theorie der optimalen Steuerung //27 Intern. Wiss. Kolloq., Ilmenau, 1982. H.5. Vortragsz. Bl, B2. Ilmenau, s. а. P. 99104.

29. Иванов A. Г. О существовании почти периодического решения линейной системы с квадратичным функционалом качества / / Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, Г1 2. С. 203-211.

30. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

31. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. М.: Гостехиздат, 1953. 396 с.

32. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. 205 с.

33. Иванов А. Г. Оптимальное управление почти периодическими движениями при наличии ограничений на средние // Докл. РАН 1995. Т. 343, Г 6. С. 51-53.

34. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 392 с.

35. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-252.

36. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 623 с.

37. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. 230 с.

38. Дмитрук A.B. Принцип максимума для общей задачи оптимального управления с фазовыми и регулярными смешанными ограничениями // Оптимальность управляемых динамических систем. Вып. 14. М.: ВНИИСИ, 1990. С. 26-42.

39. Красовский H. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 518 с.

40. Субботин А. П., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 287 с.

41. Ченцов А. Г. Приложения теории меры к задачам управления. Свердловск: Средн.-Урал. кн. изд-во, 1985. 128 с.

42. Ченцов А. Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач. Екатеринбург: Наука, 1993. 232 с.

43. Иванов А. Г. Мерозначные почти периодические функции. Препринт. Свердловск, 1990. 53 с.

44. Иванов А. Г. Мерозначные почти периодические функции. II / Уд-ГУ. Ижевск, 1991. 62 с. Деп. в ВИНИТИ 24.04.91, f 1721-1? 91.

45. Иванов А. Г. Об оптимальном управлении почти периодическими движениями при наличии ограничений на средние типа равенств и неравенств. I. // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, Г1 2. С. 167— 176.

46. Иванов А. Г. Об оптимальном управлении почти периодическими движениями при наличии ограничений на средние типа равенств и неравенств. II. // Дифференц. уравнения. 1997 . Т. 33, Г1 3. С. 316— 323.

47. Иванов А. Г. Об оптимальном управлении почти периодическими движениями при наличии ограничений на средние типа равенств и

неравенств. III. // Днфференц. уравнения. 1997. Т. 33, Г1 4. С. 478485.

48. Иванов А. Г. О почти-периодической ляпуновской задаче // ПММ.

1991. Т. 55, вып. 5. С. 718-724.

49. Иванов А. Г. Об оптимальном управлении почти периодическими движениями // ПММ. 1992. Т. 56, вып. 5. С. 745-753.

50. Иванов А. Г. Об эквивалентности дифференциальных включений управляемых почти периодических систем / / Дифференц. уравнения. 1997 . Т.ЗЗ, I" 7. С. 876-884.

51. Иванов А. Г. О непрерывной дифференцируемости по параметру почти периодического решения // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, Г 4. С. 478-487.

52. Иванов А. Г. О непрерывной зависимости почти периодического решения от мерозначного управления // Дифференц. уравнения.

1992. Т. 28,1" 11. С. 1907-1915.

53. Иванов А. Г. Об одном свойстве почти периодического интеграла, зависящего от параметра // Изв. вузов. Математика. 2001. I" 6(469). С. 34-43.

54. Данилов Л. И. О мерозначных почти периодических функциях // Вестн. Удм. ун-та. 1992. Вып. 1. С. 51-58.

55. Данилов Л. И. Почти периодические сечения многозначных отображений // Изв. Ин-та матем. и информ./ УдГУ. Ижевск, 1993. Вып. 1. С. 16-78.

56. Данилов Л. И. О равномерной аппроксимации почти периодических по Степанову функций // Изв. вузов. Математика. 1998.1^ 5. С. 10-18.

57. Fink А. М. Almost periodic differential equation // Lect. Notes Math. 1974. V. 377. 336 p.

58. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 429 с.

59. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель 3. Г. Функциональный анализ: Курс лекций. Киев: Вища школа, 1990. 600 с.

60. Данфорд H., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Иностр. лит., 1962.

61. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

62. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж, 1986. 104 с.

63. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища школа, 1987. 288 с.

64. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 309 с.

65. Долбилов А. М., Шнейберг И. Я. Почти периодические многозначные отображения и их сечения // Сиб. матем. журн. 1991. Т. 32, !' 2. С. 172-175.

66. Красносельский М. А., Бурд В. HL, Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 352 с.

67. Иванов А. Г. Элементы аппарата задач управления почти периодическими движениями. I / УдГУ. Ижевск, 2001. 49 с. Деп. в ВИНИТИ 28.06.2001,1" 1536-В 91.

68. Castaing C., Valadier М. Convex analysis and measure able multifunction // Lect. Notes Math., Springer-Ver lag Berlin Heidelberg. New York, 1977. V. 459. 279 p.

69. Данилов . I. II.. Иванов А. Г. К теореме о поточечном максимуме в почти периодическом случае // Изв. вузов. Математика. 1994. I" 6. С. 50-59.

70. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 522 с.

УДК 517.977

Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I. Иванов А.Г. // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2002. Вып. 1(24). С. 3^100.

Приводятся основные определения и утверждения о мерозначных почти периодических по Степанову функций, которые используются при исследовании задач оптимального управления почти периодическими движениями.

Библиогр. 70