Полуглобальные модели расширений двумерных локальных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОЛУГЛОБАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ РАСШИРЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ*

И. Б. Жуков

С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, igor.zhukov@mail.ru

В данной работе мы начинаем изучение наиболее просто устроенных конечных расширений полных двумерных колец простой характеристики и показываем, что их можно использовать как инструмент для изучения ветвления в расширениях двумерных локальных полей. (Основные определения, относящиеся к многомерным локальным полям, см. в [1], [2]; геометрическое происхождение таких полей описано в [3].) Тем самым предлагается новый подход к изучения ветвления дискретных нормирований с несовершенным полем вычетов.

Пусть A, B — полные двумерные регулярные локальные кольца с полем коэффициентов k характеристики p > 0. Модельным гомоморфизмом будем называть конечный k-гомоморфизм h : A ^ B такой, что при некотором выборе регулярных локальных параметров t,u в A и x,y в B выполняются следующие условия:

(i) h(t) = S ■ xen,

(ii) h(u) = £ ■ yef mod x,

где en, ef —неотрицательные целые числа, причем ef —неотрицательная степень p;

В работе [4] возникают гомоморфизмы такого типа с дополнительным ограничением

где 7 € В*, М — неотрицательное целые число.

Про гомоморфизм Н со свойствами (1) и (п) будем говорить, что он (или определяемое им расширение колец) служит моделью для конечного расширения двумерных локальных полей Ь/К, если существует непрерывное вложение г кольца В в кольцо целых поля Ь такое, что г о Н отображает А в К и при этом г(х) и г(у) (соответственно, г(Н(Ь)) и г(Н(у))) служат локальными параметрами Ь (соответственно, К). Нетрудно видеть, что любой модельный гомоморфизм служит моделью для подходящего Ь/К; для этого достаточно пополнить поля частных А и В относительно нормирований V и т, определяемых простыми идеалами (Ь) и (х) соответственно.

Пусть р = (/) —простой идеал высоты 1 в А, отличный от (Ь). В силу регулярности кольца В имеем рВ = (/) = (дг)... (д8); при выполнении условия (ш) идеалы (дг),..., (де) попарно различны, так как р не лежит в локусе ветвления. Для каждого г нормализация кольца В/(д{) представляет собой кольцо дискретного нормирования, конечное над нормализацией А/(/); инварианты ветвления этого расширения содержат важную информацию о ветвлении нормирования V, не отраженную в классических инвариантах ветвления (см. §1 наст. работы). Кроме того, даже в случае регулярного кольца А/(/) (т. е. при / (/ т?А, где = (Ь, и)) кольца В/(д^), вообще говоря, не будут

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №08-01-00777-а).

© И.Б.Жуков, 2010

S, £ е B*.

dh(t) dh(t)

dx dy

регулярными, и результаты [5] позволяют предположить, что инварианты особенностей этих колец (например, ^-инвариант— к-коразмерность Б/(дг) в его целом замыкании) также несут информацию о ветвлении.

В § 2 данной работы мы устанавливаем некоторые основные свойства модельных гомоморфизмов и моделей.

Идея изучать ветвление для поверхностей, рассматривая ограничение морфизма (или конструктивного этального пучка) на кривые, пересекающие локус ветвления, восходит к письму Делиня Иллюзи от 28.11.1976. Некоторые из полученных таким образом инвариантов изучались в [6], однако, только для кривых, трансверсальных к локусу ветвления, в случае степени морфизма р2, где р — характеристика базового поля. В [7] для случая накрытий Артина—Шрайера проверен ряд гипотез о поведении инвариантов ветвления при варьировании кривой на поверхности. В работе Ломона [8] реализована программа Делиня доказательства аналога формулы Гротендика—Ог-га—Шафаревича для конструктивных этальных пучков на поверхности в случае отсутствия свирепого ветвления (т. е. когда все возникающие расширения полей вычетов сепарабельны).

1. Мотивирующий пример

Пусть К — полное дискретно нормированное поле характеристики р > 0 с совершенным полем вычетов к; для наглядности и простоты вычислений будем считать, что

Если Ь/К — вполне разветвленное сепарабельное расширение степени 2, его скачок ветвления можно определить как в(Ь/К) = у^(а(п) — п) — 1, где п — униформизирую-щий элемент Ь, а — нетривиальный автоморфизм Ь/К. В частности, если Ь/К задано уравнением Артина—Шрайера х2 — х = а, где у(а) = —2п + 1, п — натуральное число (такой выбор уравнения Артина—Шрайера всегда возможен), то в(Ь/К) = 2п — 1.

