О некоторых свойствах почти периодических решений систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.917

© А. Г. Иванов

[email protected]

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ1

Ключевые слова: почти периодические по Бору решения систем управления, мерозначные почти периодические по Степанову отображения.

Abstract. We present some properties of solutions of almost periodic control systems which are directly used in problems of optimal control of almost periodic motions.

Пусть rpm(il) — метрическое пространство вероятностных мер Радона на Ж™ [1], носитель которых содержится в множестве Я 6 comp (Ж™), и М. — совокупность измеримых отображений ц'. Ж ^ грт(Д). На М. возможно задание такой метрики pw [2], относительно которой (M,pw) является компактным метрическим пространством. Рассмотрим, далее, некоторое множество параметров П, а также множество

Ш = {//(•, е, ш), (е, и) £ [0, ?] х П} с М,

в котором 0, ш) = p(t), t 6 Ж, и при каждом m£Z полагаем

Im(e,ci;) = {t €Е [m, т + a]: p(t, е,ш) ф (а > 0).

Говорим, что множество ЭЯ равномерно липшицево, если найдется такое L > 0, что для всех (т,ш) 6 Z х П справедливо неравенство 1т(е,ш) ^ Le.

1 Работа поддержана Конкурсным центром фундаментального естествознания (грант Е 00-1.0-5).

Лемма 1. Если множество Ш равномерно липшице-

во, то Нт^ир /%(//(•, е, ш), Д(-))) =0.

<40

Определим А Р.VI | как совокупность таких р €Е Л4, что для каждой функции сб С(Я, Ж) отображение

£ (//(4), с(и)) = J с(и)р(1)(йи)

и

принадлежит пространству 5'(Ж, Ж) почти периодических (п. п.) по Степанову функций [3], и скажем, что множество 21 С А Р.VI | равностепенно п. п., если для каждой функции с €Е С(Я, Ж) совокупность отображений (р(1),с(и)}, р 6 21} из простран-

ства 5'(Ж,Ж) является равностепенно п.п. [3]. В дальнейшем каждую функцию / из Ха (Ж, С(Х, Ж)), где (X, р) —компактное метрическое пространство, представляем в виде отображения (I, х) '{(1, ж) € Ж, (I, х) 6 Ж х X и говорим, что такая функция

принадлежит 5(Ж, С(Х, Ж)), если для любого е > 0 множество

{г е Ж : Бир / тах |/(5 + т, ж) —/(«, ж)|е^ < е} относительно

I хеХ

плотно.

При исследовании п. п. систем управления в классе п.п. функций полезна следующая теорема [2].

Теорема 1. Пусть функция (1,х,и) д(1,х,и) при-

надлежит пространству 5(Ж, С(КхЦ, Ж”)), где К £сотр(Ж”), и ограничена. Тогда для любой функции х{-) из 5(Ж, К) отображение (т?:,ад) I—> (7(7?:,ж(т?:),ад) принадлежит 5(Ж,С(К хЯ,Ж”)), и если множество 21 С А Р.VI | равностепенно п. п., то совокупность отображений {11-> {р(1), д(1, х(1), и)}, р 6 21}, где

(р(1),д(1,х(1),и)) = У д(1,х(1),и)р(1)(йи), £ 6 Ж, д

принадлежит пространству 5(Ж, Ж”) и равностепенно п. п.

Пусть далее О — область в Ж” , дифференцируемое по х и V в каждой точке (£, ж, V, и) еЖхбх# х Я отображение (1,х,у,и) /(1,х,у,и) 6 Ж” таково, что для любых фиксиро-

ванных К е сотр(Ж”) и V €Е сотр(Ж^) имеет место включение / £ 5(Ж, С (К хУ х Я, Ж”), а /'х и /' принадлежат пространствам 5(Ж, С (К хУ хЯ, Нот(Ж”)) и 5(Ж, <7(К х ^ хЯ, Нот(Жй)) соответственно. Кроме того, будем предполагать, что

8ир{|/(*, X, V, «)| + \fxit, Х,У,и)\, (1,Х,У,и) £ЖхК XV X Я} < оо.

Фиксируем теперь множество 6 из пространства В (Ж, Жй) п.п. по Бору функций, и при у(-) €Е © , ц(-) €Е Л Р.VI | рассмотрим п. п. по Степанову систему дифференциальных уравнений

х = f(t, х, у(1), и)) = У f(t,x,v(t),u)fJ,(t)(du), г£(?, (1)

д

для которой набор (ж(-), ?;(•),//(•)) € В(Ш,0) х 6 х АРМ | называется допустимым, если ж(-) — решение этой системы, отвечающее паре («(•),//(•)) , такое, что огЬ(ж(-)) С О.

Для ?;(•) 6 & рассмотрим касательный конус В со-

ответствии с определением (см., например, [4]) в нашем случае Л(-) £ Тад6, если найдется константа д > 0 и такое отображение е ??(•,£) € .В(Ж, Жй), е е [0, д) 0) = 0), что

М--, е)11с(кд*0 = 0 и при всех е е [0> в]

Уе(-)=у(')+£(Ц-)+г1(-,£)) €&. (2)

Теорема 2. Пусть множество Ш С Л Р.VI | является равномерно липшицевым и равностепенно п. п., и пусть допустимый набор (ж(-), у(-), //(•)) <г Ч{ Я. ('/)•©• АРМ | системы (1) такой, что п. п. по Степанову система

у = (Д(г), /*(г, £(г), £(*), и))у, (г, у) е ж х ж"

допускает экспоненциальную дихотомию. Тогда для каждого h(-) €Е Тц.)& найдутся константа е > 0 и компактная окрестность К С G множества огЬ(ж(-)) т,акие, что при каждом е 6 (О, е ] система

х = (fi(t, е, ш), f(t, х, ve(t), и)) =jf(t, х, ve(t), £, u)(du), oj € fi,

it

где v£(-) 6 & определено равенством (2) , имеет единственное п.п. по Бору решение х(-,£,ш) такое, что огЬ(ж(-, е, ш)) С К и

lim(sup ||ж(-,е) - ж(-)||с(кд«)) = 0. шеП

Кроме того, множество

1

{-\\х(-,£,ш) — ж(-)||с(М,М«), (е,ш) е (0, е] X Щ ограничено.

Замечание 1. Взяв в теореме 2 в качестве множества ЭЯ пакет игольчатых вариаций [2], отвечающий заданному Д(-) €Е APMi, получим утверждение о ряде основных свойств п. п. решений, которое непосредственно используется при получении необходимых условий оптимальности допустимого процесса в задаче оптимального управления п. п. движениями.

Список литературы

1. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 623 с.

2. Иванов А. Г. Элементы аппарата управления почти периодическими движениями. I. УдГУ. Ижевск, 2001. 49 с. Деп. в ВИНИТИ 28.06.2001,1" 1536-В01.

3. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. М.: Гостехиздат, 1953. 396 с.

4. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.