Об одном дополнении к неравенству Гёльдера. Ii Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517 MSC 26D15

Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 4

ОБ ОДНОМ ДОПОЛНЕНИИ К НЕРАВЕНСТВУ ГЕЛЬДЕРА. II

Б. Ф. Иванов

Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна, Высшая школа технологии и энергетики,

Российская Федерация, 198095, Санкт-Петербург, ул. Ивана Черных, 4

Пусть т ^ 2, числа рх,... ,рт € (1, удовлетворяют неравенству

1 1 — + ... +- < 1,

Р1 Рт

и функции 71 € ЬР1 (К1),..., 7т € ЬРт (К1). Установлено, что если множество «резонансных» точек каждой из этих функций не пусто и выполнено «нерезонансное» условие (понятия, введенные автором для функций из пространств Ь^К1), р € (1, то справедливо неравенство

sup

a,beR1

b m

/ П [Yk(т) + k(T)] dT J k=l

< C П llYfc + AYk\\LPk (R1), k=l °fc

где константа С > 0 не зависит от функций Д7к € (К1), а (К1) С ЬРк (К1), 1 ^ к ^ т,— это некоторые специально построенные нормированные пространства.

Кроме того, дано условие ограниченности интеграла от произведения функций при интегрировании по подмножеству К1. Библиогр. 3 назв. Ключевые слова: неравенство Гельдера.

a

Введение. Предлагаемая статья представляет собой вторую, заключительную часть работы автора [1]. Она содержит формулировку и доказательство основной теоремы, анонсированной в [1] и посвященной вопросу ограниченности интеграла от произведения функций.

Пусть О С К1 —множество положительной меры Лебега, т ^ 2, числа Р1,---,Рт € (1, и функции 71 € Ьр1 (О),..., 7т € ЬРт (О). Если

1 + ... + ± = 1,

Р1 Рт

то согласно неравенству Гельдера (см., например, [2, с. 232]) можем записать

П Yk (т

D

k=1

k=1

Lpk (D)-

(1)

Если же

— + ... + — < 1,

Pi Pm

(2)

и mes D < +œ, то, очевидно, выполняется неравенство, аналогичное неравенству (1). В настоящей статье предполагается, что mes D = œ.

Основное утверждение работы (теорема 3.2) состоит в следующем. Если числа pi,...,pm G (1, +œ] удовлетворяют условию (2), функции y1 G LP1 (R1),...,Ym G

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2017 586 https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2017.407

ЬРт (К1), «резонансные» множества (определение 2.1) этих функций не пусты и выполнено «нерезонансное» условие (опеределение 3.1), то

sup

а,Ь ей1

Ь

П hk(r)+A7fc(т)] dT

fc=i

< сД +A7fcha*(R1), (3)

fc=i

где константа C > 0 не зависит от функций A^k G La* (R1), а Lakk (R1) С Lpk (R1) — это пространства со специально определенной нормой, состоящие из тех элементов Lpk (R1 ), множество резонансных точек которых лежит в заранее выбранной окрестности множества резонансных точек соответствующей функции Yk, 1 ^ k ^ m.

Также рассмотрен вопрос (теорема 3.3) об ограниченности интеграла от произведения функций при интегрировании по произвольному множеству D С R1, mes D = +œ.

В работе использованы следующие обозначения и формулы:

• ¡R1 = R1 U {œ};

• R{y, Lp(R1)} —множество резонансных точек функции y относительно пространства Lp( R1);

• Rk — множество резонансных точек функции Yk ;

m

• 0 G Rk — нерезонансное соотношение (определение операции сложения мно-

k= 1 _ жеств из ¡R1 приводится);

• V(Rk, S) — ¿-окрестность множества Rk ;

• V(Rk, S, A) — множество V(Rk П R1, S) U (-œ, -A) U (A, +œ);

• V(Rk) — общее обозначение для V(Rk, S) и V(Rk, S, A).

Приведем некоторые обозначения и утверждения из первой части работы. Для удобства сохранена нумерация цитированных формул и теорем.

Пусть функция u G L1(R1). Обозначим преобразование Фурье этой функции через u и выберем его в виде

u(y) = J e-iyTи(т) dT. (4)

R1

Обратное преобразование Фурье функции v G L1(R1 ) будем обозначать через R. Оно имеет вид

Цт) = J éyTv{y)dy.

