Об одном дополнении к неравенству Гёльдера. Случай резонанса. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 1

МБС 26Б15

Об одном дополнении к неравенству Гёльдера. Случай резонанса. I

Б. Ф. Иванов

Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна, Высшая школа технологии и энергетики,

Российская Федерация, 198095, Санкт-Петербург, ул. Ивана Черных, 4

Для цитирования: Иванов Б. Ф. Об одном дополнении к неравенству Гёльдера. Случай резонанса. I // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 1. С. 70-78. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.108

Пусть т ^ 2, числа р1,... ,рт £ (1, +ж] удовлетворяют неравенству

Р1 Рт

и функции 71 £ ЬР1 (Кх),...,7т £ ЬРт (К1). Установлено, что, если множество «резонансных точек» этих функций не пусты и выполнено так называемое «резонансное условие», то всегда можно указать такие сколь угодно малые в смысле нормы возмущения Д7к £ ЬРк (К1), при которых множество резонансных точек функции 7к + А7к совпадает с множеством резонансных точек функции 7к, 1 < к < т, но при этом

ъ

/т

ПЬ (Т) + Д7к (т)] ¿Т

I—1

Понятия «резонансная точка» и «резонансное условие» для функций из пространств Ьр(К1), р £ (1, +ж] были введены автором в его предыдущих работах. Ключевые слова: неравенство Гельдера.

ж.

и

Введение. Пусть т ^ 2, числа р1,...,рт € (1, и функции 71 €

ЬР1 (К1),... ,7т € Ьрт (К1). Если выполняется

1 + ... + ± = 1,

Р1 Рт

то согласно неравенству Гёльдера (см., например, [1, с. 232]) можем записать

П Тк(т)Ат

К1

к=1

1Ы1

к=1

Ьрк (К1).

Если же выполняется

± + ... + ±<1,

Р1 Рт

(1)

(2)

то произведение функций, стоящих под знаком интеграла в левой части неравенства (1), является функцией локально интегрируемой, но сам интеграл при этом может

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018 70 https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.108

быть как ограничен, так и не ограничен. В докладе, сделанном автором на VIII Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и его приложения» [2], в терминах одного обобщения соответствующих понятий из классической теории резонанса были анонсированы условие ограниченности и одно условие неограниченности интеграла из левой части (1). Работа, посвященная условиям ограниченности, находится в печати. В настоящей статье рассматривается случай неограниченности.

Работа состоит из введения и трех параграфов. Первый параграф носит вспомогательный характер. Во втором — для любых пространств ЬР1 (К1), ^(К1), р1,р £ (1, и любой функции 7 £ ЬР1 (К1) вводится понятие (определение 2.1) множества «резонансных точек функции 7 относительно пространства ЬР(К1)» (в дальнейшем, «резонансное множество»). Оно является подмножеством К1 и{то} и (пример 2.1) для каждого тригонометрического полинома относительно любого пространства ^(К1), р £ (1, представляет собой множество частот (показателей Фурье) или спектр

этого полинома. В § 3 вводится понятие «резонансное условие» (определение 3.1), которое (замечание 3.1) в случае тригонометрических многочленов соответствует понятию резонансного условия из классической теории резонанса.

Основное утверждение работы, составляющее содержание теорем 3.1 и 3.2 из §3, состоит в следующем. Если числа р1,... ,рт £ (1, удовлетворяют условию (2), функции 71 £ ЬР1 (К1),...,7т £ ЬРт(К1), множества «резонансных точек» этих функций не пусты и выполнено «резонансное условие», то всегда можно указать такие сколь угодно малые в смысле нормы возмущения А^к £ ¿Рк (К1), при которых множество резонансных точек функции 7к + А7к совпадает с множеством резонансных точек функции 7к, 1 ^ к ^ т, но при этом выполняется равенство

П [7к (т) + А7к (т)] ¿т

к=1

г

оо

Настоящая статья содержит § 1, §2 и представляет собой первую часть работы; вторая часть, содержащая § 3, подготовлена к печати.

