Рациональные приближения функций типа Маркова-Стилтьеса в пространствах Харди Hp, 0 ≤ ∞ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №4

3

Математика

УДК 517.518.84, 517.547.54

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ТИПА МАРКОВА-СТИЛТЬЕСА

В ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ Нр, 0 <р < то

Н. С. Вячеславов, Е. П. Мочалина

Для каждого элемента f из пространства Харди Нр при р £ (0; +то] величина его наименьшего уклонения от гп — множества рациональных функций степени не выше п, не имеющих полюсов в О = {г : \г\ < 1}, обозначается НрЯп(/) и определяется равенством

НрЯп(1) = ^ У - Т\\р = \ - Тп,р\\р, (1)

гегп

где гп,р £ гп, \\ • \\р — норма в Нр для р £ [1; +то], \\ • \\ — метрика при р £ (0; 1). Пусть

*(*)= г€С\[а;6].

■1а х г

Порядки наилучших рациональных приближений функций V на компактах (не пересекающихся с отрезками, содержащими носители мер вирр V) в равномерной метрике впервые были получены в работе А.А. Гончара [1]. В случае пересечения носителя меры вирр V и компакта, на котором осуществляется аппроксимация V рациональными функциями, в одной или нескольких точках скорость приближения вначале была найдена для индивидуальных функций, позднее — для классов функций в работах Я.-Э. Андерссона, А. А. Пекарского и других авторов. В предположении, что вирр ц — носитель конечной знакопеременной меры ц — содержится на отрезке [-1; 1], полагаем

«*> = / (2)

•/вирр /л ^ хг

Из теоремы 2 и леммы 5 работы Я.-Э. Андерссона [2] и результата А.А. Пекарского [3, теорема 2] следует Теорема А. Пусть 0 < р < то, причем 1/р £ N а> тах{—1; -1/р}, вирр ц С [0; 1] и выполняются неравенства

0 < ф(х) < С(1 - х)айх при х £ [Л; 1] (3)

с некоторыми положительными константами С и Л < 1, тогда

1

НрИп({1) < п2рехр{ —7гд/2п(а + 1/р)}. (4)

В предположении, что р £ [1; +то], а > -1/р и

йц,(х) > С(1 - х)айх при х £ [Л; 1], (5)

справедлива оценка снизу

ЯрД„(/1) > п^ехр{-тгл/2п(а + 1/р)}.

Пусть дифференциал меры ц удовлетворяет условию (5), а значения параметров р £ (0; 1) и а > -1 фиксированы, тогда

НрКп(р) > п1_2?ехр{-7гл/2п(а + 1/р)}.

Замечание 1. Оценка сверху при р = то получена А.А. Пекарским, а остальные результаты принадлежат Я.-Э. Андерссону.

Замечание 2. Положительные величины А(п) и В(п) связаны соотношением А(п) ^ В(п), если существует такая константа С > 0, что А(п) < С • В(п).

4

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №4

Обозначим посредством

к =

2(a + 1/p)(b + 1/p)

(6)

а + Ь + 2/р к J

среднее гармоническое чисел а + 1/р и Ь + 1/р. Для сокращения записи через С всюду далее обозначены различные положительные величины, не зависящие от п.

Теорема 1. Если задана величина р £ (0;+то]7 причем 1/р £ N а,Ь > шах{ — 1; -1/р} и имеют место неравенства (3) и

0 < dp,(x) < C(1 + x)bdx или 0 > dp(x) > -C(1 + x)bdx, x e [-1; -в]

с некоторой постоянной в e (0; 1), то

HpRn(fi) < п^е

— Кл/КН

(7)

(8)

Если же для дифференциала йр,(х) выполняются неравенства, противоположные правым неравенствам в (3) и (7), то для р £ [1; +то] и а,Ь > —1/р

а для p e (0; 1) и a,b > —1

HpRn(fi) »n^e"

(9)

(10)