R1

Обозначим также через ^(R1) пространство бесконечно дифференцируемых функций, быстро убывающих на бесконечности, и через S '(R1) —пространство медленно растущих обобщенных функций или, что то же самое, пространство обобщенных функций медленного роста.

Пусть p G [1, +œ] и y G Lp(R1), тогда, как известно, функционал

(7,¥>) = J ШФ) àt, <f G ¿"(R1), R1

принадлежит пространству S'(R1).

Известно также, что преобразованием Фурье медленно растущей обобщенной функции / называется линейный непрерывный функционал на ^(К1), обозначаемый в соответствии с (4), / и задаваемый (с учетом выбора определения для (/, у) и вида записи преобразования Фурье) формулой (/, у) = 2п(/, у).

В силу введенных выше обозначений, известные формулы принимают вид

{71(т) * 72 (г)Ну) = ^(уШу^ {??1(У)72 (у)}~(т) = 71(т) * 72(т),

2п{71(т)72(т)}Л(У) = 71Ы * 72 (у^

где 71,72 € ¿"(К1).

Теорема 1.1. Пусть р € (1, +то] и е > 0. Тогда для любой функции 7 € ^(К1) такой, что эирр 7 П (—е, е) = 0 выполняется неравенство

г

J 7(т) ^

о

< 1

(Р - 1)'

е

1/4 II / ПЬР(К 1),

где - + - = 1.

р ч _

Положим К1 = К1и{то} и будем считать окрестностью точки то всякое множество вида (-то, а) и (6, +то), где а, 6 € К1, а ^ 6. Пусть числа р1,р € (1, +то].

Определение 2.1. Точка и € К1 называется нерезонансной точкой функции 7 € ЬР1 (К1) относительно пространства ^(К1), если существует такая функция аи £ ¿'(К1), ^ + ^ = 1, для которой 7(у) = аи(у) в какой-либо окрестности точки и. Остальные точки множества К1 называются резонансными точками функции 7 относительно пространства ^(К1) и их множество обозначается ^-{7, ^(К1)}.

Отметим, что равенство 7(у) = <5« (у) в определении 2.1 понимается, вообще говоря, в обобщенном смысле.

Из определения 2.1, очевидно, следует, что ^{7, ^(К1)} —замкнутое множество и, если 7 е Ь^и1), 1 + 1 = 1, то 7г{7, ^(К1)} = 0.

Пример 2.1. Пусть 7(т) = ££=1 скeiЛfcт, где п € Ы, ск € С, Лк € К1, 1 < к < п, т € К1. Тогда для любого р € (1, +то] имеем

п

^{7,Ьр(К1)} ^ {Лк}. (5)

к=1

Теорема 2.1. Пусть рх,р € (1,+оо] и 7 € №(0^). Тогда 7 € | + ± = 1

в том и только том случае, когда ^-{7, ^(К1)} = 0.

Пусть 5 > 0 и Д С К1. Обозначим через V(Д, 5) ¿-окрестность множества Д. Теорема 2.2. Пусть р1,р € (1, +то] и 7 € (К1), резонансное множество 'К,1 = ^-{7, ^(К1)} = 0 и то € . Тогда для любого 5 > 0 можно указать такую функцию ^(т) = ^(т, , 5), что справедливы условия:

1) ^ € ¿1(К1) П ^(К1), Р(у) = 1, если у € V,5/4), и Р(у) = 0, если у € V (^ ,5);

7(г) = А(т, 7, 7г7, (5) + а(т, 7,7г7, 3), где А(т, 7, 7г7, (5) = 7(т) * ^(т) € № (К1), эирр А(у, 7, Т2.7, (5) С У{Лу,6) и а(т, 7,7гт, (5) = 7(т) - 7(г) * ^(т) € ^(К1) П

1 + 1 = 1.

