О ряде свойств почти периодических решений систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

определяются соотношениями У = у2 + (г — г)2 и Уг = + у2 + (г — 2г)2 . Соответственно,

производные этих функций в силу системы имеют вид

*-*■- »(*-5)’ + т;

Уг = —2гж2 — 2?/2 — 2Ь(г — г)2 + 26г2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Smale S. Mathematical problems for the next century // Math. Intelligencer. 1998. V. 20. P. 715.

2. Демидович Б.П. Лекции no математической теории устойчивости. М.: 1998. 480 с.

3. Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1989. 415 с.

О РЯДЕ СВОЙСТВ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

© А.Г. Иванов (Ижевск)

Пусть С? - область в К”, В (Ж, И) - пространство почти периодических (п.п.) по Бору функций /: Е —> Ей АРМ] - совокупность п.п. в смысле Степанова отображений ц: Е —» грш(И) [1], где грш(И) - метрическое пространство вероятностных мер Радона на Ет, носитель которых содержится в множестве И £ сотр(Ет). Рассмотрим, далее, п.п. по Степанову систему дифференциальных уравнений

* = (/*(*)>/(*>*>«№>«)) = J (*,®)бЕхС, (1)

я

где (и(-),//(•)) 6 В(Е, Е*) х АРМ1, а дифференцируемое по I в каждой точке ^,х,ь,и) 6 Е х С х х Е1 хИ отображение (£, х,у. и) f(t, х, V. и) £ Еп и его производная для любых фиксированных К € сотр(С) и У £ сотр(Е*) принадлежит [1] пространствам п.п. по Степанову функций 5(Е, С{К х У х 11, Е")) и 5(Е, С(К х V х 11, Нот(Е")), соответственно. Предполагаем также, что вир{|/(*, ж, г», г^)| + |/,£ (^ ж, и, и)|, (Ь,х,у,и) £ Е х К х У х 11} < оо.

В докладе приводятся необходимые при исследовании задач оптимального управления п.п. движениями свойства п.п. по Бору решений х(-) системы (1), отвечающих (?;(•), /*(•)) € В(Ш, К*) х х АРМ1, таких, что замыкание орбиты огЬ(я) С (?. Всякий такой набор (х(-),ь(-),ц(-)) называем допустимым для системы (1).

В этом круге вопросов важную роль играет приводимая ниже теорема, в которой через (А, -<) обозначено направленное множество, содержащее конфинальное подмножество, П - множество параметров и - метрика на множестве М [1], состоящем из измеримых отображений ц\ Е —> грт(И).

Теорема. Пусть набор (£(•),и(-), Д(-)) допустим для системы (1), и система уравнений в вариациях у = $'х[1;,х{1),1и{^),и))у, (£,?/) € Е х К" допускает экспоненциальную дихотомию.

Тогда, если множество {(!(-, а,ш), (а, и) £ А х П} из АРМх равностепенно п.п. и совокупность

функций {иа(-,ш), (а, со) 6 А х Г2} С B(R, Mfc) такие, что lim (sup рю{ц(-, а, ш), #(•))) + sup ЦгГ(-) -

аеА w€n шеи

— va(-, w)||(7(m,r»)) — 0, то найдется такое «о € А, что d/гл всеж а € А, удовлетворяющих условию ао < а, и при каждом ш G система

x = (fj,(t,a,uj),f(t,x,va(t),u)) = j f{t,x,va(t,w),u)n(t,a,w){du)

и

имеет единственное п.п. по Бору решение х(-,а,и>) такое, что orb (х{-, а, ш)) С G и для которого

lim(sup \\х(', а, а;) - e(-)IIc(r,R")) = °-

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана Конкурсным центром фундаментального естествознания, грант N2 Е 00-1.0-5.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов А.Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I // Изв. ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2002. Вып. 1 (24). С. 3-100.

ОБ АПРИОРНОЙ ОЦЕНКЕ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НАВЬЕ-СТОКСА

© К.Б. Иманбердиев (Алматы)

Рассматривается вопрос о глобальном существовании слабых решений для системы уравнений Навье-Стокса

pt + di v(pu) = 0, (1)

Г (pul)t + div(pu1u) + P(p,e)Xl = e Ди1 + Adivu^,

\ {pu2)t + div{pu2u) + P(p, e)X2 = e Au2 + AdivwX2,

(pe)t + div(peu) + PD = AT -(- e |Vu|2 + AD2 + £ div((Vu)u — Du), (3)

p(x,t)\t=0 = Po, u(x,t)\t=o = u0, e(x, t)|t=o = e0, (4)

где D = div и — u3j, x £ R2.

Предполагаем, что рассматриваемая нами жидкость идеальна, так что Р(р, е) = (7 — 1 )ре, где 7 > 1 - адиабатическая константа, и Т - гладкая функция от е € (0,оо), удовлетворяющая С~1 ^

^ Т'(е), Т(е)/е ^ С, и С > 0 - константа. Относительно параметров вязкости е и А, принимаем, что

£, А > 0, А < (1 -j- у/2)е.

Начальные данные (ро,ио,ео) определяют величину:

Со - ||ро - р\\\2(в?) + 11ио|||2(л2) + J[(ро(х) - р)'2 +

R2

+ |и0(а;)|2 + (е0(ж) - ё)2](1 + \x\2)ldx + [J |u0(a;)|4(l + |:r|2)'ete]1/2, (5)

R?

где p, ё > 0 - фиксированные константы, I > 0 и произвольно мала.

Для рассматриваемой системы (1) - (4) имеет место следующая

Теорема. Пусть т > 0 - время, выберем I как в (5), р > р > р> 0 и ё > е\ > е > 0 заданы. В зависимости от этих величин существуют константы а, С > 0, и (р,и,е) - любое гладкое решение системы (1) - (4) на R2 х [0, t] с p(x,t) € [р,р], что начальные условия (ро,ы0,е0) удовлетворяют соотношениям Со ^ a, ess inf ео ^ е\. Тогда e(x,t) ^ е для х 6 R2 u0^t^r/\t, где т Л t = min{r, t}.