Доказательство теоремы 1. Функция р, определенная в (2), представляет собой интеграл типа Коши-Стилтьеса, поэтому она голоморфна на В. Убедимся, что при условии вирр ц С [0;1], а > шах{ —1; —1/р} и выполнении неравенств (3) функция р принадлежит пространству Харди Нр. Так как

|1 — xrél^\2 = 1 — 2xr cos р + x2r2 > sin2 p

(11)

то |jj(réг^p)| < C/\ sinp|. Следовательно, при p e (0; 1) имеет место требуемое включение ввиду соотношения \ sin р — e L(0; 2п). Для оставшихся значений параметра p e [1; то] воспользуемся равенством

1/p + 1/q = 1

(12)

и оценкой |1 — xré%v | > (1 — x)e+1/q | sin p| e+1/p при 0 < x < 1 и достаточно малом числе е > 0. По условию теоремы величина a > —1/p, следовательно, и a — е > —1/p, поэтому a — е — 1/q > —1. Тем самым функция (1 — x)a-e-1/q суммируема на [0; 1] и, значит, справедливо неравенство |jj(réгv)| < C| sinp|e-1/p. Очевидно, что мажорирующая функция лежит в пространстве Lp(0; 2п), поэтому j e Hp. В случае p = то применяем оценку |1 — xrélip | > 1 — x (в силу условия a > 0 обеспечена суммируемость функции (1 — x)a-1 на отрезке [0; 1]), что дает неравенство | jj(rélV)| < C и тем самым включение j e H^. В общем случае достаточно представить функцию j в виде суммы двух функций с носителями на [—1;0] и [0; 1].

Для дальнейшего нам потребуется следующая

Лемма 1. Пусть фиксированы положительные числа г,ц,в; ВН — произведение Бляшке с нулями e D. Тогда

/(1- xf~l{l + x)T~l\x\s\Bn{x)\2dx > 1

/пе~Жл/ап при а

2 r¡r

П + т'

(13)

Доказательство. Величины а и (3 определим с помощью равенств — а) =--л/па, — (3) =

т

--л/па. Положив для краткости dw = (111) (х) = йх/{1 — ж2), имеем равенства

^а/З = ^ Йги = 2 ® (X—-) = 71У - +1о§2 + °(1) при п->оо.

(14)

1

Легко убедиться, что

Так как

в

J log(l - x)dw = ~ log2(l - 0) - С + о(1).

—а

в а

J log(l + X)iu. = J log(l - s)*, = -I log^l - a) - С + 0(1),

—в

то

в в 2 r] J log(l — x)dw + т J log(l + x)dw = — — С + o(l).

Далее нам потребуется неравенство Д. Ньюмена [4]

1

log

-1

x — z

1 — zx

п

dw ^ — — , z G D.

Следовательно,

n 1

log\Bn(x)\dw / log

fc=i_i

x - (k

1 - ik x

dw > —

(15)

Применяя неравенство Йенсена (см., например, [5, с. 17]), последнее неравенство и равенства (14) и (15), получим цепочку соотношений

1 в

У(1 - х)п—1 (1+ х)т-1 |хПВп(х)|2йх > I(1 - х)п(1+ х)т\х\5\Вп(х)\2й'Ш >

— 1 —а

> Павexp 1 J log ((1 - x)n(1+ x)r\x\s\Bn(x)\^ dwj >

> Cvnexp |Q^(-7T2n - С + o(l))| = Cvnexp {-тт^/ап - alog2 + o(l)} ,

откуда следует справедливость (13).

Доказательство оценок снизу. Фиксируем p e (0; и функцию t, определяемую мерой f, удовлетворяющей условию

df(x) > C (1 - x)a (1 + x)b dx, x e [-1; 1]. (16)

Функцию rn,p, определенную в (1), можно заменить рациональной функцией r* e rn с простыми полюсами, лежащими в C\D, для которой выполняется неравенство

- r*|| < 2HpRn(fi).