р ч

Пусть 5, Д > 0 и В СК1. Обозначим

V(В, 5, Д) = V(В П К1, 5) и (-то, -Д) и (Д,

Теорема 2.3. Пусть рър € (1,+оо], 7 € ^(К1), оо € К7 = , Ц>(К1)}, Щ = К, и числа 5, Д > 0 таковы, что V(Щ, 5, Д) С К1. Тогда существует функция О(т) = О(т, Щ, 5, Д), удовлетворяющая условиям:

1) О € Ь1(К1) П Ь~( К1), О(у) = 0, если у € V(Щ,¿/2, Д), и О(у) = 1, если у € V(Щ,5, Д);

2) 7(т) = А(т, 7, Щ, 5, Д) + а(т, 7, Щ, 5, Д), где а(г, 7, Щ, 5, Д) = 7(т) * О(т) € ЬР^и1) П Ь^и1), ^ + ^ = 1 и А(т, 7,7г7,(5,Д) = 7(т) - 7(г) * С(г) е ьр^и1),

эирр А(у, 7, Т2-7, (5, Д) С У(П7,6,А).

Далее, в §3, если это не будет приводить к путанице, вместо V(Щ,,5) и V(Щ,, 5, Д) будем писать V(Щ).

Замечание 2.1. Из доказательств теорем 2.2 и 2.3 видно, что функции ^(т) и О(т), удовлетворяющие условиям теорем, могут быть построены не единственным способом и не обязательно с использованием функции П.

§ 3. Оценка интеграла от произведения функций. Пусть т ^ 2, числа Рь ... ,рт € (1, удовлетворяют неравенству (2), и функции 71 € ЬР1 (К1),..., 7т € ЬРт (К1). В этом параграфе для функций из пространств ЬР(К1) при р € (1, вводится понятие «нерезонансного» условия (определение 3.1), являющееся (замечание 3.1) аналогом соответствующего понятия из классической теории резонанса. Затем с использованием этого термина формулируется теорема 3.1 об условиях ограниченности интеграла

г

т

/ (т )^т. 0 к=

Далее по функциям 7 к строятся нормированные пространства Ьр^ (К1), 1 ^ к ^ т, и доказывается (теорема 3.2) неравенство (3). В завершение параграфа рассматривается вопрос (теорема 3.3) об ограниченности интеграла при интегрировании по подмножеству К1.

Введем некоторые обозначения и определения. Положим

1 т 1 1 т 1

- = , — = , 1 </г < т,

в Рд вк рд

3 = к

/(т) = П Ъ(т), /к(т) = Ц Ъ(т), 1 < к < т.

д=1 д=1

3 = к

Тогда в, в1,..., вт € (1, и можем записать

т

II/ 1Ь(К1) \\ъ\\ьп(К1), (6)

з=1

т

\\/к\\ь*к(К1) ^П \\ьро(К1), 1 < к < т. (7)

з=1

3 = к

Определим на К1 операцию сложения следующим образом. Суммой элементов ш2 € К1 будем называть элемент из К1, обозначаемый Ш1 + ш2 и определяемый для конечных элементов как обычно, а в остальных случаях по правилам:

1) выражение то + то не определено;

2) ш + то = то, ш € К1.

Введенную таким образом операцию будем предполагать коммутативной и ассоциативной, сумму более чем трех слагаемых определять индуктивно и при этом выражение, содержащее более одного символа то, считать не имеющим смысла. Для А, В,..., С С к1 обозначим

А + В + ... + С = {х | х = а + Ь + ... + с, а € А, Ь € В ,..., с € С}.

Сумма множеств считается определенной, если определены соответствующие суммы элементов этих множеств.

Лемма 3.1. Пусть т ^ 2, числа р1,... ,рт € (1, +то] удовлетворяют условию (2), е > 0, множества ,..., Шт С к1, причем не более чем одно из них содержит бесконечную точку и

е < dist

k=1

(8)

а функции xi € LP1 (R1),...,xm € LPm (R1) таковы, что supp ik С Wk, 1 ^ k ^ m. Тогда

Xk (r) dr

0

?de i - J- I — 1 — I

2i7e S — 2^fc=l Pk u r — 1 s •

k=1

<

4Л/7Г

1

(s - 1)1/s eV'

П ||Xk WbPk (R1),

(9)

k=1

Доказательство. Обозначим 7(г) = П хк(т). Тогда в силу (6) будем иметь

к=1

k=1

k=1

Pk

t

1

А так как [3, с. 69] вирр 7 = вирр{Х1 * ... * жт} С ^т=1 , то из (8) получаем, что вирр / П (—е, е) = 0, откуда по теореме 1.1 и следует утверждение леммы. □

При каждом к = 1, 2,..., т обозначим = , Ьвк ( К1)}.

