О почти периодических по Вейлю мерозначных функциях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

© Л.И. Данилов

danilov@otf.pti.udm.ru

О ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВЕЙЛЮ МЕРОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЯХ

Ключевые слова: почти периодические по Вейлю функции, мерозначные функции, вероятностные борелевские меры

Abstract. We consider measure-valued functions К Э t ^ t] taking values in the metric space (Mo(U),pw) of probability Borel measures defined on the a -algebra of Borel subsets of a complete seperable metric space U . The metric space (Mo(U), pw) is endowed with the metric pw equivalent to the Levy-Prokhorov metric. It is proved that the measurevalued function R Э t ^ p[-\t] € (Mo(U),pw) is Weyl almost periodic if and only if the functions f F(x) ^>[ dx; . ] are Weyl almost periodic (of

U

order 1) for all bounded continuous functions F : U ^ R.

Введение

Пусть (и, р) - полное сепарабельное метрическое пространство, Сь(и) - множество всех ограниченных непрерывных функций Т : и ^ М, £(и) - множество функций и Э х ^ Т(х) € М таких, что 0 ^ Т(х) О и |Т(х) —Т(у)| ^ р(х, у) для всех х, у € и . Обозначим через М(и) линейное пространство борелевских знакопеременных мер (зарядов), определенных па ст-адгебре В(и) борелевских множеств О С и, наделенное нормой

||^||ад = Бир ^ Т( х)^х] | , у[] € М( и);

тес(и) и у ’

М+(и) - множество неотрицательных борелевскихмериз М(и),

Ми

Мо(и) С М+ (и) С М(и) . На тожестве Мо(и) норма ||.||ад определяет метрику рад , эквивалентную метрике Леви-Прохор

Пусть САР (М, М( и)), Бр( М, М{ и)) и Шр{ М, М( и)) - соответственно множества почти периодических (п.п.) по Бору, п.п. по Степанову и п.п. по Вейлю порядка р ^1 мерозначных функций М Э Ь ^ ^[.; Ь] со значениями в линейном нормированном пространстве (М(и), ||.||ад). Мерозначная функция М Э Ь ^ М-; Ь] € М( и) называется слабо почти периодической по Бору (слабо п.п. по Степанову или слабо п.п. по Вейлю порядка р ^ 1), если для любой функции Т € Сь{и) функция

М Э Ь ^ / Т(х) ^[йх\ Ь] € М

и

р

Соответствующие множества слабо п.п. функций обозначим через САРМ,М(и)), 5^(М,М(и)) и ^(М,М(и)).

Мерозначные функции М Э Ь ^ М^Ь] € (Мо(и),ро) находят применение в задачах теории управления [2; 3]. В ряде задач рассматриваются функции М Э Ь ^ со знакопеременной ме-

рой В( и) ЭО^ О Ь € М, Ь € М (см., например, [4; 5]). Слабо п.п. по Степанову мерозначные функции при исследовании оптимального п.п. управления использовались в [6] (см. также [7; 8]). В [9; 10] функции ^[.;.] € Б™ (М, Мо (и)) применялись при исследовании п.п. по Степанову сечений многозначных п.п. по Степанову отображений. В частности, в [10] доказано, что многозначные отображения М Э Ь ^ шрр^[.; Ь), где ^[.;.] € Б'f (М, Мо(и)) , и только они представимы в виде и /'(Ь); Ь € М, где функции /• : М ^ и, ] € N, принадлежат пространству п.п. по Степанову порядка 1 функций Б(М, и) = Б (М, (и, р')) со значениями в метрическом пространстве (и, р') с метрикой р'(х,у) = = тт{1, р(х, у)} , х,у^11 (яирр/х - носитель меры /л € М0(и), А - замыкание множества А С и).