(17)

Символами г1,...,гп обозначим различные комплексные числа, обратные к которым являются полюсами функции г*; z = (г1,..., гп). Рассмотрим линейное пространство 11п(ъ) рациональных функций с фиксированным знаменателем, базис в котором образуют единица и функции

(1 - Zj z) , j = 1,...,n. Пусть ro — элемент наилучшего приближения функции ft из Rn(z). Очевидно,

(18)

- r lip > if - ro lip.

(19)

в

Предположим, что р £ [1;+то). Тогда (см., например, [6, с. 114])

IIр — Г0||р = шах{|^(р)| : ^ £ (Нр)*, || = 1,^ ± Кп(ъ)}. (20)

Определим линейный функционал Ф £ (Нр)* посредством равенства

Ф(Я = ¿т I ЖХЖК,

до

где / £ Нр, вспомогательная функция Л задается следующим выражением:

Л(х) = п-1/2<1 х2(1 — г2)-" Б2п (х) (21)

при

п

В2п{г) = П ' (22)

11 1 — гк г 1 — гк г

к=1

V = (1 — 1/л/п)/д, а число д находится из определения (12).

Проверим, что функционал Ф обращается в нуль на подпространстве Кп(ъ). Действительно, для каждого значения а £ В имеем равенства

*1 -)=-[Щ<к =

1 1 — ах) 2п{ У 1 — аС,

дО

с = е^ С = е-г^ д( = —ге-г^ ду

0 2 я"

1 — ае-гV * 2т .) ег^ — а у ' у '

2я 0

На каждом элементе базиса (18) функционал Ф обращается в нуль, так как Б2n(zj) =0 в силу определения (22). При а = 0 из (23) и (21) следует равенство Ф(1) = 0. Итак, Ф ± Дп(ъ).

Заметим, что норма функции ег^Л(ег^) в пространстве Ьд(0; 2п) при ц £ (1;+то] совпадает со значением ||хЛ(х)||д = п-1/2д||(1 — х2)-||д < 2. Действительно, если ц = то, то

2я я/2

ЦП _ г2)-"\\Я = ±_ [ ^ < I [ ^ = 1 = ЛТ 111 ; 2тг У \2 8т<р\"я тг У {2р/ттуч 1-щ У

00

согласно определению величины V, откуда и следует требуемое неравенство. Для ц = то очевидны соотношения ||хЛ(х)||те = ||1 — х2!^ < 2. Поскольку ||Ф|| < ||хЛ(х)||д < 2, то с учетом (17), (19) и (20) будем иметь оценку

4НрЯп(р) > |Ф(р)|. (24)

По теореме Фубини и согласно равенству (23) получим следующее выражение:

1 1 1

Ф№) = ш II = / ф (гУ *•<*> = / ^ФУ

до-1 -1 -1

Применением неравенства (13) при ц = а+1/р и т = Ь+1/р и неравенства (24) завершается доказательство соотношения (9) в случае, если р = то. Остается заметить, что функция -ш(р) = I/Цр является монотонно возрастающей для каждого элемента / £ Нвходящая неявно в неравенство (9) величина С, как и присутствующие множители, фактически зависит только от значения 1/р, поэтому возможен переход при р ^ то, который и позволяет получить (9) в случае р = то.

Доказательство неравенства (10). Фиксируем параметр р £ (0; 1) и п £ N. Положим

2 1 П П 1

© = И--1=, 7 = ту е = -© ^ - + (25)

т/п 9 2 2 л/п

Пусть О — симметричная относительно действительной оси, ограниченная луночка, дуги границы которой пересекаются в точках ±1 и образуют в них углы, измеряемые по области величиной 2е. Построим вспомогательную функцию ф : О ^ Б как суперпозицию следующих конформных отображений:

1 - г „ 1 - и

у =-, и = у', IV =-.

