CC BY
11
УДК 517
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 4
О НЕРАВЕНСТВЕ БОРА
ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ФУНКЦИЙ ИЗ Ьр(Еп) ПРИ р е (2,
Б. Ф. Иванов
Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна;
Высшая школа технологии и энергетики,
Российская Федерация, 198095, Санкт-Петербург, ул. Ивана Черных, 4
Пусть р £ (2, п > 1, 5 — открытое подмножество К" и Г(Я,р) — множество всех тех
функций 7 £ Ьр(К"), носители преобразования Фурье которых лежат в 3. Предполагается, что при п = 1 множество й1 может содержать ноль, а при п > 1 может пересекаться с координатными гиперплоскостями. В работе установлено достаточное условие выполнения неравенства
< С(п,р,Я)\1(т)\\ЬР
Ь~ )
где I = (1-1 ,...,Ьп) £ К", Еь = {т\т = (т1,...,тп) £ К", т] £ [0,Ь] ], если ] > 0, и т] £ [], 0], если ] < 0, 1 < ] < п}, а константа С(п,р, 5) > 0 не зависит от 7 £ Г(5,р). Библиогр. 14 назв. Ключевые слова: неравенство Бора.
У Т(т)dr
Et
Введение. Выберем произвольное Л > 0, натуральное N и обозначим через РN (Л) множество всевозможных тригонометрических сумм вида
N
р(т) =53 PmeiXmТ, Am & R1, Pm е C, 1 < m < N,
m= 1
показатели Фурье которых удовлетворяют неравенству
min |Am| > Л.
1<m<N
Х. Бор [1] доказал, что при любом N для таких тригонометрических сумм выполняется неравенство
dp(r)
ipmi < ^
dr
0 (к1 )
Вскоре после публикации Х. Бора стали появляться обобщения этого неравенства: Ж. Фавар [2, 3], Б. М. Левитан [4], Л. Хермандер [5] и др., а само неравенство, начиная с работы Ж. Фавара [3], стало называться неравенством Бора. (Более подробный обзор приведен в работе автора [6].)
В связи с исследованиями автора в области теории дифференциальных уравнений (см. ссылки в [6]) им в работах [6-8] было предложено свое обобщение неравенства Бора как неравенства, дающего оценку интегралов от функций из некоторых подмножеств пространства Ьр(Ш.п) через нормы самих этих функций. В [6] предполагалось, что р е (1, 2], в [7, 8] изучался случай, когда р е (2, а спектры подынтеграль-
ных функций отделены от координатных гиперплоскостей. В настоящей работе это ограничение на спектры снимается.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №14-01-00202). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016
Пусть п > 1, 5 с К", р £ (2, +то) и t = (¿1, ...,гп) £ К". Обозначим через Г(5,р) множество всех тех функций 7 £ ЬР(К"), носители преобразования Фурье которых лежат в 5; Е1 = {т\т = (т1,...,тп) £ К", то £ ], если ^ > 0 и то £ [¿о, 0], если
¿о < 0, 1 < 3 < п}.
В настоящей работе устанавливаются условия выполнения неравенства
7 (т )3т
< С(n,p, 5)^7(т),
(0.1)
где 7 £ Г(5,р), а константа С(п,р, Б) > 0 не зависит от выбора 7 из Г(5,р). Доказываются следующие утверждения:
1) если в открыто, ограничено и 5П Р = 0, где -Р — объединение координатных гиперплоскостей, то (см. теорему 2.1) для выполнения (0.1) достаточно, чтобы выполнялось равенство
= (¿^
^ [ е^'^Зу £ Ь«(КП), 1 + 1 = 1; ) 1 Р Я
(0.2)
2) если Б открыто, то (см. теорему 3.1) для выполнения (0.1) достаточно, чтобы имело место соотношение
Лу,т)
п
т=1
1
ЪУт
Зу £ Ь«(КП), - + - = 1, Р Я
где у = (у 1,..., У"), 3 = (¿1,..., 3,"), 3т > 0, 1 < т < п,
"
3(3) = и {у\у = (У1,...,У") £ К", \Ут\ <3т}.
т=1
(0.3)
В работе также установлен и ряд других результатов.
§ 1. Определения, обозначения и вспомогательные утверждения. Пусть п > 1 и и £ Ь1(К"). Следуя [9, с. 77], обозначим преобразование Фурье этой функции через м и выберем его в виде
и(У) = у е
и(Ь)3Ь.