В работе использованы следующие обозначения и формулы:

• К1 = К1 и {то};

• ^.{7, ¿Р(К1)} — множество резонансных точек функции 7 относительно пространства ¿Р(К1);

• ~Я,к — множество резонансных точек функции 7к;

т

— резонансное соотношение (определение операции сложения мно-

~к=1

жеств из К1 приводится);

1 ^ 1 1 1 ,

• — = > —,--1--= 1,

вк Т=1 Р] «к Гк

3 = к

1. Некоторые обозначения и вспомогательные утверждения. Пусть функция и £ ¿1(К1). Обозначим преобразование Фурье этой функции через и и выберем его в виде

и(у) = у е-^и(т) ¿т. (3)

к1

Обратное преобразование Фурье функции V € ) будем обозначать через V. Оно

имеет вид

Цт) = 7^ ! е1уту{у)д,у. к1

Обозначим также через Б^1) пространство бесконечно дифференцируемых функций, быстро убывающих на бесконечности, и через Б '(К1) —пространство медленно растущих обобщенных функций или, что то же самое, пространство обобщенных функций медленного роста.

Следуя [3, с. 30-32], поставим в соответствие каждой комплекснозначной локально интегрируемой на прямой функции 7 линейный непрерывный функционал, определяемый следующим образом:

(7,¥>) = IШФ) ^еБ^1).

к1

Если р € [1, и 7 € ^(К1), то, как известно (см., например, [4, с. 77]), функционал (7, () принадлежит пространству Б'(К1).

Известно также [3, с. 213], что преобразованием Фурье медленно растущей обобщенной функции / называется линейный непрерывный функционал на Б (К1), обозначаемый в соответствии с (3) через / и задаваемый (с учетом выбора определения для (/, () и вида записи преобразования Фурье) формулой (/, () = 2п(/, у). В силу введенных выше обозначений известные формулы принимают вид

{¿(г)}р(у) = 1(у), {1(т)}р(у) = 2п6(у), {еатГЫ =2п6(у - Л),

{71(т) * 72 (г)}р(у) = т^уШу^ {р1(У)р2 ЫГ(т) = 71(т) * 72(т),

где 6 —дельта-функция, Л € К1 и 71,72 € Б'(К1).

Введем еще одно обозначение. Пусть а, Ь € К1, а < Ь и число р > 0 столь мало, что а + р < Ь — р. Обозначим через П(т, [а, Ь], р) такую функцию, преобразование Фурье которой имеет вид

П(у, [а, Ь],р) = ^£[а,Ь]Ы Ы *£[-£,£] Ы,

где (у) —характеристическая функция множества М С К1. Нетрудно проверить, что выполняются соотношения

0 < П(у, [а, Ь], р) < 1, (5)

П(у, [а, Ь], р) = 0, у € (а — р, Ь + р), (6)

П(у, [а, Ь], р) = 1, у € [а + р, Ь — р], (7)

£ ёу

(4)

[<г,Ъ],Р)

«у

2 р

2-П(у, [а, Ъ],р)

< ^ (8)

р2

П(т, [а, Ь], р) € .ЩК1), р € [1, (9)

2. Резонансные точки. В этом параграфе для функций из пространств ^(К1), р > 1, вводится понятие множества резонансных точек, являющееся (пример 2.1) естественным аналогом понятия множества частот (показателей Фурье) тригонометрического многочлена. Доказаны две леммы о свойствах множеств резонансных точек, а также рассмотрен ряд примеров, которые будут использованы в §3.

Положим К1 = К1и{то} и будем считать окрестностью точки то всякое множество вида (-то, а) и (6, +то), где а, 6 £ К1, а ^ 6.

Пусть числа Р1,Р £ (1, +то].

Определение 2.1. Точка и £ К1 называется нерезонансной точкой функции 7 £ ЬР1 (К1) относительно пространства ¿Р(К1), если существует такая функция аи (Е ¿^(К1), | + ^ = для которой 7(у) = аи(у) в какой-либо окрестности точки и. Остальные точки множества К1 называются резонансными точками функции 7 относительно пространства ¿Р(К1) и их множество обозначается ^-{7, ¿Р(К1)}.

