CC BY
11
УДК 511.238.6 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 2 МБС 1№85
Аналог неравенства Хиодо для глубины ветвления в расширениях степени р2*
С. В. Востоков1, Н. В. Хаустов2, И. Б. Жуков1, О. Ю. Иванова3, С. С. Афанасьева1
1 Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
2 ООО «Люксофт Профешнл»,
Российская Федерация, 195027, Санкт-Петербург, Свердловская наб., 44
3 Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Российская Федерация, 190000, Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, 67, лит. А
Для цитирования: Востоков С. В., Хаустов Н. В., Жуков И. Б., Иванова О. Ю., Афанасьева С. С. Аналог неравенства Хиодо для глубины ветвления в расширениях степени р2 // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 2. С. 189-200. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.202
Изучается ветвление в полных дискретно нормированных полях. Для случая совершенного поля вычетов имеется хорошо разработанная теория групп ветвления. Хиодо ввел понятие глубины ветвления, связанное с дифферентой расширения, и получил неравенство, которое объединяет понятие глубины ветвления в циклическом расширении степени р2 с понятием глубины ветвления в подрасширении степени р. В данной работе авторы детально рассматривают структуру расширений степени р2, которые могут быть получены композитом двух расширений степени р. При этом не требуется, чтобы поле вычетов было совершенным. Используя понятия дикого и свирепого расширений, а также дефекта главной единицы, авторы классифицируют расширения степени р2 и получают более точные оценки для глубины ветвления. В ряде случаев приводятся точные формулы для глубины ветвления.
Ключевые слова: неравенство Хиодо, глубина ветвления.
1. Введение. В данной работе изучается ветвление в полных дискретно нормированных полях без предположения о том, что поле вычетов является совершенным. В случае, когда поле вычетов совершенно, имеется хорошо разработанная теория групп ветвления [1]. К сожалению, многие результаты не могут быть получены в общем случае. Хиодо в своей статье [2] ввел понятие глубины ветвления, которое очень просто связано с дифферентой расширения. Им было получено неравенство, устанавливающее связь между глубиной ветвления в циклическом расширении степени р2 и глубиной ветвления в подрасширении степени р. Целью данной работы является нахождение глубины ветвления в расширениях степени р2, которые могут быть получены композитом двух расширений степени р. Обзор результатов по теории ветвления можно найти в статье [3].
* Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (грант №1716-11-10200). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018
2. Обозначения. В данной работе используются следующие обозначения:
• k — полное дискретно нормированное поле характеристики 0 с полем вычетов к характеристики p;
• vk : k —> Z U {то} —нормирование поля k;
• п — простой элемент поля k;
• Ok = {x G k,vk(x) ^ 0} —кольцо нормирования поля k;
• Uk = {x G k, vk(x) = 0} —группа единиц кольца Ok;
• Ui,k = Ui = {x G k, vk(x — 1) ^ i} — i-я группа главных единиц кольца Ok;
• e = vk (p) — абсолютный индекс ветвления поля k;
• в = p/ne G Uk;
• e' = e/(p — 1).
3. Основные понятия и определения. Введем следующие определения. Определение 1. Расширение K/k называется
• неразветвленным, если [K : k] = [K : k]sep = [K : k];
• полностью 'разветвленным, если [K : k]sep = 1;
• вполне разветвленным, если [K : k] = 1;
• свирепым, если оно полностью разветвлено и
[K: k] = [K: k]insep = [K : k];
• диким, если оно вполне разветвлено и имеет степень pr:
[K : k] = [K : k]= pr.
В дальнейшем предполагается, что все рассматриваемые поля содержат поле k.
