CC BY
14
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №5-6_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Ш.А.Хайруллоев
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СОСЕДНИМИ НУЛЯМИ ПРОИЗВОДНОЙ 7-го ПОРЯДКА ФУНКЦИИ ХАРДИ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 20.09.2016 г.)
Получена новая оценка длины промежутка критической прямой, в котором содержится нуль нечётного порядка производных конечного порядка функции Харди; эта оценка улучшает известную оценку А.А.Карацубы.
Ключевые слова: функция Харди, экспоненциальная пара, дзета-функция Римана, критическая прямая.
Функция Харди Z (¿), которая задается равенством
Z(t)= e>f|i + it I, e"> = 1 + f
Г1 1 + i
4 2
принимает вещественные значения при вещественных значениях ^ и вещественные нули Z(¿) являются нулями , лежащими на критической прямой.
Первым результатом о нулях дзета-функции Римана на критической прямой является
теорема Г.Харди [1]. В 1914 г. он доказал, что ^(1/2 + И) имеет бесконечно много вещественных нулей. Затем Харди и Литтлвуд [2] в 1921 г. доказали, что промежуток (Т, Т + Н) при Н > Т14+г содержит нуль нечётного порядка ^(1 / 2 + К) . Ян Мозер [3] в 1976 г. показал, что это утверждение имеет место при Н > Т 1б1п2Т . В 1981 г. А.А.Карацуба [4] доказал теорему Харди-Литллвуда уже при Н > Т5/321п2 Т.
В работе [5] найдена нижняя грань длины промежутка критической прямой, в котором содержится нуль нечётного порядка дзета-функции и она выражена через константу Ранкина. Полученный результат в рамках данного метода является окончательным.
А.А.Карацуба, наряду с задачей о соседних нулях функции Харди, рассмотрел более общую задачу о соседних нулях функции Z(') . Он показал, что с увеличением длина промежутка, на котором заведомо лежит нуль Z('), уменьшается и доказал следующее: если у - натуральное число, Т > Т0 С/)>0, Н > сТ 1/(^-'+б)1п2/(^-+1)Т, с = с(/)>0, тогда промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечётного порядка функции Z(') [4].
Адрес для корреспонденции: Хайруллоев Шамсулло Амруллоевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
Доклады Академии наук Республики Таджикистан 2016, том 59, №5-6
В работе [6] эта задача сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм, то есть доказана
Теорема 1. Пусть (к, I) - произвольная экспоненциальная пара, ] - целое неотрицательное
число, с = с0 (1) > 0 - постоянное число, Т > Т0 (1) > 0,
; l )= 1 + j , j;/) — 0,5 - k + j j 2
2-j(k ; l )
в (к;/)„ ^
Тогда при Н > сТ 1 (1п Т)1 промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечётного порядка функции Z(1 ^^).
Заметим, что теорема А.А.Карацубы является следствием теоремы 1, при
(М)=Г 1,2]=лвфл), е( 1,2]=1 в 1,21 =_и
^ 6 3 ] 1 ^ 6 3) 31 +1 1 ^ 6 3 ] 67 + 6
В работе [7] найдена нижняя грань длины промежутка критической прямой, в которой содержится нуль нечётного порядка производной первого порядка функции Харди.
Нам удалось методом оценки специальных тригонометрических сумм Вандера Корпута, методом оптимизации экспоненциальных пар [8] в сочетании с методами работ [6,9,10] доказать новую теорему о нулях производной 1 -го порядка функции Харди. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть Т > Т0 >0, Н > сТ 11пТ,
35
220 + 212 j
œ = ^^—-, с = С >0, je N.
Тогда промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечётного порядка функции Z(1 ). Полученный результат
35 _ 1 5 +1
œ j ='
220 + 212j 6 + 6 j 12(1 + j)(55 + 53j) является уточнением теоремы А.А.Карацубы при любом j e N.
Поступило 20.09.2016 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hardy G.H. Sur les zeros de la fonction C(s) de Riemann. - Compt.Rend. Acad.Sci., 1914, v.158, pp. 1012-1014.
2. Hardy G.H., Littlewood J.E. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line. - Math.Z., 1921, bd. 10, s. 283-317.
Математика
Ш.А.Хайруллоев
3. Мозер Я. Об одной сумме в теории дзета-функции Римана. - Acta arith., 1976, 31, s. 31-43.
4. Карацуба А.А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой. - Труды МИАН, 1981. т. 157, с. 49-63.
5. Рахмонов З.Х., Хайруллоев Ш.А. Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой. - ДАН РТ, 2006, т. 49, №5, с. 393-400.
6. Рахмонов З.Х., Хайруллоев Ш.А. Соседние нули дзета-функции Римана, лежащие на критической прямой. - ДАН РТ, 2009, т. 52, №5, с. 331-337.
7. Хайруллоев Ш.А. Расстояние между соседними нулями функции Zj)(t), j > 1. - ДАН РТ, 2006, т. 49, №9, с. 803-809.
8. Graham S.W., Kolesnik G. Vander Corput's Method of Exponential sums. - Cambridge university press., 1991, Cambridge, New Vork, Port Chester, Melbourne, Sydney.
9. Рахмонов З.Х. Оценка плотности нулей дзета-функции Римана. - Успехи математических наук, 1994, т. 49, №2, с. 161-162.
10. Рахмонов З.Х. Нули дзета-функции Римана в коротких промежутках критической прямой. -Чебыш. сборник, 2006, т. 7, вып. 1, с. 263-279.
Ш.А.Хайруллоев
МАСОФАИ БАЙНИ НУЛ^ОИ ^АМСОЯИ ^ОСИЛА^ОИ ТАРТИБИ
j-уми ФУНКСИЯИ ХАРДИ
Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цумх^урии Тоцикистон
Бадои нав оиди дарозии порчадои хати рости критикй, ки дорои нули тартиби токи досиладои тартиби охирноки функсияи Харди мебошанд, гирифта шудааст; ин бадо бадои маълуми А.А.Каратсубаро бедтар менамояд.
Калима^ои калиди: функсияи Харди, цуфт^ои экспоненсиали, дзета-функсияи Риман, хати рости критики.
Sh.A.Khayrulloev
THE DISTANCE BETWEEN CONSECUTIVE ZEROS OF THE DERIVATIVE
OF j-th ORDER FUNCTION HARDY
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences the Republic of Tajikistan
We obtain a new estimation of the critical line length period, which contains a zero of odd order derivatives of functions of finite order Hardy; this result improves the well-known estimation of A.A.Karatsuba.
Key words: Hardy function, exponential pair, the Riemann zeta function, critical line.