(1.1)
Обратное преобразование Фурье функции V £ Ь1(К"), также следуя [9, с. 77], будем обозначать через V). Оно согласно [10, с. 426] имеет вид
2^
(У)3У.
Обозначим (см. [9, с. 73], [11, с. 31]) через Б(К") пространство бесконечно дифференцируемых функций, быстро убывающих на бесконечности, и через Б'(К") пространство медленно растущих обобщенных функций или, что то же самое, пространство обобщенных функций медленного роста.
"
1
Пусть р € [1, и 7 € Ьр(Кп), тогда, как известно, функционал
(1,У)
7(t)^(t)dt, у € Б(Кп),
принадлежит пространству Б'(Кп).
Известно также, что преобразованием Фурье медленно растущей обобщенной функции / называется линейный непрерывный функционал на Б(Кп), обозначаемый в соответствии с (1.1) / и задаваемый (с учетом выбора определения для (/, у) и вида записи преобразования Фурье) формулой
(¡,у) = (2п)п(/, у).
Пусть р € (1, функция 7 € ^(К1) и д — ее преобразование Гильберта:
д(х)
1
2(А
п } г — х к1
¿г.
Тогда [12, с. 176] существует такая константа Нр > 0, зависящая только от р, что справедливо неравенство
Цд(х)Уьр(к1) < ЩЬШь?^1).
(1.2)
В работах автора [7, 8] было доказано следующее утверждение.
Теорема 1.1. Пусть п > 1, р € (2, = (¿1 ,...,в,п), ¿к > 0, 1 < к < п.
Тогда для любой функции 7 € Г(Кп\^(й),р) выполняется неравенство
7 (т )в,г
к=1 ¿к J
< Сп(д)
ь~ (К™)
где константа С(д) > 0 не зависит от 7 и вектора ¿.
ЬНН^ск»), - + - = 1, (1.3)
р д
§ 2. Неравенство (0.1) в случае, когда Б открыто, ограничено и Л'П /■' = 0 Лемма 2.1. Пусть р € (2, п > 1, Ь = (Ь1,...,гп) € Кп, множество Б С
открыто, ограничено и Б П Р = 0. Тогда, если справедливо
Лу,т)
П
к=1
1 _ е ^Ук Ък
Щк
&Шу € Ьч(Кп),
(2.1)
где у = (у1,..., уп), — характеристическая функция множества Б и 1/р +1/д = 1, то для любой функции 7 € Г(Б,р) выполняется равенство
(-1 )п(4) J 7{т)д,т = J К(т, Ь, Б)^(т)д,1
(2.2)
где п(г) — число отрицательных координат вектора Ь.
Доказательство. Возьмем произвольную функцию 7 € Г(Б, р). Если хоть одна из координат вектора Ь = (Ь1,...,гп) равна нулю, то в силу (2.1) будем иметь
К= 0, и равенство (2.2) очевидно выполняется. Поэтому далее при доказательстве леммы мы будем предполагать, что ни одна из координат вектора £ не равна нулю.
Рассмотрим вспомогательный интеграл
(-1)n(t) j e-i(y'T)y(г)dT = (-1)n(t) j e-i(y'T)CEt (т)y(t)d
Et R"
= f J fr1 - «-<yfctfc
1 _ e—iyk tk
= I e
R
(t)y(t)dT =
e
-i(y,T)
R"
П
iyk
+Je
R"
-i(y,T)
П
k=1
k=1 1 e-iyktk
iVk
CS (-y*)j (t )Y(t )dT+ [1 - Cs(-y)U (t)y(t)dT
е~^У'тУк(т, t, S)j(r)dT + i{y, t, S) * 7(y), (2.3)
где
i(T,t,S) =
П
k=1
1 e-iyktk
iyk
[1 - Cs(-y)] (t)•
Обозначив для краткости <7(7) = suppy, получаем в силу [13, с. 69] и [14, с. 8]
supp{%,t,S)*7(y)}Csupp%,t,S)+ <7(7) = [Rn\(—S)] + 7(7) = Rn\{- f| (S-x)}.
xEa(j)
Так как 7(7) С S, можно указать малую окрестность нуля V такую, что выполняется V С П (S — x), т.е. окрестность нуля, не входящую в supp[^(y,t, S) * 7(y)].
xEa(j)
Следовательно, если y G V, то £(y,t,S) * 7(y) = 0. Но тогда в силу (2.1) из (2.3) получаем
( — l)n(t) j y(T)dT = ( —l)n(t) ^ lппоУ e-i(y'T)j(r)dr = Et Et
= lim [ e-i(-y'T)K(T,t,S)"/(T)dT+ lim ?(y,t, S) *j{y) = [ K{r,t, Sy^dr.