Определение 2. Пусть L/K — конечное расширение полей. Глубина ветвления L/K — это
dk{L/K) = mf{,fc
Глубина ветвления и дифферента связаны между собой следующим образом (см. [2]):
dk(L/K) = vk (Dl/k ) — (vk (пь) — vk (пк)). Предложение 3.1. Глубина ветвления обладает следующими свойствами:
1) если L —промежуточное поле в M/K, то dk(M/K) = dk(M/L) + dk(L/K);
2) если k\/k —дикое расширение степени p, то dkl (L/K) = pdk(L/K);
3) если k\/k — свирепое, то dkl (L/K) = dk(L/K);
4) dk(M(Zp)/K(Zp)) = dk(M/K);
5) пусть k1,k2 — два расширения поля k, тогда dk(k1k2/k) ^ dk(k1/k) + dk(k2/k).
Теорема 3.2. (Неравенство Хиодо). Пусть k2/k —циклическое 'расширение степени p2, ki — промежуточное поле. Тогда
¿ПИЛ-, ■ ((Р - 1)e + dk (kl/k) Р2 - P + 1Ji, /7^
dk{k2/k1) > mm -,-dk(ki/k)
pp
Далее будет предполагаться, что Zp € k.
Определение 3. Расширения ki/k и k2/k называются независимо разветвленными (или расширениями с независимым ветвлением), если
dk (kik2/k) = dk (ki/k) + dk (k2/k).
Из предложения 3.1 следует, что расширения ki/k и k2/k имеют независимое ветвление тогда и только тогда, когда
dk (k\k2/k2) = dk (ki/k).
Следующая теорема взята из [4].
Предложение 3.3. Пусть (р G k, к\ = k(tfei),k2 = 2)^1,^2 G Uk, —два расширения поля k степени p. Для каждого i = 1, 2 положим ei = pi или ei = 1 + pi, где vk(pi) ^ 0, pi € K*pUi. Предположим, что расширения k\/k и k2/k дикие. Тогда следующие два условия равносильны:
1) ki/k и k2/k имеют независимое ветвление;
2) Vi =1, 2,...,p - 1 pi/p2 € K *pUi.
Замечание 1. Если одно из расширений ki/k и k2/k дикое, а другое свирепое, то они независимо разветвлены.
Определение 4. Пусть K/k — расширение Галуа, а € Gal(K/k). Скачком ветвления автоморфизма а называется
h(a) = min vK(aa-i — 1).
aEK*
Если h одно и то же для всех а = 1, то оно называется скачком ветвления расширения K/k и обозначается h(K/k).
В частности, если K/k — циклическое расширение степени p, то
1) h(K/k) = -^jdk(K/k), если K/k дикое;
2) h(K/k) = -ф.-dk(K/k), если K/k свирепое или неразветвленное.
Теорема 3.4. Пусть € k. Тогда любое полностью разветвленное расширение степенир поля к имеет вид к{ tft), где е может быть выбрано в соответствие со следующей таблицей:
е ветвление dk(k(^)/k) h(k(^)/k)
С7Г дикое е ре'
1 + (ИГ1 дикое e-^lt V ре' — t
Ъ свирепое е е'
1 + ЬтгР8 свирепое е — (р — l)s е' — s
Здесь a,b,c € Uk, b € k*p, 0 <t < e'p, (t,p) = 1, 0 < s < e'.
Понятие дефекта было впервые введено Б. Вайман [5]. Следующие определение и свойства взяты из [6].
Определение 5. Пусть x £Uk. Дефект x — это
defk(x) = sup{vfc(x - yp),y £ k*}.
Предложение 3.5. Пусть a £ Uk. Дефект обладает следующими свойствами:
1) 0 ^ defk(a) ^ pe' или defk(a) =
2) если a = b( mod Up,), то defk(a) = defk(b);
3) defk(ab) ^ min(defk(a), defk(b)) и выполнено 'равенство, если defk(a) = defk(b);
4) defk(a) = ^^ a £ UP;
5) defk(a) = 0 ^^ a £ k*p;
6) если vk(a — 1) = t, где (t,p) = 1, то defk(a) = t;
7) defk(a) = ps, где 0 < s < e' ^^ a = 1 + bnps( mod k*p), где 0 < s < e',b £ k*p;
8) если vk(a — 1) = pe', то defk(a) = pe' или defk(a) =
Предложение 3.6. Пусть (p G k, К = ё), где e £ Uk. Обозначим t = defk (e). Тогда
1) K/k дикое ^^ (t,p) = 1;
2) K/k свирепое ^^ p | t;
3) K = k ^^ t =
Кроме того, dk(K/k) = e — ^y-t.
