Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

2006, том 49, №5

МАТЕМАТИКА

УДК 511

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Ш.А.Хайруллоев РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СОСЕДНИМИ НУЛЯМИ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА, ЛЕЖАЩИМИ НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

Б. Риман [1] высказал гипотезу, что все нетривиальные нули функции £(ь) лежат на «критической прямой» Яе £ = а = 0,5. Эта гипотеза до сих пор не доказана. Первым результатом, связанным с нулями С(5) на критической прямой, явилась теорема Г.Харди (см. [2]), который доказал бесконечность количества таких нулей. Затем Г. Харди и Д. Литтлвуд [3] доказали следующее утверждение:

Теорема Al Для любого є > 0 существует Т0 =Т0(є) > 0 такое, что при і

—•+Є

Т > Т, Н > Т4 промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции

С( 0,5 + и ).

Новый важный результат в решении этой проблемы получил в 1976 г. чешский математик Ян Мозер [4]. Он доказал :

Теорема А2 . При Т > Т0 > 0, Н > Т1/б1п2 Т промежуток (Т,Т + Н) содержит нуль

нечетного порядка функции С (0,5 + Ы).

А.А. Карацуба [5] в 1981г. доказал следующую теорему, которая улучшает теорему А2. Теорема А3. При Т > Т0 > 0, Н > Т5/321п2 Т промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль

нечетного порядка функции С (0,5 + И).

Определение. Если В > 1, 0 < И < В, /(и) є Сш (В,2В), А > 1,

АВг~г «|Г(г) (и) « АБ1-Г , г = 1,2,3,... где постоянная под знаком « зависит только от г, и имеет место оценка

£ е( / (и)) « Ак Вя, 0 < к < 0,5, 0,5 <Л< 1,

то пара (к,Д) называется экспоненциальной парой.

Тривиальная оценка показывает, что (0,1) является экспоненциальной парой. E.Phillips [6] показал, что если (к, Д) экспоненциальная пара, то

А(к ,Д) = С,к _ А + Д _ X (А - процесд)

2к + 2 2 2к + 2

В(к,Д) = (Д- 0,5, к + 0,5) (В - процесс)

также являются экспоненциальными парами.

В этой работе нам удалось задачу о величине промежутка (Т, Т + Н) критической прямой, в котором содержится нуль нечетного порядка дзета-функции, свести к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм. Теорема А4. Пусть (к, Д) - произвольная экспоненциальная пара,

Т > Т > 0, Н > Тв(кЛ)Ы Т, в(к,Д) =1 -^ 4 - •

Тогда промежуток (Т,Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции £(0,5 + И). Заметим, что теорема А3 является следствием теоремы А4, при

(к Д) = [ 1,111 = АВАА(0,1)

Доказательство. Изучение нулей дзета-функции Римана ^ (я) на критической прямой сводится к изучению вещественных нулей функции Харди Z(t) [5].

Функция Харди Z(t) задается равенством

7 (г) = еШ (0,5 + и), еШ(г) =я~2т[1 +1 ]Г[ 1 +|

Функция Харди Z(t) принимает вещественные значения при вещественных значениях t и вещественные нули Z(t) являются нулями С(я), лежащими на критической прямой. При г > 2п для функции в(г) справедлива формула[7, стр.86]

в(!) =г 1пЛ--2-^ + Д(г),

где

... і , ( 1 ^ 1 1 і р р(и)йи 1 ( ч

А(і) = — 1пI 1 + —- + —аг^----------I---------------, р(и) =----.

4 ^ 4Є) 4 2і 2 |( 1 V і2 2

01 и + - + —

I 4) 4

Считаем, что і принадлежит промежутку (Т, Т + Н). Не ограничивая общности, можно считать число Т таким, что

Т л

—і— = 2лк, к - целое число.

2 8

Воспользуемся формулой Римана-Зигеля (см. [7], стр.88)

2{г) = 2 V со$(в(г>-г 1пп) + 0(г 41пг) (1)

Ж

\2п

Упростим правую часть этого равенства. Прежде всего, верхнюю границу изменения

г - Г „

п, т.е. величину — , заменим величиной д/—. От такой замены правая часть может изме-

V 2л \2л

ниться на величину порядка не выше Т 4 . Нетрудно показать, что

= 0(НТ-), ад = >1п{[-Т-8

Поэтому

2 (і ) = 2у соаНО)-11п и) + о (Н Т3 ) + о (т "11п Т ), л/и

n<P

n T T Л

где P =—. Вспоминая, что —I— = 2т, окончательно приходим к формуле V 2л 2 8

i , P

cos t ln—

cos I t In I / і \

Z (t) = 2У---------------^ n ' + O\T~4 In T) .

n<P \j.