1 + г 1 + и

Заметим, что ф продолжается по непрерывности в О, поэтому

ф £ С (О), \ф(г)\ < 1 при г £ О.

Зададим посредством равенства

(26)

(27)

РпН = п

ш - шк ш - шк

к=1

1 - шкш 1 - шкш

, -к = ф(гк), к = 1,2,...,п,

(28)

произведение Бляшке Еп. Напомним, что числа гк — обратные к полюсам функции г*, заданной неравенством (17). Определим следующие величины:

т =--1; в = тв; а =

р

с 1

и о =--а

р

целая и дробная части числа 1/р и, наконец,

В дальнейшем нам понадобится тождество

А = п—т/2

а — т = 1 — 5.

(29)

(30)

(31)

Функция

д(г)= Аф2(г)(1 - ф2(г)№(ф(г))

(32)

будет голоморфной в области О, д £ С (О), что следует из (27) и неравенства в > 0. Поэтому ввиду (27) и ограниченности произведения Бляшке ^п(ш) получим

\д(г)\ < А\1 - ф2(г)\-, г £ С.

Заметим, что А < 1, поскольку т > 0 на основании определения (29). Следовательно, \\д\\^ < С.

Покажем теперь, что

\д(ст)(г)\(1 -\г\)1—г < С, г £ Б,

при а и 5, определенных в (29), и некотором С. Согласно (25), имеем е > п/2, поэтому Б С О. По формуле Коши для производной, положив Г = дО, можем записать следующее равенство:

(33)

(34)

<7(СК

геБ.

Представим контур Г (рис. 1) как объединение трех дуг окружностей: Г = Г1 и Г2 и Г3, где Г3 — дуга в нижней полуплоскости, Г1 и Г2 — дуги границы области О в первом и втором квадрантах плоскости С. При этом Г3 и Г2иГ1 представляют собой дуги окружностей, пересекающиеся в точках ±1 действительной оси под углом 2е. Точку пересечения Г1 и мнимой оси обозначим гЬ. Значит, с учетом неравенства (33) будем иметь соотношение

1 з

Рис. 1

Далее оценим каждый интеграл отдельно. Нетрудно убедиться в том, что |1 — )| < 211 — (|7, ( £ Г1. Следовательно, с учетом (27) справедливо соотношение

Г1

|l-02(C)HdÇ| 1С--Г+1

< 4s

Г1

11-СГИС1

(36)

так как js = т согласно (29) и (25).

Чтобы получить оценку (34), сначала докажем неравенство

А [ < С( 1 - И)0"1 при zeD, Imoo. (37)

Г1

1С - z\

Дробно-линейная функция V из определения (26) переводит дугу Г1 на отрезок К = {£ : £ = г ■ ехр(—ге), г £ [0; 1]}. Отображение, обратное к V, имеет тот же вид: х = (1 — v)/(1 + V), поэтому

1+г

(i + C)2' 1 ■ " * С

1+г

2(е - v)

(1+ v)(1 + £)• (38)

Тогда, используя эти тождества и (31), будем иметь равенство

[ 11 -сгис! 2¿-ih , vla+i легli+ry, J 1С - z\a+1 =2 |1+V| J

Г1 K

(39)

Из определений £ и (25) с учетом (11) имеем соотношения

|1 + £|2 = 1 + 2r eos t + г2 > sin2 £ = cos2(l/v/ñ) > С.

(40)

Так как при х £ В и И,е х < —1/2 неравенство (37) справедливо, то ниже будем считать, что И,е х > —1/2. Следовательно, 11 V| = 2/|1 + х| < 4. Отсюда и из (39) и (40) следует, что

C

1

1

rT dr

Г1

V(r-X)2+P2)

а+1 ■

где

X = Re(vei£) = \v\cos(p + e), в = Im(vei£) = \v\ sin(p + e).

