Об одном дополнении к неравенству Гёльдера. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517 MSC 26D15

Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 3

ОБ ОДНОМ ДОПОЛНЕНИИ К НЕРАВЕНСТВУ ГЕЛЬДЕРА. I

Б. Ф. Иванов

Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна, Высшая школа технологии и энергетики,

Российская Федерация, 198095, Санкт-Петербург, ул. Ивана Черных, 4

Пусть т ^ 2, числа рх,... ,рт € (1, удовлетворяют неравенству

1 1 — + ... +- < 1

Р1 Рт

и функции 71 € ЬР1 (К1),..., 7т € ЬРт (К1). Установлено, что, если множество «резонансных» точек каждой из этих функций не пусто и выполнено «нерезонансное» условие (понятия, введенные автором для функций из пространств Ь^К1), р € (1, то справедливо неравенство

sup

a,beR1

^ m

/ П [Yk(Т) + Дтк(т)] dT

J J__1

C f] ||Yk + Дтk\\LPk (

k=1

где константа С > 0 не зависит от функций € Ь^ (К1), а Ь^ (К1) С ЬРк (К1), 1 ^ к ^ т,— это некоторые специально построенные нормированные пространства.

Кроме того, дано условие ограниченности интеграла от произведения функций при интегрировании по подмножеству К1. Библиогр. 12 назв. Ключевые слова: неравенство Гельдера.

a

Введение. Пусть О С К1 —множество положительной меры Лебега, т ^ 2, числа р1,... ,рт € (1, и функции 71 € ЬР1 (О),..., 7т € ЬРт (О). Если

1 1

Pl "' Рт

1,

то согласно неравенству Гельдера (см., например, [1, с. 232]) можем записать

П Yk(т)dT

D

к=1

k=l

Lpk (D)-

Если же

± + ... + ±<i

P1 Pm

(1)

(2)

и mes D < +œ, то, очевидно, выполняется неравенство, аналогичное неравенству (1).

В настоящей работе предполагается, что mes D = œ, и рассматривается вопрос об оценке интеграла от произведения функций при условии выполнения (2).

Статья состоит из введения и трех параграфов. Первый параграф носит вспомогательный характер. Во втором — для любых пространств LP1 (R1), L^R1), pi,p G (1, +œ], и любой функции 7 G LP1 (R1 ) вводится понятие (определение 2.1) «множество резонансных точек функции 7 относительно пространства Lp(R1)», в дальнейшем «резонансное» множество. Оно является подмножеством R1 U {œ} и для тригонометрических полиномов (пример 2.1) относительно любого пространства Lp(R1 )

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2017

представляет собой множество частот (показателей Фурье) или спектр этого полинома. Кроме того, во втором параграфе рассмотрены теоремы о представлении функции 7 £ ЬР1 (К1) в виде суммы двух функций таких, что носитель преобразования Фурье первой их них сосредоточен в окрестности резонансного множества, а вторая принадлежит пространству ¿^(К1) П ¿'(К1), р + д = 1- ® вводится понятие «нерезонансного» условия (определение 3.1), которое в случае тригонометрических многочленов соответствует понятию нерезонансного условия из классической теории резонанса (замечание 3.1).

Основное утверждение работы (теорема 3.2) состоит в следующем. Если числа р1,...,рт £ (1, удовлетворяют условию (2), функции 71 € ЬР1 (К1),...,7т € ЬРт (К1), «резонансные» множества (определение 2.1) этих функций не пусты и для них выполнено «нерезонансное» условие (определение 3.1), то справедливо неравенство

sup

а,Ь ей1

П Ь(т)+A7fc (т)] dT

fc=i

< с XI lb +A7fc\\ык(R1), (3)

fc=i

где константа С > 0 не зависит от функций A^k G Lpk (R1), а Lp£ (R1) С Lpk (R1) — это пространства со специально определенной нормой, состоящие из тех элементов Lpk (R1 )' множество резонансных точек которых лежит в заранее выбранной окрестности множества резонансных точек функции Yk, 1 ^ k ^ m.

Также рассмотрен вопрос (теорема 3.3) об ограниченности интеграла от произведения функций при интегрировании по произвольному множеству D С R1, mes D = +œ.

Часть результатов настоящей работы докладывалась автором на VIII Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и его приложения» [2].

Частные случаи неравенства (3) существенно использовались автором при построении частотных критериев ограниченности и гладкости в смысле Фреше по параметрам решений обыкновенных дифференциальных уравнений (см. ссылки в [3, 4]).

Настоящая работа содержит § 1, § 2 и представляет собой первую часть статьи. Вторая часть, содержащая § 3, подготовлена к публикации.