Отметим, что равенство 7(у) = <5и(у) в определении 2.1 понимается, вообще говоря, в обобщенном смысле.

Из определения 2.1, очевидно, следует, что ^{7, ¿Р(К1)} —замкнутое множество и, если 7 е Ь^и1), 1 + 1 = 1, то 7г{7, ^(К1)} = 0.

Определим на К1 операцию сложения следующим образом. Суммой элементов ^1, £ К1 будем называть элемент из К1, обозначаемый ш1 + ш2 и определяемый для конечных элементов как обычно, а в остальных случаях по правилам:

1) выражение то + то не определено;

2) ш + то = то, ш £ К1.

Введенную так операцию будем предполагать коммутативной и ассоциативной, сумму более чем трех слагаемых определять индуктивно и при этом выражение, содержащие более одного символа то, считать не имеющим смысла.

Для А, В,..., С С К1 положим

А + В + ... + С = {х | х = а + 6 + ... + с, а £ А, 6 £ В,..., с £ С}.

Сумма множеств считается определенной, если определены соответствующие суммы элементов этих множеств.

Отметим некоторые свойства множества резонансных точек.

Лемма 2.1. Пусть числа р1,р £ (1, +то] и функция 7 £ ЬР1 (К1), тогда:

1) для любого с £ С, с = 0,

^{с7,ьР( к 1)} = ^{7,ьР( К 1)}; (10)

2) для любых функций 71,72 £ ЬР1 (К1) выполняется включение

^{71 + 72, ¿Р(К1)} С ГС{71, ЬР(К1)} и ^{72, ЬР( К1)}; (11)

3) если ш £ К1, то

7(т), ЬР(К1)} = {ш} + ^{7, ЬР(К1)}. (12)

Доказательство. Первое и третье утверждения достаточно очевидны. Проверим второе.

Пусть точка ш0 £ К1, ш0 £ ^{7ЬЬР(К1)}, ш0 £ ^{72,ЬР(К1)}. Тогда можно указать такую функцию «1 £ Ь9( К1), что <21 (у) = 71 (у) в некоторой окрестности точки с^о и функцию «2 € ¿'(К1), | + ^ = преобразование Фурье которой 0.2(у) совпадает с 72 (у) в некоторой окрестности точки шо. Но тогда <71(у)+а2(у) = 71(у)+72(у) в некоторой окрестности точки шо, то есть шо £ ^{71(т) + 72(т),ЬР( К1)}. Следовательно, (11) выполняется.

Лемма 2.2. Пусть числа рьр € (1, +то], функция 7 € (К1) и точка и € К1. Тогда, если существует УЦ окрестность точки и, в которой

- с?7 ^27 ^ ТиЛг ч /1Чч

(13)

то и € )}.

Доказательство. Пусть УЦ — окрестность точки и € К1, в которой выполняется (13). Рассмотрим два случая.

1. Точка и (Е К1. Тогда можно указать такое р > 0, что (и — 3р, и+ 3р) С УЦ. Обозначим (см. § 1) аи(т) = 7(т) * П(т, [и — 2р, и + 2р],р), откуда получим <5и(у) = 7(у) • П(у, [и — 2р,и + 2р],р). Согласно (7) и (6) имеем <5и(у) = 7(у), если у € (и — р, и + р), и вирр <7и(у) С вирр 7(у) П [и — 3р, и + 3р] С УЦ. Так как в силу (8) функция П(у, [и — 2р, и + 2р],р) имеет ограниченные производные и согласно (5) ограничена, то из равенства

аи{т) = {аи{у)}~{т) = У е^т"/(у)П(у,[и-2р,и + 2р},р)(1у,

к1

используя (13), в результате двукратного интегрирования по частям получаем, что а«(т) = 0(1)/т2. Кроме того, функция аи ограничена, как обратное преобразование Фурье суммируемой функции. Следовательно, аи € Ь9(К1) при любом д € [1, +то]. Но тогда и € ^{7, -ЩК1)}.

