CC BY
4
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 21. Выпуск 3.
УДК 512.623 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-3-59-67
Расширения Инабы полных полей характеристики О1
С. В. Востоков, И. Б. Жуков, О. Ю. Иванова
Сергей Владимирович Востоков — доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург). e-mail: s.vostokov@spbu.ru
Игорь Борисович Жуков — доктор физико-математических наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург). e-mail: i.zhukov@spbu.ru
Ольга Юрьевна Иванова — кандидат физико-математических наук, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (г. Санкт-Петербург). e-mail: olgaiv80@mail.ru
Аннотация
В статье изучаются р-расширения полных дискретно нормированных полей смешанной характеристики, где р — характеристика поля вычетов рассматриваемого поля. Известно, что любое вполне разветвленное расширение Галуа степени р с немаксимальным скачком ветвления может быть задано уравнением Артина-Шрайера; при этом ограничение сверху на скачок ветвления соответствует ограничению снизу на нормирование правой части уравнения. Задача построения расширений с заданной группой Галуа произвольного конечного порядка не решена.
В работах Инабы рассматривались ^расширения полей характеристики р, заданные матричным уравнением X= АХ, которое мы здесь называем уравнением Инабы. В этом уравнении X(р) обозначает матрицу, полученную возведением каждого элемента квадратной матрицы X в степень р, а — некоторая унипотентная матрица А над данным полем. Такое уравнение задает последовательность расширений полей, каждое из которых задано уравнением Артина-Шрайера. Было доказано, что любое уравнение Инабы задает расширение Галуа, и обратно, любое конечное р-расширение Галуа задается уравнением такого вида.
В настоящей работе для полей смешанной характеристики доказано, что расширение, задаваемое уравнением Инабы, является расширением Галуа, если нормирования элементов матрицы удовлетворяют некоторым оценкам снизу, т.е. если скачки промежуточных расширений степени р достаточно малы.
Данная конструкция может применяться при решении задачи погружения расширений полей. Уравнение Инабы задает последовательность расширений полей, полученную последовательным присоединением элементов диагоналей матрицы. Это означает, что, если расширение L/K задано уравнением Инабы, и матрица А выбрана так, что на диагоналях с большими номерами записаны нули, то можно получать расширения, содержащие L/K, заменяя нули другими элементами. В работе доказано, что любое нециклическое расширение степени р2 с достаточно маленькими скачками можно погрузить в расширение с группой Галуа, изоморфнной группе унипотентных матриц 3 х 3 над полем из р элементов.
В конце статьи сформулирован ряд открытых вопросов, при исследовании которых, возможно, окажется полезной данная конструкция.
Ключевые слова: дискретно нормированное поле, скачок ветвления, уравнение Артина-Шрайера.
Библиография: 15 названий.
1 Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект 16-11-10200).
Для цитирования:
С. В. Востоков, И. Б. Жуков, О. Ю. Иванова Расширения Инабы полных полей характеристики 0 // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 3, с. 59-67.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 3.
UDC 512.623 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-3-59-67
Inaba extension of complete field of characteristic 0
S. V. Vostokov, I. B. Zhukov, O. Yu. Ivan ova
Sergei Vladimirovich Vostokov — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Saint Petersburg State University (Saint-Petersburg). e-mail: s.vostokov@spbu.ru
Igor Borisovich Zhukov — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Saint Petersburg State University (Saint-Petersburg). e-mail: i.zhukov@spbu.ru
Olga Yur'evna Ivanova — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation (Saint-Petersburg). e-mail: olgaiv80@mail.ru
Abstract
This article is devoted to p-extensions of complete discrete valuation fields of mixed characteristic where p is the characteristic of the residue field. It is known that any totally ramified Galois extension with a non-maximal ramification jump can be determined by an Artin-Schreier equation, and the upper bound for the ramification jump corresponds to the lower bound of the valuation in the right-hand side of the equation. The problem of construction of extensions with arbitrary Galois groups is not solved.
Inaba considered p-extensions of fields of characteristic p corresponding to a matrix equation X ^ = AX herein referred to as Inaba equation. Here Xis the result of raising each element of a square matrix X to power p, and A is a unipotent matrix over a given field. Such an equation determines a sequence of Artin-Schreier extensions. It was proved that any Inaba equation determines a Galois extension, and vice versa any finite Galois p-extension can be determined by an equation of this sort.
