Расстояние между соседними нулями функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

2006, том 49, №9

МАТЕМАТИКА

УДК 511

Ш.А.Хайруллоев

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СОСЕДНИМИ НУЛЯМИ ФУНКЦИИ / (7), ./ > 1

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 28.09.2006 г.)

В работе [1] А.А.Карацуба наряду с задачей о соседних нулях функции Харди 2), т.е. соседних нулях дзета-функции Римана, лежащих на критической прямой, рассмотрел более общую задачу о соседних нулях функции 2(1) (?). Он доказал, что с увеличением у длина промежутка, на котором заведомо лежит нуль функции 2(1 -'(^), уменьшается. Он доказал следующую теорему.

1 2

Теорема 1. Пусть у - натуральное число и Г>Г0(у)> 0, Н >сТ6]+6 (\пТ)]+1, с - с(/) > 0. Тогда промежуток (Т,Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции 2(1 ){1).

В работе [2] задача об оценке снизу длины промежутка (Т, Т + Н) критической прямой, на котором заведомо лежит нуль нечетного порядка дзета-функции Римана ¿¡(я) (т.е. нуль нечетного порядка функции Харди 2 (/)), сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм. В этой работе такую же задачу удалось решить и для функции 2(1) (?).

Определение. Функция Харди 2 (^) задается равенством

2(1) = егтС

где

— + М

42 у

и (1 /Л ^ 1

л ^ Г 1 г

И 2) И 2)

Лемма 1. При I > 2п для функции 0(1) справедлива формула

в({) = ¿1п . —— —- —+ Л(У),

V 2л- 2 8

где

Д(—) = — 1п 4

1 + -

4—2

1

1 ґ “с р(и)с1и

2 і 2

и +

4

+ -

4

Доказательство. см. [1].

Лемма 2. При любом целом числе / > 0, t>2ж справедливы следующие равенства

2<')(—) = 2 £ У(<)~1п 008^

ГТ уп

( 1 ^

, 7П — 1п пл— +о і41п■/+1 —

2у V /

С'(0-ь

о — 4

— 1п--------1п п

у2 271 ;

] (Ъ. Т\

+о

1 — У

причем постоянная в знаке О зависит только от].

Доказательство. см. [1].

Лемма 3. Пусть (к,Л) - произвольная экспоненциальная пара и

Г>Г0>0, у[Р<М<Р, Мх < 2М, Рх = Тогда для тригонометрической суммы

С(и,М)= Е е

справедлива следующая оценка

М<т<и V

\С(и,М)\«^ЯМ

—\-k-\- 2 Л. 2

Доказательство. см. [2].

Теорема 2. Пусть {к,Л) - произвольная экспоненциальная пара, / - натуральное чис-

ло,

к+Л-0,5

Т>Т0С/)>0, Н>сТ2]+2к+АЛ-\)пТу+\ с = с0О)>о.

Тогда промежуток (Г,Г + //) содержит нуль нечетного порядка функции

1

Доказательство. Пусть Т < ? < Г + Н, Н <Т6, у - четное число, тогда приближенное функциональное уравнение для 2(1)(?) (лемма 2) принимает вид

1

2

Z(J '(t

(ff (t )-ln п) J

cos^(t)-1 ln nj-O(t 4 lnJ+11).

Граница изменения в сумме зависит от ¿. Освободимся от такой зависимости путем

ГГ гг

замены величины -/— величиной Р = -— . От такой замены правая часть изменится на у ^2тт у 2л

величину порядка не выше Т 4 lnJ Т . Действительно, пользуясь леммой 2, найдем \(ß’(t)-ln ri)] I« ln.,-------------ln J— +-

I±ä-bIJL

2 n V 2 n

ln T

T

'V

,+ H

T

\\

ln T

T

H

vT/

поэтому

T t

2л <П~\ 2л

4n

«T

T + H T

2 n V 2 n

\T j

j 1

«Т 4 InJT.

Пользуясь асимптотическим поведением Д(/), Д'(7), 0(1), 0'(1), можно показать, что (см. [1], стр. 94 )

z'■J ’(t ) = (

і . jP

= ei)2'^-rln

n<— \П

cos

п

+ O(T 4 lnJ+1 T) .

Т л

Не ограничивая общности, можно предполагать, что — + — = 2лК, К - целое число.

Поэтому приходим к формуле

Z(J\t) = (-1)2 -^-plnJ— cos ^Wn n

Ґ1 Рл

t ln —

V nj

T

+ 0(T 41пі+1Г), P= —.

V 2 n

Проводя аналогичные рассуждения при нечетном ] и предполагая опять не ограничивая общности, что — + — = 27тК + —, приходим к формуле 2 8 2

J+1

( Р\

zu\t) = {-1) 2 cos fin — +<Э(Т 41пу+1Г).

п<рл!п п ^ и у

Таким образом, в обоих случаях, т.е. как при четном, так и при нечетном j, можно рассматривать функцию

і

4

1

1

1

ф(0

=фдо=Е-гіп'-

„<Р у/П П

сое

(,

ҐІП —

V п)

+ 0(Т~4 1п;+1 Т)

и доказывать существование у нее нечетного нуля на промежутке (Т, Т + Н). Повторяем рассуждения работы [2]. Определим числа /, из уравнения t¡,\nP = тги и будем рассматривать у такие, что выполнялись неравенства

ЛУ

т< — <т+н .