Определение 3.1. Будем говорить, что для функций 71 € ЬР1 ( К1), ..., 7т € ЬРт (К1) выполнено нерезонансное условие, если хотя бы одно из множеств ^ = 0, 1 ^ к ^ т, или, если все резонансные множества не пусты, не более одного содержит бесконечную точку и выполнено нерезонансное соотношение

т

0 €Х) пк. (10)

к=1

Замечание 3.1. Если 71 и 72 —это тригонометрические многочлены, то нерезонансное соотношение превращается в соответствии с результатом из примера 2.1 в арифметическое соотношение между частотами этих многочленов, фигурирующее в классической теории резонанса.

Пусть резонансные множества ^ = 0, 1 ^ к ^ т, не более чем одно из них содержит бесконечную точку и выполнено нерезонансное соотношение (10). Обозначим d = dist [0, т=1 ]. Тогда ^ > 0 и можно указать такие 6 = 6^) > 0 и Д = Д(^) > 0, что для V(^)-окрестностей резонансных множеств ^, 1 ^ к ^ т, будет выполняться неравенство

1.....

< dist

2

0,

к=1

(11)

Функции Л(£, 7), а(£, 7), найденные в теоремах 2.2, 2.3, будем для 6^) и Д^) обозначать через Л(£, 7, d) и а(£, 7, d) соответственно. Таким образом, согласно теоремам 2.2, 2.3 при каждом 1 ^ к ^ т будет выполняться включение вирр Л(у,7к, d) С V(^).

Теорема 3.1. Пусть т ^ 2, числа р1,... ,рт € (1, удовлетворяют условию (2); функции 7^ € ЬРк (К1), 1 ^ к ^ т; резонансные множества *К,к = 0, 1 ^ к ^ т, причем не более чем одно из них содержит бесконечную точку; выполнено нерезонансное соотношение (10), d = dist [0, £^=1 ^-к], а V(^.к)-окрестности резонансных множеств ~Я.к, 1 ^ к ^ т, выбраны так, что выполняется (11). Тогда

к=1

1Ьк(т) ^

т /

х П1 НЛ(т,^к , (К1) + 1Кт,7к ^НьРк (К) + Щ^к^Нь^ (К1)

к=1

где 1 = У2Т 1 ^, 1 = 1 - 1 и ± = 1 - £"11 1 < к < т.

в .¿--3 = 1 р^ г в Гк 1 Р] ; ^ ^

3=к

Р]'

(12)

Замечание 3.2. Если существует к € {1,..., п}, при котором ~Я.к = 0, то оценка интеграла от произведения функций производится с помощью неравенства Гёльдера.

Доказательство. При сделанных выше обозначениях и предположениях имеем 7к(т) = Л(т,7к,d) + а(т,7к,d), где виррЛ(у,7к, d) С V(Як), 1 < к < т. Обозначив для упрощения записи Лк (т) = Л(т, 7к, d) и ак(т) = а(т, 7к, d), 1 ^ к ^ т, получаем

ГЬ (т)

к=1

dт

<

к=1

ПЛк (т) dт + £ / ПЛ^ (т)

+ £ П Л (т)

а,в=1 0 1 1=1 а<в 3=а,в

3 = а

аа(т(т) dт

аа(т) dт

+

+ ... +

аа(т) dт

. (13)

Оценим каждое слагаемое из правой части (13). Рассмотрим первое слагаемое. Согласно теоремам 2.2, 2.3 функция Лк(т) € ЬРк (К1), причем эиррл4к(у) С V(^.к), 1 ^ к ^ т. А так как множества V(^), 1 ^ к ^ т, удовлетворяют (11), то по лемме 3.1 выполняется неравенство (9) при Хк(т) = Лк(т), 1 ^ к ^ т и е = d/2:

ПЛк (т) dт

к=1

<

4л/7Г

1

(в - 1)1/8 (d/2)1/'

П"Л

к=1

к (К1).