В [11] (для полного сепарабельного метрического пространства (U, р)) доказано, что CAPw(R, М0(U)) = CAP(R, М0(U)) и Sf(R, Mo(U)) = S(R, Mo(U)). Разные классы мерозначных п.п. (по Бору и по Степанову) функций R Э t ^ M[.>t] € M(U) изучались в [12], где доказано, что м[.> .] € CAPw(R, M(U)) тогда и только тогда, когда ^[.;.] € CAP(R, M(U)) и существует компакт K С (M(U), IMD такой, что |м| [.;t] € K при всех t € R ( И € M+ (U) _ полная вариация меры м € M(U)). Условия ^[.;.] € SpW (R, M(U)) и М[.;.] € Sp(R, M(U)) (для каждого p ^ 1) в общем случае независимы [12]. Если ^[.;t] € M+ (U) при почти всех (п.в.) t € R, то м[.> .] € SpW (R, M(U)) тогда и только тогда, когда ^[.; .] € Sp(R, M(U)) , p ^1 [12].

В работе доказано равенство WW(R, Mo(U)) = W (R, Mo(U)) .

В § 1 приведены определения и некоторые утверждения о п.п. функциях, а также о вероятностных борелевских мерах, которые используются в дальнейшем. Большинство утверждений о п.п. функциях можно найти в [13; 14]. Многие свойства п.п. по Вейлю функций приведены в [15]. Относительно утверждений о вероятностных борелевских мерах см., например, [16]. Основные

§§

§

1. Определения и некоторые свойства почти периодических функций

Пусть (U, р) - полное метрическое пространство. Через А обозначим замыкание множества AС U , Kr(x) = {y € U :р(ж, y) ^г} ,

х € U , г ^ 0 . Множество К С. U предкомпактно, если К - компактное множество. Функция f : R ^ U называется простои., если существуют точки Xj € U и непересекающиеся измеримые по Лебегу множества Tj С R, j = 1,... , n (где n € N), такие,

что mesR\ Uj Tj = 0 и f (t) = xj при t € Tj ( mes - мера Лебега

на R). Функция f : R ^ U измерима., если она при почти всех t € R

ся последовательности простых функций. Совокупность измеримых функций f : R ^ U обозначим через M(R, U) (функции, совпадающие при п.в. t € R , отождествляются); (L^(R, U), D^)

- метрическое пространство в существенном ограниченных функ-M R, U

D^} (f, g) = ess sup p(f (t), g(t)), f, g € L^(R, U) .

te R

Фиксируем точку Xo € U . Пусть при p ^1

5+1

Mp(R, U) = { f € M(R, U) : SUP / PP(f(t),Xo)dt<+ to}.

5eR 5

На множестве Mp(R, U) для всех l > 0 определяются метрики

Dp \ {f,g) = (sup \ f Pp(f(t),g(t))dt) /p, f,g e MP(R,U). 5eR 5

Если li ^ l, то справедливы оценки

(гг)I/Pj>t?,(f’S) « « f1 + ir)1*^’!/'») ■

поэтому все метрики D^l , l > 0, эквивалентны и существует предел

D^ (f,g)= lim D^(f,g) = iiifD^ (f,g), f,g € Mp(R, U),

который является полуметрикой на Mp(R, U) (для функций f, g € Mp(R, U), отличающихся друг от друга па некотором ограниченном в R множестве, имеем D^p(f,g) =0). Обозначим через Mp (R, U), p ^ 1, множество тех функций f € Mp(R, U) , для которых

lim lim sup sup [j sup f pp(f(t), Xq) dt] 1^p = 0.

S^+0 ^i^i0 5eR Eс[5,5+1]: mesE^SI E

Множество Mp(R, U) (как и множество Mp(R, U)) не зависит от выбора точки хо •

Если U = (H, ||.||) - банахово пространство (р(х,у) = ||х—у|| , х,у € H; в случае H = С полагаем ||z|| = |z| , z € C), то для функций f € L^(R, H) определена норма

||f |U =ess sup НЛ^\ , teR

а для функций f € Mp(R, H), p ^ 1, определены нормы

5 + t ,

ll/llp г (SUP I / II/WIM . г>°>

5eR 5

и полунорма

l|f 1Г>= lim ||f И?,’ •

В дальнейшем удобно предполагать, что (H, ||.||) - комплексное банахово пространство. Если банахово пространство (H, ||.||) вещественное, то можно рассматривать его комплексификацию H + iH , отождествляя пространство H с вещественным подпространством (норма ||.||н+гН на вещественном подпространстве H

| .|

Множество T С R называется относительно плотным., если существует число а > 0 такое, что [£,£ + а] П T ф 0 для всех £ € R. Непрерывная функцпя f € C(R, U) принадлежит пространству CAP (R, U) n.n. no Бору функций, если для любого £ > 0 множество чисел т € R, для которых

sup p(f(t),f(t + T)) < £,

teR

относительно плотно. Имеем CAP (R, U) С L^(R, U), и каждая функция из CAP (R, U) равномерно непрерывна. Число т € R называется (£, D^) -почти периодом (или просто £ -почти периодом) функции f € L^(R, U), £ > 0 , если D^(f (.), f (.+т)) < £ •