1п Р

Для этого возьмем

Т 1п Р

+1, Г =

1П Т

Н 1п Р

лг

и определим числа у равенством

у = у0 +у1+... + уг, 0<Уь...,Уг <Н1 -1,

в котором у0 - постоянное число, а числа у1,у2,...,уг могут принимать значение любых целых чисел из промежутка |, Н1

Рассмотрим две суммы 81 и 82.

Нх-1 Нх-1

Нх-\ Нх-1

у. =0 уг =0

у. =0 уг =0

и будем доказывать неравенство |£

В силу определения имеем

21 > ^11

УІП П

ЛУ , Р 1п—

^=0 Уг=0 п<Р

1п Р п

+о(н;т~41п7+1 т ),

Н^1 Н^1

^ = Е-"ЕЕ-^1п'7С08

1/1=0 |/,=0 п<Р уП И

ґ ЛУ 4

1п п

1п Р

+ о(н;т 41п7+1 т) .

Оценим снизу £2 . Для этого выделим в сумме, которой задается , слагаемое с

п- 1, оно будет равно числу Нхг 1пу /*. Оставшуюся часть суммы ^ оценим сверху величиной ^, подобно тому, как это было сделано в работе [2].

1

2<п<Р ЫП

Н, -1

— ( ГІП/7

Ч 2ІПІ5

1п'Р< 2-)-

2<я<Р У?! V

1 V7* I

ПИ 1п^<Г4(41пР)Чпу\Р,

2ІПІ5

1

г

т.е. для |£2| получаем следующую оценку

\82\>н;^р 1 + 0 ( 1 Т4 + 0 ( 1 ^ Т4\пТ

V / V /

Оценим сверху |. Интервал суммирования по п в сумме разобьем на два интервала вида

1 < п < (1 - А)Р и (1 - А)Р <п<Р, где А = 8 Н1 11п Р. Соответственно этому разбиению ^ представится суммою двух слагаемых:

^ =^3+^4-

Сумма £3 оценивается так:

1 1 |^з|«4г^^41п'' г« Н ;т~~41пу+1 т.

Для суммы £4 получаем такое неравенство

N « и,"

V "5 , 1 Р (г1пн1

> п ш —е ------------

п \2п )

+н;тА\^+1т,

где

А = 8Я1_11пР.

Сумму по п обозначим через ^ и полагая п = 1\ - т, найдем

Р

1п"

Рг—т

0< т<АРл

т

t\n{Pí -т) 2 п

Промежуток суммирования по т разобьем на «1пТ промежутков вида М <т<Мх < 2М < АРг; найдем

1п1

Р

Р1-т

М<т<М, -т

^ 1п(7> - т)

2 71

1п Т.

Применяя частное суммирование, получим

е

|л;|«мт

1

ґ 1п(Р[ - ПІ) 2ж

1п Т.

М<т<М1 V

Сумму по т обозначим через С(и,М). Если М < \[Р , то сумму С(и,М) оценим тривиально, числом слагаемых:

_ _1 1±1 _ _1 I 1.

|Я51«М3+1Р~'~2 ЛпТ«Р 3 • Р~3~~21пТ«Р '61пТ«Т 121пу Т.

Если у[р < М < , то для оценки суммы С(и,М) воспользуемся методом экспонен-

циальных пар (лемма 3). Находим

к+Л— ~-]-к-2Я і+к+2А+- І±і-І 1-і-к-2Л J

— (1пГ) 2«Т2 4Я2 (1пТУ .

■ ■ К.~\~ ¿І/1.-- . л ХЧ. I /**- - / /V ¿,/1. І І /V І /І I - - - - / /V /** . -ч

|^|«М 2Р;і1пëР2Я2 ""7Л 2^Т2 4М2 Л^ТЛИ3

Следовательно, для ^ получим окончательную оценку:

^ « и" 1п1 Р

Т 12 +Т 2 4Я2 1п Т

Сравнивая эту оценку для ^ с ранее найденной формулой для £2, видим, что для выполнения неравенства |£2| > |Л’,| достаточно, чтобы выполнялись следующее неравенства:

к+Л 1 1

Т 12 «1: Т 2 4Я

—]-к-2Л 0 — л г

” 1п Г«1: Г4 4Я 1пР «1.

Первое неравенство выполняется при Т »1. Второе и третье неравенства выполняются соответственно, если

к+Я-0,5

я>>т2Н2к+4Я-1(1п7у+1 ^ Н > 4Г4г 1Пр»1Пр

Теорема доказана.

Заметим, что теорема 1 является следствием теоремы 2 при

г\ 2Ч

оМ)= =АВА( ОД).

16 з;

Институт математики АН Республики Таджикистан

Поступило28.09.2006 г.

е

2

ЛИТЕРАТУРА

1. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. М.:Физматлит, 1994, 376 с.

2. Рахмонов З.Х., Хайруллоев Ш.А. - ДАН РТ, 2006 т.49, №5, с. 393-400.

Ш.А.Хайруллоев

МАСОФАИ БАЙНИ НУЛ^ОИ ХАМ СО Я И ФУНКСИЯИ Z (,)- ' ~1

Дар мак;ола масъалаи бузургии порчаи (Т,Т + Н) хати рости критикй, ки дорой нули тартиби то^и функсияи Z(1 )(t) мебошад, ба масъалаи чустучуи чуфтх,ои

экспоненсиалй барои ба^оди^ии сумма^ои махсуси тригонометрй, оварда шудааст.

Sh.A.Khairulloev DISTANCE BETWEEN THE NEXT ZEROS OF Z (t), j > 1

In this article the problem about size of an interval of a critical straight line in which, contains zero of the odd order of function Z(1 )(t) is shown to a problem of search of exponential pairs for an estimation of the special exponential sums.