Пусть Ь\/К и Ь2/К — различные вполне разветвленные сепарабельные расширения степени 2 со скачками в! и в2 соответственно; Ь = Ь\Ь2. Можно ли вычислить инварианты ветвления Ь/К, если известны в! = 2п\ — 1 и в2 = 2п2 — 1?

При в! = в2 ответ положительный. Действительно, нетрудно выбрать простой элемент п в Ь! так, чтобы было выполнено Ь = К(х1), х2 — х! = п-Я1. Тогда п! = пП1 х! — простой в Ь!; имеем п = п2 — пП1 п! = п2 — п2+Я1 + 0(п2+Я1 + !), откуда Ь = Ь!(х2), где

р = 2.

1=-в2

1=-в2

г=-в2

Б = ^2 щп\, п2 = в е к,

г=-в2

что показывает

Отсюда находятся глубина ветвления

ак(Ь/К) = <1к(Ь1/К) + е^г/КГЧь, (Ь/Ь!) = а{Ь1/К) + ^{Ь/Ьг) =

51 + 52 + тах(в1, в2)

““ 2

и показатель дифференты

г°ь(&ь1к) = Ль(Ь/К) + (3ь(пк) — (п£,)) =

= е(Ь/К )йк (Ь/К) + е(Ь/К) — 1 =

= 4(в! + в2) + 2тах(в!, в2) + 3.

При в! = в2 и в-81 = 1 значение в! не определяет инварианты ветвления Ь/К, но они могут быть найдены при условии, что известно вз = в(Ьз/К), где Ьз/К — под-расширение степени 2 в Ь/К, отличное от Ь!/К и Ь2/К. Действительно, из в-81 = 1 следует, что Ьз = К(хз), х3 — хз е К и гок(х'22 — хз) > —в!, откуда вз < в!, и приведенное рассуждение применимо к Ь!/К и Ь3/К.

Пусть теперь поле К = к((Ь))((и)) —двумерное локальное поле. Для натуральных чисел п,т и элемента в е к положим Ь(п, т, в) = К(х), где х — корень уравнения

Ь = х2 + х2п+! + вх2т и.

Используя подготовительную лемму Вейерштрасса, нетрудно получить, что расширение Ь(п,т,в)/К — сепарабельное степени 2, х — простой элемент в Ь(п,т,в). Пусть а — нетривальный автоморфизм этого расширения, а(х) = х + 6. Тогда из

(х + 6)2 + (х + 6)2п+! + в(х + 6)2т и = х2 + х2п+! + вх2т и

легко следует у(6) = у(х2п), откуда в(Ь(п, т, в)/К) = 2п — 1.

Рассмотрим теперь Ь = Ь^2, где Ь = Ь(п!,т!,в{), Ь2 = Ь(п2,т2,в2). Будем считать, что 2 ^ т! ^ п < т2 ^ п2 и в! =0. Положим х2 = х! + х”1 ь. Тогда из

х\ + х!2п1+! + в!х!2”1 и = х22 + х22п2+! + в2х‘^т2 и

следует

вуи + х\п1-2т1 + ! = ь2 + х!п1-2т1+!(1 + х”1-!1Л + 0((хт-!ь)2)+

+ хI”2-2”1 в2и(1 + х2(т1-!)ь2)”2.

Получаем, что ^(го) = 0, гП2 = в\й, откуда Ь/Ь\ —чисто несепарабельное расширение степени 2. Если т — образующая Оа\(Ь/Ь!) и т(ь) = ь + е, то из последнего равенства получаем е = х2^2-”1 + 0(х2!п2-т1+1); тем самым в(Ь/Ь(п!, т!, в!)) = 2п2 — т!.

Таким образом, ветвление Ь/К зависит не только от в(Ь!/К) и в(Ь2/К), т. е. от п! и п2, но и, по крайней мере, от значения т! . Более того, знания п! и п2 недостаточно даже для определения е(Ь/К). Действительно, при в! = в2 = 0, очевидно, Ь/К вполне разветвлено, и е(Ь/К) = р2. (То же самое верно, если т! и т2 больше, чем п! и п2.)