Пусть k\ = k(jfe{),k2 = /5(^62)—два расширения степени p поля к, К — их композит. Последние два утверждения показывают, что для вычисления глубины ветвления в расширении K/ki достаточно вычислить defkl (e2).
Лемма 1. Пусть e £U1. Тогда e может быть представлено в виде
e = 1 + apnpt + ... + apnp(t+r) + bntl,
где ai £ Uk ,t1 > p(t + r) иЬ £ k*p, если p | ti,ti < pe'. Если e представлено в таком виде, то справедливо неравенство
defk(e) ^ min(t + e,t1)
и имеет место равенство, если t + e = t1.
Доказательство. Индукция по pe' — t. База индукции: t = pe'. Индукционный переход. Пусть e = 1+ans, где s < pe'. Если a £ k*p или (s,p) = 1 то это и есть нужное представление. Иначе получаем а = Сд, где со G к. Мы можем выбрать ao £Uk, такое что ao = со. Применяя предположение индукции к e — a^nps, получаем нужное представление. Неравенство следует из предложения 3.5, так как выполняется цепочка равенств
def k(1 + apnpt + ... + apnp(t+r)) =
* = def k ((1 + a0 npt + ... + appnp(t+r))(1 — aont — ... — arnt+r )p) =
= defk(1 — pa0ne+t — . ..) = e + t.
4. Дикий и дико-свирепый случаи. Пусть к1,к2 —два диких расширения степени p поля k, K = к\к2 — их композит. Если расширения ki/к и к2/к не являются независимо разветвленными, то
ki=k{tfel), к2 = к(^ге),
где 6i, £2 £Uk можно выбрать одним из следующих способов в зависимости от значений dk(ki /к) и г1к(к2/к):
(1) £i = п, £2 = пи, где u £ Ulkk, если dk(ki /к) = dk(к2, к) = e;
(2) £i = п,£2 = 1 + uns, где и £ U\kk, 0 < s < pe', (s,p) = 1, если dk(ki/к) = e, dk{k2/k) = е - < e.
(3) £i = 1 + anm,£2 = 1 + bns = 1 + aiucpnmi+rp, где u£ U1k,c£ Uk, 0 <m,s < pe',
(s,p) = (m,p) = 1, 0 < i ^ p — 1, если dk(ki/k) = e — m(p — 1)/p < e, dk(k2/к) = p-i ^
e — -—s < e. p
Лемма 2. Простой элемент ni поля к1 может быть выбран таким образом,
что
1) п = пр в случае (2);
2) п = npa-jui, где ui £ U1}kl, (j,p) = 1 в случае (3); Доказательство .
1. 71 \ = уёГ.
2. Так как (m,p) = 1, то мы можем выбрать j таким образом, что mj = 1 + pr', (j,p) = 1. Пусть z = — 1. Тогда vkl (z) = rri и
апт = zp + pzp-i + ... + pz = zp(1 + pz-i + ... + pz-(p-1)) = zpu', где u' = 1 + b'пе—т(р—1'). Положим пl = zjп-г . Тогда Vk1 (п-) = 1 и p zpj aj птj u'-j ,.._,.
7П = -7 = -;- = iraJU J .
i прг прг
Замечание 2. В случае (3) имеем mi + pr = s. Так как mj = 1 + pr', то m(js) = s + p(r's). Следовательно, i = js mod p.