R" R"
Лемма 2.2. Пусть n > 1, S С Rn, t G Rn, p G (2, 7 G Lp(Rn) и выполнены
следующие условия:
1) S открыто, ограничено и S П F = 0;
2) supp7 С S;
3) для множества S справедливо равенство (0.3). Тогда имеет место соотношение
("1 r{t) J 7(r)dr = J K(r,Sh(r)dr-J2 J K(r1,...,Ta-ta,...,Tn,Sh(r)dT+
Et R" a=1 R"
n
+ / K(ru ... Tn, S)y(t)dr+
a,b=1 R"
a<b
+ ■■■ + (-1)" J K(n - tb ..., r„ - tn, S,)7(T)dr, (2.4)
R"
где t = (ti, ...,tn) и т = (т i ,.. .,r„).
Доказательство. Утверждение леммы следует из (2.1), (2.2), определения K (т, S) и равенства
n
K (т, t, S) = K (т, S) - ^ K (Ti, ...,Ta - ta,...,Tn,S) +
a=1 n
+ У^ K(Ti,...,Ta - ta,...,Tb - tb,...,Tn,S) +
+ ... + (-1)nK (Ti - ti ,...,Tn - tn, S).
a,b=1 a<b
Теорема 2.1. Пусть п > 1, Б С Б открыто, ограничено, Б П Е = Ф, р & (2, и выполнено условие (0.3). Тогда при каждом £ = (¿1,... ,£п) € К" для любой функции 7 € Г(5,р) выполняется неравенство
y(t)dT
< 2n \\K(t, S)\\
Lq(R") \\Y (t )\\
(2.5)
L~(R")
Доказательство. Утверждение теоремы очевидно следует из (2.4) и (0.2). В следующих лемме 2.3 и теореме 2.2 условие (0.3) заменено на более простое достаточное условие, обеспечивающее выполнение неравенства (0.1).
Лемма 2.3. Пусть п > 1, Д = (Дх,..., Д„) — вектор с положительными координатами, Б С К™, Б — открыто, ограничено, Б С К™ \ <3(Д), р € (2, +оо) и выполнено условие (0.2). Тогда справедливы утверждения:
1) существует такая константа С22 > 0; не зависящая от вектора Д и 7 € Г(5,р), что выполняется неравенство
\\K(t,s)\\l,(R") < C22
п
n=1
1
aZ
Wiis(т )\Lq (R");
(2.6)
2) при каждом £ = (¿1,... ,£п) € К" для любой функции 7 € Г(5,р) имеет место равенство (2.4).
Доказательство. 1) Пусть т = (т1,..., тп), у = (у1,..., уп). По заданному вектору Д выберем произвольный вектор р = (р1,...,рп) такой, что 0 < ри < Ди/2, 1 < к < п. Обозначим через П(ти, Ди,ри) функцию, преобразование Фурье которой
имеет вид
П(ук,Ак,рк) - £{-Ак/2,Ак/2](,Ук) * \ — £[-рк/2,рк/2\{Ук) * £[-рк/2,рк/2\{Ук)
. рк
1 < к <
Тогда будем иметь
0 < П (ук, Ак, Рк) < 1;
П(ук, ак,рк) = 0, если ук ф (—ак/2 - рк, ак/2 + рк); П(ук, ак, Рк) = 1, если ук е [-ак/2 + рк, ак/2 — рк];
¿2 П т
1
" яГ
Обозначим
К>(т)
-У
2^ I
Лут )
п
т=1
1 П (ym, Аm, рт)
Ъут
Зуп
Тогда получим Ко (у) = П 1/«ут, если у е К" \ Q(А/2 + р); КГо(у) = 0, если у е
т=1 аут
Q(а/2 — р) и
< +ТО, ут е К1.