Рассмотрим для Ь(п, т, в)/К модель Б/А, где А = к\\Ь, и]], Б = к[[х, и]], и А вложено в Б посредством отождествления Ь с х2 + х2п+! + вх2ти.

Выберем простой элемент f в кольце A. Рассмотрим некоторые примеры таких f.

1. Пусть f задает росток регулярной кривой, трансверсальной к дивизору ветвления; ввиду подготовительной леммы Вейерштрасса любой такой элемент, с точностью до умножения на обратимый, имеет вид

f =и+53aift,

i=1

где ai —произвольные элементы к. Тогда в B имеем

f = и + ai{x2 + x2n+1 + 0x2mu)i,

i=1

откуда видно, что f неприводим в B; поля частных A/{f) и B/(f) отождествляются соответственно с k{{t)) и k{{x)), а соответствующее расширение k{{x))/k{{t)) задается уравнением

t = x2 + x2n+1 — 0x2m^^ aiti.

i=1

Отсюда нетрудно найти, что скачок ветвления этого расширения равен 2п — 1.

2. Пусть f задает росток регулярной кривой, пересекающей дивизор ветвления с индексом 2; ввиду подготовительной леммы Вейерштрасса любой такой элемент, с точностью до умножения на обратимый, имеет вид

f = t+^2&и\

i=2

где ei —произвольные элементы k, причем р2 = 0. Рассмотрим конкретный случай f = t + и2. Тогда в B имеем

f = и2 + x2 + x2n+1 + 0x2mu,

и по-прежнему f неприводим в B. Поле частных B/(f) имеет вид k{{z)), где и = x+xmz; нетрудно определить, что

и = 6-1z2 + z2m+1 mod z4k[[z2}} + z2m+2k[[z}}]

мы получаем, что скачок ветвления k{{z))/k{{v,)) равен 2m — 1.

Таким образом, информация о скачках ветвления «над кривой A/{f)» позволяет восстановить значение m в описании ветвления L{n, m, д)/К.

2. Основные свойства модельных расширений и моделей

Пусть h : A ^ B — модельный гомоморфизм; t,n,x,y,en,ef имеют тот же смысл, что во введении. Через Ко и Lo будут обозначаться поля частных A и B соответственно; через v и w — дискретные нормирования на Ко и Lo, соответствующие простым идеалам (t) и (х) соответственно; через К о и Lo — соответствующие поля вычетов.

Предложение 2.1. B — свободная A-алгебра с базисом {xiyj |0 ^ i ^ en — 1, 0 ^ j ^ ef — 1}-

Доказательство. Легко видеть, что любой элемент В однозначно представляется в виде

оо оо вп — 1 е/ — 1

ЕЕЕЕ ®а1вцЬ(Ь)аН(и)вхгу°, ва1вц е к,

а=0 /3=0 г=0 з=0

поскольку

Н(Ь)аН(и)вхгу* = х^+у^в+* шоё (х, у)Впа+е>в+г+*+1.

□

Как следствие, можно отметить, что для модельных гомоморфизмов совпадают понятия кэлеровой, нетеровой и дедекиндовой дифференты (см. [9] или [10]).

Предложение 2.2. Нормирование т —единственное продолжение V на Ь0. При этом е(и> |-у) = еп, а [Ьо : К о] = ef.

Доказательство. Если продолжение т не единственно, то

е(ии\у)[Ьо : К0] < [Ь : К\ = е„е/,

в то время как е(го|г>) ^ е„, [Ьо : Ко] ^ еу. □

Наконец, докажем существование модели у любого сепарабельного расширения двумерных полей при некоторых ограничениях на тип ветвления.

Лемма 2.3. Пусть Ь/К — конечное сепарабельное расширение двумерных локальных полей характеристики р > 0; Ьк,ик — локальные параметры в К. Тогда можно выбрать в Ь локальные параметры Ьь,иь так, что при некотором N выполнено

N оо

Ьк = ^ Ьь1иь*;

г=1 *=0 N оо

ик = ЕЕ вг* ЬЬ иЬ * ,

г=0 * = 1

где аг*, вг* — элементы последнего поля вычетов поля Ь.

Доказательство. Легко видеть, что если утверждение леммы выполняется для Ь/К и М/Ь, то оно выполнено и для М/К. Известно, что любое конечное расширение двумерных локальных полей раскладывается в башню из чисто неразветвленного расширения и нескольких расширений простой степени; для чисто неразветвленных расширений утверждение леммы тривиально. Таким образом, достаточно доказать лемму для случая, когда п = [Ь : К] —простое число.