(14) 591

г

г

г

г

1

1

г

Оценим слагаемые, входящие в первую сумму из правой части (13). Рассмотрим интеграл

ПА; (т)

¿=1

аа(т) ¿т.

Обозначим /а(т) = П А; (т). В силу (7) можем записать ¿=1

(К1) < П ИА;\\ьрз (К1 ^

¿=1 ;=а

1 _ ^т 1 тт™ „ ^/Гс^г?^

используя неравенство Гёльдера, получим

где = У1Т=1 -г- При этом функция аа € ¿/"(К1), где = 1 — Следовательно,

й а ^—' ,р7 'а

; = а

ПА; (т)

;=1

Дт) ¿т

<

П \\А;(к1)

;=1 ;=а

\аа\\ьга (К1),

(15)

1 л 1 где — = 1 — > —.

^ Га ^; , 1 Рз

; = а

Оценим слагаемые из второй суммы, стоящей в правой части (13). Рассмотрим интеграл

П А; (т)

;=1 ;=а,в

аа(т)ав(т) ¿т.

Так как согласно теоремам 2.2, 2.3 функция аа € ЬРа (К1), 1 ^ а ^ т, то в силу (7) и неравенства Гёльдера будем иметь

П А; (т)

;=1 ;=а,в

аа(т)ав(т) ¿т

<

\А

; (к1 )

;=1

аа\ьРа (К1 )\ав\\ьгв (К1), (16)

1 л 1 где — = 1 - > о=1 —.

Аналогично оцениваются остальные слагаемые, причем для последнего слагаемого получаем

т1

// / ь / / х

Ла; (т) ^ П \\а;\\ьр3 (К1) 0 ;=1 1;=1

|ат\\ьгт (К1),

(17)

т-1

где — = 1 — у; —. Так как при всех 1 ^ п ^ то имеем

Гт . рз

;=1

\\а;\\ьрз(к1 ), \\а;\\ьгз(К1 ) < \\а;\\ьрз(К1) + \\а;\\ьгз(К^ то в силу (13)—(17) неравенство (12) выполняется. □

Ь

а

Ь

г

Рассмотрим вопрос о допустимых в нерезонансном случае возмущениях

Д71, . . . , Д7т грал

функций 71,..., 7т соответственно, при которых возмущенный инте-

ПЬ (т )+Д7к (т

0 к=1

допускает оценку, аналогичную (12).

С этой целью по каждой функции 7к (т), 1 ^ к ^ т, построим нормированное пространство следующим образом. Для функции 7к найдем множество Як. Если Як ограничено, то, выбрав произвольное 6 > 0, построим (см. теорему 2.2) функцию (т) = (т, Як,6), которая удовлетворяет условиям (т) € Ь1(К1) П ¿^(К1), вирр р(у) С V(Як,6). Далее, используя (т), напишем для произвольной функции х € ЬРк (К1) разложение

х(т) = Л(т, х) + а(т, х),

где Л(т, х) = х(т) * (т) € ЬРк (К1), а(т,х) € ЬРк (К1) и вирр Л(у, х) С V(Як,6).

Если Як неограничено и Як ^ К1, то, выбрав произвольные 6, Д > 0 так, чтобы

V(Як,6, Д) ^ К1, построим (см. теорему 2.3) функцию Ск(т) = Ск(т, Як,6, Д), которая удовлетворяет условиям Ск(т) € ¿1(К1) П ¿^(К1), вирр [1 — Ск(у)] С V(Як,6, Д). Затем, используя функцию С (т), напишем для произвольной функции х € ЬРк (К1) разложение

х(т) = Л(т, х) + а(т, х),

где а(т, х) = х(т) * Ск(т) € ЬРк (К1), Л(т,х) € ЬРк (К1) и вирр Л(у, х) С V(Як,6, Д).

Далее, записав V(Як) вместо V(Як, 6) или V(Як, 6, Д), будем подразумевать, что 6, Д при всех 1 ^ к ^ т одни и те же.

Обозначим через ЬРк (К1) множество всех таких функций х € ЬРк (К1), для которых ||а(т,ж)||Ьг-к(К1) < +оо, где ^ = 1 - ^7= 1 ф, 1 < к ^ т. Тогда 7к € ЬЦ^1) и,

3=к 3

если х € ¿Рк (К1), то резонансное множество Я{х, (К1)} функции х располагается в V(Як).