)
Таким образом, имеем Ко е Ь1(К"). Положим р = а/4. В силу леммы 2.2, установленной автором в [7, с. 32], можно указать константу С22 > 0, не зависящую от вектора а и такую, что выполняется неравенство
\Ко(т)||ь1(К") < С22
п
,т=1
1
а!
Но тогда К(т,Я) = Ко(т) * &(т) и \\Ко(т, Я)^,^) < \\Ко(т^^(к^Нб?(т)\\ьч(к~). 2) Утверждение следует из (2.6) и леммы 2.2.
Теорема 2.2. Пусть п > 1, а = (ах,..., д„) — вектор с положительными координатами, Я С К™, Я открыто, ограничено, Я С К™ \ <3(А), р € (2, +оо) и выполнено условие (0.2). Тогда справедливо неравенство
7(т )вт
< 2"С22
Ь^(Кп)
Ат
\\4Ts(т)\Ь(кп) • Ь(т)\\ьр(кп). (27)
Доказательство. Неравенство (2.7) следует из (2.5) и леммы 2.3.
Замечание 2.1. Отметим, что условия (0.2) и (0.3) выполняются не при всяком q € (1,2) и не для всякого открытого ограниченного множества Я, Я П = 0, хотя согласно теореме автора, приведенной в § 1, для таких Я неравенство, дающее оценку интеграла от какой-либо функции 7 е г(Я, р) через Ьр(Кп) —норму этой функции, — выполняется. Действительно, пусть имеем, например, п = 2, а,Ь > 1, Я = [у\у = (у1, у2), (у1 — а)2 + (у2 — Ь)2 < 1} и
1(у'г)З,у.
е
Можно проверить, что в этом случае выполняется равенство
где £ = (¿1 ,£2) и Т1(-) —функция Бесселя первого рода первого порядка. При этом условие ^ € Ьч(К2) очевидно выполняется тогда и только тогда, когда д > 4/3. Из (2.8) и определения функции К(т, Б), содержащегося в (0.3), следует
signTl.ro в1§ПТ2
К (т,Б)= ! У & (¿1, ¿2)^1^2, т =(т1 ,т2).
Т1 Т2
Можно также доказать, что условие К(■ ,Б) € Ьч(К2) выполняется только при д > 4/3.
§3. Основная теорема. Пусть п > 1, р € (2, и 7 € Ьр(Кп). Выберем
произвольный вектор ! = (¿1,..., !п) с положительными координатами и обозначим
Y(r,d) = y(t) - 7(т) * < П
1 sin dk Tk
Тк) ~ —~
(3.1)
Kk=i
где t = (ti, ..., тп) и ö(-) — дельта-функция. Тогда будем иметь
l(y,d)= Y (y), если y е Q(d), (3.2)
Y(y, d) = 0, если y е Rn \ Q(d). (3.3)
Из (3.1) и неравенства (1.2) следует 7(• ,d) е Lp(Rn) и
lim \\7(T,d)^LP{Rn) =0. (3.4)
\\d\\^0
Для произвольных векторов Л = (Ai, ••• , \п), Л = (Л1,..., Лп) таких, что выполняется 0 < Ak < Лп, 1 < к < n, положим
1Ш л л = {y\y =(yi,..., Уп), yk е (-Лk,-Ak ] U [Ak, Лk), 1 < к < n}, 2) '
7(т, Л, Л) = 7(T) ЫГ(T), (3.5)
3) 7(т, Л, Л, то) = 7(т) - 7(т, Л) - 7(т, Л, Л). Тогда будем иметь
о _
1) Y(y, А, Л) = Y (у), если у е ПЛ д и 7 {у, А, Л) = 0, если у е К™ \ ПА,л;
2) Y(y, А, Л, оо) = 7(у), если у е [R™ \ (Q(X) U ПЛ,л) и Y(y, А, Л, оо) = 0, если у е Q(Л) и Пл,л;
3) , _ ,
ГsinЛk Tk sin Лk Tk
7(т,Л, Л) = 7(т) * I П
,k=i
птк птк
е Lp(Rn), (3.6)
где т = (ti, ..., Тп).