Число т € R называется (£, Dp0]) -почти периодом функции f € Mp( R, U), если Dp°]( + т)) < £• Число т € R на-

зывается (£, DPP) -почти периодом функции f € Mp(R, U), если DpP (f (•), Д. + т)) < £ ■ Функция f € Mp( R, U) , p ^ 1, принадлежит пространству Sp(R, U) п.п. no Степанову порядка p функ-

£>

(£, D^^ ) -почти периодов функции f. Функция f € Mp( R, U), p ^ 1, принадлежит пространству Wp(R, U) п.п. no Вейлю порядка p функций, если для любого £ > 0 существует число

l = l(£, f) > 0 такое, что множество (£, D^^])-почти перио-f

ряд авторов для функций f € Wp(R, U) использует название r'equi-Weyl almost periodic functions© (см., например, [17; 18]),

p

f € Mp(R, U), p ^ 1, для которых для любого £ > 0 относительно плотно множество (£, D^p) -почти периодов.) Справедливы вложения

CAP (R, U) С Sp(R, U) С Wp(R, U) С Mp(R, U) ,

Sp (R, U) С Sp(R, U), WP1 (R, U) С Wp(R, U), p ^ p ^ 1 •

Последовательность {т? }jeN С R называется f-возвращающей для функции f € CAP (R, U), если D^ (/(0> /(^т^)) — 0 при j — . Аналогично последовательность {т?}jeN С R

называется f -возвращающей для f € Sp(R, U), p ^ 1, если D(pi(f (•), f (• + т?)) — 0 при j —— (последнее выполняет-

ся тогда и только тогда, когда Dp0] (ЛОЛС+т?)) — 0 при j — для какого-либо (и, следовательно, для всех) l > 0). Последовательность {т? }jeN С R называется f -возвращающей для функции f € Wp(R, U), p ^ 1, если для любого £ > 0 найдутся числа l = l(£, f) > 0 и j € N такие, что все числа т? ,

ДЛЯ которых j ^ j , ЯВЛЯЮТСЯ (£, D^0] ) -почти периодами функции f . Если п.п. функция f : R — U принадлежит несколь-

CAP R, U

Sp(R, U) или Wp(R, U) для разных p ^ 1), то f-возвращающие последовательности не зависят от того, какому именно из рас-

f

принадлежащей [15].

Для функций f € Wi (R, U) через Modf обозначается множество (модуль, группа по сложению) чисел Л € R таких, что eiArj — 1 пр и j — (где г2 = —1) для люб ой f -возвращающей последовательности {т? }?eN С R . Если D[p (Д.),Уо(.)) 7^ О Для всех постоянных функций уо (t) = Уо € U, t € R, то Мod f -счетный модуль (в противном случае Modf = {0} ).

H, | . |

хово прост,ранет,во, f € W\ (R, H) и g € CAP (R, С) . Тогда для £ € R и а € R существует предел (не зависящий от, а € R)

Й-f-l

lim lT f g(t)f(C-t)dt = (f*g)(0

a

(интеграл здесь понимается в смысле Бохнера [19]), при этом f *g € CAP(R,H) и сходимость равномерна по £ € R и а € R.

Пусть f € Wi(R,H) (где (H, ||.||) ^ комплексное банахово пространство). Из леммы 1.1 следует, что для любого Л € R существует среднее значение

]

lim j J e~lXtf(t) dt = M {e~lXtf} .

ll + X Q {f}

f € Wi (R, H), т.е. тех чисел Л € R, для которых M {e-iAtf} ф 0, {f}

f € W\ (R, H) (наименьшая группа по сложению в R, содержа-{f}

Лемма 1.2 ([15]). Для всех f € Щ (М, Н) справедливо равенство Мос1 Л = Мос1 (Л{f})

Лемма 1.3. ([15; 20]). Пусть f € Щр(М, и) С Щ(М, и),

р ^ 1. Тогда для любой последовательности {т, },ен С М следующие условия эквивалентны:

1) {т, }3-ен _ f -возвращающая последовательность,

Ю (Л-К Л- + тз)) ^ о при j ^ +ж,

3) егЛГз' ^ 1 при j ^ для всех Л € Моdf .