Лемма 3. Пусть £ £ U1,k,k1/k — дикое 'расширение. Тогда
1) defkj (£) > pdefk(£);
2) если defk(£) = ps, то defkl (£) = pdefk(£). Доказательство. Пусть п1 — простой элемент k1, п = прс, где c £ Ukl.
1. Очевидно.
2. Если u = 1 + b^s(modk*p), где b £ k*p, то u = 1 + c^brnf s(modk1*p).
Замечание 3. К сожалению, если (defk(£),p) = 1, то дефект £ в поле ki в общем случае никак не связан с дефектом в поле к. Например, если к\ = к( 6=1 + Ъп1", где (t,p) = 1,b £ k*p, то defkl (£) = pt, а если £ = 1+пг + Ьп1, где (t,p) = 1, t < t' < pe', произвольное, b £ k*p, то def kl (£) = pt'.
Пусть Ь = ёе^^м). В случае (1) имеем К = к\к(^/й) и, следовательно,
¿к(К/к1) = -(ре-^-г р \ р
Мы можем записать и = ср(1 + е\пЬ), где е\ (// к*р.
Теорема 4.1. В случае (2) справедливы утверждения:
1) если К)к\ дикое, то ¿к(К/к-1) = ^<1к(к2/к);
2) если К/к\ свирепое, то ¿к(К/к\) = г1к(к2/к) —
Доказательство. В данном случае имеем К = 1 + иттв). Но выполняется равенство
1 + ип8 = 1 + српр + СРС1 пр(Ь+8),
где С1 /}к\*р = к*р.
Если К/к 1 дикое, необходимо ре + в < р(Ь + в). Это означает, что ёе!к1 (1+ ипя) = ре + в. Следовательно, можем записать
1 1 ( р -1 \ 1
¿к(К/к1) = -(1к1(К/к1) = - [ре-£-(ре + 5) = -¿к(к2/к).
р р \ р у р
Если К/к1 свирепое, то ре + в > р(Ь + в). В этом случае ёе!к1 (е) = p(t + в) и
¿„(К/к!) = -с1к1(К/к1) = - (ре-^-р(1 + а)) = <1к(к2/к)-^-г. р р V р / р
Замечание 4. В некоторых случаях дефект и можно вычислить с помощью леммы 3 или с помощью леммы 1.
Теорема 4.2. Предположим, что К/к — дикое 'расширение. Тогда в случае (3) справедливо неравенство
( р — 1 1 \
йк{К/к{) < тах ¿к(к2/к)--¿^к-^/к), -¿к(к2/к) .
рр
Равенство имеет место, если йк(к1 /к) = йк(к2/к).
Доказательство. В данном случае, имеем е2 = 1 + аг—пр8ии1. При дальнейшем разложении, как в лемме 1, ненулевые коэффициенты могут получиться только при степенях, делящихся на р, и при степени е — т(р — 1) + рв. При этом все коэффициенты при степенях, делящихся на р, будут р-ми степенями, так как расширение К/к1 дикое. Следовательно, можем записать
ёе!к1 (е2) ^ шш(е — т(р — 1) + рв, е + в).
Нужное утверждение получается применением предложения 3.6.
Замечание 5. Если йк(к1/к) = йк(к2/к), то глубина ветвления в К/к1 может быть намного меньше, что показывает следующий пример > т):
е1 = 1 + апт, е2 = е1(1 + аЪпЬ) = 1 + а(1 + ЪпЬ-т + аЪпЬ)
Ьч^т
п
В данном случае, ¿к(к\/к) = г1к(к2/к) = е — 2-ф-т, а ¿к(К/к\) = е —
Теорема 4.3. Предположим, что К/к\ — свирепое 'расширение. Тогда в случае (3) справедливо неравенство
¿к(К/к{) >
( р — 1 1 р — 1 \
> тах йк{к2/к)--й^кх/к), -¿к{к2/к), (1к{к2/к)--сЫ^ (и) .