В работе использованы следующие обозначения и формулы:

• ¡R1 = R1 U {œ};

• R{Y'Lp(R1)} — множество резонансных точек функции 7 относительно пространства Lp(R1);

• Rk — множество резонансных точек функции 7k ;

• 0 G ^ m=1 Rk —нерезонансное соотношение (определение операции сложения множеств из ¡R1 приводится);

• V(Rk ' S) — ¿-окрестность множества Rk ;

• V(Rk' S, A) — множество V(Rk П R1, S) U (-œ, -A) U (A, +œ);

•

V(Rk) —общее обозначение для V(Rk, S) и V(Rk, S, A).

1. Определения, обозначения и некоторые вспомогательные утверждения. Пусть функция и £ Ь1(К1). Обозначим преобразование Фурье этой функции через м и выберем его в виде

М(у) = J е-1утм(т) ¿т. (4)

к1

Ь

Обратное преобразование Фурье функции V € ) будем обозначать через V. Оно

имеет вид

Цт) = 7^ ! ¿уту(у)(],у. к1

Обозначим также через Б^1) пространство бесконечно дифференцируемых функций, быстро убывающих на бесконечности, и через Б '(К1) —пространство медленно растущих обобщенных функций или, что то же самое, пространство обобщенных функций медленного роста.

Пусть р € [1, и 7 € ^(К1), тогда, как известно (см., например, [5, с. 77]), функционал

(7,¥>) = IШФ) ^еБ^1),

к1

принадлежит пространству Б'(К1).

Известно также, что преобразованием Фурье медленно растущей обобщенной функции / называется линейный непрерывный функционал на Б(К1), обозначаемый в соответствии с (4) / и задаваемый (с учетом выбора определения для (/, у) и вида записи преобразования Фурье) формулой (/, у) = 2п(/, у).

В силу введенных выше обозначений известные формулы (см., например, [6, гл.11, §2; 7, гл.11, §9; 8, с.443]) принимают вид

{1(т)ГЫ = 2п6(у), {е*ЛтГЫ = 2п6(у - Л), (5)

{71(т) * 72 (г)Ну) = т^уШу^ {71(У)72(У)}~(т) = 71(т) * 72(т),

где 71,72 € Б '(К1).

Введем еще одно обозначение. Пусть а, Ь € К1, а < Ь и число 6 > 0 столь мало, что а + 6 < Ь — 6. Обозначим через П(т, [а, Ь], 6) такую функцию, преобразование Фурье которой имеет вид

п(у, [а, Ь], 3) = -^£[а,Ь]Ы * £[-г/2,<5/2] (у) * £[-<5/2,,5/2] Ы,

где £м (у) —характеристическая функция множества М С К1. Нетрудно проверить, что выполняются равенства

П(у, [а, Ь], 6) = 0, у € (а — 6, Ь + 6), (6)

П(у, [а, Ь], 6) = 1, у € [а + 6, Ь — 6], (7)

П(т, [а, Ь], 6) € ^(К1), р € [1, (8)

Теорема 1.1. Пусть р € (1, и е > 0. Тогда для любой функции 7 € ^(К1) такой, что эирр 7 П (—е, е) = 0 справедливо неравенство

г

о )

где $ + ± = 1. 438

Доказательство. В работах автора [3, 4, 9] было доказано, что при сделанных выше предположениях выполняется неравенство

y(T) dr

<

C(q)

fM*

IIy(T

Ilp(R! )

где ^ + ^ = 1, а константа С(</) >0 не зависит от функции 7 и величины е.

Найдем оценку величины С(д). Пусть сначала число р € (1, 2]. В работе [3, с. 4445] было показано, что С(д) ^ 2Нр(2/(р — 1))1/р, где Нр — константа из неравенства Хаусдорфа—Юнга. Известно [10], что Нр < (2п)1/з, поэтому можем записать

C(q) < 2(2n)1/q •

21/p

(p - 1)1/p

< 4лД •

(p - 1)1/p'

(9)

Пусть 2 < р ^ В работе автора [9, с. 50-51] было установлено, что имеет

место неравенство С(д) ^ 2 М С2(М, д), где

^о оо

C2(M,q) = 4(M +1)

1 f sin2M0 • (sin 0)2

n J

0 x

03

d0

dx

1/q

Заметим, что функция С2 (М, д) при каждом д € [1, 2] непрерывна по переменной М в интервале (0, А т

точке М € (0, то Можно доказать неравенство

интервале (0, А так как М С2(М, д) не превосходит значения С2(М, д) в любой

inf C2(M,q) < C2(1, q).

M>1

1 Г sin 20 • (sin 0)2

W

d0

<

1 2'

откуда следует C2(l,q) ^ 1^9(C*2(1, l))1^9- Вычисление на компьютере дает

sin 20 • (sin 0)2

2

10 20

03

d0

0 x

dx « 0.767452,

из чего путем несложных оценок можно установить, что |С2 (1,1)| < 2. Следовательно, при р > 2 будем иметь

C(q) < 2

(q-1)/q

21/q = 4.