In this article for mixed characteristic fields we prove that an extension given by an Inaba extension is a Galois extension provided that the valuations of the elements of the matrix A satisfy certain lower bounds, i. e., the ramification jumps of intermediate extensions of degree p are sufficiently small.
This construction can be used in studying the field embedding problem in Galois theory. It is proved that any non-cyclic Galois extension of degree p2 with sufficiently small ramification jumps can be embedded into an extension with the Galois group isomorphic to the group of unipotent 3 x 3 matrices over Fp.
The final part of the article contains a number of open questions that can be possibly-approached by means of this construction.
Keywords: discrete valuation field, ramification jump, Artin-Schreier equation
Bibliography: 15 titles.
For citation:
S. V. Vostokov, I. B. Zhukov, O. Yu. Ivanova, 2020, "Inaba extensions of complete fields of characteristic 0" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 59-67.
1. Введение
В статье Инабы [4] было показано, что матричное уравнение вида X (р) = АХ, где X (р) обозначает матрицу, полученную из X возведением каждого элемента в степень р, а А — унипотентная квадратная матрица над полем К характеристики р > 0, задаёт р-расширение Галуа поля и что произвольное конечное р-расширение Галуа может быть задано уравнением такого вида.
В настоящей работе мы проверяем, что уравнение X(р) = АХ также задаёт р-расширение Галуа, если К — полное дискретно нормированного поля характеристики 0 с произвольным полем вычетов характеристики р > 0, а нормирования эле ментов А удовлетворяют определённым оценкам снизу. Показано, как этот результат можно применить к решению задач погружения для расширений с малыми скачками ветвления.
В заключительном параграфе сформулирован ряд открытых вопросов, решать которые можно с использованием данной конструкции.
2. Обозначения и предварительные сведения
В данной статье через К обозначено полное дискретно нормированное поля характеристики 0 с произвольным полем вычетов характеристики р > 0, через П алгебраическое замыкание К, через v — нормирование на П (продолжение дискретного нормирования на X), нормализованное условием v(p) = 1, через ек — абсолютный индекс ветвления поля К, т. е. ек = (v(K*) : Z). Для строки D = (D\,..., Di) из элементов П считаем v(D) = min (v(Di),...,v(Di)).
Положим m = [х £ П|^(ж) > 0}.
Под унипотентной матрицей мы будем (как и в [4]) понимать верхнетреугольную квадратную матрицу, у которой все элементы на главной диагонали равны 1. Если А = = (üij) £ Мп(К) — такая матрица, то мы будем полагать A[k,l] = ai^+i и A[k] = = (A[k, 1],... ,A[k,n — к]) для всех 1 ^ к ^ п — 11 ^ I ^ п — к] при этом А[к] будем называть к-ъ диагональю матрицы А. Через будем обозначать матрицу (a%j) £ Мп(К).
Через f/n будет обозначаться множество унипотентных матриц из Mn(Zp), все элементы которых — элементы Тайхмюллера, т. е. принадлежат = ßp-\ U [0} через Un — группа унипотентных матриц из Мп(¥р).
Лемма 1. 1. Пусть а £ К, v(a) > — х £ П, хр — х = а. Тогда К(х)/К — расширение Галуа. Если v(a) < 0 и р \ exv(a), то К(х)/К вполне разветвлено и скачок ветвления s(K (х)/К) = —eKv(a).
2. Если а' £ К, v(a' — а) > 0, то у многочлена Хр — X — а' есть корень в К(х).
Доказательство. Первое утверждение было доказано в [6] (см. изложение в [2, гл. III]); более простое доказательство с использованием формальных групп Любина-Тэйта получено в [10] (см. также [12]). Второе утверждение легко вытекает из первого с использованием леммы Гензеля. □
3. Основной результат
Пусть п — натуральное число; а — рациональное число, меньшее 1/(п — 1). Пусть А £ Мп(К) — унипотентная матрица такая, что п(А[1,]\) ^ — га при всех Обозначим через X любую унипотентную матрицу из Мп(О) такую, что
X(р) = АХ. (1)
Это матричное уравнение эквивалентно набору уравнений
X[г,з]р - X= А[1,з]Х[г - 1,з + 1] + ■ ■ ■ + А[г - 1,з]Х[1,г + з - 1] + А[г,з], (2)
откуда индукцией по г мы получаем существование всех X[1,]} € О. Положим Кг = К (X [1],.. .,Х [/]), I = 0,...,п.