2. Точка и = то. В этом случае можно указать такие а, 6 € К1, а ^ 6, что в области = (—то, а)и(6, +то) будет выполняется (13). Обозначим П1(т) = П(т, [а —2, 6+2], 1)

и ато(т) = 7(т) * [¿(т) — П1(т)], где ¿(т) —дельта-функция. В силу (4) будем иметь ®то(у) = 7(у) — 7(у)П 1 (у) и согласно (7) можем записать вирр(у) С (—то, а — 1] П [6 + 1, +то) С УЦ. Следовательно, с учетом (13), (5)-(8) в результате двукратного интегрирования по частям получаем равенство

«оо(г) = {«ооЫПт) = ^ У е^7(у) [1 - ад] д.у =

к1

2пт 2 к1

У е^т {7''(у) [1 — П 1(у)] — 27'(у)П 1 (у) — 7(у)П'/(у)} ¿у :

0(1)

Кроме того, функция ато(т) ограничена, так как в силу (13) выполняется неравенство

1«°о(т)| < У 17Ы1 Лу < +оо.

Таким образом, (т) € Ь9(К1) при любом д € [1, +то], то есть точка и = то является нерезонансной. □

Следующий пример показывает, что координаты резонансных точек тригонометрических многочленов относительно любых пространств ^(К1), р > 1, являются частотами (или показателями Фурье) этих многочленов.

Пример 2.1. Пусть 7(т) = £=1 ске*Лкт, где п € N ск € С, Лк € К1, 1 < к < п, т € К1. Тогда согласно (4) можем записать 7(у) = П=1 ^¿(у — Лк), откуда в силу

74

1

т2

(10), (11) и леммы 2.2 следует, что для любого р £ (1, справедливо равенство

п

^^(К1)} = у {Лк}.

к=1

Пример 2.2. Пусть числа р, в € (1, +оо], 6 > 0 удовлетворяют условию - + ^ +

5 < 1 и имеется функция

7(т) =

|т|)р

Тогда справедливо равенство

^^(К1)} = {0}. (14)

Проверим это. Чтобы найти резонансное множество функции 7, найдем 7. Выберем произвольное конечное у = 0. В результате двукратного интегрирования по частям получаем

сю

л [ -гут Кг К2 [ втут(1т

К! V II/ 0 V /

где К1,К2 —некоторые константы. Таким образом, в окрестности каждой конечной ненулевой точки функция 7(у) дважды непрерывно дифференцируема и, следовательно, по лемме 2.2 каждая конечная ненулевая точка является нерезонансной. Также по лемме 2.2 в силу выполнения (13) нерезонансной является и бесконечная точка.

Покажем, что ^-{7, ЬЯ(К1)} = {0}. Если точка у = 0 нерезонансная, то существует \о —окрестность этой точки и функция «о & ЬГ(К1), ^ + 7 = 1, для которой 7(у) = ао(у), У £ V). Выберем столь малое число р > 0, что [—3р, +3р] С V), и обозначим П0(т) = П(т, [—2р, +2р], р), 70(т) = а0(т) * П0(т). В силу определения функции а0(т), числа р > 0 и свойств (6), (7) можем записать 7о(у) = <50(у)П0(у) = 7(у)Г2о(у), У £ К1, 7о(у) = 7(у), у £ [—Р, +р]- Кроме того, так как согласно (9) П0 £ Ь1(К1), то в силу неравенства Юнга (см., например, [5, с. 42]) 70 £ Ьг(К1).