(41)

(42)

Так как при преобразовании V полукруг В П {1ш х > 0} перешел в четвертый квадрант с добавлением положительной полуоси, то нам остается рассмотреть значения переменной величины V = Vег1р при условиях V > 0 и —п/2 < у < 0. Тогда, принимая во внимание определение (25), будем иметь неравенства

1 п 1

а с учетом неравенства sin x > 2x/n при x e [0; п/2] получаем следующие соотношения:

12

sm(p + г) > sin —>

и п\/и

(43)

(44)

Для доказательства неравенства (37) достаточно (в силу (41) и (30)) получить при условиях (43) следующую оценку сверху:

I(0; 1) <Спт/2(1 — |х|)5-1 . (45)

Заметим, что, согласно определению (42) и неравенству (44), значение в > 0, чем мы и будем пользоваться. Далее сначала рассмотрим случай

X < в, т.е. сов(^> + е) < 8ш(^> + е). (46)

Тогда, применяя тождество (31), будем иметь

2в 1 1-Х

+ I (47)

0 2в 2в—Х

Последний интеграл (с учетом предположения (46) и тождества а - т = 1 - 5) можем оценить следующим образом:

1-х 1

[ (и + х)т<^и [' иЧи 2Т 1

7 иа+1 у иа+1 1 - 5 и1—

2в—Х в

С

<

в1—6'

в

Отсюда и из (47) в рассматриваемом случае (46) получаем неравенство (45), так как, согласно определению отображения V,

' 1- г

V =

1 + г

1 -|г| 1 -|г|

г ТТШ > НГ1' (48)

а условие (46) влечет неравенство сов(^> + е) < 8ш(^> + е), что вместе с оценками (43) гарантирует неравенство 8ш(<£> + е) > 1/л/2, совместно с (48) и определением /3 в (42) дающее (45).

Для завершения доказательства (45) остается рассмотреть последнюю возможность расположения параметров:

X > в> 0. (49)

Интеграл I(0; 1) = I(0; 2х) + I(2х; 1). Сначала оценим второй интеграл:

1—х 1

Мы воспользовались тождеством (31). В предположении (49) имеем соотношение сов(^> + е) > 8т(^> + е), что при условиях (43) обеспечивает неравенство сое (у? + е) > 1 /л/2. Последнее ограничение вместе с неравенством (48) и определением X в (42) дают оценку снизу

X > С(1 -\г\). (51)

Заметим, что в силу определений (42) и равенств (38) получаем цепочку соотношений

л/{г-Х)2 + И2 = 1С " = 1С " Ф + £|/|1 + > С(1 - И), (52)

причем последнее неравенство справедливо согласно неравенствам (40), \( - г\ > \(\ - \г\ > 1 - \ г\ при ( £ Г и г £ Б и \ 1 + г \ < 1 + \г\ < 2 (г £ Б). С помощью тождества (31) и неравенства (52) получим

т 2х

Остается оценить сверху последний интеграл. Имеем

2Х Х—в Х+в 2х

[ йг ¡' йг С йг [ йг

< / 7-/ +

л/(г-х)2+Р2)

т+1 ] (X - г)т+1 7 вт+1 .! (г - X)7'+1

0 Х—в Х+в

11

0 вт Т (r - X)1

т (х - r)

Отсюда, из определений (42) и оценки (44) получим цепочку соотношений

х в 2 1 1 + ^ -

2х C

х+в и

C~lm2X) < = ctg^ + e) < (f)V/2-

в2

В силу последнего неравенства и оценки (53), а также из (51) и (50) следует справедливость (45) и в предположении (49). Полученное неравенство (45) доказывает (37). Далее заметим, что если го £ Б, 1т го < 0 и ( £ Г1, то выполнено неравенство \ ( - го \ > \ ( - ¿о \. В силу последнего неравенства и очевидного равенства \ го \ = \ ¿о \ из (37) при г = ¿о будет следовать

А г еВ, (54)

Г1

для г = го, а тем самым и для всех г £ Б. Таким образом, неравенство (54) тоже доказано, что с учетом (36) позволяет утверждать, что