Зададим в Ьрк (К1) норму следующим образом:

Нх11ь£к(К1) = ||Л(т,х)||№(к1) + ||«(т,х)УьРк(К1) + 1Кт,х)||ьгк(К1 ), х € ЬЦ(к1). (18)

Теорема 3.2. Пусть т ^ 2, числа р1,...,рт € (1, удовлетворяют условию (2), функции 71 € ЬР1 (К1),...,7т € ЬРт (К1), резонансные множества Як = 0,

1 ^ к ^ т, причем не более чем одно из них содержит бесконечную точку, выполнено нерезонансное соотношение (10),

d = dist

0,£ я

к=1

а окрестности V (Як) выбраны так, что

т

0,5> (Як)

d

- < dlst

к=1

г

Тогда для любых Д7к € (К1), 1 ^ к ^ т, справедливо неравенство

вир

а,Ь ек1

о

т

/ПЬ (т ) + Д7к (т )Мт ,-, к=1

^ 2<

4л/7Г /2

(в - 1)1/й ^

2 1/Г

л +1 ПЬ + А7к||лг£(р1)> (19) / I г.—1

к=1

1 - V"1 ?/ ± - 1 - А

г(7е 8 — рк и Г — 1 8-

Доказательство. По заданному й в зависимости от ограниченности или неограниченности множества ^-к выберем при каждом 1 ^ к ^ т числа Д > 0, построим функцию ^к или Ск соответственно и запишем для 7к € (К1) и произвольной функции Д7к € (К1) разложения (см. теоремы 2.2 и 2.3):

7к (т) = А(т, 7к) + а(т,7к), Д7к (т) = А(т, Д7к) + а(т, Д7к),

где А(т, 7к), А(т, Д7к), а(т,^), а(т, Д7к) € № (К1), а(т, 7к), а(т, Д7к) € (К1), = 1 _ ^,7=1 ^ и вирр А(уг/к), вирр Д7к) С У(Кк), 1 < /г < то. То-

»•»г

;=к

гда в силу линейности операторов А(т, •) и а(т, •) получаем, что А(т, 7к + Д7к),

а(т,7к + Д7к) € № (К1), а(т,7к + Д7к) € (К1) и вирр А(у, 7к + Д7к) С V), 1 ^ к ^ т.

Так как выполняется

П[7к(т) + Д7к(т)] = Л А(т, 7к + Д7к)+

к=1

к=1 г т

+ П А(т, 7к + Д7к) а(т, 7к + Д7к) + ... + П а(т, 7к + Д7к)

= 1 1-к=1

к=а

к=1

и, следовательно,

г г

т „ т

/ П^к (т )+Д7к (т)] ¿т < А(т,7к +Д7к) ¿т

п к=1 п к= 1

+

т л г т

+ / ПА(т,7к + Д7к)

= 1 0 к=1 0 к=а

г(т, 7к + Д7к) ¿т

+ ... +

г

т

/ П а(т,7к + Д7к) ¿т

п к=1

то, рассуждая как и при оценке каждого слагаемого из правой части (13), получим

4л/7Г /2^/г

Ц[7к (т)+Д7к (т)]^7

к=1

<

(в - 1)1/я ^

+ П X

х П {\А(т,^к + Д7к)\\№(К1) + \\а(т,7к + Д7к(К1) + \\а(т,7к + Д7к)\ьгк(К)}

к=1

(20)

откуда с учетом обозначения (18) следует (19). □

Замечание 3.3. Неравенство (19) можно рассматривать в качестве дополнения к неравенству Гельдера.

Теперь в завершение параграфа дадим оценку интеграла при интегрировании по подмножеству К1.

Пусть В С К1 измеримо по Лебегу, т ^ 2, числа р1,... ,рт-1 € (1, +то], рт = то, удовлетворяют условию (2) или, что равносильно, условию

1 1 — + ... +-

Р1 Pm-1

< 1,

(21)

1), где £D —харак-, Ym и показателей

и функции Y1 G LP1 (R1),..., Ym-1 e LPm-1 (R1), 7m = Cd G теристическая функция множества D. Для этих функций 71,. p1,...,pm построим соответствующие множества Rk = R|Yk , Ls k (R1)}, 1 ^ k ^ m. Отметим при этом, что Rm = R|Cd, LSm(R1 )} = 0 тогда и только тогда, когда mes D = то. Действительно, так как

1

sm

m— 1 ..