р р р
Доказательство. В поле к\ мы имеем е2 = 1 + агисрпа = 1 + аг—3аисрпраи\, где ] такое, что ш] = 1 + рг. Заметим, что г — делится на р. Имеем ёе1к1 (аг—3аи) = ёе1 к1 (и). Предположим, что
„рп . ^^ (и)\ и = с1 (1 + и2п1 1 ),
где и2 € к\. Заметим, что ёе1к1 (и\) = е — ш(р — 1), следовательно, будем иметь
£2 = 1 + с^г + 4и2П^к1(и)+ра + 4и3пГт(р-1)+ра +
где из € к, а точки обозначают члены с большими степенями . Значит, справедливо неравенство
ёе!к1 (е2) > шш(в + е, ёе1к1 (и) + рв,е — ш(р — 1) + рв)
и имеет место равенство при (к (к\/к) = (к (к2/к).
Если в = 1(шоёр), тор I г — ] и ёе1к1 (а1-3и) = ёе1к1 (и). Далее можно рассуждать аналогично. Нужное утверждение получается применением предложения 3.6.
Замечание 6. Если ¿к (к1/к) = (к (к2/к), то ситуация может быть такой же, как в диком случае. Например, если е 1 = 1 + апт, е2 = (1 + апт)(1 + Ьпрг), где рЬ > ш, (т,р) = 1, Ъ £ кр, то ¿к(к\/к) = (1к(к2/к) = е - то, но ¿к(К/к\) = е — (р — 1)4.
5. Свирепый и свирепо-дикий случаи. Пусть к\ = к(^/ё1), к2 = е2), К = к\к2, расширения к\/к и к2/к свирепые; е = ек; в € Ок таков, что в = рп—е. Будем предполагать, что ¿к(к2/к) < ¿к(к1/к). Оценим ¿(к\к2/к) через ¿к(к\/к) и ¿к(к2/к). Для этого достаточно оценить ¿к(к\к2/к\).
При <1к(к\/к) ф <1к{к2/к) будет дополнительное условие на поле: в (Е кР или р \ ¿к(к2/к).
Заметим, что для свирепых расширений ¿к(к1/к) и ¿к(к2/к) целые.
Лемма 4. Пусть 1/к — свирепое расширение степени р, и х € О\. Тогда
у^хр — П1/к(х)) > ¿к(1/к).
Доказательство. Пусть а 1,..., ар — автоморфизмы I над к. Имеем
р р—! /р—г
0 = П(х — аг(х)) = хр — Щк(х)+^ х'Ъл/к Щ а*(х)
г= 1 г= 1 \з = 1
(р—г
П аг(х) ] ] > ¿к(1/к).
Лемма 5. Пусть 1/к — свирепое расширение степени р, элементы х,у (Е Ок, г, и (Е О] и число г таковы, что р \ г, х кр, VI (у) > 0; VI (и) > 0; — гр — г1у — ир) > VI(у). Тогда г^(у) > ¿к(1/к).
Доказательство. Предположим, что v¡(y) < ¿к(1/к). Тогда из леммы 4 следует равенство
:* = (x-zP- иР)у-1 = (х- Nl/k(z) - Щк{и))у-1 € к.
Получаем, что хг = (г1)Р (Е кР. Противоречие.
Предложение 5.1. Пусть к\,к2 таковы, как описано выше, (1к(к2/к) < ¿к(к\/к), и выполнено в (Е кР илир\ <1к(к<2/к). Тогда справедливо неравенство
Мк2/к) <4(^2/^1) <*к{к2/к). р
Доказательство. Неравенство ¿к(к1 к2/к1) < ¿к(к2/к) следует из того, что Тгк2/к является сужением Тгк1к2/к1.
Докажем неравенство ¿к (к^/к1) > ¿к (к2/к)/р.
Положим д, = (¿к(/г2//г), а = • Предположим, что (¿к(/г1/г2//г1) < ¿/р. Имеем
й р — 1 ( е — й \ р — 1
- = е--е Н--- = е--(е + в),
р р V р — 1/ р
поэтому 62 € ик1 Цк1 (е + в + 1).