(10)

Объединяя оценки (9) и (10), получаем при р € (1, неравенство

C{q) < 4л/тг'

1

(p - 1)1/р'

2. Резонансные точки и теоремы о разложении. Пусть р1,р € (1,

В этом параграфе вводится (определение 2.1) понятие множества резонансных точек

1

q

функций 7 € ЬР1 (К1) относительно пространства ^(К1), являющееся (пример 2.1) аналогом понятия множества частот (показателей Фурье) тригонометрического многочлена. Далее устанавливается (теорема 2.1), что резонансное множество пусто тогда и только тогда, когда 7(ЕЬ9(К1), - + - = 1. Если же резонансное множество не пусто, то (теоремы 2.2, 2.3) функцию 7 можно представить в виде суммы двух функций таких, что носитель преобразования Фурье первой их них сосредоточен в окрестности резонансного множества, а вторая — принадлежит пространству ЬР1 (К1) ПЬч(К1), р + д = 1- Этим теоремам предшествует ряд вспомогательных утверждений.

Положим К1 = К1и{то} и будем считать окрестностью точки то всякое множество вида (—то, а) и (6, +то), где а, 6 € К1, а ^ 6.

Пусть числа р1,р € (1, +то].

Определение 2.1. Точка и € К1 называется нерезонансной точкой функции 7 € ЬР1 (К1) относительно пространства ^(К1), если существует такая функция аи £ ¿'(К1), | + ^ = для которой 7(у) = аи(у) в какой-либо окрестности точки и. Остальные точки множества К1 называются резонансными точками функции 7 относительно пространства ЬР(К1) и их множество обозначается ^-{7, ЬР(К1)}.

Отметим, что равенство 7(у) = <5и(у) в определении 2.1 понимается, вообще говоря, в обобщенном смысле.

Из определения 2.1, очевидно, следует, что ^-{7, ЬР(К1)} —замкнутое множество и, если 7 € Ь^и1), ± + ± = 1, то 7г{7, ^(К1)} = 0.

Следующий пример показывает, что координаты резонансных точек тригонометрических многочленов относительно любых пространств ЬР(К1), р > 1, являются частотами (или показателями Фурье) этих многочленов.

Пример 2.1. Пусть 7(т) = ££=1 ске^т, где п € N ск € С, Лк € К1, 1 < к < п, т € К1. Тогда для любого р € (1, +то] можем записать

п

^{7,ЬР(К1)} ^ {Лк}. (11)

к=1

Действительно, так как в силу (5) имеем 7(у) = 2п ^П=1 сп^(у — Лк), то для любой точки у0 € К1, у0 € 11 П=1 {Лк} можно указать ее окрестность У0, в которой 7(у) = 0. Следовательно, такая точка у0 является нерезонансной и ^.{7, ЬР(К1)} С {Лк} для любого р € (1, +то]. Проверим, что выполняется и обратное включение. Пусть какая-либо из точек Л1,..., Лп не является резонансной. Без ограничения общности можно считать, что это Л1. Тогда существует У1 —окрестность точки Л1 и функция «л^т) € ¿'(К1), ^ + ^ = 1, q е [1,+то), для которой 7(у) = а\г(у), у € У. Выберем

столь малое число р > 0, что [Л1— ^ Л1 + 3р] С уь [Л1— ^ Л1 + 3р]П(ип=2 {Лк}) = 0 и обозначим 71(т) = а\1 (т)*П(т, [Л1 —2р, Л1+2р], р). Тогда 71 € Ьд(К1), но в силу (6) и (7) имеем 71(у) = 7(у)-П(у, [Л1 —2р, Л1+2р], р) = 2п^(у—Л1), то есть 71(т) = е^1 т € (К1). Полученное противоречие доказывает равенство (11).

Лемма 2.1. Пусть р1,р € (1, +то], 7 € ЬР1 (К1), с > 0 и то € ^{7,ЬР(К1)}. Тогда можно указать функцию а^ € ^(К1), ^ + | = 1; и числа а,Ь £ К1, а < Ъ, такие, что ^{7,ЬР(К1)} С [а, 6] и

7(т) = «~(т) + П(т ^ где п(т) = 7(т) * П(т, [а — 2с, 6 + 2с], с) и эирр7(у) С [а — Зс, 6 + Зс].