Обозначим 71 (т) = 7(т) * [5(т) — По(т)], где 5(т) —дельта-функция. Как видно из (15), функции

Поэтому в результате двукратного интегрирования по частям с учетом (15), (5)—(8) получаем равенство

71 (г) = ^ I е^т71 (У) ^ = ¿ / е'"Т7(у) [1 " "о(г/)] Ф =

К1 К1\[_р,+р]

1

2пт2 У

к1\[_р,+р]

7"Ы [1 - п„ы] - ^'(у)П'0(у) - 7Ы^'Ы} =

А так как функция 71 вдобавок ограничена, как обратное преобразование Фурье суммируемой функции, то 71 £ Ьг(К1). Следовательно, 7 = 70 + 71 £ Ьг(К1).

Но 7 ^ ¿/(К1), 7 + 7 = 1, так как из неравенства - + 7 + <5 < 1 следует г(- + (5) < 1, то есть ||7||ьг(к1) = го. Таким образом, ^.{7, ЬЯ(К1)} = {0}.

е

Пример 2.3. Пусть числа p,sG (1, +00], S > 0 удовлетворяют условию ^ + 7 +

i.O. пушль Чш;лс1 й ^ -L1 -TLAJJ, и и удиьлегьириш! ^лиьиш ^ 1 ^

S < 1; A е R1 и

Y (т)

(1 + М)-+в

Тогда выполняется равенство

^^(К1)} = {Л}. Действительно, в силу (12), (14) и правила сложения в К1 имеем

¿/(К1)} = К \ е*Лт--, и^1) ) =

= {Л} + П (--и (к1)) = {Л} + {0} = {Л}.

Пример 2.4. Пусть числа р, s £ (1, +оо] и S > 0 удовлетворяют условию ^ + 7 + 5 < 1; р = 0 и

eiMT 2

7 (г)

(1 + М)*+й

Тогда выполняется равенство

R{7,Ls(R1)} = (16)

Проверим это. Прежде всего отметим, что функция 7 дважды непрерывно дифференцируема. Действительно, можем записать

2 СЮ 2

™ = / = 2/= 2 *<»> + ™ + «»> ■

R1 V 1 U 0 V 7

где

2 . 2 f cos уте®мт dr

/1 (у) = / —:-тгтг>

J (1+г)р+й 0

СС

/2Ы = J cos ут

т p

+ 5

¿ + <5+1 т p

+

-+<5+1 Р

¿ + Й+2 т p

eiMT ¿т, (17)

1

1

1

Р

1

СС

/з(у) = J cos ут

D-i^^ + iix

k=3

k! ^p

X (- + <5+lY.Y-+<5 + fc-l

p J \p ) Tp+s+k

e^T ¿т.

1

Функции /1 и /э, очевидно, дважды непрерывно дифференцируемы. Рассмотрим функцию /2. Трижды проинтегрируем по частям интеграл, стоящий в правой части равенства (17), используя всякий раз замену

2 1 2 2г^т

Тогда полученное выражение окажется функцией дважды непрерывно дифференцируемой по переменной у и по лемме 2.2 все конечные точки будут для функции 7 нерезонансными, т.е. ^-{7,ЬЯ(К1)} С {го}.

Покажем, что точка го является резонансной. Допустим, что {го} £ ^.{7, ЬЯ(К1)}. Тогда согласно определению 2.1 можно указать такие числа а, 6 £ К1, а ^ 6, и функцию «оо (Е ¿/(К1), - + - = 1, что будет выполняться равенство 7(у) = (у), у £ (—го, а) и (6, +го). Обозначим П1(т) = П(т, [а — 2,6 + 2], 1), 71 (т) = 7(т) * 01(т) и 72(т) = 7(т) * [5(т) — (т)], где 5 — дельта-функция. Так как 7 дважды непрерывно дифференцируема и 71(у) = 7(у) • 71(у), где в силу (6) вирр71 (у) = [а — 3, 6 + 3], то в результате двукратного интегрирования по частям с учетом (5), (6) и (8) получаем

ь+э

71 (г) = ^ | е^Ы ¿У = ¿ | е^Ы^Ы ^ =

К1 а_Э

Кроме того, функция 71 (т) ограничена, как обратное преобразование Фурье суммируемой функции, откуда 71 € ¿/(К1), 7 + 7 = 1.