Если Ь/К вполне разветвлено, то можно в Ь выбрать пару локальных параметров вида Ь0, и к. Пусть

оо

Ьк ^Е Е а'гоЬ01ик*;

г=п *= — о

из сепарабельности легко получить, что при некотором т, не кратном р, и некотором 2 выполнено а'т* = 0.

Будем считать т минимальным. Заменой параметров вида Ь0 = Ь1ин при большом Н можно обеспечить выполнение условия а!ц = 0 при всех г ^ ^~[т И всех j < 0. Наконец, с помощью замен вида = Ьн+1 + ^+11, где ] е к((и^))[[^ь+1]], можно обеспечить выполнение условия ац = 0 при всех г > и всех

Случай, когда Щ(ик) = (0, п), рассматривается аналогично. □

Будем рассматривать конечные сепарабельные расширения двумерных локальных полей L/K характеристики p > 0 с общим последним полем вычетов к, обладающие двумя дополнительными свойствами.

(a) L/K полностью разветвлено, т. е. расширение первых полей вычетов L/K чисто несепарабельно (возможно, тривиально).

(b) Пусть (eij)i,j=i,2 —матричный индекс ветвления L/K для некоторого выбора нормирований ранга 2 Щ и vk, т. е. на L* выполнено Щ = vJc ■ (). Тогда ei2 делится на (ец, e22). (Очевидно, это свойство не зависит от выбора нормирований.)

Предложение 2.4. Пусть L/K —расширение с указанными свойствами. Тогда у L/K существует модель.

Доказательство. Выберем локальные параметры tp, и к, tb,ub так, чтобы выполнялись условия леммы; для соответствующего нормирования vl выполняется VL,(tp) = (ец, е\2). Возьмем Н, при котором Нец + ei2 равно Me22 с натуральным M, тогда для tL = tL'U—H и tK = tKUpK^ имеем

г'к = {t'bY11 a> Vb{a) = { 0,0). (3.1)

Ясно, что t'p будет лежать в подкольце k[[tL, ul]] поля L при большом Н.

Положим A = к[\Ь'к,ик]], B = k[[tL,UL]]. Канонические разложения t'p и up в L определяют вложение h : A ^ B. Ввиду (3.1) выполняется условие (i) из определения модельного гомоморфизма. Наконец, из полной разветвленности L/K следует (ii). □

Литература

1. Жуков И. Б., Мадунц А. И. Многомерные полные поля: топология и другие основные понятия // Труды С.-Петерб. мат. общ. 1995. Т. 3. С. 4-46.

2. Zhukov I. B. Higher dimensional local fields // Invitation to higher local fields (Munster, 1999), 5-18, Geom. Topol. Monogr., 3, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000; http://www.maths.warwick.ac.uk/gt/gtmcontents3.html.

3. Паршин А. Н. Абелевы накрытия арифметических схем // Доклады Академии наук СССР. 1978. Т. 243. С. 855-858.

4. Cutkosky S. D., Piltant O. Ramification of valuations // Adv. Math. 2004. Vol. 183. N1. P. 1-79.

5. Жуков И. Б. Особенности дуг и циклические накрытия поверхностей // Труды Санкт-Петерб. мат. общ. 2005. Т. 11. С. 49-66.

6. Brylinski J.-L. Theorie du corps de classes de Kato et revetements abeliens de surfaces // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. 1983. Vol. 33. P. 23-38.

7. Zhukov I. B. Ramification of surfaces: Artin-Schreier extensions // Algebraic number theory and algebraic geometry. P. 211-220. Contemp. Math., 300, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.

8. Laumon G. Semi-continuite du conducteur de Swan (d’apres P. Deligne) // Asterisque. 1981. Vol. 83. P. 173-219.

9. Scheja G., Storch U. Lokale Verzweigungstheorie. Vorlesungen iiber Kommutative Algebra (Wintersemester 1973/74) // Schriftenreihe des Mathematischen Institutes der Universitat Freiburg, N 5. Institut des Mathematiques, Universite de Fribourg, Fribourg, 1974.

10. Kunz E. Kahler Differentials. Braunschweig/Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn, 1986.

Статья поступила в редакцию 10 октября 2009 г.