Доказательство. Так как то € ^-{7, ЬР(К)}, то существуют числа а, Ь € К1, а < Ь, и функция вто € Ьч(К1), для которых Д(у) = Д»(у), у € (—то, а) и (Ь, +то). Но тогда в силу (7) имеем

Д(у) — д(у)П(у, [а — 2с, Ь + 2с], с) = (у) — Дто(у)П(у, [а — 2с, Ь + 2с], с). Следовательно,

7(т) = вто(т) — вто(т) * П(т, [а — 2с, Ь + 2с], с) + 7(т) * П(т, [а — 2с, Ь + 2с], с). (12)

Первое слагаемое из правой части (12) — это функция класса Ь(К1). Второе — в силу неравенства Юнга (см., например, [11, с. 42]) принадлежит Ьч(К1), как свертка € Ьч(К1) и функции П(т, [а — 2с, Ь + 2с], с), принадлежащей согласно (8) Ь1(К1). А для третьего слагаемого п(т) = 7(т) * П(т, [а — 2с, Ь + 2с], с) в соответствии с (6) имеем

вирр Д(у) С вирр Д(у) П [а — 3с, Ь + 3с] С [а — 3с, Ь + 3с].

Обозначив ато(т) = вто(т) — вто(т) * П(т, [а — 2с, Ь + 2с], с), получаем утверждение леммы. □

Лемма 2.2. Пусть р1,р € (1, +то], 7(т) € ЬР1 (К1), числа а, Ь € К1, а < Ь таковы, что 7г{7,Ьр(К1)} С [а,Ъ], ± + ± = 1; р > 0 и ф) = 7(т)*П(г, [а-2р,а + 2р], р). Тогда

^{7,Ьр(К1)} = ^{п,Ьр(К1)}, (13)

где вирр Д(у) С [а — 3р, Ь + 3р].

Доказательство. Покажем сначала, что ^.{п, ЬР(К1)} С ^.{7, ЬР(К1)}. Пусть и € ^-{7, ЬР(К1)}. Тогда существуют Уи —окрестность точки и и функция аи € ^(К1), р + д = 1; Для которых 7(у) = аи(у), у €= Уи. Выберем число е > 0 столь малым, что (и — 3е,и + 3е) С Уи и обозначим ви(т) = аи(т) * П(т, [и — 2е,и + 2е],е). В силу (8) ви € Ьч(К1), а так как ви(у) = аи(у)П(у, [и — 2е, и + 2е], е), то согласно (6) Д(у) = /5и(у), у € (и — е, и + е). Покажем, что и € ^-{п, ЬР(К1)}. Имеем

п(т) * П(т, [и — 2е, и + 2е], е) =

= {7(т) * П(т, [и — 2е, и + 2е], е)} * П(т, [а — 2р, Ь + 2р], р) =

= ви(т) * П(т, [а — 2р, Ь + 2р], р) € Ь(К1).

Так как {п(т) * П(т, [и — 2е,и + 2е],е)}Ду) = Д(у) • П(у, [и — 2е, и + 2е],е) = Д(у), у € (и — е, и + е), то функция Д(у) совпадает в интервале (и — е, и + е) с преобразованием Фурье функции из Ьч(К1). Таким образом, и € ^-{п, ЬР(К1)} и, следовательно, ^.{п,Ьр(К1)} С ^,{7,Ьр(К1)}. С другой стороны, из условия ^.{7,ЬР(К1)} С [а, Ь] в силу (7) следует равенство Д(у) = Д(у) при у € [а — р, Ь + р]. Но тогда ^-{7, ЬР(К1)} С ^{п, Ьр(К1)}, это и доказывает (13). □

Лемма 2.3. Пусть р1,р € (1, +то], 7(т) € ЬР1 (К1), и каждая точка отрезка [с, й] С К1 нерезонансная. Тогда существует р0 > 0 такое, что при любом 0 < р ^ р0 функция г](т) = 7(г) * П(т, [с -2р,й + 2р], р) € ¿''(К1), ^ + | = 1, и Д(у) = 7{у), у € [с — р, й + р].

Доказательство. Так как отрезок [с, й] состоит из нерезонансных точек, то для каждой точки и € [с, й] можно указать окрестность Уи и функцию аи € Ьч(К1) такие,

что ry(y) = a„(y), y G VU. Для каждой точки и G [c, d] выберем число pu > 0 так, чтобы (и — Бр„, и + 5p„) С VU. Интервалы (и — 4p„, и + 4p„), и G [c, d], образуют открытое покрытие открезка [c, d]. Выделим из этого покрытия какое-нибудь конечное, включающее в себя крайние интервалы (c — 4pc, c + 4pc) и (d — 4pd, d + 4pd). Пусть интервалы, входящие в выбранное покрытие — это (c — 4pc, c + 4pc) = (ui — 4pi,ui + 4pi), (u2 — 4p2, U2 + 4p2), ..., (un-1 — 4pn-1, un-1 + 4pn-l), (d — 4pd, d + 4pd) = (un — 4pN, un + 4pN), где u1 = c, un = d. Соответствующие отрезки [uj — 4pj, Uj + 4pj], 1 ^ j ^ N, покрывают отрезок [c, d] и при этом, возможно, некоторые из них перекрывают друг друга. Рассмотрим множество отрезков, образованных взаимными пересечениями отрезков [uj — 4pj, Uj + 4pj], 1 ^ j ^ N. Выделим из него покрытие отрезка [c, d], составленное из отрезков, пересекающихся только по концевым точкам: [c1,c2], [c2,c3], ..., [cm-1, cm], где c — 4pc = c1 < c2 < c3 < ... < cm-1 < cm = d + 4pd. Выберем число po > 0 так, чтобы

po < min pj, (14)