(55)

Г1

Аналогичными рассуждениями можем убедиться, что справедливо неравенство, полученное из (55) заменой Г1 на Г2. Из последних двух результатов (в силу симметрии относительно действительной оси области О, симметрии дуг Г3 и Г1 и Г2 и совпадения значений соответствующих подынтегральных функций в парах точек (г, () и (¿, ¿)) будем иметь аналогичное (55) неравенство с заменой Г1 на Г3. Из последних трех результатов с помощью (35) получаем искомое неравенство (34).

В случае р £ (0; 1) с пространством Нр тесно связано банахово пространство Вр, образованное аналитическими в Б функциями у с конечной нормой

1 2п

2тг

= [ /(1 - r)p~2\f(re[@)\d@dr.

oo

Каждому функционалу Ф e (Bp)* соответствует единственная функция g e Hж П C(D), такая, что

2п

Ф(/) = lim 1- [ f{rem)g{re-l&)d@. (56)

Т/1 2п J

o

Согласно теореме 8 работы [7], пространство (Bp)* изоморфно Л;[/р 2, если p— 1 e N,и Л^д} 1 в противном

случае, где [1/p], {1/p} — целая и дробная части числа 1/p. Считаем, что f e Лк, когда f(k) e HП C(D) и имеет конечную норму

if IIa* = if IU + sup t—1 f(k)(ei(^+t)) - 2f(k)(e^) + f(k)(e^—t)) * t>o,^en

аналогично f e Л^а при фиксированных значениях к e Zo и a e (0; 1), если f(k) e H^ П C(D) и конечна величина

if Ik = if ll~ + sup t—<xf (k)(ei(^+t)) - f (k)(e^). t>o,^eR

Если в рассматриваемом случае 1/p e N, то из неравенства (34) по теореме А. Зигмунда (см., например,

[7, с. 34]) следует, что g(a—2) = g(1/p—2) e Л0. Значит, g e Л;[/р 2 и функционал Ф, заданный равенством (56) при определенной посредством (32) функции g, принадлежит (Bp)*. Если же 1/p £ N, то из (34), согласно

теореме Г. Харди и Дж. Литлвуда [7, с. 34], получаем, что производная д(а 1) £ Л0, т.е. д £ Л^У/р- 1, самым Ф £ (Бр)*. Убедимся, что Ф ± Кп(ъ). Фиксируем £ £ В. Имеем цепочку равенств

ф (1)=Ш±[!№.=т (57)

г/127гг у 1 '

дО

Согласно (32) и (28), при £ = Zj и £ = 0 отсюда следует ортогональность Ф к подпространству Кп(ъ). Из теоремы 3 работы [7] вытекает справедливость неравенства I/ Цвр < СI/ ||р, где / £ Нр, а величина С зависит только от р. При / = р — г* с помощью (20) получаем оценку снизу

IIр — г*11р > С|Ф(р)|.

В силу равенства (57) с учетом условий (3) и (7) на меру ц будем иметь отношения

1 1 1

*<">=Ы* (т^Ы Мх)=1фШх) > с1ф№ -хП1+х)Ых= -1 -1 -1

1

= АС I Ь2(1 — ¿2)^|Бп(^)|2(1 — ф(Ь))а(1 + ф(Ь))ьф'(Ь)дЬ, (58)

-1

где ф = у-1. Для того чтобы получить оценки, введем при Ь £ [—1; 1] вспомогательную функцию а(Ь) = ((1 — Ь)/(1 + Ь))е. Тогда ф(Ь) = (1 — а(Ь))/(1 + а(Ь)). Заметим, что а'(Ь) = —2©а(Ь)/(1 — Ь2). Поэтому

ф'(Ь) = —2а'(£)(1 + а(£))-2 > С(1 — Ь2)е-1. (59)

Последний переход имеет место в силу того, что при Ь £ [—1; 1] справедлива оценка (1 — Ь)е + (1+Ь)е < 2е. Аналогично

1 + ф(£) > С(1+ Ь)е, 1 — ф(Ь) > С(1 — Ь)е.

