CC BY
31
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2009, том 52, №5_____________
МАТЕМАТИКА
УДК 511
Член-корреспендент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Ш.А.Хайруллоев
Первым результатом о нулях дзета-функции Римана £(я) на критической прямой является теорема Г.Харди [1]. В 1914 г. он доказал, что О(1/2 + и) имеет бесконечно много вещественных нулей. Затем Харди и Литтлвуд [2] в 1921 г. доказали, что промежуток (Т,Т + Н) при Н > Т1//4гЕ содержит нуль нечетного порядка 0(1/2 + ¿0. Ян Мозер [3] в 1976 г. доказал, что это утверждение имеет место при Н >Т1б]п2Т . В 1981 г. А.А. Карацуба [4] доказал теорему Харди-Литллвуда уже при Н > Т5 32]п2 Т .
В работе [5] задача о величине промежутка (Т, Т + Н) критической прямой, в которой содержится нуль нечетного порядка дзета-функции, сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм, то есть: пусть (к, I) - произвольная экспоненциальная пара, отличная от (1/2,1/2), Т > Т0 >0,
тогда промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка дзета-функции Римана.
Заметим, что минимизация в(к; I) равносильна минимизации вх (к; I). В этой работе мы находим нижнюю грань величины вх (к; I) по множеству всех экпоненциальных пар. Рассмотрим преобразование
Пусть Р - множество всех экспоненциальных пар, получающихся из пары (0,1) применением А и В -процессов:
Так как В2 (к, I) = (к, I) и А(0,1) = (0,1) , то множество Р состоит из экспоненциальных пар вида
СОСЕДНИЕ НУЛИ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА, ЛЕЖАЩИЕ НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ
Н > Тв(к;1 )1п2 Т,
а, Ь, с, ё, е, / - вещественные.
(1)
Р = {А91 БА92Б.Л%Б(0,1)} ВА91БА92В...Л%Б(0,1)}.
По очевидным соображениям АР = {А?1 БА42Б...АЯк Б(0,1)}, БАР = {БАд1БА2В...А?кБ(0,1)} . Следовательно, Р = АР и БАР . Напомним, что А и Б -процессы можно задать как линейные преобразования в проективном пространстве. Пусть
' 1 0 0^ ^0 2 - 1
A = 1 1 1 , в = 2 0 1
v2 0 2V 0 0 2
Тогда
( к ' ( к л ( к ' ( 2l -1л
A l = к +1 +1 , в l = 2к +1
v 1V v 2к + 2 v v 1V v 2 V
(2)
и в проективном пространстве они соответственно эквивалентны
\
2к + 2 к +1 +1
2к + 2 1
(М 2 м
2к +1
л = л
2
v1V 1 v 1 V
где (к, Л) = A(k, l) и (к, Л) = B(k, l). Отождествление A и B -процессов с их матрицами особенно удобно, ибо композиции этих процессов соответствуют произведению их матриц. Например, матрицы, представляющие композиции A(B(k, l)), имеют вид AB .
Из соотношения Р = AP'u BAP для множества всех экспоненциальных пар следует,
что inf 01 = inf 01A, либ° inf 91 = inf 91BA.
p p p p
Для нахождения inf {^(k,l) : (k,l)ер} мы будем применять метод минимизации ak + bl + c
с/, (k, l) =-----, в котором используются следующие три леммы:
dk + el + f
Лемма 1. Пусть для 0Х, определенного в (1), выполняется dk + el + f >0 V(k, l) еР.
Определим r : r <inf (k +1) и Y = max(wr + v-u, w + v-u), Z = min(wr + v-u, w + v-u).
p
Если Z > 0, то inf 6l = inf Qx A, если же Y < 0, то inf Qx = inf QxBA.
Доказательство см. [6].
Эта лемма не дает ответа в случае Y >0 и Z <0 . На такой случай нам частично даст ответ лемма 2.