Лемма 3.1. Пусть n > 1, A = (Ai, ...,An) e Rn, Л = (Л1,..., An) e Rn, 0 < Xk < Лк, 1 < k < n, p e (2, y G Lp(Rn) и t G Rn — произвольный вектор. Тогда
справедливо неравенство
í I y(T, A, Л) - y(т) * П
i I k=1
1 sin Ak Tk
- —-
dT
<
<
C31 п
11
+
A1/q A1/^ J-J- X
k=1 \Ak Ak / k=1 Ak
П
1/q
lb (t ^^(R^
где t(t1 ,..., Tn), ö(-) — дельта-функция, а C31 > 0 константа, не зависящая от A, Л и y.
Доказательство. Обозначим
Т xrt \ 1 Zt \ sinAkT^ 1 sin Ak Tk W(n) = 7Г6(Тк)--> w(Tk) = 7TS(Tk)-->
2П ПТk 2П ПТk
k = 1, 2,...,n. Тогда согласно (3.6) получим
/ |7(Т,А,Л)-7(Т)*П •j i__1
k=1
1 sin Ak Tk
- -
dT
<
n Г Í n i
<n I Y(т) * 1 П w(Tk) W(Та) i dT
а=1 Et [ k=1 _к = а j
+
n r Í n 1
+ E 1 Y(т) * 1 П w(Tk) W(Ta)W(Tb) j dT +
а,Ь=1 a<b Et [ k=1 k = a,b j
r n
+ y(T) * I[W (Tk) dT . (3.7)
J Et k=1
Пусть 3 = ) — вектор с положительными координатами и
Н(т) = 7(т) Л П 1й=1
Тогда согласно (3.1) и (1.2) будем иметь
—5{тк) - sindkU 2п ntk
||fe(t)|up(r»)< (l + ^др) ||7(т)
Так как в силу (3.1)-(3.3) имеем виррН С К" \ Q(d), то Н е Г(К" \ Я(3),р) и по теореме 1.1 из § 1 получаем неравенство
Н(т)di
<
Cn (q)
(d1,...,dn)1/q V П
1+ -HP) bHIUw
(3.8)
1
Применяя оценку (3.8) к каждому из слагаемых, стоящих в правой части (3.7), получим утверждение леммы при С31 = Сп(д)(1 + .
Лемма 3.2. Пусть п > 1, р € (2, Б С К" открыто и выполнено условие
(0.3). Тогда для любых £ = (¿1,... ,£п) € К" и 7 € Г(Б,р) имеет место равенство
(-1Г(4) 1= I ЩЩ>у(т)с1т - ]Г I К(тъ...,1а-та,...,тп,БЫт)с1т+
Ег К" а=1К"
п
+ ]Г / К(ти... а - та,... ,Ьъ - тЬ,...,тп, Б)^ (т )!т+
К"
+ • • • + (-1)" I к (г 1 - Т1, - т„, 5)7 (т)<*т, (3.9)
К"
где п(£) — число отрицательных координат вектора £ и т = (т1 ,...,тп).
Доказательство. Пусть 7 € Г(Б,р) и £ = (Ь1, ...,Ьп) € Кп. Для любых векторов А = (А1,..., \п) и Л = (Л1,..., Лп), удовлетворяющих условию 0 < Аи < Ли, 1 < к < п, выполнено равенство
У 7(т)!т = ! 7(т, А, Л)!т + ^ 7(т, А)!т + ^|7(т) - 7(т, А) - 7(т, А, Л)}!т. (3.10)
Ег Ег Ег Ег
Рассмотрим первый интеграл из правой части (3.10). В силу (3.6) имеем
о
7(т,А, Л) € Ьр(Кп) и согласно (3.5) эирр7(у, А, Л) С Б С Пу2 Л. Следовательно, с учетом (3.5) получаем
(-1)"« 17(т, А, А)(1т = I К(т,г,Б ПЙу2Л) 17(0)еп х,А(т - 0)М
¿т. (3.11)
В силу (0.3) и (1.2) имеем К(т, Б П Пу2 Л) € Ь9(Кп), 1/р + 1/д = 1, поэтому из (2.1)
о
получим К(■ ,1,Б П Пу2 л) € Ь9(Кп). А так как 7 € Ьр(Кп) и выполняется
&Л.Л (т - в) = Ц
и=1
Ли (ти - ви) эш Аи (ти - ви)
^(ти - ви) эт(ти - ви)
в правой части (3.11) можно изменить порядок интегрирования:
(-1)"« 17(г, А, Л)йт = 17(0) | ¿7 П Йу2 Л)епл,л (0 " т)<*г
¿в :
7 (в) к (в, ь, п = J 7{в)К{в,г,з)йв-
- / 7(в) К (в, г, Б) - К (в, г, Пл , Л П б )
¿в.