Если Л, С М - произвольные модули (где индекс j принадлежит любому непустому множеству), то через (или

3

Лх + ■ ■ ■ + Лга для конечного числа модулей Л, , j = 1,..., п)

М

содержащий все множества Л, .

Если л € Щ(М,и) и Лз € Щ(М,и-), ; € N, где и, и,- -произвольные (полные) метрические пространства, то вложение Моё Л С ^ Мо с! Л, имеет место тогда и только тогда, когда 3

любая последовательность {т^}^ен С М, являющаяся Л,-возвращающей для всех j € N , является также Л-возвращающей.

Если Л, Л € Щр(М, и, р ^ 1, ; € N, и 4^ (Л, Л) ^ 0 при j ^ , то Мос! Л С ^ Мос1 Л, .

3

Пусть (и, р) и (V, ру) - метрические пространства, Си, V)

- метрическое пространство непрерывных функций Т : и ^ V (которые могут не быть ограниченными) с метрикой

^С(и,У) (Т , Т2) = шр тт{1, ру (Т (X, Т (X)} , Т , Т € Си, V).

жеи

Через Т(-|у) будем обозначать ограничение (сужение) функции Т(0 € Си, V) та непустое множество К С и .

Теорема 1.1 ([15]). Пусть (U, р) и (V, ру) - полные метрические пространства, r > 0, p ^ 1. Предположим, что функция R Э t ^ FЛ) ^ C(U, V) удовлетворяет следующим, двум, условиям:

1) для каждого замкнутого шара Kr(ж), ж € U, (фиксиро-r

R Э t ^ F.|k^x> ^ € C(Kr(x)j V)

принадлежит пространству W\(R, (CK^ж), V), do(Kr(ж),у)));

^ при n.e. t € R для вс ex ж € U справедливо неравенство ру(F(x;t),yo) ^ Вр(ж,Жо) + B(t) ; г<9е жо € U, yo € V - некоторые фиксированные точки и B ^ 0; BO € Mp (R,R) .

Тогда для любой / € Wp(R, U) имеем F/(•)>•) € Wp(R, V) и

ModF/(•);•) см0d/(.) + £ m0dF-1кг(x; 0.

Следствие 1.1. Пусть (U, р) u (V, ру) - полные метрические пространства, F : U ^ V - ограниченная непрерывная функция и / € W(R, U) • Тогда F/(•)) € W (R, V) и ModF/(•)) СМоd/(.).

U, р

ство, B U) _ ст-алгебра борелевских подмножеств метрического пространства (U, р), (Mo(^,рад) _ полное сепарабельное метрическое пространство вероятностных борелевских мер, определенных па ст-алгебре B(U), с метрикой рад , порожденной нормой ||.||w (см. (1)). Метрика рад эквивалентна метрике Леви-Прохорова ро(^1,№) = inf {е > 0 : ^[А] ^ ^г[А£] + е для всех непустых множеств А € B U)}, ^1,^2 € Mo (U), где

А£ = {ж € U : р(ж,А) = inf р(ж,у) < е} . В настоящей рабо-

yeA

те будет использоваться (как более удобная) метрика рад . (Все результаты работы, доказанные для метрического пространства

(Мо(и), Рад); также справедливы при замене метрики рад на метрику Леви-Прохорова ро •)

Каждая мера мН € Мо(и) (так как пространство (и, р) предполагается сепарабельным) является радоповской, т.е. для любого е > 0 существует компакт К£ С и, для которого М [К£] > 1 — е . Множество К предкомпактно в метрическом пространстве (Мо(и),Рад) тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует компакт К£ С и такой, что м [К£] > 1 — е для всех мер ^[.] € К .

Пусть (С&(и), ||.||сь(и)) _ банахово пространство ограниченных непрерывных функций Т : и ^ М с нормой

1И|сь(и)=8ир|Т(XI, Т€ СИи).