и для любого отрезка [cm, cm+1], 1 ^ m ^ (M — 1), выполнялось неравенство

cm + Po < cm+1 — po. (15)

Так как каждый отрезок [cm, cm+1], 1 ^ m ^ (M — 1), целиком входит в какой-нибудь отрезок [uj — 4pj,Uj + 4pj], то [cm, cm+1] С [uj — 4pj, Uj +4pj] С (uj — 5pj, Uj + 5pj) С VU и для него можно указать функцию ßm(r) = aj(т) G (R1) такую, что

ßm(y) = aj(y) = 7(y), y G VUj. (16)

Пусть p G (0, p0]. Обозначим 7т(т) = 7(т) * Q(t, [cm,cm+1],p), 1 ^ m ^ (M — 1). В силу (6) и (14) при любом 0 < p ^ po имеем

suppü (y, [cm, cm+1], p) = [cm — p, cm+1 + p] С

С [uj — 4pj — p, Uj + 4pj + p] С (uj — 5pj, Uj + 5pj).

Поэтому согласно (15) и (16) при любом 0 < p ^ po можем записать

Ym(T) = Y(т) * П(т, [cm, cm+1], p) = ßm(T) * П(т, [cm, Gm+1],p). (17)

M-1

Рассмотрим функцию Л(т) = ^ Ym(T). В силу (17) и (8) выполняется неравенство

m=1

M-1

l^||Lq(Ri) llßm||Lq(Ri)||^(T, [cm,cm+1],p)yLi(Ri) G (R1).

m=1

Кроме того, по определению функции Q (см. § 1) будем иметь M-1 M-1

Л(т) = Ym(T) = Y(т) * ^ П(т, [cm, cm+1], p)

m

= 1 m= 1

(M-1

= 7W * { Yj £{cm,cm+i](y) * ЛС[-р/21)Э/2](у) * €[-р/2,р/2](у) > (г) =

m=1

= 7(т) * |£[С1,СМ](У) * ^[-р/2,р/2](у) *£[-р/2,р/2]Ы| (Т) =

= 7(т) * П(т, [С1,СМ],р) = 7(т) * П(т, [с - 4рс,й + 4р^],р). (18)

Так как согласно (7) П(у, [с — 4рс, й + 4р^], р) = 1, если у б [с — 4рс + р, й + 4р^ — р], и П(у, [с — 4рс, й + 4р^], р) = 0, если у е [с — 4рс — р, й +4р^ + р], то справедливо равенство

п(т) = 7(т) * П(т, [с — 2р, й + 2р], р) =

= 7(т) * П(т, [с — 2р, й + 2р], р) * П(т, [с — 4рс, й + 4р^], р) =

= Л(т) * П(т, [с — 2р, й + 2р], р) е Ь9(К1).

При этом, если у е (с — р, й + р), то гу(у) = -Чу) = 7(у)- □

Теорема 2.1. Дустъ € (1,+оо] и 7 € №(0^). Тогда 7 € Ь«(К1), 1 + 1 = 1, в том и только том случае, когда ^-{7, ^(К1)} = 0.

Доказательство. Пусть 7 е Ь9(К1). В этом случае, как уже отмечалось выше, ^.{7, ¿^(К1)} = 0. Докажем обратное утверждение.

Пусть ^{7,Ьр(К1)} = 0. Тогда по лемме 2.1 существуют функция ато(т) е ¿^(К1), 1 + 1 = 1, и числа а, Ъ € К1, а < 6, для которых 7(7-) = а^т) + г/(т), где п(т) = 7(т) * П(т, [а — 2, 6 + 2], 1) и

вирр7(у) С [а — 3,6 +3]. (19)

Из условия е Ь9(К1), определения резонансного множества и леммы 2.2 следует, что )} = ^{п, ^(К1)}. Так как по предположению ^{7, ^(К1)} = 0, то

^.{п, ¿^(К1)} = 0, то есть каждая точка отрезка [а — 3, 6 + 3] является нерезонансной точкой функции п. Но тогда по лемме 2.3 существует ро > 0 такое, что для любого

0 < р ^ ро выполняется равенство

Л(т) = п(т) * П(т, [а — 3 — 2р, 6 + 3 + 2р], р) е Ь9(К1).