Но тогда из (3.10) получаем
(-1)п(4) J1(т)dт = J -f(в)к(в,t,s)dв - J -/(в к(в,г,Б) - к(в,г,Б ппА,Л)
Еь К" К"
+ (-1)"(4) У 7(т, Л)3т + (-1)"^ ![1(т) - 7(т, Л) - 7(т, Л, Л)}3т. (3.12)
Еь Еь
Выберем произвольное е > 0. При сделанных выше обозначениях и предположениях можно выбрать такое число ао > 0, что при всех 0 < а < ао для вектора Л = (а, а,..., а) третье слагаемое из правой части (3.12) не будет согласно (3.4) превосходить е/3. Далее, можно выбрать такие числа 0 < а1 < ао < Ао, что для любого А > Ао величина
\\К (т,Б) - К (т,Б П Щ,л)\\ щ ,
где Л = а1(1,...,1) и Л = А1(1,...,1), будет столь малой, что второе слагаемое из правой части (3.12) не будет превосходить по модулю величину е/3. Рассмотрим четвертое слагаемое. Согласно (3.1) и лемме 3.1 при Л = а1(1,..., 1) и Л = А1(1,..., 1) имеем из (3.1)
/{7(т) - 7(т,Л) - 7(т,Л,Л)}3т
к=1
7М * П ( ~
<С31
81П а1тк птк
1
- ч(т, Л, Л) > 3т
<
1
а
1/ч + л 1/9 1 А1
"/я
\\(т ^ипк-ь
где т = (т1,..., тп). Ясно, что число А1 можно выбрать столь большим, чтобы это слагаемое не превосходило е/3.
Таким образом, из (3.12) получаем, что для любого е > 0 можно указать «малый» вектор Л и «большой» вектор Л, для которых будет справедливо неравенство
(-1)п(4) J -у(т^т- J К{в^,Б)1{в)3,в
< е.
Но тогда будем иметь
(-1)™(4) J 7= У К{в,г,Б)'у{в)<1в,
откуда в силу (2.1) и (0.2) следует равенство (3.9).
Из (3.9) очевидным образом получаем нижеследующее основное утверждение параграфа.
п
1
1
Теорема 3.1. Пусть п > 1, р € (2, Б С Кп открыто и выполнено условие
(0.3). Тогда для любых £ € Кп и 7 € Г(Б,р) имеет место равенство (3.9) и оценка
Y(т)dr
< 2п\\К(т, S')||L,(R„)||7(r)||LP(^), - + - = 1.
p q
Автор выражает искреннюю признательность профессору Н. А. Широкову за внимание к работе, а также глубокую благодарность рецензентам за ценные замечания, способствовавшие улучшению изложения материала.
Литература
1. Bohr H. Ein allgemeiner Sats über Integration eines trigonometrischen Polynomials // Prace Mathemtyzcne Fizyczne. 1935. H. 43. S. 273-288. См. также: Collected Mathematical works. 1952. Vol. 2. P. 36.
2. Favard J. Sur une properiete extremale de l'integrale d'une function periodique // Comptes Rendus De L'Academie des Sciences. 1936. Vol. 202. P. 273-276.
3. Favard J. Application de la formule sommatorie d'Euler a la demonstration de quelques proprietes extremales des integrales des functions periodiques on Presque — periodiques // Matematisk Tidsskrift. Серия В. 1936. С. 81-94.
4. Левитан Б. М. Об одном обобщении неравенств С. Н. Бернштейна и H. Bohr'a // ДАН СССР. 1937. Т. XV, №4. С. 169-172.
5. Hormander L. A new proof and a generalization of an inequality of Bohr // Mathematica Scandinavica. 1954. Vol.2. P.33-45.
6. Иванов Б. Ф. Об одном обобщении неравенства Бора // Проблемы анализа. 2013. Т. 2(20), №2. С. 21-58.
7. Ivanov B. F. Analog of an inequality of Bohr for integrals of functions from Lp(Rn). I // Проблемы анализа. 2014. Т. 3(21), №1. С. 16-34.
8. Ivanov B. F. Analog of an inequality of Bohr for integrals of functions from Lp(Rn). II // Проблемы анализа. 2014. Т. 3(21), №2. С. 32-51.