жеи

Каждой мере ^[.] € Мо (и) ставится в соответствие линейный (вероятностный) функционал МО на банаховом пространстве Съ(и):

М Т) = / Т X МВД , Т € С^ и) ,

и

при этом |м(Т| ^ НТНсь(и •

Если м,М € Мо (и ) ] € М, и Рад( М,М0 ^ 0 при j ^ + го, то М'( Т) ^ М Т) при j ^ для любой функции Т € СИ и) . Наоборот, если <^(.) - линейный вероятностный функционал на СИи) , М € М0(и), ; € М, и м(Т ^ Т) при ; ^ для любой функции Т € С6(и), то найдется мера м € Мо(и) такая, что <£(.)= МО И Рад(М М) ^ 0 при j ^ .

2. Основные результаты

Мерозначная функция £ ^ € Мо (и), £ € М, измерима,

если м[‘> •] € М(М, (Мо(и), Рад)) • Для произвольной мерозначной функции М Э £ ^ € Мо (и) следующие условия эквива-

лентны:

1) М.;.] €М(М,(м0(и,Рад)),

2) М Э £ ^ МО £] € М - измеримая функция для любого множества О € В и),

3) М Э £ ^ МТ; £) = / Т(X Ц € М - измеримая функция

и

для любой функции Т € СИ и) .

Мерозначные п.п. по Вейлю функции М Э £ ^ МЛ] € Мо(и) определяются как (п.п. по Вейлю порядка 1) функции со значениями в метрическом пространстве (Мо(и, Рад) > т-е- эт0 Функции из пространства Ш(М, Мо(и)) = Ш(М, (Мо(^,Рад)) • Через Ш^ (М, Мо(и)) обозначим множество

{ м[.;.] € М(М, (М0(и),Рш)): МТ 0 € Ш(М, М) УТ€ Сь(и) }•

Функции из Ш™(М, Мо(и)) называются слабо п.п. по Вейлю мерозначным,и функциями. Аналогичным образом определяются (слабо) п.п. по Бору и п.п. по Степанову мерозначные функции

м э £ ^ мМ] € Мо (и).

и, Р

трическое пространство и м[.> •] € Ш (М, Мо (и)) . Тогда для любой функции Т € СИ и имеем МТ; 0 € Ш (М, М) П Ьте(М, М) и Мос! МТ; О С Мос1 .] •

Доказательство. Каждой функции Т€ С&( и) соответствует функция 0 € С6(Мо(и)) , определяемая равенством 1Т(М = МТ), М € М0(и), причем ||^м(и)) =

= ||Т||сь(и) • Так как метрическое пространство (М0(и, Рад) полное и м[.) .] € Ш (М, Мо (и)), то в силу следствия 1.1 для всех функций Т € С6(и) получаем

1^(М.; .]) = МТ 0 € Ш (м, м) п ьте(м, м) ,

Моё м[.; .]) = Мос! М Т; О С Мо с! М.; .].

и, Р

метрическое пространство и м[.> .] € Ш™ (М, Мо (и)). Тогда

м[.;.] € ш(м,М0(и)) и Мос!М.;.] С е моаМТ;.)•

.тесь(и)

и, Р

мое метрическое пространство. Тогда справедливо равенство

ш^м,м0(и))=ш(м,М0(и)) и Мос!М.; .] = Е МоаМТ.)

.тесь( и)

для любой мерозначной функции м[.> .] € Ш(М, Мо(и)) .

Следствие 2.1 непосредственно вытекает из теоремы 2.1 и леммы 2.1. Теорема 2.1 доказывается в конце этого параграфа, при этом ключевую роль в доказательстве играет теорема 2.3, которая в свою очередь является следствием теоремы 2.2, доказываемой в § 3.

Теорема 2.2. Пусть /- € Ш(М, М), j € М, /-(£) ^ О

при п.в. £ € М . Предположим, что Е /Д0 € Ш(М, М) для лю-

-е J

бого непустого множества 3 С М (в частности, это означает,

что Е /Д£) < +ж пРи п-в- £ € М). Обозначим д-(.) = Е /™(.) >

3еН

j € М . Тогда ||д-(.) ||^ — 0 при j — .

