О нулях производной j-го порядка функции Харди Текст научной статьи по специальности «Математика»

О НУЛЯХ ПРОИЗВОДНОМ j-ГО ПОРЯДКА ФУНКЦИИ ХАРДИ Ш. А. Хайруллоев (Институт математики им. А. Джураева АН Республики Таджикистан) E-mail: [email protected]

Получена новая оценка длины промежутка критической прямой, в котором содержится нуль нечетного порядка производных конечного порядка функции Харди; эта оценка улучшает известную оценку А. А. Ка-рацубы.

Функция Харди Z (t), которая задается равенством

zw=(2+«), e-»=п-»г(1+§)|Г(1+§;1-1

принимает вещественные значения при вещественных значениях t и вещественные нули Z(t) являются нулями Z(s), лежащими на критической прямой.

Первым результатом о нулях дзета - функции Римана Z(s) на критической прямой является теорема Г. Харди [1]. В 1914 г. он доказал, что Z(1/2 + it) имеет бесконечно много вещественных нулей. Затем Харди и Литтлвуд [2] в 1921 г. доказали, что промежуток (T, T + H) при H > T1/4+е содержит нуль нечетного порядка Z(1/2 + it). Ян Мозер [3] в 1976 г. доказал, что это утверждение имеет место при H > T1/6 ln2 T. В 1981 г. А. А. Карацуба [4] доказал теорему Харди-Литллвуда уже при H > T5/32 ln2 T.

В работе [5] найдена нижняя грань длины промежутка критической прямой, в котором содержится нуль нечетного порядка дзета-функции и выражена она через константу Ранкина. Полученный результат в рамках данного метода является окончательным.

А. А. Карацуба наряду с задачей о соседних нулях функции Харди, рассмотрел более общую задачу о соседних нулях функции Z(j»(t). Он показал, что с увеличением j длина промежутка, на котором заведомо лежит нуль Z(j »(t), уменьшается и доказал: пусть j -натуральное число, T > To(j) > 0, H > cT1/(6j+6» ln2/(j+1» T, c = c(j) > 0. Тогда промежуток (T, T + H) содержит нуль нечетного порядка функции Z(j»(t).

В работе [6] эту задачу сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм, то есть доказана:

Теорема 1. Пусть (k,l)- произвольная экспоненциальная пара, j- целое неотрицательное число, c = c0(j) > 0-постоянное число, T ^ ^ To(j) > 0,

j (kl) = n ,' ^ (k l) = Ui -^i.

0, 5 - к + 2^ 2 - ¿-1(к; 1)

Тогда при Н ^ сТ^'(к;1)(1п Т) я11 промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z(-7')(£).

Заметим, что теорема А. А. Карацубы является следствием теоремы 1, при

(М) = (1,21 = АВ(0,1), 4 (1,21 = 1+^, в (1,21 = 1

6'ЭУ у ' У' 3? + 1' ^6'3/ 6? +6'

В работе [7] найдено нижняя грань длины промежутка критической прямой, в которой содержится нуль нечетного порядка производной первого порядка функции Харди.

В докладе найдена новая теорема о нулях производной ?-го порядка функции Харди.

Теорема 2. Пусть Т ^ Т0 > 0, Н ^ сТ^ 1пТ,

35

220 + 212?"

Тогда промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z

Полученный результат

35 1 5 + ?

œj = ООП I Ol о • , С = СО > 0, j G N.

=

220 + 212j 6 + 6j 12(1+ j )(55 + 53j ) является уточнением теоремы А. А. Карацуба при любом j G N.

Библиографический список

1. Hardy G. H. Sur les zeros de la fonction Z(s) de Riemann // Compt.Rend. Acad.Sci. 1914. Vol. 158.

2. Hardy G. H., Littlewood J. E. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line // Math. Z. 1921. Bd. 10.

3. Мозер Я. Об одной сумме в теории дзета-функции Римана // Acta arith. 1976. Vol. 31.

4. Карацуба А. А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Труды МИАН. 1981. Т. 157.

5. Рахмонов З. Х, Хайруллоев Ш. А. Расстояние между соседними нулями дзета - функции Римана, лежащими на критической прямой // Докл. АН Респ. Таждикистан. 2006. Т. 49, № 5.

6. Рахмонов З. Х, Хайруллоев Ш. А. Соседние нули дзета-функции Римана, лежащие на критической прямой // Докл. АН Респ. Таждики-стан. 2009. Т. 52, № 5.

7. Хайруллоев Ш. А. Расстояние между соседними нулями функции Z(j»(t), j > 1 // Докл. АН Респ. Таждикистан 2006. Т. 49, № 9.

О drl-ПОЛУПОЛЯХ1 В. В. Чермных, О. В. Чермных (г. Киров) E-mail: [email protected]

Алгебра (S, +, •, V, Л, —, 0) называется drl-полукольцом, если выполняются условия: (1) (S, +, •, 0) — полукольцо; (2) (S, V, Л) — решетка (с порядком <); (3) сложение + дистрибутивно относительно V и Л; (4) для любых a, b Е S a — b — наименьший элемент z Е S такой, что b + z > a; (5) (a — b) V 0 + b < a V b для любых a, b Е S; (6) a(b — c) = ab — ac и (a — b)c = ac — bc для любых a, b, c Е S; (7) ab ^ 0 для любых a, b ^ 0 из S.

Коммутативное drl-полукольцо с делением назовем drl-полуполем. Известно [1], что каждое drl-полукольцо раскладывается в прямую сумму решеточно упорядоченного кольца и положительно упорядоченного drl-полукольца с наименьшим элементом. По этой причине понятно, что для drl-полуполя указанное разложение будет тривиальным — одно из прямых слагаемых будет нулевым идеалом. Авторами высказывается следующая

Гипотеза. Любое положительно упорядоченное drl-полуполе линейно упорядочено.

Основным приближением к ее решению является

Предложение. Пусть S — drl-полуполе, тогда S линейно упорядочено в каждом из случаев:

1 Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ (проект № 1.1375.2014/К).