9. Функциональный анализ. Серия: «Справочная математическая библиотека» / под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1972.
10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.
11. Гельфанд И.М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматлит,
1959.
12. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949.
13. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.
14. Мо,ко,ров Б. М., Подкорытов А. Н. Лекции по вещественному анализу. СПб.: БХВ-Петербург,
2011.
Статья поступила в редакцию 16 февраля 2016 г. Сведения об авторе
Иванов Борис Филиппович — кандидат физико-математических наук, доцент; ivanov-bf@yandex.ru
ON THE INEQUALITY OF BOHR FOR INTEGRALS OF FUNCTIONS FROM Lp(Rn), 2 <p <
Boris F. Ivanov
St. Petersburg State University of Industrial Technologies and Design;
Higher School of Technology and Energy, ul. Ivana Chernykh, 4, St. Petersburg, 198095,
Russian Federation; ivanov-bf@yandex.ru
Let p £ (2, n > 1, S be an open subset of Rn, and r(S,p) be a set of all the functions 7 £ Lp(Rn)
spectrum of which belongs to S. If n = 1 then S can contain zero and if n > 1 S can intersect coordinate
hyperplanes. It is obtained sufficient condition validity of the inequality
y(t) dr
Et
< C(n,p,S) ||y(t)
\LP (R™^
L~(IR™)
where t = (ti ,...,tn) € Rn, Et = {t\t = (ti ,...,rn) € Rn, Tj € [0,tj ], if tj > 0, and Tj € [tj, 0], if tj < 0, 1 < j < n}, and the constant C(n,p,S) > 0 does not depend on y € r(S,p). Refs 14. Keywords: inequality of Bohr.
References
1. Bohr H., "Ein allgemeiner Sats iiber Integration eines trigonometrischen Polynomials", Prace Mathemtyzcne Fizyczne 43, 273—288 (1935). English translation in Collected Mathematical works 2, p. 36 (1952).
2. Favard J., "Sur une properiete extremale de l'integrale d'une function periodique", Comptes Rendus De L'Academie des Sciences 202, 273-276 (1936).
3. Favard J., "Application de la formule sommatorie d'Euler a la demonstration de quelques proprietes extremales des integrales des functions periodiques on Presque — periodiques", Matematisk Tidsskrift. Series В, 81-94 (1936).
4. Levitan B.M., "On some generalization of S.N.Bernstein and H.Bohr inequalities", Ras USSR XV(4), 169-172 (1937).
5. Hormander L., "A new proof and a generalization of an inequality of Bohr", Mathematica Scandinavica 2, 33-45 (1954).
6. Ivanov B. F., "On a generalization of an inequality of Bohr", Issues Anal. 2(20), No 2, 21-58 (2013) [in Russian].
7. Ivanov B.F., "Analog of an inequality of Bohr for integrals of functions from Lp(Rn). I", Issue Anal. 3(21), No 1, 16-34 (2014).
8. Ivanov B.F., "Analog of an inequality of Bohr for integrals of functions from Lp(Rn). II", Issue Anal. 3(21), No2, 32-51 (2014).
9. Functional analysis. In Ser. The reference mathematical library (ed. by S. G. Krein, Nauka, Moscow, 1972) [in Russian].
10. Kolmogorov A. N., Fomin S. V., The elements of the functions theory and functional analysis (Nauka, Moscow, 1968) [in Russian].
11. Gelfand I.M., Shilov G.E., The generalized functions and the operations over them (Fizmatlit, Moscow, 1959) [in Russian].
12. Titchmarsh E., Introduction in theory of Fourier integrals (GITTL, Moscow, Leningrad, 1949) [in Russian].
13. Vladimirov V. S., Generalized functions in mathematical physics (Nauka, Moscow, 1979) [in Russian].
14. Makarov B.M., Podkorytov A. N., The lectures on the real analysis (BHV-Petersburg, St. Petersburg, 2011) [in Russian].
Для цитирования: Иванов Б. Ф. О неравенстве Бора для интегралов от функций из Lp(Rn), при p £ (2, // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика.
Астрономия. 2016. Т. 3(61). Вып. 4. С. 582-593. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.407
For citation: Ivanov B. F. On the inequality of Bohr for integrals of functions from Lp(Rn), 2 < p < Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2016,
vol. 3(61), issue 4, pp. 582-593. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.407