и, Р

метрическое пространство и м[.; .] € М, М0(и)) . Предполо-

жим, что Т- € Сь(и), j € М,

О < ■ ■ ■ ^ Т-+1 (X ^ Т-(X ^ ^ Т\(ж)

и Т-(X — О при j— <?ля всех X € и . Тогда ||МТ- ; 0||]^ — 0 при j —— .

Доказательство. Пусть — .) = Т-( 0 — Т-+1 (.), j € М . Тогда М£? ; .) € Ш(М,М) и М£? ;£) ^ 0 при п.в. £ € М.

Для произвольного непустого множества 3 С М положим 0(Е £?(X, X € и.

Так как 0(3-) € С^(и), то М0(3 0; 0 € Ш(М, М) . С другой стороны, для всех X € и справедливо Е 0-(X — 0( З^)

при п — , поэтому при п.в. £ € М выполняется равенство

М0(3 -);£) = Е М0- ;£) и Е М0- ; о € Ш(М, М) . Осталось вос--е J -еJ

пользоваться теоремой 2.2.

Доказательство теоремы 2.1. Пусть точки X- € и, j € М , образуют счетное плотное множество в сепарабельном метрическом пространстве (и, р) . Для всех е' > 0 и п € М определим функции

и Э X — = тт{1, (еО-р^, и К/(X-))},

-фг

где р^А) = ^ р^, у) - расстояние от точки X € и до непу-уеА

стого множества А С и; /,„(0 € С^(и) (поэтому справедливо

включение М£е/,п> 0 € Ш(М, М)). Из теоремы 2.3 вытекает, что (для любого е' > 0) ||М^е/,п;0— 0 при п — . Фик-

сируем число е > 0. Положим далее е' = ^ . Найдется число

п € М такое, что для замкнутого множества Р = У К2е /(X-)

-фг

справедлива оценка

Л1(1И° « Нм(0,-,„; ОИГ0 < * ^

Выберем функции ©е/-(-) € СИ и), j = 1,...,п, для которых выполнено: ©е/-(X ^ 0 ПРИ всех X € и, ©е/-(X) = 0

при всех X € и\К3е/(X-), Е ©е/,ЛX = 1 ПРИ всех X € Р и

-фг

Е ©е/,-( X ^ 1 при всех X € и. Каждой функции Т € £( и)

-фг

поставим в соответствие функцию

и Э X — Т'(X = Е —(Xj)©е/-(X)

-фп

из СИ и) .Если X € Р , то

|—(x -Т'(x| = | Е (—(x ——(-©е/,^x | <

-фп

^ Е I—(X - -ЯX-) | • ©£/-(X ^ зе',

-фп

при этом для всех X € и

о ^ т'(X) = Е —(X-) ©£/-(X ^ Е ©£/-(X о -

-фп -фп

При п.в. £ € М для любой функции Т € В и) имеем

| МТ £) — М—;; £) I ^ ( шр |Т(X — — ;(XI) • м[Р; £]+

же^

+ ( шр Т(X) + бир Т;(X ) • м[и\Р;£] ^ ЗеЧ 2м[и\Р;£],

жеижеи поэтому при всех т € М и п.в. £ € М

|МТ *) — МТ £+ ХI < 1М—'; *) — М—'; £+ Х1 +

+6е Ч 2м[и\р; *] + 2м[и\р; £ + т] <

< Е Т(X') • И0е/,- ;*) — м(©е/,- ;* + Х К

-фп

+6е Ч 2м[и\Р; *] + 2Ми\Р; £ + т],

следовательно,

||м[-;£] — М-;£ + т]У™ = шр |МТ£) — МТ£ + ХI ^

.Те£( и)

^ Е |М©е/,- ;£)—м(©е/,- ;£+т)^^е;+2м[и\Р;£]+2м[и\Р;£+т]. -фп

Так как м(©е/,- ; 0 € Ш (М, М), j = 1,...,п, то найдутся чи/р/Ч

СЛО !>0 И относительно плотное множество общих (^ , 0^1 ) -почти периодов т € М функций М© е /-) -) ! j = 1,---,п (где р'(6 , 6) = |6 — 6К 6,6 € М), для которых также

Ми\Р;.]\\[8}

(см., например, [15]). Для таких (общих (^ , -почти перио-

дов) т € М (и числа I > О) имеем

/оч 5+1

Ц/4-;.] -^[.;. + т]\\\ I =шр т / Ы.;г] -^[.;4 + т]||шсЙ ^ (2)

5ек 5

5+^

^ Е йиР I / 1^(©в'а;£) - + т)\М+

-фп 5 еК 5

+6е' + 4||^[С7\^; .]||^ < п • ^ | | = е.