Так как П(у, [а — 3 — 2р, 6 + 3 + 2р], р) = 1, если у е [а — 3 — р, 6 + 3 + р], то в силу (19) получаем гу(у) = 7(у) • П(у, [а — 3 — 2р, 6 + 3 + 2р], р), у е К1, откуда имеем п(т) = Л(т) е Ь9(К1). □

Пусть 5 > 0 и В С К1. Обозначим через V(В, 5) ¿-окрестность множества В. Теорема 2.2. Пусть р1,р е (1, +то] и 7 е (К1), резонансное множество 'К,1 = ^-{7, ЬР(К1)} = 0 и то е . Тогда для любого 5 > 0 можно указать такую функцию ^(т) = ^(т, , 5), что справедливы условия:

1) ^ е Ь1(К1) П Р(у) = 1, если у е V(^7,5/4), и Р(у) = 0, если у е

V (^,5);

7(г) = А(т, 7, 7г7, (5) + а(т, 7,7гт, 3), где А(т, 7, 7гт, (5) = 7(т) * ^(т) € № (К1), эирр А(у, 7, Т2.7, (5) С у(7г7,(5) и а(т, 7,7гт, <5) = 7(г) - 7(т) * ^(т) € ^(К1) П ¿«(К1),

1 + 1 = 1.

Доказательство. Выберем произвольное 5 > 0. Так как то е ^7, то в силу леммы 2.1 при с = 5 можно указать функцию а^ (ЕЬ^К1), 1 + 1 = 1, и числа а, Ъ (Е К1, а < 6, такие, что С [а, 6] и 7(т) = (т) + п(т), где п(т) = 7(т) * П(т, [а — 25, 6 + 25], 5), виррп(у) С [а — 35, 6 + 35]. Кроме того, согласно лемме 2.2 имеем = , где Пп = ^{п,Ьр(К1)}.

Построим функцию ^(т). Так как [12, с. 9]

[а - 23,6 + 23] \ Р| {[а - 23,« - 3] и [V + ¿,6 + 23]},

то [а — 23, 6 + 23] \ V, 3) — это пересечение пар отрезков, отстоящих на расстояние 23 друг от друга, то есть конечное число отрезков или точек, расстояние между которыми не менее 23. Рассмотрим множество I, состоящее из 3/2-окрестностей этих точек или отрезков. По построению I является объединением конечного числа отрезков длиной не менее 3 и отстоящих друг от друга на расстояние не менее, чем 3. Пусть I = и[е7-, ¿7 ], где N число отрезков и ех < ¿1 < е2 < ... < ^. По построению имеем ¿7 — е7- ^ 3, е7-+1 — ^ 3, 1 ^ ] ^ ^ — 1), [ех, ¿х] = [а — 53/2, ¿х], где ¿1 ^ а — 3/2, так как точка а может быть резонансной, и [е^, ] = [е^, 6 + 53/2], где е^ ^ 6 + 3/2, так как точка 6 тоже может быть резонансной. Обозначим 7 = [а — 53/2, 6 + 53/2] \ I. Тогда 7 = (¿1, е2) и (¿2, ез) и ... и (¿^-1, е^). По построению 7 = V(^.7, 3/2), интервалы (¿1, + 3/2), (е2 — 3/2, е2), (¿2, ¿2 + 3/2), (е3 — 3/2, е3), ..., (е^ — 3/2, е^) состоят из нерезонансных точек и (¿7, е7-+1) С (а — 3/2, 6 + 3/2), 1 ^ ^ (N — 1). Рассмотрим функции (т) = П(т, [¿7, е7-+1],3/4), 1 ^ ] ^ (N — 1). В силу свойств (6), (7) при каждом 1 ^ ] ^ (N — 1) получаем П7 (у) = 1, если у € [¿7 + 3/4, е7-+1 — 3/4], П7 (у) = 0, если у € [¿7 — 3/4, е7-+1 + 3/4].

Обозначим ^(т) = ХТ^ %(т). Тогда Р(у) = 1, если у € V(^7, 3/4) = V(ГС^,3/4)

и .^(у) = 0, если у € V,33/4) = V, 33/4), откуда следует, что вирр .^(у) С V(^7,3) С (а — 3,6 + 3).

