Об априорной оценке для одной системы Навье Стокса Текст научной статьи по специальности «Математика»

функций {««(•, w), {а,ш) 6 А х Г2} С B(R,Rk) такие, что lim (sup pw(n(-, a, w), £(•))) + sup ||u(-) -

weQ

— *><*(-, w)||c(R,R")) = 0, тпо найдется такое Qo € А, что для всех a E А, удовлетворяющих условию ao -< а, и при каждом w £ П система

x = (p,(t,a,u),f(t,x,va(t),u)) = J f(t,x,va(t,ui),u)fj,{t,a,uj)(du)

a

имеет единственное п.п. no Бору решение х(-,а,ш) такое, что orb (ж(-, а, ш)) С G и для которого lim (sup ||ж(-,а,ш) - z(-)llc(R,R")) = 0.

аеА

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана Конкурсным центром фундаментального естествознания, грант № Е 00-1.0-5.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов А.Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I // Изв. ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2002. Вып. 1(24). С. 3-100.

ОБ АПРИОРНОЙ ОЦЕНКЕ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НАВЬЕ-СТОКСА

© К.Б. Иманбердиев (Алматы)

Рассматривается вопрос о глобальном существовании слабых решений для системы уравнений Навье-Стокса

рг + сИу(ри) = 0, (1)

(ри1)* + сИу (ри1и) + Р(р, е)Х1 = £ А и1 + А (1[уиХ1,

(ри2)( + с11у(ри2и) + Р(р, е)Х2 = £ Ди2 + А <ИуиХ2,

(,ре)г + (Иу(реи) 4- РБ = АТ + £ |Уи|2 + А£>2 + е сИу((Уи)и - Би), (3)

рОМ)|*=о = Ро, и(х,г) |(=0 = и0, е(ж,*)|4=0 = ео, (4)

где В = div и = а-,1ей2.

Предполагаем, что рассматриваемая нами жидкость идеальна, так что Р(р, е) = (г)—1)ре, где 7 > 1 - адиабатическая константа, и Т - гладкая функция от е £ (0, оо), удовлетворяющая С-1 ^ ^ Т'(е), Т(е)/е ^ С, и С > 0 - константа. Относительно параметров вязкости £ и А, принимаем, что е, А > 0, А < (1 + \/2)гг.

Начальные данные (ра,ио,ео) определяют величину:

Со - ||ро - p\\l2(r2) + Пио|||2(д2) + J[(,Ро{х) - р)2 +

R2

+ |и0(а;)|2 + (е0(а:) - ё)2](1 + |a;|2)'<ia; + [J |u0(:r)|4(l + |a;|2)'da;]1/2, (5)

Я2

где p, ё > 0 - фиксированные константы, 1>0и произвольно мала.

Для рассматриваемой системы (1) - (4) имеет место следующая

Теорема. Пусть т > 0 - время, выберем I как в (5), р > р > р> 0 и ё > е\ > е > 0 заданы. В зависимости от этих величин существуют константы а, С > 0, и (р,и,е) - любое гладкое решение системы (1) - (4) па R2 х [0,i] с p{x,t) € [р,р], что начальные условия (ро,щ,е0) удовлетворяют соотношениям Со ^ a, ess inf ео ^ в\. Тогда e(x,t) ^ е для х £ R2 и 0 ^ t ^ т At, где т At — min{r, t}.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hoff D. // Arch. Rational Mech. Anal. 1997. V. 139. P. 303-354.

2. Бэтчелор Дж.. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.

МАКСИМАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРАТНОСТЬ

© Г.Г. Исламов (Ижевск)

В цикле работ автора (см., например, [1-5]) показано,что величина

v — maxdimkerM — XI),

хеп

где А есть замкнутый оператор с дискретным спектром, I - тождественный оператор, действующий в банаховом пространстве, ft ~ подмножество комплексной плоскости, возникает при изучении проблемы ускорения итерационных процессов решения систем линейных алгебраических уравнений, описании управляемых систем с минимальным числом входов обратной связи, исследовании наблюдаемости линейных динамических систем и управления спектром линейных периодических систем.

В докладе раскрываются свойства этой экстремальной задачи. Основное свойство состоит в том, что она является двойственной задачей в проблеме минимизации ранга линейных конечномерных возмущений, изменяющих дискретный спектр линейных замкнутых операторов требуемым образом.

Обсуждается вопрос о зависимости максимальной геометрической кратности от геометрических свойств колеблющихся тел, а также приводятся формулы для вычисления геометрической кратности собственного значения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Исламов Г.Г. Об управлении спектром динамической системы // Дифференц. уравнения. 1987. № 8. С. 1299-1302.

2. Исламов Г.Г. Экстремальные возмущения замкнутых операторов // Изв. вузов. Математика. 1989. № 1. С. 35-41.

3. Исламов Г.Г. О границе применимости итерационного метода // Межвуз. сб. науч. тр. Математические модели и информационные технологии. Ижевск: УдГУ, 1991. С. 14-18.

4. Исламов Г.Г. Об одном свойстве мультипликаторов линейных периодических систем // Изв. вузов. Математика. 1999. № 2. С. 57-59.

5. Исламов Г.Г. О минимальном числе ортогональных связей, устраняющих собственные колебания с определенными частотами // Изв. вузов. Математика. 2002. 7 с. (в печати).