Если теперь к первой части соотношений (58) применить (59) и последние два неравенства, то, воспользовавшись определениями (29), легко видеть, что

1

Ф(р) > АС I Ь2(1 — Ь)п-1 (1 + Ь)т-1 Вп^дЬ (60)

1

при п = « + (а + 1)9, т = (Ь + 1/р)©.

Для доказательства (10) применим лемму 1 к (60) и учтем определение (6). Получаем

Ф(р) > АСл/Е • е"^квга > АСу/пе~^кп, (61)

так как © < ©2, поэтому ^ 9л/п = л/п + 2/тт в силу (25). Если теперь использовать равенство (30), то из (57) и (61) следует эквивалентное (10) неравенство.

Заметим, что если выполняется (16) на отрезке [0; 1] и неравенство дц(х) < —С(1 — х)а(1 + х)ь на отрезке [—1;0], то для получения оценок (9) и (10) следует в определении (21) множитель х2 заменить на х, а в (32) множитель у2(х) заменить на у(х). В общем случае оценки снизу могут быть получены из результатов А. А. Гончара [1] и следующей леммы.

Напомним, что последовательности ап и (Зп слабо эквивалентны, т.е. ап х (Зп, если ап = О(@п) и /Зп = 0(ап).

Лемма 2 [2, лемма 5]. Если а > 0, (3 е (0; 1), НрКп(/) > а НрКп(д) < ¡Зп, то НрКп(/ + д) х

Н рКп(/).

Доказательство оценки сверху. Фиксируем меру ц и величину р £ (0;+то], причем 1/р £ N. Определим следующие функции:

1 0 1

Ш= г ев.

] 1 — хх у 1 — хх У 1 + хх

0 -10

Тогда V = ¡11 + ¡12. Функцию ¡11 мы будем приближать рациональными функциями степени щ = [кп/£], где £ = 2(а +1/р), а квадратные скобки обозначают целую часть числа, заключенного внутри. Дифференциал йц(х) удовлетворяет неравенству (3); согласно (4), существует функция п £ гП1, такая, что \\^1 - п\\р ^

ч

Поскольку кп/£ — 1 < щ, то > \/кп — £ ;г л/Ш, — у7^- Следовательно,

- гг\\р < (62)

Если параметр а, фигурирующий в оценке дифференциала меры, определяющей функцию 11, заменить параметром Ь, то получится функция 13(г) = 12-г) (если же выполняется второе неравенство в условии (7), то 13(г) = -12-г)). Поэтому, как и в предыдущем случае, найдется рациональная функция г2 степени п2 = [кп/(2(Ь + 1/р))], для которой справедлива оценка

(63)

В силу определений величин щ и п2, а также равенства (6) имеем оценку щ + п2 < п. Тогда мы можем утверждать, что степень г (г) = г1 (г) + г2(-г) не превосходит п и

НрКп{^) < ||¡1 - г\\р < ||11 - п\\р + ||1з - г2\\р < п>е"

согласно отношениям (62) и (63) при условии р £ (1; +то]. Если же р £ (0; 1), то возведением в степень р фигурирующих в последней цепочке выражений получаем необходимую оценку. Тем самым неравенство (8) доказано.

Следствие. Фиксируем величину р £ (0; +то] и числа а,Ь > тах{-1; -1/р}, а,Ь £ Z. Тогда

НрКп ((1 - г)а(1 + г)6) х п^е-*^™, (64)

где к задается равенством (6).