Лемма 2. Пусть C есть конечное произведение A и B - такое, что inf OXBA = inf OXBAC и sup{k +1 :(k, l) е CAP} = r • Если min(rw + v - u, ryw + v - u) > 0, тогда
inf O = inf O A.
Доказательство см. [6].
Суть нашего будущего алгоритма состоит в следующем:
^ ak + bl + c ~ „
Пусть нам дано O (k, l) =---------- с dk+el + f >0. Применяем лемму 1 или лемму 2
1 dk + el + f
(если это возможно) и определяем, какой из случаев inf O = inf OA и inf O = inf QxBA выполняется. Далее заменяем O на соответствующее OA или OxBA (зависит от того, inf O = inf OA или inf O = inf OBA ) и снова повторяем процедуру.
Через определенное количество итераций мы получаем:
inf O = inf OBJAqiBA92B...AqiBA, j = 0,1; qt > 0.
Вполне возможно, что inf O = inf OAq для каждого q > 0. На этот случай ответ дает следующая лемма.
Лемма 3. Пусть O, u, v, w такие, как в лемме L Тогда следующие условия эквивалентны:
a) inf O = inf OAq Vq > 0;
b) inf O = Oi(0,1) ;
c) w + v > u, u < 0 .
Доказательство см. [6].
Таким образом, пошаговое описание алгоритма определения оптимальных экспоненциальных пар [6] имеет следующий вид.
л ak + bl + c „ . ^
1. Проверяем для O =------------условие dk+el + f >0.
dk + el + f
2. Вычисляем £(O ).
3. Применяя лемму 3 к O , проверяем, выполняется ли условие inf O = O (0,1) . Если выполняется, то останавливаемся.
4. Используя лемму 3 к OB , проверяем, выполняется ли условие inf O = ^ .
Если выполняется, то останавливаемся.
5. Используя лемму 1 для проверки равенства inf O =inf OA, либо inf O = inf OBA . Если лемма 1 неприменима, применяем лемму 2. Если и лемма 2 неприменима, то завершаем алгоритм, ибо он не работает в этом случае.
6. Если inf вх =inf вхA, заменяем %(вх) на %(вх A) . Если inf вх =inf вхBA, заменяем %(6Х) на £(0ХBA). В противном случае возвращаемся к шагу 5.
Справедлива следующая теорема
Теорема 1. Пусть Pj множество всех экспоненциальных пар (k, l) отличных от (1/2,1/2) и
ex(K l ) =
l
0,5 - к
Тогда справедливо соотношение
inf 0x(h;l) — R +1,
(k ,l )єР1
где Я = 0.8290213568591335924092397772831120... - постоянная Ранкина. Доказательство. В представлении
, ак+Ы+с
1 ёк+ЄІ + /
в нашем случае а = 0, Ь = 1, с = 0, ё = -1, І = 0 , / = 0.5 .
1. Условие ёк+еІ + / >0, то есть - к + 0.5 > 0, выполняется.
2. Согласно алгоритму минимизации преобразования (1), сопоставим матрицу
(0 1 0 ^
-1 0 0.5
^х =
Определим числа и, v, w следующим образом
и =
а по ним составим вектор
x 0 о о 0 x
II о v = I 0, w =
in 0, 0 - x 0.5 -x 0
= х,
^х) =
V х У
3. Согласно лемме 3, следующие условия эквивалентны:
а) inf вх = inf вхAq, Vq > 0;
б) inf вх = вх (0.1); c) w + v > u, u < 0 .
В нашем случае w + V = 1, и = 0.5 то есть условие с) не выполняется, следовательно, и условии а) и б) также не выполнимы.