Представим е2 в виде е2 = 1 + хттр8. Тогда х (Е ик, х кР, х (Е . Представим ж в виде ж = гр + 2;'7ГГ, где г, г' (Е икг, г > 0, и г' к\ или р \ г.
Заметим, что к\, так как если для некоторого (Е икг выполнено г\ =
то = х (Е к \ кР, и степень элемента над к равна р2, но степень расширения к1/к равна р. Положим
(1\
е2 = £2
-1 + zns
Имеем е2 G U^ Ukl (e + s + 1) и
e2 = (1 + + z'nr+ps)(1 - zns + z2n2s - z3n3s + ...)p =
= 1 + z'nr+ps - pnsz = 1 + z'nr+ps - 0zne+s mod Ukl (min{e + s, r + ps} + 1). Предположим, что r + ps < e + s. Тогда можем записать e2 = 1 + z'nr+ps mod Ukl (r + ps +1); и из того, что z' (jL или p \ г, следует соотношение
4 G Up Ukl (r + ps + 1) С Ukl Ukl (e + s + 1).
Предположим, что r + ps > e + s. Имеем
e2 = 1 - mod Ukl (e + s + 1).
196 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 2
Из того, что z £ кр и выполнено 9 (Е кР или р \ d, следует вг £ кр или
e — d
р f е Н--- = е + s.
p — 1
Следовательно, е'2 £ Up Ukl (e + s +1).
Получаем, что r + ps = e + s. Имеем r = e + s — ps и
ed2 = 1 + (z' — dz)ne+s mod Ukl (e + s + 1).
Из того, что e'2 £ Up Ukl (e + s +1), следует
p\e + s, z'-Bz£k\ (1)
z' -0z = 0. (2)
В случае (1) обозначим через п\ произвольный элемент поля ki, для которого выполнено z' — 9z = up, и положим u = uinr/p] число r/р в этом случае целое. В случае (2) положим u = ui =0.
В обоих случаях положим y = впт. Тогда y £ Ok, vkl (y) = r = e + s — ps = d,
vkl (x — zp — zy — up) = Vk^iy П (z' — 9z — up)) >r = Vk! (y).
Следовательно, x, y, z, u удовлетворяют условию леммы 5 для i = 1, l = ki и должно выполняться неравенство Vk1 (y) > dk(ki/k). Но получаем Vk1 (y) = d < dk(ki/k), т.е. противоречие.
Предложение 5.2. Пусть e, d £ N, d' £ Q+ таковы, что ^Ej, — целые
неотрицательные числа, и dd < d. Тогда существуют поля k,ki,k2, такие, как описано выше, для которых выполнено dk(ki/k) = dk(k2/k) = d, dk(kik2/ki) = d'.
Доказательство. Пусть ко — локальное поле, такое что charco = 0, charco = р, ek0 = e. Положим
, г г e — d (e — dd)p
k = k0{{tht2}}, r =--, -f-,
p — 1 p — 1
Тогда r < ps.
При d<e, dd < e подойдут кг = + íi7rí>r), k2 = k( ^/(1 + íi7rí>r)(l + t2Trs)).
При d = e, dd < e подойдут k\ = k(tfti), k2 = k(^/t\{l +t2Trs)). При d = d¡ = e подойдут k\ = k(tfti), k2 = k( tft\t2).
Предложение 5.3. Пусть поле к таково, что поле к несовершенно, пусть
5— е— р— 1 ' р— 1
числа d\,d2 £ N таковы, что е ^ , е — целые неотрицательные числа, и d2 < d\.
Тогда существуют поля к\,к2, такие, как описано выше, для которых выполнено
dk(k1/k)=d1, dk(k2/k) = d2, dk(k1k2/k1) < —.