е>

то м[->-] € Ш (М, Мо (и)). Из (2) также следует, что всякая последовательность {т&}кеК С М, которая является м(©ет,- > -) ■ возвращающей для всех j € М и всех чисел е^ > 0, т € М, из какой-либо последовательности {е^ }тен С М, для которой ет — 0 пр и т — , является так же и м[-> -] -возвращающей,

поэтому

Мо<1м[-;-] С Е Мос!м(©е4,-; -) С Е Мо(Iмт -)-

-,теН ^еСь( и)

Теорема 2.1 доказана.

3. Доказательство теоремы 2.2

Предположим, что теорема 2.2 неверна. Тогда ||д-(.)||^ ^ е > О для некоторого числа е > 0 и для всех j € М. Из леммы 1.1 следует, что существуют пределы

5+1

U = ,lim I I fj(t) dt> о, j € N .

/ —+ O ^

при этом сходимость равномерна по £ € R. Так как для любого n € N (и любого £ € R) имеем

п ___ 5+1 п

Е fj = и“ т / ( £ /i(£))di < j=i 1—+° ? j=i

(ЦП

< lim } J 9i{t)dt=\\gi(.)\\[ }<+oo,

1——-f-^O ^

+ 00_

то ряд E /j сходится. Поэтому можно выбрать такие числа j=i

js € N s € N, too js+i > js для всех s € N (тогда js ^

при s ^ ) и для всех щ , щ € N : щ > щ ^ js

ilSrn (0 - (0 lif’ = II 'г' fj (О Г’’ < 2 “3“,£> s € N . (3)

Положим ji= j . Так как ||gj(.)||^W ^ е, то существует число

h ^1 такое, что

Гг S9h{t)dt>\e. (4)

о

Выберем число j/ € N : j/ > j так, что

17 /9j{{t)dt^l (5)

о

(это можно сделать, так как д^*) ^ 0 при Л ^ при п.в. * € М). Обозначим Сх(.) = дЛ (.) - %(•) € ^ (М,М) ■ Из (4К (5)

следует оценка

(6)

о

Из (3) (при в = 1) вытекает, что существует число I[ ^ 1\ такое, что для всех I ^ I [

1|С1(-)11Й<А- Р)

Будем далее последовательно при в = 2, 3,... находить числа Л, Л € N и ^ > 0 (для которых ^ в, ^ ^ и Л > Л ^ ) • Предположим, что они уже определены при неко-

тором в € N ПРИ этом Св( .) = д^(0 — д^в'( 0 € ^ (М, М) . Выберем число лв+1 € N так, что Л^+х ^ ^ , Л^+х ^ Л^+х и для всех п = 1,..., в

1П , ,

V I д^+1 (*)^ ^-3-в+1)+гае. (8)

п о

Так как ||д./в+1 (0Ух^ ^ £, то существует число 1в+х ^ в + 1, для которого 1в+х > 1в и

У 9з.+1 ^)(и^\е. (9)

о

Выберем число л8'+1 € N : Л^^х > л^+х так, что

ПТГ У 93'+1^)М^ | (Ю)

о

(это можно сделать в силу того, что д.,(*) ^ 0 при Л ^ при

п.в. * € М). Обозначим С5+х(.) = д^+1 (0 — д^' (0 € ^(М,М) .

Из (9), (10) получаем

15 -+-1

^ / С^хфЯН. (И)

8+ о

Так как ||С3+1 (0 <2 3 (3+1)е (см. (3)), то существует число

1.3+1 > 1«+1 такое, что для всех I ^ 1^+1

ЦС.+1 (ОУ!®,’ «2-3-<*+1>е. (12)

Продолжим неограниченно нахождение чисел Л , Л, и 13 , в € N , при этом С^ •) = д^'Л 0 — д^{ •) ! в € N. Положим

С(.) = Е св(•) = Е 'е /п(о € т(М, м).