4. Лемму 3 применим и к в1В:
в В = ■
к + 0.5 к + 0.5
-I + 0.5 + 0.5 -l +1
как в случае вг, a = 1, b = 0, c = 0.5, d = 0, l = -1, f = 1. Сопоставим Вв} матрицу
Вв, =
(1 0 0.5 ^
0 -1 1
Определим числа u, v, w :
u =
0 0.5 1 0.5 1 0
= 0.5, v = = 1, w =
-1 1 0 1 0 -1
= -1,
то есть
£( Вв ) =
V-1 У
Как и в пункте 3, согласно лемме 3, следующие условия эквивалентны:
а) inf Вв = inf вBAq, Vq > 0;
б) inf Вв= Вв(0,1)= в( 1,1 j;
c) w + v > u, u < 0 .
Так как w + v = 0 и u = 0.5, то есть условия с) не выполняются, следовательно, и условия а) и б) также не выполнимы.
К нашему в =---------1--- применим лемму 1, полагая r < inf (к +1) . Согласно
- к + 0,5 р
определению экспоненциальной пары, 0 < к < 1 < l < 1.
Следовательно, l + к > 1. Тогда inf (к +1) > 1. Это означает, что одним из значений r в лемме 0 можно взять r = 1. Следовательно,
Y = max(wr + v -u, w + v -u) = max(r + 0 - 0.5, 1 + 0 - 0.5) = 0.5;
Z =min(wr + v- u, w + v-u) = r - 0.5.
Поэтому, так как Z > 0 , то, согласно утверждению леммы 1,
inf в = inf в A .
6. Так как inf вх =inf вх A, заменяем ^(в ) на ^(в1 A) и находим
к +1 +1
2 к + 2 к +1 +1 1 1
в A = —2к + 2 . =-----------= к +1 +1.
Таким образом,
k | 1 - k + k +1 2k + 2 2
inf = inf QXA = inf (k +1) +1.
Число inf (к +1) играет важную роль в алгоритме определения оптимальных экспоненциальных пар. Это число называется постоянной Ранкина [6] и обозначается через R.
Постоянная Ранкина вычисляется, как предел последовательности Aq1 BAq2 В... A%B..., где первые 50 членов q - последовательности имеют вид
13211 21122 12221 21122 11213 21112 11132 11132 11221 11122.
Результатом применения этих членов будет число
R = 0,82902135 6859133592 4092397772 8311205098 83432703 + 8 х10-43
Таким образом,
Теорема доказана.
inf вх = R +1.
Институт математики Поступило 04.01.2009 г.
АН Республики Таджикистан
ЛИТЕРАТУРА
1. Hardy G.H. - Compt.Rend. Acad.Sci, 1914, v.158, р .1012—1014.
2. Hardy G.H., Littlewood J.E. — Math.Z., 1921, bd. 10, s.283—317.
3. Мозер Я. — Acta arith., 1976, 31, s. 31—43.
4. Карацуба А.А. — Труды МИАН, 1981, т. 157, с.49—63.
5. Рахмонов З.Х., Хайруллоев Ш.А. — ДАН РТ, 2006, т. 49, № 5, с. 393—400.
6. Graham S.W. Kolesnik G. Vander Corput's Method of Exponential sums. Cambridge university press. 1991, Cambridge, New Vork, Port Chester, Melbourne, Sydney.
З.Х,.Рах,монов, Ш.А.Хайруллоев НУЛ^ОИ ^АМСОЯИ ДЗЕТА-ФУНКСИЯИ РИМАН, КИ ДАР ХАТИ РОСТИ КРИТИКИ МЕХОБАНД
Дар мак;ола бо истифода аз методи оптимизатсияи чуфтх,ои экспоненсиалй дарозии порчаи хати рости критикй, ки дорои нули тартиби токи дзета-функцияи Риман мебошад, бо воситаи доимии Ранкин ифода карда шудааст.
Z.Kh.Rakhmonov, Sh.A.Khairulloev THE NEIBOUR ZERO OF THE RIEMANN’S ZETA-FUNCTION LAYING ON A CRITICAL LINE
Applying the method of optimization exponent pairs we express the lenth of an interval of critical line which has an odd order zero of zeta-function by the Rankinn's constant.