Теорема 1. Пусть X — какое-либо решение матричного уравнения (1).
1. Имеем у(Х[г]) ^ -у при всех г.
2. Для любого а € Са1(К) найдётся единственная матрица € ип такая, что
Ха = ХЛСТ + АСТ, Аст € Мп(ш).
3. При этом у(Аа[г]) > 1 - га при всех г. Кг/К — расширение Галуа при всех г.
Доказательство. Основная идея состоит в том, что мы будем строить матрицу Ла последовательно от 1-й до (п - 1)-й диагонали, проверяя при этом выполнение всех условий применительно к X[г], Ла[г] и Аа[г] для г от 1 до п - 1. Будем обозначать через матрицу из йп такую, что
лми = {л; [Л 14
о!.
0, j > г.
Эта матрица определена, как только построены элементы Ла на диагоналях с 1 -й по г-ю. Нетрудно видеть, что утверждение 2 теоремы сводится к выполнению следующего условия при всех г.
2'. Для любого а £ Gal(^) найдётся единственная строка Ла[г] из элеменtob такая, что
X[г] = X ЛИ [г] + АСТ [г],
где v(Aa [г, j ]) > 0 при всех j = 1,... ,п — г.
Мы докажем индукцией по г, что выполняются утверждения 1, 2', 3 и 4. Из (2) имеем
v(X [i,j ] ^ Р min(v(A[1,j]X [i — 1,з + 1]),..., Р
v(A[i — 1,j]X[1, г + j — 1]),v(A[i,j]))
/ i — 1 о i — 1 ^ 1 • л (3)
^ — maxia +--a, 2a +--a,..., (г — 1)a + - а, га)
p p p p
г
= — а. p
Далее, зафиксируем а £ Gal(K) и положим
Y = X— X ■ л£-1].
Поскольку (Xа )(р) = АХа, имеем
(Y(р) — У)[г] = ((Ха )(р) — Хст )[г] — ((X Л£-1])(р) — X Л^-11)[г] + (Y(р) — (Xа )(р) + (X Л^-1])(р) = D1 + D2 + D3,
где
А = ((А - Еп)Х°)[г] - ((X(р) - X)Л|Т 1])[г|, D2 = (X1] - (XЛ*- 1])(р))[г], D3 = (Y(р) - (Хст)(р) + (ХЛ^" 1])(р))[г];
здесь Еп — единичная матрица.
Оценим снизу нормирования всех элементов строк Di, и D3~, в частности, покажем, что эти нормирования положительны.
Поскольку (СЛ£ 1])[г] = (СЛа)[г] для любой строго верхнетреугольной матрицы С, в частности, для С = А - Еп и для С = X(р) - X, получаем
D1 = ((А - Еп)(ХЛ%~1 + ))[г] - ((X(р) - X)Л]Т %] = ((А - Еп)Да)[г].
(Отметим, что Да[1],..., Да[г - 1] уже определены.) Отсюда
v(D1) ^ min(u(A[1]) + у(Да[г - 1]),..., v(A[i - 1]) + у(Да[1])) > min(-а + 1 - (г - 1)а,..., -га + 1 - а) = 1 - га ^ 0.
Для оценки v(D2) и v(D3) воспользуемся тем, что
v((a + b)p - ар - ЬР) ^ 1+ рmin(v(a),v(b)).
Это даёт
min(v(D2),v(D3)) ^ 1+ р min(f(X [1]),...,v(X [г])) ^ 1 - га.
Таким образом, v((Y(р) - Y)[г]) ^ 1 - га ^ 0. Отсюда получаем, что v(Y[г]) ^ 0, и v(Y[i,j]р - Y[i,j]) > 0 (j = 1,...,n - г) что означает Y[i,j] = Xj mod m для некоторого
Xj е П.
Пусть 6j = Y[i,j] - Aj и 5 = (¿1,..., Sn-i). Тогда имеем
(X3 + Sj)p - (Xj + Sj) = (Y(p) - Y)[i,j],
откуда v(5) ^ 1 - га.
Теперь положим Ла[г] = (Л1,..., Xn-i). Получаем
(X- XК)[г] = (X- XЛИ)М
= (Х- - XЛЦ~ 1])[г] + (X(Л]*"1 - лИ))[г] = Y [г] - Ла [г] = S.