£-

j=1

— < 1 и —

1

1

то гт € [1, +то). По теореме 2.1 для выполнения условия достаточно, чтобы выполнялось неравенство

= 0 необходимо и

ICd (Т

ldr < +то,

R1

а это возможно тогда и только тогда, когда mes D < +то. Рассмотрим интеграл

m1

m1

П Yk(т)

fc=1

J П Yk(T)dT = J

Dn[0,t] k=1 0

где по определению при m = 2 будем полагать

,, m—1

Cd(т)dr, t G R1,

П Yfc(т)dT

Y1(T )dT.

Dn[0,t]

fc=1

Dn[0,t]

Из (18) и (20) очевидным образом получаем нижеследующее утверждение.

Теорема 3.3. Пусть m ^ 2, числа p1,... ,pm—1 G (1, +то] удовлетворяют условию (21); D С R1, mesD = +то, функции 71 G LP1 (R1), ..., Ym—1 G Lp™-1 (R1), Ym = CD G L^R1) имеют непустые резонансные множества Rk, 1 ^ k ^ m, и не более одного из них содержит бесконечную точку. Тогда, если выполнено нерезонансное соотношение (10), d = dist [0, £m=1 Rk], а V(Rk ) — окрестности 'резонансных множеств Rk, 1 ^ k ^ то, выбраны так, что \ d ^ dist [0, Vfàk)], то при любом t G R1

1

П Yfc(т)dT

Dn[0,t]

fc=1

<

4л/7Г

(s - 1)1/s

1/r

1

+ 1

П HYfcIIl-IICDy

LSm (R1).

. fc=1

s

m

r

2

d

Автор выражает глубокую признательность профессору Н. А. Широкову за внимание к работе и ценные замечания.

Литература

1. Иванов Б. Ф. Об одном дополнении к неравенству Гельдера. I // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 3. С. 436-447.

2. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М.: Наука, 1967.

3. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

Статья поступила в редакцию 31 декабря 2016 г.; рекомендована в печать 22 июня 2017 г. Сведения об авторе

Иванов Борис Филиппович — кандидат физико-математических наук, доцент; ivanov-bf@yandex.ru

ON SOME ADDITION TO THE HOLDER INEQUALITY. II

Boris F. Ivanov

St. Petersburg State University of Industrial Technologies and Design, Higher School of Technology and Energy,

ul. Ivana Chernykh, 4, St. Petersburg, 198095, Russian Federation; ivanov-bf@yandex.ru If m ^ 2, numbers pi,... , pm € (1, satisfy inequality

1 1 — + ... +- < 1,

P1 Pm

and functions 71 € Lp1 (R1),..., Ym € LPm (R1). We prove that if the set of "resonance" points of each of these functions is not empty and the "non-resonance" condition holds (both concepts have been defined by the author for functions from Lp(R1), p € (1, then

sup

a,beR1

b m

/ П Y(t) + AYfc(T)] dT

J J__1

СП llYfc + AYfc||LPk

Lp4 (R1)'

where constant C > 0 is independent of functions AYk € (R1) and (R1) c LPk (R1 )> 1 ^ k ^ m are specially constructed normed spaces.

Besides, we give a boundedness condition for integral of product of functions over a subset of R1. Refs 3.

Keywords: the Holder inequality.

k=1

a

References

1. Ivanov B.F., "On some addition to the Holder inequality. I", Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy 4(62), issue 3, 436—447 (2017) [in Russian].

2. Bourbaki N., Integration. Measures, integrations of measures. (Nauka Publ., Moscow, 1967) [in Russian].

3. Vladimirov V. S., Generalized functions in mathematical physics (Nauka Publ., Moscow, 1979) [in Russian].

Для цитирования: Иванов Б. Ф. Об одном дополнении к неравенству Гельдера. II // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). Вып. 4. С. 586-596. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2017.407

For citation: Ivanov B. F. On some addition to the Holder inequality. II. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4 (62), issue 4, pp. 586-596. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2017.407