Определим числа г„ из уравнения ^ 1п Р = лу и будем рассматривать у такие, чтобы выполнялись неравенства

7W

T <----------< T + H . (2)

In P

Для этого возьмем

v0 =

T In P

+1, r = [In T ] H1 =

H In P

nr

ж

и определим числа у равенством

у = у0 +у1 +... + уг, 0 <у1,...,уг < Н1 -1,

в котором у0 - постоянное число, а числа у, у2,..., у могут принимать значение любых целых чисел из промежутка [0, Нх ]. Очевидно, что так определенные у удовлетворяют указан-

ным неравенствам (2). Далее, рассмотрим две суммы 5] и 52.

Н1 -1 Н1-1 Н1 -1 Н1 -1

«1 = £ - £ 2«у), ^ = £ ... ]Г(-1)у 2(г,)

у1=0 у =0 у1 =0 уг =0

Если будет доказано неравенство |£2| > |£х|, то тем самым будет доказано изменение знака у функции 2(1;) при некотором г = , т.е. будет доказано существование нечетного ну-

ля функции 2(1) на промежутке (Т,Т + Н)

В силу определения г , имеем

С 1 Л

о х-1 V" 1 (л(у0 +у1 +-------+уг X Р Л гл

«1 = £ ^ ££“/= 11 0 1 1—-1п~ 1°

у=0 у=0 И<Р 11 V. 1п Р 1 )

н:т 41п т

V

Н1 -1 Н1 -1

«з = £ - ££-,=

у=0 у=0 и<рЫИ

1 Г л(у0 +у1 + — + уг V Л

С0Б -------0----1----------— 1п и + О

1п Р

( _1_ Л

н;т 41п т

)

Оценим снизу 52 . Для этого выделим в сумме, которой задается £2, слагаемое с п = 1, оно будет равно числу Н^ . Оставшуюся часть суммы £2 оценим сверху величиной Я

1

* < £ -г

2<п<РУП

Н, -1

£ ехр I 2жг

. у1п п

21п Р ^

т.е. для |«2| получаем следующую оценку

<

1 ( 1п п 2£рл/Й V 21п Р

\ < Т 4(21п Т) ,

|^| > н; - т 4 (21п т) г

Оценим сверху |£х|. Интервал суммирования по п в сумме |£х| разобьем на два интервала вида

1 < п < (1 - Д)Р и (1 - А)Р < п < Р, где А = 8НХ 11п Р.

Соответственно этому разбиению, ^ представится суммою двух слагаемых:

^ = ^3 + ^.

Оценим |£3|. Пользуясь формулой Эйлера

1«3|« £ А-

п<(1-А)Р >/п

1п —

£ е —п

£ V 21п Р

у

+н:т 41п т ,

легко можно показать, что (см.[7], стр 161)

= о ( н;т ~41п т ).

Оценим |«4|. Применяя формулу Эйлера, находим

г

г

£ -1 е {—— • 1п п

(1-А) Р<п<Рл/п V2л

где і - некоторое число с условием

лу

Т < г =------------------< Т + Н.

1п Р

Применяя частное суммирование, будем иметь

1 С<И)2І7+С(Р)ТР

£ -1 е • 1п п

(1-А) Р<п< Р^ІП V 2л

Р(1-А)

< тах

С (и)

4Р ’

где

С(и) = £ е (^ 1, и < Р

(1-л)Г<п<« І 2л )

Заменим в этой сумме Р на Р, где Р =

чем о(1) . Поэтому имеем

. От такой замены С(и) изменится не более

С(и) = £ е|^1+0(1) = £ е{VО(1).

Р (1-А)<п<м V ^Л ) р-и<т<Р1А V Л )

Разобьем промежуток суммирования по т на «1пТ промежутков вида Р - и < М < т < Мх < 2М < Р А, тогда очевидно, что

С(и) « тах|С(и,М)|1пТ +1, С(и,М) = £ е| 71п(Р——Л

М <т<М

! V 2л

Из определения Р следует, что

/ = 2л(Р +Ш)2, 0 <в< 1.

Применяя формулу Тейлора и пользуясь (3), имеем

(3)

г 1п(Р - т) = г 1п Р - 2лРт -

2л ( 2 Р^ + в2) т

Р

-лт -

2л(2Р16 + 62 )т2 Г т3 т ^

3Р3 4Р4

V1 1 у

Разбивая суммирование в С(и,М) по четным и нечетным т , приходим к неравенству

|С(и,М)| < |К1| + |К2|,

где

^1 = £ ЄХР(2Л^(m)), ^2 = £ ехР(2Л?(т)):

0,5М <т<0,5М,

0.5(М-1)<т<0,5(М1 -1)

причем

/(т) = ах (2т) + а2 (2т)2 + гг •

ґ(2т)3 (2т)4 Л

3 Р3 4 Р 4

V 3Р1 1 )

g(т) = (2т +1) + а2 (2т +1)2 + гг •

(2т +1)3 (2т +1)4

ч 3 Р3 + 4 Р4 +'

^ = (2ШР + в2) Р -1, а2 = (2ШР + в2) Р -2, г =-•

2л

Суммы у и у оцениваются одинаковым образом. Оценим, например у Для этого преобразуем у, пользуясь теоремой о замене тригонометрической суммы более короткой. Положим в этой теореме

(р(х) = 1, Н = 1, и = М, а = 0,5М, Ь = 0,5М:.