Доказательство. Положим /\(г) = (1 + г)ь = |1 + гг|6ег6аг§(1) и /-¿(г) = (1 - г)а = \1 - г\аегааг&(1—^, причем а^(1 + г), а^(1 - г) £ (-п; п). Функция / (г) = /1(г)/2 (г) голоморфна в области С\(-то; -1]\[1; +то). По интегральной формуле Коши для г £ О получим равенство (рис. 2)

Ж) с,-Z

дП

d(, z е П.

Заметим, что справедливы соотношения: Рис- 2 f(x + i0) - f(x — i0) = —2i(1 + x)b |1 - x\a sin an при x> 1; (65)

f (x + i0) — f (x — i0) = 2i(1 — x)a|1 + x|b sinbn при x < —1.

Учитывая последнее равенство, интеграл по левому разрезу области П можем записать в виде

" 2 ^ -1/2

sinbir Г (1 -x)a\l + х\ dx _ sinfor Г (1 - x)a(l + x)b

7Г J x-z 'X ~ 7Г J (1 -xz)\x\1+a+b X' 1 1

C помощью тождества (65) интеграл по правому краю разреза области D записывается следующим образом:

2 b 1/2 b sinan [ (1 + x)b|1 — x\a sin an [ (1 + x)b(1 — x)a

§ ~~ do^ — / , \ i i i / dx.

П J x — z П J (1 — xz)x1+a+b

Имеем равенство (1 + z)b(1 — z)a = ¡li(z) + h(z), где функция

-1/2 , 1/2 sinЬтт f (1 -x)a(l +x)b _ sin (m f (1 + x)b(l -x)a

- J (1 - xz)\x\l+a+b ~ J (1 - xz)xl+a+b -1 1

удовлетворяет условиям теоремы 1, а

h<*> = h / rh^ 121 <2-

N=2

поэтому в равномерной метрике на единичном круге она приближается полиномами со скоростью геометрической прогрессии. Согласно лемме 2, порядок рациональной аппроксимации f в Hp совпадает с порядком приближения pi в Hp, и в силу теоремы 1 асимптотика (64) доказана.

Замечание 3. Теорема 1 при значениях параметра p £ (0,1) доказана в работе [8].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гончар А.А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций // Матем. сб. 1978. 105, № 2. 147-163.

2. Andersson J.-E. Rational approximation to function like xa in integral norms // Anal. math. 1988. 14, N 1. 11-25.

3. Пекарский А.А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова // Алгебра и анализ. 1995. 7. 121-132.

4. Newman D.J. Quadrature formulae for Hp functions // Math. Z. 1979. 166. 111-115.

5. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.

6. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. М.: Наука, 1984.

7. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals on Hp spaces with 0 < p < 1 //J. reine und angew. Math. 1969. 238. 32-60.

8. Мочалина Е.П. Аналитическая продолжимость функций и рациональные приближения в некоторых пространствах: Канд. дис. М., 2006.

Поступила в редакцию 09.07.2007

УДК 517.9

РАНГ, ЖЕСТКОСТЬ ФАКТОРОВ И СЛАБОЕ ЗАМЫКАНИЕ Zn-ДЕЙСТВИЙ,

СОХРАНЯЮЩИХ МЕРУ

В. В. Рыжиков

В работе рассматриваются сохраняющие меру действия группы Zn на вероятностном пространстве Лебега (X, В, Д). Действие {5г}, г € Zn, на пространстве (X, л) называется жестким, если найдется такая последовательность Wi, что ^^ — с и ¡¡(Л П А) — ¡(Л) для любого А € В .В операторной

терминологии последнее можно переписать в виде слабой сходимости I, где 5 : Ь2(Х, В, д) —

Ь2(Х, В, д) обозначает оператор, отвечающий автоморфизму 5, а I является тождественным оператором. Ниже мы рассматриваем последовательности башен Рохлина-Халмоша

и = и Тх Е3, Е3 € В,

с прямоугольными конфигурациями Qj = {0,1,...,Н\(])}х...х{0,1,...,Нп(])}, предполагая, что Нт(]) — с, ] — с, 1 < т < п.