р
Доказательство. Обозначим через Ь такой элемент что Ь ^ кР. Если < е, положим
е — <1\ ^1-1
г=-Г' e1 = l+t7гp, ¿1 = -—-—;
р — 1 пг
если (¿1 = е, положим б1 = Ь, = ^/1. Положим также
е — ^2
5= -£2 = 1+^.
р — 1
Тогда выполнено йк (к1/к) = ^, й(к2/к) = ив случае ^ < е выполнено в > г. Для ¿1 в обоих случаях выполнено = следовательно, ^ Докажем неравенство
Vk1 (^ — ■£?) > е + в — рв. (3)
В случае ^ = е левая часть (3) равна Рассмотрим случай ^ < е. Имеем
61 — 1 (¿1пг + 1)Р — 1 Р-1
„иг „иг 1 Р
¿=1
и, следовательно, Vk1 (£ — ¿Р) > е + г — рг>е + в — рв. Докажем соотношение
1 \Р
£2 ( = то(1^1(е + 8 + 1). (4)
Имеем
1
£2 (л , , Т = (1 + " + ^ - *?7Г3в + ...)р =
V1 + ¿1 пя /
1 — р^п8 + ^ (¿пР8( — + ( —¿р(г+1) пР^+1)) =
¿>0
= 1 — ^¿1Пе+8 + (* — ¿р)пр8 ^( —тоё ик1 (е + в + 1).
¿0
Применяя (3), получаем (4), из которого следует
¿к(к1к2/к1) < е - ---(е + в) = е - --- (е + --= —.
р р V р — 1 / р
Лемма 6. Пусть к, к1,к2 таковы, как описано выше, йк(к2/к) < е, и число й € Q+ таково, что
4(^1^2/^1) < (1< (1к(к2/к), (е ~ е I.
р — 1
Тогда существуют поля к', к1, к2, удовлетворяющие тем же условиям, что и поля к, к1, к2, такие что
ек' = е, йк' (к1 /к') = йк(к1 /к), 4/ (к2/к') = 4 (к2/к), 4' (к1 к2/к1) = й.
Доказательство. Положим d1 = dk(k1/k), d2 = dk(k2/к). Получаем
e — d2 (e — dk(ki k2/ki)) p (e — d)p
s = -, r = -, r = -.
p — 1 p — 1 p — 1
Тогда e2 = 1 + атгрв, где a £ kP, и существует e (E k\, такой что ee^1 £ kp, e = 1 + Ьтгг, где p \ г или b £ kP.
Положим k' = k{{t}}, k[ = ki{{t}}. Для таких полей верны равенства ek' = e и dk'(k[/k') = d\. Обозначим через е~2, е подъемы элементов е2, е в поля к', к[ соответственно, положим е2 = е2(1 -¡- tnr ) и к2 = к'( ^/б^). Так как d < d2, то r' > ps. Имеем
е'2 = 1 + xnps mod Uk' (ps +1),
где
{a, r' < ps, a + t, r = ps.
В обоих случаях выполнено х £ кР и, следовательно, dki(k2/k') = d2. Имеем
Из условия dk(k\k'/k 1) < d следует, что r' < r,
ё(1 + tnr') = 1+ tnr' mod Uk[ (r' + 1) и, следовательно, dk' (k[k'/k') = d.
Предложение 5.4. Пусть числа e, <¿1, d2 € N, d'2 G Q+ таковы, что ^f^t >
epd_\>p — целые неотрицательные числа, d2 < d\, у- < d2 < d2. Тогда существуют поля k,k 1,k2, такие, как описано выше, для которых выполнено
dk(ki/k) = di, dk (k2/k) = d2, dk (kik2/ki) = d2.
Доказательство. Следует из предложения 5.3 и леммы 6.
Литература
1. Serre J.-P. Corps locaux. Paris: Hernmann, 1962.
2. Hyodo O. Wild Ramification in the imperfect residue case // Advanced Studies in Pure Mathematics. 1987. Vol. 12. P. 287-314.