Из уравнения /'(хп) = п находим хи:

- п I.

Хп = 1 (>/п" + 8Р(п - 2«1)

Обозначим п, п, Ф(п) соответствующие величины

п= /(0,5М), п2 = /(0,5М1), Ф(п)= /Х;|.

Легко видеть, что 1^М2Р 1 «:п < п ^М- - Применяя теорему о замене тригонометрической суммы более короткой, находим

«

£ ф1(п)е(/(1) - ПХп )

-ТРИ.

К сумме по п применимо частное суммирование и, пользуясь монотонностью Ф(п), найдем

1І «^РМ-

£ е (/ (Хп )-ПХп )

Последнюю сумму оценим, применяя метод экспоненциальных пар

Р(п) = /(х„)-тп, Р'(хп) = /'(хп)• х -х -тп =-хп.

п+8р(п - 2а 1 )- n), |х„| «^/^ «^Р • М

2 М2

= М, Л = М, 5 =

Р

;|^л/рМГ1 • = р 2 ~ям

1-Л -1+к+2Л

2

п, <п<п

п, < п<п

-Л -------+к+ 2Л . . — Л --------2+2Л

I I Л ГЛ + ^Л I I Л ГЛ + ^Л

-(u,M)| «P2 M 2 , |C(u)| 2 P2 M 2 1n 2

Тем самым получаем

£ -1 e {—— • 1n n

(1-А)F<n<F vП V 2л -

C (u) 1-Л-1 к+2 Л-1 . к+2 Л-1

« -7=) «P2 2M 21nТ < F-Л • (FА) 21n Т

4p

-Я+к+2Я-1 к+2Я-1 к+Я-1 —к-гя к+я_^ 1 2к 4Я

= р 2 А 21п Т < р 2Н2 1пТ < Т 2 4Н 2 1пТ

к+Я 1 1-2к- 4Я / 1 к+^_1 1-2к-4Я \

|^| ^ нг”4н 2 1п г; |^| ^ нг41п т+тн 2 1п т)

1

|^| > Н -Т4(21пТ)г

Следовательно, чтобы выполнялось неравенство |£2| > |^|, достаточно выполнения соотношения

1 / / _1 ^+Л 1 1-2к - 4Л \\

^ т4 ^ ^Hr \Т 41n Т + Т~г~*H 2 1n Т)),

H; >Т4(21nТ)г + О^Н/ЛТ 41nТ + Т 2 4H которое будет справедливо при

H > Тв(к,Л) 1n Т, в(к,Л) = ~ ^4-1-^кj •

Теорема доказана.

Институт математики Поступило 22.09.2006 г.

АН Республики Таджикистан

ЛИТЕРАТУРА

1. Риман Б. О числе простых чисел, не превышающих данной величини. Сочинения. М.:ОГИЗ, 1948, с.216-224.

2. Hardy G.H. - Compt.Rend.Acad.Sci, 1914, v.158, p.1012-1014.

3. Hardy G.H., Littlewood J.E. - Asta Math, 1918, v.41, р.119-196.

4. Мозер Я. - Acta Auith, 1974, v.26, р.33-39.

5. Карацуба А.А. - Труды МИАН, 1981, т.157, с.49-63.

6. Phillips E. - Quart. J. Math. (Oxfort), 1933, v.4, р.205--225.

7. Воронин С.М., Карацуба А.А., Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994, 376с.

З.Х.Рахмонов, Ш.А.Хайруллоев МАСОФАИ БАЙНИ НУЛ^ОИ ^АМСОЯИ ДЗЕТА-ФУНКСИЯИ РИМАН ДАР ХАТИ РОСТИ КРИТИКИ

Дар макола масьалаи бузургии порчаи (T, T + H) хати рости критикй, ки дар он нули тартибаш токи дзета-функсия мавчуд аст, ба масьалаи чустучуи чуфтх,ои экпоненсиалй барои бах,одихии суммах,ои махсуси тригонометрй оварда шудааст.

Z.Kh.Rakhmonov, Sh.A.Khairulloev DISTANCE BETWEEN THE NEXT ZEROS OF RIEMANN’S ZETA-FUNCTION IN THE CRITICAL LINE

In work the problem about size of an interval of a critical straight line in which, contains zero of the odd order of zeta-function is shown to a problem of search exponential pairs for an estimation of the special exponential sums.