Положим А(т, п, , 3) = п(т) * ^(т), а1(т) = п(т) — А(т, п, , 3). Покажем, что а1 € Ь9(К1). Имеем П1(у) = П(у) — П(у) • ^(у). Так как по построению эиррП1(у) лежит вне V, 33/4), то каждая точка функции а1(т) нерезонансная. Но тогда по теореме 2.1 имеем а1 € Ь9(К1). Окончательно получаем

7(т) = ато(т) + п(т) = ато(т) + а1(т) + А(т, п, ^п, 3) =

= ато(т) + а1(т) + п(т) * ^(т) = ато(т) + а1(т) + 7(т) * ^(т),

где ато,а1 € Ь9(К1) и п(т) * ^(т) = 7(т) * ^(т), так как эирр^(у) С (а — 3,6 + 3), а в этом интервале П(у) = П(у). Для завершения доказательства обозначим а(т, 7, , 3) = ато(т) + а1(т), А(т, 7, , 3) = А(т, п, , 3) = 7(т) * ^(т) и отметим, что вирр А(у, 7, ,3) С V(^7,3). □

Пусть 3, Д > 0 и В С К1. Обозначим

V(В, 3, Д) = V(В П К1, 3) и (—то, —Д) и (Д, +то).

Теорема 2.3. Пусть рър € (1,+оо], 7 € ^(К1), оо £ Щ = 7г{7, ^(К1)}, = К1, и числа 3, Д > 0 таковы, что V(^.7, 3, Д) С К1. Тогда существует функция О(т) = О(т, , 3, Д), удовлетворяющая условиям:

1) О € Ь1(К1) П К1), О(у) = 0, если у € V(^7,3/2, Д), и О(у) = 1, если у € V(^,3, Д);

2) 7(т) = А(т, 7, , 3, Д) + а(т, 7, , 3, Д), где а(т, 7, , 3, Д) = 7(т) * О(т) € ЬР^и1) П Ь^и1), 1 + 1 = 1, и А(г,7,7г7,3, Д) = 7(г) - 7(т) * С(г) € ^(К1),

эирр А(у, 7, Т2.7,3, Д) С У(7г7,3, Д).

Доказательство. Как следует из определения множества V,5, Д), множество Т = К1 \ У (7г7,(5,Д) С [-Д, Д]. А так как УЩДА) ^ К1, то Т может состоять только из конечного числа отрезков и точек или только отрезков. Обозначим отрезки, содержащиеся в Т, через [с1,й1], [с2,й2], ..., [ск, ¿к], где N ^ 1, —Д ^ с1 < ¿1 < с2 < ... < ¿к ^ Д. По построению каждая точка каждого из отрезков [с3-, ¿3], 1 ^ ] ^ N, отстоит от на расстояние не меньше, чем 5. Кроме того, каждая точка каждого из интервалов (с3- — 5, ¿3 + 5), 1 ^ ] ^ N, нерезонансная. Для отрезков [с3-, ¿3], не примыкающих к интервалам (—то, —Д] и [Д, +то), это, очевидно, следует из построения. Случай примыкания может быть только у отрезков [^,¿1] и [с^, ¿к]. Пусть, например, ¿к = Д. Если интервал [Д, Д + 5) состоит из нерезонансных точек, то (ск — 5, ¿к + 5) действительно состоит из нерезонансных точек. Если же существует резонансная точка г е [Д, Д + 5), а интервал [Д, г) состоит из нерезонансных точек, то отрезок [с^, ¿к] не может примыкать к [Д, +то), так как по построению точка ¿к должна отстоять от резонансной точки г на расстояние 5. Обозначим

Г

G(T ) = У>

N ' Г ö-■3 4>«J + 4

j=1

По свойствам (6), (7) и (8) функции получаем

supp G(y) = (J j=i

N г ¿J

"3 О ' ^3 + о

2' j 2

(20)

С(у) = 1, если у е иК=1 с, ¿3 ], и Се Ь1(К1) П Ь~(К1).

Далее, положим а(т) = а(т, 7, ,5, Д) = 7(т) * С(т). Так как С е Ь1(К1), то а е ЬР1 (К1). Так как каждая точка интервала (с3 — 5, ¿3 + 5), 1 ^ ] ^ N, является нерезонансной точкой функции 7, то с учетом (20) по теореме 2.1 получаем, что а е Ь9(К1).

Обозначим А(т) = А(т,7, П7,5, Д) = 7(т) — 7(т) * С(т). Тогда А е ЬР1 (К1) и А(у) = 7(у) — 7(у) • С?(у) = 7(у) • (1 — ¿?(у)). По построению функция 1 — С(у) = 0 вне У(7¿7,3,А). Следовательно, 8иррА(у) С У(7¿7,6,Л). □

Замечание 2.1. Из доказательств теорем 2.2 и 2.3 видно, что функции Г(т) и С(т), удовлетворяющие условиям теорем, могут быть построены не единственным способом и не обязательно с использованием функции П.

Литература

1. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М.: Наука, 1967.

2. Ivanov B. F. On the Holder Inequality // Комплексный анализ и его приложения: материалы VIII Петрозаводской международной конференции (3—9 июля 2016), Петрозаводск: Издательство ПетрГУ. 2016. C. 31-35.

3. Иванов Б. Ф. Об одном обобщении неравенства Бора // Проблемы анализа. 2013. T. 2(20), №2. C. 21-57. DOI: 10.15393/j3.art.2013.2382.