3. Востоков С. В., Афанасьева С. С., Бондарко М. В. и др. Явные конструкции и арифметика числовых локальных полей // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). Вып. 3. С. 402-435. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2017.305
4. Востоков С. В., Жуков И. Б., Пак Г. К. Расширения с почти максимальной глубиной ветвления // Записки научных семинаров ПОМИ. 1999. Т. 265. С. 77-109.
5. Wyman B. Wildy ramnified gamma extensions // Amer. J. of Math. 1969. Vol. 91. P. 135-152.
6. Spriano L. Well ramified extension of complete discrete valuation fields with applications to the Kato conductor // Canad. J. Math. 2000. Vol.52, No. 6. P. 1269-1309.
Статья поступила в редакцию 15 июля 2017 г.; рекомендована в печать 21 сентября 2017 г.
Контактная информация:
Востоков Сергей Владимирович — проф.; sergei.vostokov@gmail.com Хаустов Николай Викторович —ведущий архитектор ПО; nhaustov@gmail.com Жуков Игорь Борисович — проф.; igor.zhukov@mail.ru Иванова Ольга Юрьевна — старший преподаватель; olgaiv80@mail.ru Афанасьева Софья Сергеевна — инженер-исследователь; cheery_sonya@mail.ru
Analogue of the Chiodo inequality for the ramification depth in the case of degree p2 extensions
S. V. Vostokov1, N. V. Haustov2, I. B. Zhukov1, O. Yu. Ivanovo?, S. S. Afanas'eva1
1 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
2 Luxoft Professional, LLC, Sverdlovskaya nab., 44, St. Petersburg, 195027, Russian Federation
3 St. Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, Bolshaya Morskaya ul., 67, St. Petersburg, 190000, Russian Federation
For citation: Vostokov S. V., Haustov N.V., Zhukov I. B., Ivanova O. Yu., Afanas'eva S. S. Analogue of the Chiodo inequality for the ramification depth in the case of degree p2 extensions. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5(63), issue 2, pp. 189-200. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.202
In this paper we study the ramification in extensions of complete discrete valuation fields. In the perfect residue field case, there is a classical theory of ramification groups due to J. P. Serre. A. Chiodo introduced the notion of ramification depth, which is close to the classical notion of different. He also obtained an inequality, which pointed out a fundamental relation between the ramification depth in a cyclotomic extension of degree p2 with the ramification depth in a subextension of degree p. In the present paper we focus on the case of the degree p2 extension, which is a composit field of two degree p extensions.
Keywords: Chiodo inequality, ramification depth.
References
1. Serre J.-P., Corps locaux (Hernmann, Paris, 1962).
2. Hyodo O., "Wild Ramification in the imperfect residue case", Advanced Studies in Pure Mathematics 12, 287-314 (1987).
3. Vostokov S. V., Afanas'eva S. S., Bondarko M.V., et al., "Explicit constructions and the arithmetic of local number fields", Vestn. St. Petersburg Univ., Math. 50, issue3, 242-264 (2017). https://doi.org/10.3103/S1063454117030128
4. Vostokov S. V., Zhukov I. B., Pak G. K., "Extensions with almost maximal depth of ramification", J. Math. Sci. 112(3), 4285-4302 (2002).
5. Wyman B., "Wildy ramnified gamma extensions", Amer. J. of Math. 91, 135-152 (1969).
6. Spriano L., "Well ramified extension of complete discrete valuation fields with applications to the Kato conductor", Canad. J. Math. 52(6), 1269-1309 (2000).
A u t h o r's i n f o r m a t i o n:
Sergei V. Vostokov — sergei.vostokov@gmail.com Nikolay V. Haustov — nhaustov@gmail.com Igor B. Zhukov — igor.zhukov@mail.ru Olga Yu. Ivanova — olgaiv80@mail.ru Sofia S. Afanas'eva — cheery_sonya@mail.ru
