Математическое доказательство существования и структура аттрактора в модели Э. Лоренца Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема2. Необходимым условием полноты представляющей системы в Н является полнота системы корневых векторов оператора А в Н.

ТеоремаЗ. Каждое нетривиальное замкнутое в топологии Н инвариантное подпространство Ш из Н совпадает с замыканием линейной оболочки системы содержащихся в Н корневых векторов оператора А, а значит допускает спектральный синтез:

зрап{е(\к)}Т=0=Ш,А{Ш) С Ж

Теорема4 [Аппроксимационная]. В каждом подпространстве IV С Н, инвариантном относительно оператора А, существует элемент ^ Є IV такой, что эрап {АпР(г)} = IV.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ И СТРУКТУРА АТТРАКТОРА В МОДЕЛИ Э. ЛОРЕНЦА

© И.В. Зубов (Санкт-Петербург)

Через сто лет после "Математические проблемы" Д. Гильберта один из известнейших американских математиков С. Смейл по инициативе Международного математического общества сформулировал 18 проблем для математиков XXI века, одной из которых (проблема 14) является проблема, связанная со странным аттрактором Э. Лоренца, являющимся флагманским примером хаотической динамики и наиболее упоминаемым математическим объектом последних двух десятилетий.

Следует отметить, что задолго до появления модели Э. Лоренца и других примеров, вытекающих из физических задач, В.В. Немыцкий (1900-1967) неоднократно обращал внимание математической общественности на необходимость изучения таких движений, которые имеют предельное поведение при неограниченном возрастании времени, но при этом предельные множества не являются интегральными многообразиями исходных дифференциальных уравнений.

Многолетние исследования системы Лоренца показали, что методы качественной теория дифференциальных уравнений, основанные на локальном изучении поведения решений в окрестности особой точки, не смогли дать исчерпывающего объяснения этого феномена. Основным математическим инструментом исследования этой системы стало численное интегрирование с использованием компьютера, и именно проблема соответствия поведения решений системы Лоренца геометрическим представлениям, получаемым на основе численного интегрирования системы, и составляет содержание 14-й проблемы Смейла, который отмечает, что математическое доказательство существования глобально притягивающего компактного инвариантного множества для системы Лоренца отсутствовало. В докладе впервые дается математическое доказательство существования аттрактора в модели Э. Лоренца. Открыта его структура. Показано, что любая устойчивая по Лагранжу система в полном пространстве имеет аттрактор. Доказано, что все движения, принадлежащие аттрактору, являются рекуррентными. Доказательство осуществлено с использованием аппарата функций Ляпунова и классических методов теории динамических систем. Получены уравнения двумерного и трехмерного инвариантного для полупотока множества для модели Э. Лоренца. Доказательство основано на следующей теореме:

Теорема. Для того чтобы динамическая система имела аттрактор А, необхо-

димо и достаточно, чтобы существовала компактная область М пространства Я, являющаяся инвариантным для полупотока множеством динамической системы / (р, £).

Функции Ляпунова для системы Лоренца

х = —ах + ау, у = гх — у — хг, г = ху — Ъг

определяются соотношениями Vi = у2 + (z — г)2 и V2 = ^х2 + у2 + (z — 2г)2 . Соответственно,

производные этих функций в силу системы имеют вид

V2 = —2га;2 — 2 у2 — 2b(z — г)2 + 2 Ьг2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Smale S. Mathematical problems for the next century // Math. Intelligencer. 1998. V. 20. P. 715.

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: 1998. 480 с.

3. Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1989. 415 с.

О РЯДЕ СВОЙСТВ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

© А.Г. Иванов (Ижевск)

Пусть С? - область в К”, В (Ж, Е) - пространство почти периодических (п.п.) по Бору функций /:1-)1и АРМ1 - совокупность п.п. в смысле Степанова отображений Е —>■ грт(И) [1], где грт(И) - метрическое пространство вероятностных мер Радона на Еш, носитель которых содержится в множестве И £ сотр(Кт). Рассмотрим, далее, п.п. по Степанову систему дифференциальных уравнений

± = (МО.Д*.®. «№»“)) = Уж®»«(*).«)М*)(^и). (г,я)еКхС, (1)

и

где («(■), МО) е £(Е,К*0 х АРМ1, а дифференцируемое по I в каждой точке (£, £, и, и) £ Е х С? х хЕ‘хУ отображение (£, х, и, и) (-> /(¿. х, у, и) £ Еп и его производная для любых фиксированных К £ сотр(С) и V £ сотр(Е*:) принадлежит [1] пространствам п.п. по Степанову функций 5(Е, С(К х V х 11, К")) и Б (Ж, С (К хУх 11, Нот(Е")), соответственно. Предполагаем также, что зир{|/(£, х, V, и)| + |/'(£,ж,г;,и)|, (¿, а:,у,и) £ К х К х V хИ}<оо.

В докладе приводятся необходимые при исследовании задач оптимального управления п.п. движениями свойства п.п. по Бору решений х(-) системы (1), отвечающих (и(0>М0) € В(Ш,Шк) х х АРМх, таких, что замыкание орбиты огЬ(ж) С й. Всякий такой набор (х(-),и(-),МО) называем допустимым для системы (1).

В этом круге вопросов важную роль играет приводимая ниже теорема, в которой через (А, -<) обозначено направленное множество, содержащее конфинальное подмножество, Г! - множество параметров и р„ - метрика на множестве М [1], состоящем из измеримых отображений ц: Е —>• грт(И).

Теорема. Пусть набор МО) допустим для системы (1), и система уравнений

в вариациях у = (Д(^),/'(^ х(1),у(1),и))у, (Ь,у) £ Е х Е" допускает экспоненциальную дихотомию. Тогда, если множество {ц(-,а,ш), (а>ш) £ А х (!} из АРМ1 равностепенно п.п. и совокупность