Это доказывает выполнение условий 2' и 3 для данного г. Осталось проверить условие 4. Для этого заметим, что К% = К%- 1(Х[г]) при этом элементы X[г] служат корнями уравнений Артина-Шрайера (2) над Ki_ 1, и нормирование правой части каждого уравнения не может быть меньше - £ > -1 (ср. (3)). Такие уравнения Артина-Шрайера задают расширения Галуа (см. лемму 1), и тем самым Ki нормально над Ki_ 1. Чтобы доказать, что Ki нормально над К достаточно проверить, что при каждом j и каждом а е Gal(X) выполнено X[i,j]a е Кг.
Из (1) и условия 2' имеем
((X)(р) - X°)М = ((А - Еп)Х°)[г] = ((А - Еп)ХЛа + (А - Еп Д)[г].
При этом из (1) также имеем
((ХЛа )(р) — X Ла )И = ((А — Еп)ХЛа )[г],
то есть при каждом ] уравнение Артина-Шрайера с правой частью, равной ((А—Еп)ХЛа)[г, ]], имеет корень в К^. С другой стороны, из ь(А^]) ^ — ]а и ь(Аа)[]] > 1 — ]а {] = 1,... ,г — 1) следует
у(((А — Еп)Аа)И) > 1 — ш> 0.
Тогда по лемме 1 уравнение с правой частью ((А — Еп)ХЛа + (А — Еп)Аа] также имеет корень (а тем самым и р различных корней) в К^, откуда X[1,]}а £ К□
Данная конструкция позволяет доказывать разрешимость определённых задач погружения для р-расширений полных дискретно нормированных полей, имеющих достаточно малые скачки ветвления. Погружение циклических р-расширений в циклические изучалось в [7]; явное построение циклических расширений степени р2 с малыми скачками ветвления было получено в [12] (см. также [9], [8]) и в [14]). Рассмотрим простейший случай погружения абелева расширения в неабелево, а именно в расширение степени р3 с групп ой Щ.
Следствие 1. Пусть Е/К вполне разветвлённое расширение с группой Галуа, изоморфной (Ъ/рЪ)2, и его скачки ветвления в верхней нумерации не превосходят е/2, где е = ек > 3. Тогда, Е/К можно погрузить в расширение с группой Галуа, изоморфной и3.
Доказательство. Расширение Е/К представляет собой композит двух циклических расширений, скачки ветвления которых меньше е/2. Ввиду леммы 1 имеем Е = К(х\,х2), где — Хг = £ К, у(аг) > —1/2 {г = 1, 2). Выберем Ь £ К такое, что у(Ь) > —1, положим
(1 а1 Ь 0 1 а2 0 0 1
и построим расширения К\/К и К2/К как в теореме. Тогда К\ = Е, К2 = Е(уь), где
Уь — Уь = а1х2 + Ь.
Заметим, что сопоставление а ^ Ла £ Из с последующей редукцией шоё т задаёт вложение 0&\(К2/К) в 11з- Это вложение не будет изоморфизмом только если 10&\(К2/К)1 < р3, т. е. если уь £ Е. Таким образом, если утверждение следствия не выполняется, то должно быть выполнено уь £ Е при всех Ь.
В духе [12], обозначим через т^ (соответственно т^) идеал нормирования поля Е' = Е(^р) (соответственно К' = К((р)) со сложением +о, определяемым формальной группой Любина-Тэйта (см. [1, 15]) С0с [р](Х) = рХ + Хр, через ад — элемент К' с адр-1 = — р. Тогда из адуь £ Е' следует адр(а1х2 + Ь) £ [р]ть• Поскольку шт(у(ь]р(а1х2 + Ь)),у(адрЬ)) > у(адр) — 1 = -^—1, а
Со(Х, У) = X + У + члены степе ни ^ р,
то отсюда следует и ь]ра1Х2 +о £ [р]т^. Это выполняется, в частности, для Ь = 0, и вычитанием (в формальном модуле т^) получаем адрЬ £ [р]т^ для всех Ь. По теории Куммера имеем адрЬ £ п, где подмодуль п С т^ порожд ён и>ра,1, адра2 и [р]т^. Одна ко и>рЬ £ п не может выполняться, если выбрать Ь с ь(Ь) < ш\~а(у(а1),п(а2)) и р \ еь(Ь). Последнее легко сделать, так как в [|, е) найдётся целое число, не кратное р. □
4. Заключение
Возможность задавать различные р-расширения Галуа поля К при помощи уравнения Инабы (1) делает актуальными новые вопросы; возможно, читатели этого текста присоединятся к поиску ответа на них.