Рассмотрим функцию 72. Согласно свойству (7) можем записать 1 — 71(у) = 0, если у £ [а — 1,6 + 1], поэтому 72(у) = 7(у) 1 — 71(у) = аю(у) 1 — 71(у) . Так как

в силу (9) П1 £ Ь1(К1), получаем 72(т) = аю(т) — аю(т) * П1(т) £ ЬГ(К1).

Следовательно, 7 = 71 + 72 & ¿/(К1), 7 + 7 = 1. Но по условию имеем ^ + 3 < 1 — 7 = 7, откУДа г(р + < 1, т. е. 7 ^ ¿/(К1). Полученное противоречие показывает, что го — это резонансная точка.

Пример 2.5. Пусть числа р, в € (1, +го] и (5 > 0 удовлетворяют условию ^ + 7 + 5 < 1; Л £ К1, ^ = 0 и

ег\т ег^т 2

7 (г) =

(1 + 1

Тогда выполняется

^{7,Ь8(К1)} = {го}. Действительно, в силу (12), (16) и правила сложения в К1 имеем

А^т 2

7г{7(г),^(К1)}=7г{е^--—Т-,Ь°(К1)} =

(1 + \т\)р^

= {Л} + К{--—т-,)} = {Л} + {(X)} = {(X)}.

(1 + \т\)р^

Литература

1. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М.: Наука, 1967.

2. Ivanov B. F. On the Holder Inequality // Комплексный анализ и его приложения: материалы VIII Петрозаводской международной конференции (3—9 июля 2016). Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2016. С. 31-35.

3. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. Вып. 1. М.: ФМ, 1959.

4. Функциональный анализ. Серия: Справочная математическая библиотека / под ред. С. Г. Крейна; М.: Наука, 1972.

5. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир,

1974.

Статья поступила в редакцию 25 мая 2017 г.; рекомендована в печать 21 сентября 2017 г. Контактная информация:

Иванов Борис Филиппович — канд. физ.-мат. наук, доц.; [email protected]

On some addition to the Holder inequality. Resonance case. I

B. F. Ivanov

St. Petersburg State University of Industrial Technologies and Design,

Higher School of Technology and Energy, ul. Ivana Chernykh, 4, St. Petersburg, 198095, Russian Federation

For citation: Ivanov B. F. On some addition to the Holder inequality. Resonance case. I. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5 (63), issue 1, pp. 70-78. https://doi.org /10.21638/11701/spbu01.2018.108

Let m ^ 2, numbers p1,... ,pm £ (1, satisfy inequality

P1 Pm

and functions y1 £ Lp1 (R1),... ,

Ym £ Lpm (R1). We prove that if the set of "resonance points" of each of these functions is not empty and so-called "resonance condition" holds as well then there are such arbitrary small (low norm) perturbations Ayk £ LPk (R1) that the resonance set of function Yk + Д Yk coincides with the resonance set of function Yk, 1 ^ k < m but

1 m

/ Пь (T ) + Ay k (T)] dT k— 1

Concepts of "resonance point" and "resonance condition" for functions from the spaces Lp (R1)

, p £ (1, were introduced by the author in his earlier papers. Keywords: the Hoolder inequality.

References

1. Bourbaki N., Integration. Measures, integration of measures (Nauka, Moscow, 1967) [in Russian].

2. Ivanov B.F., "On the Holder Inequality", Complex analysis and applications. Materials of the VIII Petrozavodsk International Conference (3-9 June 2016), 31-35 (Petrozavodsk Univ. Press, Petrozavodsk, 2016) [in Russian].

3. Gelfand I. M., Shilov G. E., The generalized functions and operations over them, the issue 1 (PhM, Moscow, 1959) [in Russian].

4. Functional analysis. In Ser. The reference mathematical library (ed. by S. G.Krein, Nauka, Moscow, 1972) [in Russian].

5. Steyn I., Weiss G., Introduction to the harmonious analysis on Euclidean spaces (Mir, Moscow, 1974) [in Russian].

Author's information:

Ivanov Boris F. — [email protected]