4. Ivanov B.F. Analog of an inequality of Bohr for integrals of functions from Lp(Rn). I // Issues of Analysis. 2014. Vol. 3(21), N1. P. 16-34. DOI: 10.15393/j3.art.2014.2501.

5. Функциональный анализ. Серия «Справочная математическая библиотека» / под ред. С. Г. Креина. М.: Наука, 1972.

6. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Вып. 1. М.: Физ-матлит, 1959.

7. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

9. Ivanov B.F. Analog of an inequality of Bohr for integrals of functions from Lp(Rn). II // Issues of Analysis. 2014. Vol. 3(21), N2. P. 32-51. DOI: 10.15393/j3.art.2014.2569.

10. Beckner W. Inequalities in Fourier analysis // Annals of Mathematics. 1975. Vol. 102. P. 159-182.

11. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.

12. Макаров Б. М., Подкорытов А. Н. Лекции по вещественному анализу. СПб.: БХВ-Петербург,

2011.

Статья поступила в редакцию 30 декабря 2016 г.; рекомендована в печать 30 марта 2017 г.

Сведения об авторе

Иванов Борис Филиппович — кандидат физико-математических наук, доцент; ivanov-bf@yandex.ru

ON SOME ADDITION TO THE HOLDER INEQUALITY. I

Boris F. Ivanov

St. Petersburg State University of Industrial Technologies and Design, Higher School of Technology and Energy,

ul. Ivan Chernykh, 4, St. Petersburg, 198095, Russian Federation; ivanov-bf@yandex.ru Let m ^ 2, numbers pi,... , pm € (1, satisfy inequality

1 1 — + ... +- < 1,

P1 Pm

and functions 71 € Lpi (R1),..., Ym € LPm (R1). We prove that if the set of "resonance" points of each of these functions is not empty and the "non-resonance" condition holds (both concepts have been defined by the author for functions from Lp(R1), p € (1, then

sup

a,beR1

^ m

/ П Y(r) + A7fc(r)] dr J b>— 1

< C П IIYk + AYkllLPfc (Rir k=1 ° k

where constant C > 0 is independent on functions Ay& € (R1) and L^k (R1) C Lpk (R1), 1 ^ k ^ m are specially constructed normed spaces.

Besides, we give a condition of integral boundedness from the product of functions when integrating over a subset of R1. Refs 12.

Keywords: the Holder inequality.

m

a

References

1. Bourbaki N., Integration. Measures, integration of measures (Nauka, Moscow, 1967) [in Russian].

2. Ivanov B.F., "On the Holder Inequality", Complex analysis and applications. Materials of the VIII Petrozavodsk International Conference (3-9 June 2016), 31—35 (Petrozavodsk Univ. Press, Petrozavodsk, 2016) [in Russian].

3. Ivanov B.F., "About a generalization of the Bohr inequality", Issues of Analysis 2(20)(2), 21—57 (2013) [in Russian]. DOI: 10.15393/j3.art.2013.2382.

4. Ivanov B. F., "Analog of an inequality of Bohr for integrals of functions from Lp(Rn). I", Issues of Analysis 3(21)(1), 16-34 (2014). DOI: 10.15393/j3.art.2014.2501.

5. Functional analysis. In Ser. The reference mathematical library (ed S. G. Krein, Nauka, Moskow, 1972) [in Russian].

6. Gel'fand I.M., Shilov G., The generalized functions and actions over them, release, issue 1 (Fizmatlit, Moscow, 1959) [in Russian].

7. Vladimirov V. S., Equations of mathematical physics (Nauka, Moskow, 1971, 512 p.) [in Russian].

8. Kolmogorov A.N., Fomin S. V., Elements of the theory of functions and functional analysis (Nauka, Moskow, 1968) [in Russian].

9. Ivanov B.F., "Analog of an inequality of Bohr for integrals of functions from Lp(Rn). II", Issues of Analysis 3(21)(2) 32-51 (2014). DOI: 10.15393/j3.art.2014.2569.

10. Beckner W., "Inequalities in Fourier analysis", Annals of Mathematics 102, 159—182 (1975).

11. Steyn I., Weiss G., Introduction to the harmonious analysis on Euclidean spaces. (Mir, Moskow, 1974) [in Russian].

12. Makarov B.M., Podkorytov A. N., The lectures on the real analysis (BHV-Petersburg, St. Petersburg, 2011) [in Russian].

Для цитирования: Иванов Б. Ф. Об одном дополнении к неравенству Гёльдера. I // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). Вып. 3. С. 436-447. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.306

For citation: Ivanov B. F. On some addition to the Holder inequality. I. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4(62), issue 3, pp. 436-447. DOI: 10.21638/11701 /spbu01.2017.306