1. Мы знаем, что любое расширение Галуа L/K степени р при условии s(L/K) <
может быть задано уравнением Артина-Шрайера (см. [2, Ch. III]). Можно ли утверждать, что р
р
группы G найдётся е = £g > 0 такое, что для любого К любое L/K с Ga\(L/K)= G и глубиной ветвления < е (или максимальным скачком < еек) задаётся уравнением Инабы?
2. Можно ли ослабить условия а < 1/(п — 1) и (или) v(A[i,j]) ^ —га? Можно ли модифицировать уравнение Инабы при пограничных значениях а так, чтобы оно задавало более широкий класс расширений Галуа (например, позволяло бы строить расширения Галуа Кп/К,
у которых максимальные скачки ветвления «цоколя» К\/К близки к ек/(п — 1))?
р
ления при помощи уравнения Инабы? В частности, какие матрицы А могут быть сопоставлены векторам Витта из [12] (или модифицированным векторам Витта из [14]), задающим циклические расширения степени р2?
4. Можем ли мы задать более широкий класс расширений Галуа поля К (не только р-
расширения), используя уравнения (1) с не обязательно унипотентной матрицей А (как это
р
5. В работе [12] было показано, что любое вполне разветвлённое циклическое расширение L/K со скачком ветвления, меньшим ек/(р — 1), может быть вложено в циклическое расширение степени р2. Может ли этот результат быть обобщён на произвольные конечные р-группы? А именно, рассмотрим задачу погружения (G, H, L/K), где G — конечная р-группа, H — нормальная подгруппа, Ga\(L/K)=G/H. Верно ли, что для некоторого в > 0 (зависящего от G и эта задача разрешима для любых К и L/K с глубиной ветвления d(L/K) < в! Каково максимальное в при заданных G и Н?
6. Для циклического расширения L/K степени р2 с промежуточным полем M глубины ветвления d\ = d(M/K) и d2 = d(L/M) связаны неравенством Хиодо
d2 ^ шт((р — 1 + р~l)d\, 1 — р~1 + р~ld\),
см. [3, Lemma (4-1)] или (без использования теории полей классов) [13, §1]. Можно ли обобщить этот результат на другие задачи погружения (G, H, L/K) с Н=Ъ/рЪ?
7. Положительный ответ на предыдущий вопрос позволил бы предположить, что на «противоположном полюсе», при скачках ветвления близких к максимально возможным, задача погружения достаточного общего вида не имеет решения. Иначе говоря, можно ли утверждать, что для (некоторых) заданных G и H найдётся В такое, что никакая задача погружения вида (G, H, L/K) при d(L/K) > В не имеет решения (хотя расширения с Gal(L/K)=G/H и d(L/K) > В существуют). Например, можно ли утверждать, что все «почти максимально разветвлённые» расширения (см. [11]) абелевы?
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cassels, J.W. S. Fröhlich, A. Algebraic Number Theory / J.W. S. Cassels, A. Fröhlich // Academiv Press, London and New-York, 1967.
2. Fesenko I. В., Vostokov, S.V. Local fields and their extensions. A constructive approach / I. B. Fesenko and S. V. Vostokov // Second edition, Л MS. Providence, RI, 2002.
3. Hvodo, O. Wild ramification in the imperfect residue field case / O. Hvodo // Adv. Stud. Pure Math. 1987 Vol. 12, P. 287-314.
4. Inaba, E. On matrix equations for Galois extensions of fields with characteristic p / E. Inaba // Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 1961 Vol. 12, P. 26-36.
5. Inaba, E. On generalized Artin-Schreier equations / E. Inaba // Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 1962 Vol. 13, № 2, P. 1-13.
6. MacKenzie, R. E., Whaples, G. Artin-Schreier equations in characteristic zero / R. E. MacKenzie, G. Whaples // Amer. J. Math. 1956 Vol. 78, P. 473-485.
7. Miki, H. On Zp-extensions of complete p-adic power series fields and function fields // H. Miki // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect 1A 1974 Vol. 21, P. 377-393.
8. Xiao, L., Zhukov, I. Ramification in the imperfect residue field case, approaches and questions / L. Xiao, I. Zhukov // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, № 5. С. 695-740.