«€Н «€Н го=7'в

Для всех в € N из (6), (11) получаем 1в

ив^л>ив‘^<и> !• <13>

о о

Пусть теперь N Э в ^ 2 .Если п € {1,..., в — 1} , то 137 > > 1П >

поэтому из (7), (12) следует

£ / Сга(*)^ < ||Сга(о 11?г ^-3-гае. (14)

5 о ’ 5

Если N Э п > в, то из (8) вытекает оценка

V /<2п(£)(Й^р / д^п (£) <И ^ 2_3_п+8в . (15)

5 о 5 о

Поэтому из (12), (14) и (15) получаем

в—

рfG(t)dt = Е р fGn(t)dt+ (16)

5 о п=1 5 о

^Г7 I ей + Е р / @п(Ь) dt ^

5 о «=«+1 5 о

3-1 /сч + <^

< Е 2-3-гае + \\С3(.)\\{% + Е 2-3-™+^ < | + | = |.

П=1

Так как 13 > ^ в, в € N, то из (13) и (16) следует, что не

существует предела

I

Нт у / С(£) М . (17)

1^ + ^ 0

Последнее противоречит тому, что С(.) € т(М, М) (следовательно, в силу леммы 1.1 предел (17) должен существовать). Полученное противоречие завершает доказательство теоремы 2.2.

Список литературы

1. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

2. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

3. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

4. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

5. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

6. Иванов А.Г. Об оптимальном управлении почти периодическими движениями при наличии ограничений на средние типа равенств и неравенств. I, II, III // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. Г12. С. 167-176; 1"3. С. 316-323; ? 4. С. 478-485.

7. Иванов А.Г. Мерозначные почти периодические функции. Препринт. Свердловск, 1990.

8. Иванов А.Г. Мерозначные почти периодические функции. II. Ижевск: УдГУ, 1991. Деп. в ВИНИТИ 24.04.91,1" 1721-В91.

9. Данилов Л.И. О мерозначных почти периодических функциях // Вестн. Удм. ун-та. Ижевск, 1993. Г11. С. 51-58.

10. Данилов Л.И. Мерозначные почти периодические функции и почти периодические сечения многозначных отображений // Матем. сборник. 1997. Т. 188, I" 10. С. 3-24.

11. Данилов Л.И. Мерозначные почти периодические функции // Матем. заметки. 1997. Т. 61, Г11. С. 57-68.

12. Данилов Л.И. О почти периодических мерозначных функциях // Матем. сборник. 2000. Т. 191, I" 12. С. 27-50.

13. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953.

14. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.

15. Данилов Л.И. О почти периодических по Вейлю сечениях многозначных отображений. Ижевск: ФТИ УрО РАН, 2004. 104 с. Деп. в ВИНИТИ 09.06.2004, Г1981-В2004.

16. Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1985.

17. Andres J. Bounded, almost-periodic and periodic solutions of quasi-linear differential inclusions // Differential Inclusions and Optimal Control (ed. by J. Andres, L. Gorniewicz and P. Nistri), LN in Nonlin. Anal. 1998. V. 2. P. 35-50.

18. Andres J., Bersani A.M., Lesniak K. On some almost-periodicity problems in various metrics // Acta Appl. Math. 2001. V. 65, Г11-3. P. 35-57.

19. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

20. Danilov L.I. On equi-Weyl almost periodic selections of multivalued maps. Preprint arXiv: math.CA/0310010, 2003.

Рассматриваются мерозначные функции М Э £ ^ МЛ] со значениями в метрическом пространстве (Мо(и),рад) вероятностных борелевских мер, определенных на а -алгебре борелев-скпх подмножеств полного сепарабельного метрического пространства и, с метрикой рад , эквивалентной метрике Леви-Прохорова. Доказано, что мерозначная функция М Э £ ^ £ €

(Мо(и, Рад) является почти периодической по Вейлю тогда и только тогда, когда для любой ограниченной непрерывной функции Т : и ^ М функция [ Т(х) ^[^х; .] является почти перио-

и

дической по Вейлю (порядка 1).

Weyl almost periodic functions, measure-valued function, probability Borel measure.