9. Zhukov, I. Explicit abelian extensions of complete discrete valuation fields / I. Zhukov, //in book: Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Invitation to Higher Local Fields. Geometry and Topology Monographs, 2000 Vol. 3, P. 117-122.
10. Востоков, С. В., Жуков, И. Б., Фесенко И. Б. К теории многомерных локальных полей. Методы и конструкции / С. В. Востоков, И. Б. Жуков, И. Б. Фесенко // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2, № 4. С. 91-118.
11. Востоков, С. В., Жуков, И. Б., Пак, Г. К. Расширения с почти максимальной глубиной ветвления / С. В. Востоков, И. Б. Жуков, Г. К. Пак // Записки научных семинаров С.-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМП) 1999 Т. 265, С. 77-109.
12. Востоков, С. В., Жуков И. Б. Некоторые подходы к построению абелевых расширений для р-адических полей / С. В. Востоков, И. Б. Жуков // Труды С.-Петерб. мат. общ. 1995 Т. 3, С. 194-214.
13. Жуков, И. Б. Структурная теорема для полных полей / И. Б. Жуков // Тр. С.-Петербург, мат. общ-ва. 1995.'Т. 3. С. 194-214.
14. Жуков, И. Б., Лысенко, Е.Ф. Построение циклического расширения степени р2 полного поля / И. Б. Жуков, Е.Ф. Лысенко // Зап. научн. сем. ПОМП 2017 Т. 455, С. 52-66.
15. Мадунц, А. И. Формальные группы Любина-Тейта над кольцом целых многомерного локального поля / А. И. Мадунц // Зап. научн. сем. ПОМП 2001 Т. 281, С. 221-226;
REFERENCES
1. Cassels, J.WT.S. Frohlich, A., 1967, "Algebraic Number Theortf"', Academic Press, London and New-York.
2. Fesenko, I. В., Vostokov, S.V., Zhukov I. В., 1990, "On the theory of multidimensional local fields. Methods and constructions", Algebra i Analiz vol. 2, № 4. pp. 91-118.
3. Fesenko I. В., Vostokov, S. V., 2002, "Local fields and their extensions. A constructive approach", Second edition, .WIS. Providence, RI.
4. Hvodo, O., 1987, Wild ramification in the imperfect residue field case", Adv. Stud. Pure Math., vol. 12, pp. 287-314.
5. Inaba, E., 1961, "On matrix equations for Galois extensions of fields with characteristic p", Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ., vol. 12, pp. 26-36.
6. Inaba, E., 1962, "On generalized Artin-Schreier equations", Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ., vol. 13, № 2, pp. 1-13.
7. Zhukov, I. В., Lvsenko, E.F., 2018, "Construction of cyclic extensions of degree p2 for a complete field", J. Math. Sci, vol. 234(2), pp. 148-157
8. MacKenzie, R. E., WThaples, G., 1956, "Artin-Schreier equations in characteristic zero", Amer. J. Math., vol. 78, pp. 473-485.
9. Madunts, A. I., 2004, "Lubin-Tate Formal Groups over the Ring of Integers of a Multidimensional Local Field", J. Math. Sci., vol. 120(4) pp. 1609-1612
10. Miki, H., 1974, "On Zp-extensions of complete p-adic power series fields and function fields", J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect 1A, vol. 21, pp. 377-393.
11. Vostokov, S.V., Zhukov, I. В., Pak, G.K., 1999, "Extensions with almost maximal depth of ramification", J. Math. Sci., vol. 112(3), pp. 4285-4302
12. Vostokov, S. V., Zhukov, I. В., 1995, "Some approaches to the construction of abelian extensions for p-adic fields", Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, Vol. Ill, 157-174, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 166, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995.
13. Xiao, L., Zhukov, I., 2014, "Ramification in the imperfect residue field case, approaches and questions", Algebra i Analiz, vol. 26, № 5. pp. 695-740.
14. Zhukov, I.B., 1995, "Structure theorems for complete fields", Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, Vol. Ill, 175-192, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 166, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995.
15. Zhukov, I., 2000, "Explicit abelian extensions of complete discrete valuation fields", in book: Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Invitation to Higher Local Fields. Geometry and Topology Monographs, vol. 3, pp. 117-122.
Получено 25.06.2020 г.
Принято в печать 22.10.2020 г.
